2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系(人教A版必修2)2020—2021学年高二数学第二章

课时作业9 空间中直线与直线之间的位置关系

1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()

A．一定平行B．一定异面

C．相交或异面D．一定相交

2．两等角的一组对应边平行，则()

A．另一组对应边平行

B．另一组对应边不平行

C．另一组对应边不可能垂直

D．以上都不对

3．长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有()

A．2对B．3对

C．6对D．12对

4．若直线a，b与直线l所成的角相等，则a，b的位置关系是()

A．异面B．平行

C．相交D．相交、平行、异面均可能

5．如下图所示，若G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线

)

GH，MN是异面直线的图形有(

C．①④D．②④

6．在四面体ABCD中，AD＝BC，且AD⊥BC，E，F分别为AB，CD的中点，则EF

与BC所成的角为()

A．30°B．45°

C．60°D．90°

7．已知空间两个角α，β，且α与β的两边对应平行，α＝60°，则β为_________.

8．如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AD，AA1的中点．

1

2

(1)直线AB 1和CC 1所成的角为；

(2)直线AB 1和EF 所成的角为

.

9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：

①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°；

③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD ． 其中正确结论的序号是①③

.

10．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是棱CC 1，BB 1，DD 1的中点．

求证：(1)GB ∥D 1F ；

(2)∠BGC ＝∠FD 1E .

11.如图，在三棱锥A -BCD 中，O ，E 分别是BD ，BC 的中点，AO ⊥OC ，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝2，求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值．

3

12．已知在空间四边形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，且AC ＝4，BD ＝6，则( )

A ．1<MN <5

B ．2<MN <10

C ．1≤MN ≤5

D ．2<MN <5

13．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1上有一只蚂蚁从A 点出发沿正方体的棱前进，若它走进的第(n ＋2)条棱与第n 条棱是异面的，则这只蚂蚁走过第2 018条棱之后的位置可能在( )

A ．点A 1处

B ．点A 处

C ．点

D 处

D ．点B 1处 14．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱BB 1，B 1C 1的中点，若∠CMN ＝90°，

则异面直线AD 1与DM 所成的角为90°

.

15．在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD 是菱形，且AB ＝BC ＝23，∠ABC ＝120°，若异面直线A 1B 和AD 1所成的角为90°，求AA 1的长．

课时作业9 空间中直线与直

线之间的位置关系

1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( C )

A ．一定平行

B ．一定异面

C ．相交或异面

D ．一定相交

解析：在空间中分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是异面或相交．故选C．2．两等角的一组对应边平行，则(D)

A．另一组对应边平行

B．另一组对应边不平行

C．另一组对应边不可能垂直

D．以上都不对

解析：另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直．注意和等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别．

3．长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有(C)

A．2对B．3对

C．6对D．12对

解析：如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，∴与AC1

异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，∴长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对．故选C．

4．若直线a，b与直线l所成的角相等，则a，b的位置关系是(D)

A．异面B．平行

C．相交D．相交、平行、异面均可能

解析：若a∥b，显然直线a，b与直线l所成的角相等；若a，b相交，则a，b确定平面α，若直线l⊥α，则l⊥a，l⊥b，此时直线a，b与直线l所成的角相等；当直线a，b异面时，同样存在直线l与a，b都垂直，此时直线a，b与直线l所成的角相等．故选D．5．如下图所示，若G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有(D

)

C．①④D．②④

解析：①中GH∥MN；③中GM∥HN且GM≠HN，故GH，MN必相交，所以①③中

4

GH，MN共面，故选D．

6．在四面体ABCD中，AD＝BC，且AD⊥BC，E，F分别为AB，CD的中点，则EF 与BC所成的角为(B)

A．30°B．45°

C．60°D．90°

解析：

如图，取BD的中点G，连接EG，GF，则∠EFG即为异面直线EF与BC所成的角．因

为EG

＝1 2

AD，GF＝

1

2BC，且AD＝BC，所以EG＝GF.因为AD⊥BC，EG∥AD，GF∥BC，所以EG⊥GF，所以△EGF为等腰直角三角形，所以∠EFG＝45°.

7．已知空间两个角α，β，且α与β的两边对应平行，α＝60°，则β为60°或120°.

解析：根据“等角定理”可知，α与β相等或互补，故β为60°或120°.

8．如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AD，AA1的中点．

(1)直线AB1和CC1所成的角为45°；

(2)直线AB1和EF所成的角为60°.

解析：如图．(1)因为BB1∥CC1，所以∠AB1B即为异面直线AB1与CC1所成的角，∠AB1B＝45°.

(2)连接B1C，易得EF∥B1C，所以∠AB1C即为异面直线AB1和EF所成的角．连接AC，则△AB1C为正三角形，

5

所以∠AB1C＝60°.

9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：

①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；

③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．

其中正确结论的序号是①③

.

解析：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN为异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，所以只有①③正确．

10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1的中点．

求证：(1)GB∥D1F；

(2)∠BGC＝∠FD1E.

证明：(1)因为E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点，所以CE綊GD1，BF綊GD1，所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形．所以GC∥D1E，GB∥D1F.

(2)因为∠BGC与∠FD1E两边的方向都相同，所以∠BGC＝∠FD1E.

11.如图，在三棱锥A-BCD中，O，E分别是BD，BC的中点，AO⊥OC，CA＝CB＝CD ＝BD＝2，AB＝AD＝2，求异面直线AB与CD所成角的余弦值．

解：如图，取AC的中点M，连接OM，ME，OE，由E为BC的中点知ME∥AB，OE ∥DC，所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．

6

7

EM ＝12AB ＝22

，OE ＝12

DC ＝1， 因为OM 是Rt △AOC 斜边AC 上的中线，

所以OM ＝12

AC ＝1， 取EM 的中点H ，连接OH ，则OH ⊥EM ，

在Rt △OEH 中，所以cos ∠OEM ＝EH OE ＝12×221＝24

. 12．已知在空间四边形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，且AC ＝4，BD ＝6，则( A )

A ．1<MN <5

B ．2<MN <10

C ．1≤MN ≤5

D ．2<MN <5

解析：取AD 的中点H ，连接MH ，NH ，则MH 綊12BD ，NH 綊12

AC ，且M ，N ，H 三点构成三角形．由三角形中三边关系可得|MH －NH |<MN <|MH ＋NH |，即1<MN <5.

13．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1上有一只蚂蚁从A 点出发沿正方体的棱前进，若它走进的第(n ＋2)条棱与第n 条棱是异面的，则这只蚂蚁走过第 2 018条棱之后的位置可能在( D )

A ．点A 1处

B ．点A 处

C ．点

D 处

D ．点B 1处

解析：

由图形(如图)结合正方体的性质知，与直线AB 异面的直线有A 1D 1，B 1C 1，CC 1，DD 1，共4条．蚂蚁从A 点出发，走进的第(n ＋2)条棱与第n 条棱是异面的，如AB →BC →CC 1→C 1D 1→D 1A 1→A 1A ，按照此走法，每次要走6条棱才回到起点．∵2 018＝6×336＋2，∴这只蚂蚁走过第2 018条棱之后的位置与走过第2条棱之后的位置相同．而前2条棱的走法有以下几种情况：AB →BB 1，AB →BC ，AD →DC ，AD →DD 1，AA 1→A 1B 1，AA 1→A 1D 1.故走过第2条棱之后的位置可能有以下几种情况：B 1，C ，D 1.故选D ．

14．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，若∠CMN＝90°，

则异面直线AD1与DM

所成的角为

90°.

解析：

如图所示，连接BC1，则BC1∥AD1，则异面直线AD1与DM所成的角为直线BC1与DM 所成的角．∵M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，∴BC1∥MN.∵∠CMN＝90°，∴BC1⊥MC，又MC是斜线DM在平面BCC1B1上的射影，∴DM⊥BC1，∴直线BC1与DM所成的角为90°，则异面直线AD1与DM所成的角为90°.

15．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB ＝BC＝23，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，求AA1的长．

解：如图，连接CD1，AC．

由题意得在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC＝23，

∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1，

∴∠AD1C为A1B和AD1所成的角．

∵异面直线A1B和AD1所成的角为90°，

∴∠AD1C＝90°.

∵在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，且底面是菱形，∴△ACD1是等腰直角

三角形，∴AD1＝

2

2AC

．

∵底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝23，∠ABC＝120°，∴AC＝23×sin60°×2＝6，

∴AD1＝

2

2AC＝32，∴AA1＝AD

2

1

－A1D21＝ 6.

8

9

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/62w1.html