几何图形的不变性和变化规律以及特殊条件下的特定性

几何图形的不变性和变化规律以及特殊条件下的特定性

关于几何图形性质方面的探究，已成为近年来各地中考试卷中带有普遍性的热点，细分起来，这样的题目 又可分为两大类：

第一类，设置变化性的图形背景，探究由变化所体现的“图形不变性”或“变化规律”。 第二类，设置附有特殊条件或特殊结论的图形背景，研究由此生产的“特定性质”。

这两类探究问题正好体现着人们扩展认识的两个基本方向：一是由特殊向一般扩充，二是向相对更为特殊的方向深入。

现在我们分别来解析与归纳这两类探究性问题应解的思考特征。

一、探究图形变化引出的不变性或变化规律

从图形变化过程来看，又分为三条途径：

Ⅰ、由“图形变换”形成变化背景，探究其中的不变性或变化规律； Ⅱ、由“特殊到一般”形成的变化背景，探究其中的不变性或变化规律； Ⅲ、由“类比”形成的变化背景，探究其中的不变性或变化规律。

从解法的思考来说，三类题目尽管有很多一致性，但因图形变化的背景不同必然带来基本切入点的不同。

1、图形变换引出的不变性或变化规律

我们知道，图形的“轴对称”、“平移”、“旋转”这些变换，是图形运动及延伸的重要途径，研究这些“变换”中的图形的“不变性”或“变化规律”，便是既自然又现成的展开方式。对于这些起源于“变换”的探究性问题，解法的思考当然要围绕“变换”而展开，主要思考方向可有：

Ⅰ、化归到基本图形的“变换性质”；

Ⅱ、沿“变换”考查图形变化中所体现的统一性和差异性。

（1）借助于“化归到基本图形或变换性质”的思考获得解达

例1 如图（1），在?ABC中，AB?AC,CG?BA交BA的延长线于点G。一等腰直角三角尺按如图（1）所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B。

F A E （1）

（2）

G

F A G B C B D C

（1）在图（1）中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系， 然后证明你的猜想。 （2）当三角尺沿AC方向平移到图（2）所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D。过点D作DE?BA于点E。此时请你通过观察、测量DE,DF与CG的长度，猜想并写出DE?DF与

- 1 -

CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想。

（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图（3）所示的位置时，（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不说明理由）。

G

【观察与思考】经过仔细审题，排除“三角尺”和其平移的表面

干扰，题中的图（1），图（2），图（3）对应的几何图形就是：

E A F （3）

B

D C

G F G F A G A F A E

E

B C D B C D B C

AB?ACAB?AC AB? AC ，D为BC上一点， ,D为BC上一点，

BF?CA于F，CG?BA于G DE?BA于E，DF?CA于F， DE?BA于E，DF?CA于F，

CG?BA于G。 CG?BA于G。

（1`） （2`） （3`）

它们就是我们早已熟悉的基本模式；“等腰三角形底边上任意一点到两腰的垂线段之和都等于这个三角形一腰上的高”。至此，本题的解法已是显而易见，本题的思考就是“回归到基本模式”，而题目所体现的就是“图形中变换中的不变性”。

例2 用两个全等的正方形ABCD和CDFE拼成一个矩形ABEF，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF的中点D重合，且将直角三角尺绕点D按逆时针方向旋转。

（1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF的两边BE，EF相交于点G，H时，（如图（1），通过观察或测量BG与EH的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论。

（2）当直角三角尺的两直角边分别与BE的延长线，EF的延长线相交于点G，H时，（如图（2）），你在图（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由。 H

A D F H B G C E （1） A D F （2）

【观察与思考】可以有两种化归的思考方法：

B C E G

方法Ⅰ、若将原图再补上两个全等的小正方形，使基本背景成为一个大正方形，如图（1`）和图（2`）。这时点D就是大正方形的中心。根据“正方形是关于中心90°旋转对称图形”（见关节四），立刻知道Rt?DCG绕点D逆时针旋转90°便与Rt?DFH重合，当然全等，即均有CG?FH，进而有BG?EH。

方法Ⅱ、原图的背景ABCEFD是由两个全等的的正方形拼成，因此，若正方形ABCD绕点D逆时针旋转90°，则它与正方形CEFD重合，由?GDH?90?，可知在此过程中BG与EH重合（具体论述略）。

- 2 -

H M N M N P

P

（1`） （2`）

本题的思考也是回归到“基本图形的性质”，而题目体现的也是“图形变换中的不变性”。 解：只需按如上的方法Ⅰ写出相应的三角形全等的理由即可（结论和过程略）。

例3 已知，四边形ABCD中，AB?AD,BC?CD,BA?BC,?ABC?120?,?MBN?60?，?MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD,DC（或它们的延长线）于E，F。

当?MBN绕B点旋转到AE?CF时，（如图（1），易证：AE?CF?EF。

当?MBN绕B点旋转到AE?CF时，在图（2）和图（3）中这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。

【观察与思考】由背景BA?BC,?ABC?120?，可知BA和BC具有绕点B旋转120°的重合性，依此构造全等三角形。

解：在图（1）和图（2）中均有AE?CF?EF，理由如下；

如图（1`）和图（2`），作?FBG?60?，交DC延长线于点G（这时即有Rt?BAE绕点B顺时针旋转120°重合于Rt?BCG中，

A B E M

B

- 3 -

A B

E M

B

A

B

E

M

F N

C

A D

C F N （1）

D C

F

N （2）

D

E

（3）

M A A B

E M D

N

N

E

F C D G

G

C F N

D

G

C

F

（1`） （2`） （3`）

在Rt?BAE和Rt?BCG中，

?BA?BC,?ABE?120???EBC?120??(?EBF??FBC)?60???FBC??CBG。 ?Rt?BAE?Rt?BCG,?AE?CG,BE?BG。

在?BEF和?BGF中，?EBF??GBF?60?,BE?BG,BF公用。

??BEF??BGF，?EF?GF?CG?CF?AE?CF。

对于（3）的情况，有结论：EF?AE?CF。理由是：

如图（3`），作?EBG?60?,交AD于点G，与情况（1`）、（2`）类似地可证明

Rt?BAG?Rt?BCF，得AG?CF,又可有?BGE??BFE，可知EF?EG?AE?AG?AE?CF

由图（1）到图（2）体现的是“不变性”，而由图（1）到图（3），体现的却是“变换过程中的变化规律”。 由以上三个例子可以看出：

许多由图形变换引出的不变性或变化规律问题，解法思考的第一选择是将问题化归到“基本图形的变换性质”。这也进一步说明：“化归到基本”是数学思考的最基本的最重要的原则。

（2）借助于考察图形变换过程中各种形态（情况）的统一和差异性来获得解法

例4 如图，已知矩形ABCD，AB?3,BC?3,在BC上取两点E，F（E在F左边），以EF为边作等边三角形PEF，使顶点P在AD上，PE,PF分别交AC于点G,H。 （1）求?PEF的边长；

（2）若等边三角形?PEF的边EF在线段BC上移动，试猜想： PH与BE有何数量关系？并证明你猜想的结论。

P G H A D

C B E F

【观察与思考】本题的核心是研究特定的等边?PEF在矩形ABCD内平移的有关问题，首先，把矩形ABCD的情况搞清楚：在已知数据的基础上易知tan?ACB?3，即 3?ACB??CAD?30?

其次，把等边?PEF在矩形ABCD内平移中的各类形态集中在图（1）中，进行观察和比较，容易看到：

第一，在特殊情况（E重合于B时），由Rt?AB(E')P'可计算出P'E'?3?2。即?PEF的边长为2。

cos30?- 4 -

第二，比较?PEF和?P'E'F'两种形态对应的图形情况，有PH?PA?PP'?P'A?BE?1，再比较?P''E''F''和?P'E'F'两种形态所对应的图形情况，有P''F''(H'')?P''A?P''P'?P'A?BE''?1。这就促使我们形成了对

PH和BE数量关系的猜想，并找到了其根据，至于计算和证明，我们还应按题目提供的一般情况的图形来进行。

A G' P' P G P'' H D

A （1）

G P H Q

C D

（2）

H' B （E'） E

E''

F' F

C (F'')

B E

F

解：（1）过P作PQ?BC于Q，如图（2），在Rt?PEQ中，

?PQ?AB?3,?PEQ?60?,?PE?332?2。

P'P G H Q

C （2）PH和BE数量关系是PH?BE?1。理由如下： 作BP'//PE,交AD于P'，如图（3）

在Rt?BP'A中，BP'?2,?ABP'?30?,?AP'?1。

A D

（3）

B E

F

??PAH??PHA?30?,?PH?PA?PP'?P'A?BE?1。

【说明】正是借助于对特殊情况的考察，特别是不同形态情况的对比，更快地发现了等边?PEF平移反映的不变性。

例5 （1）如图，（1），OA，OB是⊙O的两条半径，且OA?OB，点C是OB延长线上的任意一点，过点

C作CD切⊙O于点D，连结AD交OC于点E,求证：CD?CE。

（2）若将图（1）中的半径OB所在的直线向上平移交半径OA于点F，交⊙O于点B'，其他条件不变，如图（2），那么CD?CE的结论还成立吗？为什么？

A E B F A E F C E G A C

B' O D （1）

C

O D （2） O （3） D

（3）若将图（1）中的半径OB所在的直线向上平移到与⊙O相离的位置，它与半径OA的延长线交于点G，点E是DA延长线与CF的交点，其他条件不变（如图（3），那么CD?CE的结论还成立吗？为什么？

【观察与思考】先考虑图（1）这种特殊情况下是如何推得结论的。背景图形中有两个特殊点：一是OA?OB，二是CD切⊙O于点D，若连结OD——为使切线发挥作用，如图（1`），立刻得到?OAD??ODA，而分别为它

- 5 -

们余角的?OEA和?CDE自然也就相等，这样，已得到了CD?CE的保证。

将图（2）、图（3）的情况与图（1）的情况对比，上述的“两个特殊点”仍然保持，因此，结论和根据也理应保持。

解：（1）连结OD，如图（1`），由OD?OA,得?OAD??ODA，

A E B ?OA?OB,??CED??OEA?90???OAD。

?CD切⊙O于点D，?OD?CD。

??CDE?90???ODA?90???OAD??CED。 ?CD?CE。

（2）CD?CE的结论仍然成立，理由是： 在图（2）中连结OD。

OC

（1`）

D ?CDE?90???ODA?90???OAD??FEA??CED，?CD?CE。

（3）CD?CE的结论也是成立的，理由是： 在图（3）中，若连结OD，与（1）同理，

有?CDE?90???ODA?90???OAD?90???GAE??CED，?CD?CE。

【说明】Ⅰ、本题的思考突出了先研究特殊，再去沟通其他的情况和特殊情况的本质联系； Ⅱ、在本题正是“平移不改变角度”这一特征，保证了题中反映的不变性的成立。

由以上两个例子看出：

相当多由图形变换引出的不变性或变化规律的问题，解法的思考应沿“变换”为线索，探究清楚其各类形态间的统一和差异，以及变换过程中“变”与“不变”间的关系，

2、由背景扩充引出的不变性或变化规律

由背景扩充，尤其是从特殊到一般，是知识形成与发展的重要途径。在这个过程中，重要的课题就是研究哪些性质保持不变，哪些性质发生了变化，又是怎样的规律变化的。

解决这类问题，思考时应该突出如下两点： Ⅰ、善于构造“特殊”和运用“特殊”；

Ⅱ、善于在比较中把握不同情形下的知识与方法的共同点。

（1）善于构造“特殊”和运用“特殊”

例6 如图（1），在?ABC中，AB?BC?5,AC?6.?ECD是?ABC沿BC方向平移得到的，连结BE交AC于点O,连结AE。

（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由。

（2）如图（2），P是线段BC上一动点（不与B，C重合）。连结PO并延长交线段AE于点Q，四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积。

- 6 -

A E A Q

E O

（1）

O

（2）

D B D B C P C

【观察与思考】对于（1），易推得四边形ABCE是菱形；对于（2），我们可以借助于点P的极端位置来思考，假定P在B点处（虽然题目P不与B，C重合，但不影响我们把这种情况作为思考的“桥梁”），则此时

S四边形PQED?S?BED，如此一来，（2）的结论和理由就一起得到了。

解：（1）四边形ABCE是菱形；证明如下：

??ECD是由?ABC沿BC平移得到的。?EC//AB,且EC?AB，

?四边形ABCE是平行四边形，

又?AB?BC，?四边形ABCE是菱形。

（2）四边形PQED的面积不随点P的运动而发生变化，是确定的值。 由菱形的中心对称性知，?PBO??QEO，?S?PBO?S?QEO，

??ECD是?ABC平移得到的，?ED//AC,ED?AC?6，

又?BE?AC,?BE?ED。

?S四边形PQED?S?QEO?S四边形POED?S?PBO?S四边形POED?SRt?BED?11?BE?ED??8?6?24。 22

例7 已知，如图（1），以?ABC的边AB，AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，试判断?AEG和?ABC面积之间的关系，并说明理由。

E

G 【观察与思考】在条件中给出的?ABC没有任何其他限制，为了获得

?AEG和?ABC面积关系的认识，我们对?ABC从“一般”中取出

其包含的“特殊”——令?ABC中?BAC?90?，即直角三角形， 如图“特殊”，明显地看出，这时有Rt?ABC?Rt?AEG，立刻得

D

A （1） F

S?AEG?S?ABC，因此，促使我们产生猜想：对于任意的?ABC，如

题中操作得到?AEG，都应当有S?AEG?S?ABC。设法验证这个猜想。 因为AE?AB,只需要再有?AEG中AE边上的高和?ABC中AB边

- 7 -

B E C

G

D A

（特殊） F

B

C

上的高相等，就可推得S?AEG?S?ABC，而由?EAG和?BAC为互补，

AG?AC，以上两个高相等是很多容易推出的。（见图（1`）

解：结论：S?AEG?S?ABC。理由如下：

作GM?EA,交EA的延长线于点M；作CN?AB,交AB于点N。 则：S?AEGE G A

D

N M

B

C

F （1`）

11?AE?GM,S?ABC?AB?CN。 22?AE?AB,GM?AG?sin?GAM,CN?AC?sin?BAC，

又?GAM和?BAC同为?EAG的补角，即?GAM??BAC，

且AG?AC，?GM?CN

?S?AEG?11AE?GM?AB?CN?S?ABC。 22

由以上两例可以看出：

为了探究“一般情况”的某种不变性，可以构造或选择恰当的“特殊”，先搞清楚这一“特殊”的情况下的结论及根据，再由此获得对“一般”的认识及解决的方法。

（2）善于在情景的比较中把握知识或方法的共同点

例8 如图（1），小明在研究正方形ABCD的有关问题时，得出：“在正方形ABCD中，如果点E是CD的中点，点F是BC边上一点，且?FAE??EAD，那么EF?AE。”他又将“正方形”改为“矩形”、“菱形”、和“任意平行四边形”（如图（2），图（3），图（4），其他条件不变，发现仍然有“EF?AE”的结论。 A B F （1）

D

A D E

A D E B C A D E

B

F

C

E C B

（2）

F

C F （3）

（4）

你同意小明的观点吗？若同意，请结合图（4）加以说明；若不同意，请说明理由。

【观察与思考】若在图（1）中证明EF?AE，应注意利用BC的中点E的“中心对称功能”，可延长EF交AD的延长线于点G。如图（1`），由?FEC和?GED关于点E的中心对称，易得FE?GE。结合?FAE??GAE，立刻得AE?FE。

对于图（2），图（3），图（4）的情况，上述辅助线和相应的结果都有同样的保证。因此，“EF?AE”的结论也成立，且证明方法也相同。 解：（略）

D A G - 8 - E B C

【说明】在本题，尽管图形背景由特殊扩充到一般，但由于 “AE是?FAD的角平分线”，“E是CD的中点”这两个结论 的决定条件不变，使得结论也就具有“不变性”，即“条件本质 的不变性”决定了“结论的不变性。”。

（1`）

例9 如图（1），在梯形ABCD中，AB//CD,AB?b,CD?a,E为AD边上任意一点，EF//AB,且EF交BC于点F，某学生在研究这一问题时发现如下事实：

D C

DEa?b?1时，有EF?①当； AE2DEa?2b?2时，有EF?②当； AE3DEa?3b?3时，有EF?③当； AE4 当

E A

F B

（1）

DE?k时，参照上述研究结论，请你猜想用k表示EF的一般结论，并给出证明； AE（2）现有一块直角梯形田地ABCD（如图（2）所示），其中AB//CD,AD?AB,AB?310米，DC?170米，

AD?70米，若要将这块地分成两块，由农户来承包，要求这两块地均为直角梯形，且它们的面积相等，请你给

出具体分割方案。

【观察与思考】对于（1），由①，②，③的情况和结论容易得到 猜想：当

D C （2） B

DEa?kb?k时，应有EF?。为了获得对这个一般 AEk?1A

DE?2时这一“简单”情况的研究入手， 猜想的证明，我们从对AE以获得证明方法的启示。 如图（1`），若

DE?2，作CH//DA，交AB于H，交EF于M（因为我们总是把梯形的问题转化到平行四边AECMDE??2，而由?CMF∽?CHB得 形和三角形中来解决）。易知EM?DC?AH,MHAEMFCMCMCM2????，即

1HBCHCM?MH3CM?CM2222a?2bMF?HB?(b?a)，这样就有EF?EM?MF?a?(b?a)?。

3333DE?k”的情况。 这样的证明手段可以“移植”到“AEC D 对于（2），实际上是用（1）的结论来解决具体问题。

DEa?kb?k时，有EF?解：（1）结论为：“当。” AEk?1至于证明，可类比上面的观察与思考进行（略）。

- 9 -

E A

M

F

H

B

（1`）

（2）若在AD,CB上分别有点E，F，且EF//AB，并且满足S梯形DEFC?S梯形EABF。

DE7070x?x，则由AE?DE?70得：AE?,DE?。 AEx?1x?1170?310x由（1）的结论知：EF?。

x?1170x170?310x170170?310x?(170?)???(?310）。 得方程：?2x?1x?12x?1x?1设

化简为12x2?7x?12?0,解得x1?即应在AD上取点E，使AE?44,x2??（舍去） 3370?30（米），作EF//AB交BC于F，则EF就把原直角梯形分成面积相等4?13的两个直角梯形。

【说明】本题的思考是从简单情况获取对一般情况结论和论证方法的启发。

由以上两例说明：

研究“特殊”情况与“一般”情况之间的知识、方法、原理诸方面的共同之处，是解决扩充型不变性或变化规律问题的一种有效策略。

3、由类比引出的图形的不变性或变化规律

“类比”也是人们拓展视野、认识新事物、增长新知识的重要方法和途径，同样，它也是我们在数学中探究图形性质“变中不变”或“变中的变化规律”的重要方法和途径。

例10 已知，⊙O1与⊙O2相切于点P，它们的半径分别为R,r。一直线绕P点旋转，与⊙O1、⊙O2分别交于点A,B（点P，B不重合）。探索规律：

B O1 A

P O2 （1）

O1 O2 B A

P

（2）

（1）如图（1），当⊙O1与⊙O2外切时，探究

PA与半径R,r之间的关系式，请证明你的结论。 PB（2）如图（2），当⊙O1与⊙O2内切时，第（1）题探究的结论还是否成立？为什么？

【观察与思考】对于（1），容易想到构造以直径为斜边的直角三角形，如图（1`），则有Rt?PAM∽Rt?PBN，

- 10 -

可知，

PAR?， PBr对于（2），类比（1）的解决方法，自然也会想到去构造相似的直角三角形，如图（2`），则两圆内切时的解决方法也就找到了。 B

O1 N （1`） （2`） P M N M O2 O1 P O2

解：（1）有结论

B A

A

PAR?，证明如下： PBr设O1O2延长后分别与⊙O1、⊙O2相交于点M和点N，连结AM,BN，如图（1`）。

?PM,PN分别为⊙O1、⊙O2的直径，??A,?B均为直角，又?APM??BPN，

?Rt?APM∽Rt?BPN,? （2）

PAPM2RR???。 PBPN2rrPAR?的结论仍然成立。（理由请同学们自己说明）。 PBr【说明】就两圆相切来说，外切与内切是两种相对的情况，由外切情况下的某性质很自然地去联想内切情况下的相同性质，这就是典型的“类比”，当然，类比的结果可能成立，也可能不成立，但无论成立还是不成立，都会使认识得到拓展和深化，都是有意义的，当然，本题是两种情况 有相同的结论，即“变中的不变”，这也是知识发展的一种形式。

CG例11 如图，在?ABC中，AB?AC,D是BC上任意一点，过D分别向AB,AC引垂线，垂足分别为E,F，

是AB边上高。

（1）DE,DF,CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明。 （2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，

又存在怎样的关系？请说明理由。

【观察与思考】（1）是比较熟悉的问题，结论是：DE?DF?CG。 对于（2），通过画图观察，此时，DE?DF?CG的结论不再成立， 那新的结论该是怎样的呢？对比（1）的结果证明方法，也容易得到 （2）的结果和证明方法。

解：（1）有结论：DE?DF?CG，证明如下： 方法一：（面积法）

连结AD（如图（1`），则S?ABC?S?ABD?S?ACD，即因为AB?AC，所以CG?DE?DF。 G E B

D

C

A A A G E B

D

F （1）

C

111AB?CG?AB?DE?AC?DF。 222F G - 11 - M F C E B D

（1``）

（1`）

方法二，（构造全等三角形法或称“截长法”）

作DM//AB,交CG于点M，如图（1``）由四边形EDMG为矩形，得DE?MG。 又?MDC??B??FCD，且CD公用。 ?RtCMD?Rt?DFC，得DF?CM。 ?CG?MG?CM?EF?DF。

（2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，而有DE?DF?CG。理由如下：

说理一：连结AD，如图（2`）

A A E G （2`）

N D B E G F H （2``）

B C F

D C 则SABD?S?ABC?S?ACD，即有，

111?AB?DE?AB?CG?AC?DF 222?AB?AC,?DE?CG?DF，即DE?DF?CG。

当点D在CB的延长线上时，则有DF?DE?CG，理由如下：

作BH?AC于点H，则BH?CG,作BN//AC，交DF于点N，如图（2``）由四边形BHFN为矩形， 得FN?BH，又?DBN??ACB??ABC??DBE，DB公用。

?Rt?DBN?Rt?DBE，?DE?DN,?CG?BH?FN?DF?DN?DF?DE。

【说明】Ⅰ、在本题，点D在直线BC上，可分三种情况：（1）在线段BC上；（2）在线段BC的延长线上，（3）在线段CB的延长线上，由情况（1）的某种性质联想情况（2），（3）的对应性质，是典型的“类比”。本题的类比结果是原结论不成立，但得到了对应的结论，这就是“变中的变化规律”，同样扩展了知识和认识。

Ⅱ、本题类比得到的结论虽然不同，但证明方法具有统一性，或说运用着同样的原理和方法，这又体现着“变中的不变”。

以上三类“不变性”或“变化规律”问题，集中体现了探究能力就是在对“变中不变”和“变中变时变为什么”的辩析和掌握中得到提高的，希望同学们在上述解析的基础上，进一步总结，以形成自我变化的更多更有效的思考

- 12 -

策略。

二、探究特定结论或特定条件 很多的探究性问题是这样的：或则是对背景图形加上特殊限定，在此基础上探究有无形成特定的性质（或结论）；或则是对背景图形希望能具备某一特殊性质（即结论），为此去探究应当附加怎样的条件。我们把前一类称作为“探究特定结论”，后一类称为“探究特定条件”。在各地的中考试卷中，这两类题目呈增加的趋势。

1、“探究特定结论”问题的思考特征

这类问题从结构来看其特征是：在背景图形上附加较多或较强的“特殊条件”，而正是这些“特殊条件”才是“特定结论”得以出现的根据和保证。因此，总体上来说，解决这类问题的切入点正在于与“探究”方向结合的情况下对“特殊条件”的深入研究和恰当运用（当然也要同时兼顾其他条件）。

（1）从条件直接推演

例1 已知：如图（1），?ABC中，?ABC?45?,CD?AB于点D，BE平分?ABC,且BE?AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。

（1）求证：BF?AC；

（2）CE和BF有怎样的数量关系，写出判断并给出证明； （3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论。

D F G E

（1）

A

C B H

【观察与思考】在三角形ABC中添加了诸多限制条件，从而使?ABC和?DBC极为特殊了，即： ⅰ、由BE平分?ABC,和BE?AC，得?ABC为等腰三角形，顶角?ABC?45?,底角?67.5?。 ⅱ、由?ABC?45?,CD?AB，得?DBC为等腰三角形，而DH为其底边上的中线； ⅲ、由BD?CD,?DBF??DCA?22.5?，得Rt?DBF?Rt?DCA。 有了这些研究，结论的探究和推证就很多容易了。

简解：（1）由ⅰ、ⅱ、ⅲ、得Rt?DBF?Rt?DCA，?BF?AC。 （2）由（1）知BF?AC，而由ⅰ知AC?2CE,?BF?2CE

（3）若连结CG，由DH为BC的对称轴知CG?BG，而Rt?CGE中，CG为斜面边。 ?CE?CG?BG。

【说明】在本题，?ABC为为顶角是45°的等腰三角形和?DBC为等腰直角三角形是各结论成立的决定因素，所

以，由本题的原始条件

例2 如图（1），在Rt?ABC中，?BAC?90?,AB?AC?23，D，E两点分别在AB，AC上，

如上的ⅰ、ⅱ、ⅲ、是思考的关键步骤，是“条件研究和运用”的主要体现。

DE//AB,CD?22，将?CDE绕点C顺时针旋转，得到?CD'E'（如图（2），点D',E'分别与D,E对应，

点E'在AB上，D'E'与AC相交于点M。 （1）求?ACE'的度数；

- 13 -

（2）判断ABCD'是怎样的四边形，并说明理由。

A D （1）

A M D' （2）

E'

B C B E

【观察与思考】结合要求的“结论”，研究本题的条件，可知：

ⅰ、?ABC和?DEC进而（?D'E'C）都是等腰直角三角形，且腰长分别为23和22； 在此基础上进一步有：

ⅱ、在Rt?CE'A中，CE'?CE?4,AC?23,可知?ACE'?30? ⅲ、在?E'CB和?D'CA中，?E'CB??D'CA?15?，

C

BC23?2CA23。 ???E'C4D'C22即?E'CB∽?D'CA

对旋转后的图形（2）中出现的新图形有了如上的认识，相应的结论就容易求得和探究了。

简解：（1）由以上的ⅰ、ⅱ、可得?ACE'?30?；

（2）由ⅲ、得?E'CB∽?D'CA??CAD'??CBE'?45???ACB，可知AD'//BC，而

?ABC?45?,?BCD'?60?，可知AB与D'C不平行，所以ABCD'是梯形。

【说明】在本题，条件的研究侧重在两点：第一，把基本背景（1）对应的情况和旋转结合起来；第二，重在围绕要解决的问题（1）和（2）把相应的新图形（如图（2）中的?ACE',?BCE',?ACD'等）。的有关数量搞清楚。

例3 我们知道：有两条边相等的三角形叫等腰三角形。类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。

（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；

（2）如图（1），在?ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设CD，BE相交于点O，若

?A?60?,?DCB??EBC?1?A。 21?A，探2 请你写出图中一个与?A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；

（3）在?ABC中，如果?A是不等于60?的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且?DCB??EBC?究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。

【观察与思考】在全面审题的基础上很容易解决问题中的（1），而由

A 11?BOC?180???DCB??EBC?180???A??A?180???A

22- 14 -

D E

（1）

O

C

B

则在?A?60?时，易知?BOD??COE?60?，并容易看到四边形

DBCE可能是等对边四边形，因此，问题（2）获解。剩下的核心问题是（3），即如何在“?DCB??EBC?这个条件下，去推得“BD?CE。”

1?A”2

ⅰ、观察原图形，容易由“?DCB??EBC”这个条件结合BC公用，想到去作辅助线：“BF?CD，交CD延长线于F，作CG?BE于G。”以构造出Rt?CBF?Rt?BCG，得到BF?CG。 ⅱ、在ⅰ和基础上，进一步想到应由“?DCB??EBC?1?A”，去导出?BDF??CEB，也即导出211?CDB??CEB?180?，事实上，?CDB??A?(?C??A),?CEB??A?(?B?A) ，当然有

22?CD??BCE??BA??B??C?1?8，由此可推得0Rt?BDF?Rt?CEG，得到BD?CE。

A

解：（1）等腰梯形，矩形等；

（2） ?EOC??A，四边形DBCE是等对边四边形；

（3）四边形DBCE是等对边四边形，证明已在“观察与思考”中。

F D E G （1`）

O

B C

【说明】我们看，本题的（3）关键步骤是通过作BF?CD，CG?BE构造全等三角形，但这种作法的诱发，却是条件“?DCB??EBC”。的提示和引导。

结合背景和探究结论的基本方向研究条件，充分发挥特殊条件的特殊作用，是获得特定结论和给出特定结论证明的基础及保证。

（2）更灵活的利用条件

例4 我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对对角线四边形。请解答下列问题：

（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；

（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。 D A

B

60? O A D

60? O （1）

C

- 15 -

（1`）

B

C E

【观察与思考】问题（1）很多容易，而问题（2）的探究，就要从条件“两条对角线相等，且所夹的锐角为60°”出发，进行研究，通过画图，可以知道，符合这个条件的四边形应有两类，如图（1）和（2）分别有OA?OD和OA?OD。

而为了探究BC?AD和AC的关系，在图（1）这种特殊情况可如图（1`）那样平移AC到DE，此时?DBE为等边三角形，可推得AD?BC?BE?DE?AC；这又促使我们想到：在图（2）这样的情况，仍将AC平移至DE，如图（2`），连结BE,CE。据?DBE为等边三角形和?BCE的三边关系，有

AD?BC?CE?BC?BE?DE?AC。

如此一来，结论为AD?BC?AC连同证明方法都被我们探究了出来。

B

解：（略）

D

D

A A

60? O （2）

E

B

C

C

O （2`）

【说明】在本题，全面认识与分析条件下图形的类型，并以“特殊”情况的研究为先导，顺利地将问题解决。

以上两例提示我们：条件的研究和运用仍有原则与策略，那就是：一要全面考虑它所涵盖的各种情景；二要善于发挥“特殊”情况的指引和铺垫作用。

2、“探究特定条件”问题的思考特征

探究特定条件常用的思考策略是：

Ⅰ、借助分析法找结论成立的充分条件； Ⅱ、借助逆向思考的方法由结论倒推条件

（1）借助“分析法”寻找结论成立的充分条件

大家对“分析法”应较为熟悉，现公举一例说明。

例5 如图（1），半圆O为?ABC的外接半圆，AC为直径，D为弧BC上的一动点。 （1）问添加一个什么条件后，能使得 （2）若要有AB//OD,点D所在的位置应满足什么条件？ - 16 - BDBE?？请说明理由。 BCBDD B E A O C

（3）如图（1`），在（1）和（2）的条件下，四边形AODB是什么 特殊四边形？证明你的结论。

【观察与思考】（1）和（2）是探究特定条件，而（3）是探究特定结论。

D E （1）

B BDBE?成立，只需有?BDE∽?BCD， BCBD而在?BDE和?BCD中，?DBE即?CBD，故只需?ADB??DCB，

对于问题（1），要使

因此，添加的条件可以是B为弧AD的中点。或AB?BD；

对于问题（2），要使AB//OD,只需?BAC??DOC，而这又只

（1`）

A O C 需D为弧BC的中点。 对于问题（3），满足（1）和（2）的条件，即弧AB?弧BD?弧DC，对应的图形如图（1`），由?BDA??DAC，得BD//OA，又已有AB//DO，且OA?OD，所以四边形AODB菱形。

解：（略）

【说明】在较简单的情况下，如本题，用“分析的方法”是探究特定条件最常用与最有效的方法。

（2）借助逆向思考由结论倒推条件

即将结论加入已有的条件之中，然后推演，由此得出某一结果，再检验它是否正好为要求的条件。

例6 如图（1），在四边形ABCD中，已知AB?BC?CD,?BAD和?CDA均为锐角，点P是对角线BD上的一点，PQ//BA,交AD于点Q，PS//BC，交DC于点S，四边形PQRS是平行四边形。 （1）当点P与点B重合时，图（1）变为图（2），若?ABD?90?，求证：?ABR??CRD；

（2）对于图（1），若四边形PRDS也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD还应满足什么条件？

C

B P S

B R C

A D A Q D

【观察与思考】问题（1）是一道寻常的证明题，容易解决。

问题（2）就属于一个“探究特定条件”的问题了，用逆向思考的方法，构造一个新命题：条件是：本题的原有条件，再加上“四边形PRDS是平行四边形”，探究结论：四边形ABCD还具有怎样的性质？该命题相应的图形应是图（3），解决这个命题可获（2）的答案。

解：（1）在图（2）中，?ABD?90?,AB//CR,?CR?BD。

R （1） （2）

?BC?CD,??BCR??DCR。

- 17 -

?ABCR是平行四边形，??BCR??BAR,??BAR??DCR，

又AB?CR,AR?BC?CD，

??ABR??CRD，

（2）这时如图（3），由PS//QR,PS//RD知，点R在QD上，故BC//AD。 又由AB?CD,知?A??CDA。

?SR//PQ//BA，

??SRD??A??CDA,?SR?SD。 ?PS//BC及BC?CD,?SP?SD。

A B P C S （3）

Q

R

D

?SP?DR,?SR?SD?RD.??CDA?60?。

所以，要使四边形PRDS也是平行四边形，四边形ABCD还应满足BC//AD,?CDA?60?。

【需要特别说明的是】像本例用“逆向思考”的方法探究条件，应当再回来验证原题加上该条件后，确能保证欲有结论的成立，只是我们这里的推演过程的确是可逆的，因此没有强调这一点，但在其他情况的使用中，应注意“验证”这一步骤。

练习题

1、如图（1），两个不全等的等腰直角三角形OAB和OCD叠放在一起，并且有公共的直角顶点O。

D D D

B

（1）

（2）

A B （3）

O C O C O C A

（1）将图（1）中的?OAB绕点O顺时针旋转90°，在图（2）中作出旋转后的?OAB（保留作图痕迹，不写作法，不证明）。

（2）在图（1）中，你发现线段AC，BD的数量关系是 ，直线AC，BD相交成 度角。

（3）将图（1）中的?OAB绕点O顺时针旋转一个锐角，得到图（3），这时（2）中的两个结论还成立吗？作出判断并说明理由。若?OAB绕点O继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由。

2、如图（1），在直角梯形ABCD中，AD//BC,顶点D，C分别在AM，BN上运动，（点D不与A重合，点C不与B重合）。E是AB上的动点（点E不与A，B重合）在运动过程中始终保持DE?EC且AD?DE?AB?a。

- 18 -

（1）证明：?ADE∽?BEC

（2）当点E为AB边的中点时（如图（2），求证：①AD?BC?CD；② DE，CE分别平分?ADC,?BCD； （3）设AE?m，请探究：?BEC的周长是否与m的值有关，若有关，请用含有m的代数式表示?BEC的周长，若无关，请说明理由。

A M

（1）

E

（2）

D

M

A D

E

B C N

B C N

3、在?ABC中，?C?90?，AC?BC。

（1）将一块等腰直角三角形的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，如图（1）和图（2），判断线段PD和PE之间有什么数量关系？并就图形（1）给出证明；

（2）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM:BM?m:n，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图（3）加以证明。

A A A M D

B

P D C （1）

E

B

C D P E （2）

C E

（3）

B

4、如图（1），（2），（3）中，点E，D分别是正三角形ABC，正四边形ABCM，正五边形ABCMN中以点C为顶点，一边延长线和另一边反向延线上的点，且BE?CD,DB延长线交AE于F。S E

A A M A F B C D F E B C D F - 19 - E N M A F B C D E B D C M

（1） （2） （3） （4） （1）求图（1）中，?AFB的度数；

（2）图（2）中，?AFB的度数为 ；图（3）中?AFB的度数为 。 （3）根据前面探索，请你将本题推广到一般的正n边形情况。

5、（1）在平行四边形ABCD中，E，F为对角线DB的两个等分点，连结AE延长交CD于P，连结PF延长产AB于Q，如图，探究：AQ和BQ之间的数量关系，并给出证明。

（2）若将平行四边形ABCD改为梯形，(AB//CD），其他条件不变， 此时（1）中的结论还成立吗？（不必说明理由）。

D E F P C

A B Q

6、已知，?MON?90?，四边形AOBC是正方形，其中点A，B分别在射线OM，ON上。 （1）如图，设D为OB的中点，以AD为边在?MON内作正方形ADD1D2； ①求?NBD1的度数； ②求证：点D2在直线BC上。

（2）设P为射线ON上任意一点， 以AP为边在?MON内作正方形APP1P2。请画图，写出与（1）中问题对应的两个问题，作出判断并说明理由。

M

D2

C A

D1

O D B N H

7、如图（1），已知四边形ABCD是菱形，G是线段CD上任意一点时，连结BG交AC于F。过F作FH//CD交BC于H，可以证明结论 FHFG?成立。 ABBGA F B H A B F H C - 20 - D G

G D C

（1） （2）

（1）探究：如图（2），上述条件中，若G在CD的延长线上，其它条件不变时，其结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。

（2）计算：若菱形ABCD中， AB?6,?ADC?60?，G在直线CD上，且CG?16，连结BG交AC所在的直线于F，过F作FH//CD交BC所在的直线于H，求BG与FG的长。

（3）发现：通过上述过程，你发现G在直线CD上时，结论

FHFG?还成立吗？ ABBG

8、已知：等腰直角三角形ABC中，?A?90?，如图（1）E为AB上任意一点，以CE为斜面边作等腰直角三角形CDE，连结AD，则有AD//BC。

A D

A E B

（1）

D C

B E A D E C （2）

B （3）

C

（1）若将等腰直角三角形ABC改为正三角形ABC，如图（2），E为AB边上任意一点，?CDE为正三角形，连结AD，上述结论还成立吗？答： 。

（2）若?ABC为任意等腰三角形，AB?AC，如图（3），E为AB边上任意一点，?DEC∽?ABC，连结AD，请问AD与BC的位置关系怎样？答： 。

（3）请你在上述3个结论中，任选一个结论进行证明。

9、如图，⊙O的直径AB?6cm,P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连结AC。 （1）若?CPA?30?，求PC的长。

（2）若点P在AB的延长线上运动，?CPA的平分线交AC于点M，你认为?CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，求出?CMP的值。

C - 21 - M A O B P

10、如图（1），OP是?MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。

M

B B

O P

A E F

D C

E F D

N

（1）

A （3）

C

（2）

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题。

（1）如图（2），在?ABC中，?ACB是直角，?B?60?，AD，CE分别是?BAC,?BCA的平分线，AD，CE相交于点F，请你判断并写出FE与FD之间的数量关系。

（2）如图（3），在?ABC中，如果?ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变。

请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？请证明；若不成立，请说明理由。

11、如图，在Rt?ABC中，?C?90?，M是AB的中点，AM?AN,MN//AC。

（1）求证：MN?AC；

（2）如果把条件“AM?AN”改为“AM?AN”，其它条件不变，那么MN?AC不一定成立，如果再改变一个条件，就能使MN?AC成立，请你写出改变的条件并说明理由。

N

A

M C

B

- 22 -

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