级数敛散性

第一章 级数基本概念

1.1 级数的定义

其定义如下：设un?R,n?1,2,3?，记所有无限项加起来的和为

?un?1?n?u1?u2?u3???an??

而?un则称为级数。

n?1?注：数项级数或无穷级数也常简称级数。

1.2 级数的分类

级数的种类繁多，并没有很详细的分类标准，本文考虑从通项的内容来看，主要分成两大类：数项级数和函数项级数。 数项级数：通项没有含有函数的的级数。 等比级数：（又称几何级数）形如

u?uq?uq2?uq3???uq4??

其中q?0 ，称为等比级数。

调和级数：形如

11111???????? 234n称为等比级数。

正项级数：若数项级数的各项的符号都相同，则称为同号级数。对于同号级数，只须研究各项都是由正数组成的级数——称为正项级数。

交错级数:若级数的各项符号正负相间，即：

u1?u2?u3?u4?????1?n?1un???????un?0,n?1,2,3??

称为交错级数。

2

第一章 级数基本概念

一般项级数：没有以上特点的数项级数。

函数项级数：如果级数的每一项依赖于一个连续变量x，un?un?x?,x在一个区a?x?b上变化，这个级数就成为一个函数项级数，简称函数级数，记为?un。

n?1?幂级数：有幂级数列un?x?x0?所产生的函数项级数，即形如

?n??un?x?x0??u0?u1?x?x0??u2?x?x0????un?x?x0???

n?0?n2n的级数成为幂级数。

傅立叶级数：一般地说，若f?x?是以2?为周期且在???,??上可积的函数，以f?x?的傅立叶系数的三角级数

a0?f?x?????ancosnx?bnsinnx?

2n?1称为f?x?的傅立叶级数，其中

an?bn?f?x?cosnxdx,n?0,1,2,?, ????1?1???f?x?sinnxdx,n?1,2,3,?,

??称为傅立叶系数。

泰勒级数：设函数f?x?在点的某一邻域内具有直到n?1阶导数，则形如

?n?0?f?n??x?n?x?a? n!称为泰勒级数。

Laurent级数：如果函数f?x?在环形域R1?x?a?R2解析，则可以展开为

f?x??n????cn?x?a?

??n其中

f???1cn?d?????n?0,?1,?2,??

2?i?k???a?n?1

3

称为Laurent系数，K是环形域内包围a在其内部的任意简单封闭曲线。 称

f?x??n????cn?x?a?

??n是f?x?在环形域R1?x?a?R2的Laurent级数。

1.3 级数收敛发散的充要条件

一般收敛：级数的收敛问题是级数理论的基本问题。从级数的收敛概念可知，级数的敛散性是借助于其部分和数列sn的敛散性来定义的。因此可从数列收敛的柯西准则得出级数收敛的柯西准则（宋国柱，2004）：?un收敛等

n?1?价于任意给定正数?，必有自然数N，当n?N，对一切自然数p，有

un?1?un?2?un?3???un?p??

即充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小。

绝对收敛：设?an?是实数列，如果级数?an收敛，则级数?an收敛；

n?1n?1??条件收敛：如果级数?an收敛，但级数?an发散，则说级数?an条件

n?1n?1n?1???收敛；

一致收敛：设函数项级数?fn?z?在区域D中收敛于函数S?z?，若

n?1?????，??，使得当n?N时，Sn?z??S?z????f?z??S?z???对一切z?Dki?1n同时成立，则说?fn?z?在D一致收敛于S?z?。

n?1

4

第一章 级数基本概念

1.4 常见级数对应的收敛定理

1.4.1 常数项级数

1. 当limSn?S存在，则收敛；

n??2. Cauchy准则：级数?un收敛的充分和必要条件是????，??,使得

n?1?当n?N时，Sn?p?Sn?un?1?un?2???un?p??对一切自然数p成立。

3. 无穷级数：收敛的必要条件：若级数?un收敛，则limun?0

n?1n???1.4.2 正项级数

1. 正项级数?un收敛的充分条件是它的部分序列和有上界；

n?1?2. 比较判别法：设0?un?vn,?n?1,2,3??，则 (1)若?vn收敛，则?un也收敛；

n?1?n?1??? (2)若?vn发散，则?un也发散；

n?1n?13. 比值判别法：设?vn和?un是两个正项级数，且limn?1n?1????un?? x??vn (1)若0?l???，则级数?vn和?un 同时收敛或同时发散；

n?1n?1 (2)若l?0，级数?vn收敛，则?un也收敛；

n?1n?1?? (3)若l???，级数?vn发散，则?un也发散。

n?1n?1??5

4. Cauchy判别法（根值判别法）：设?un是正项级数，limnun??

n?1n??? (1)则当??1时，级数?un 收敛；

n?1? (2) 则当??1时，级数?un 发散；

n?1?? (3) 则当??1时，级数?un 可能收敛也可能发散。

n?11?an?q?1，则?un收5. 对数判别法：若对任意的N??，当n?N时有

lnnn?1ln1?an?1，则?un发散。 敛；若有

lnnn?1ln6. 积分判别法：设f?x?是?1,???上非负下降函数，则

???f?x?dx收敛。 ??un??f?n????1n?1n?1???1.4.3 交错级数

1. Leibniz判别法：设un?0，un?un?1(n?1,2?)且limun?0，则交错级数

n???(?1)n?1?n?1un收敛且余和的绝对值

rN??n?N?1??(?1)n?1?nun?un?1

2. Cauchy定理：若级数?vn和?un 都绝对收敛，其和分别为S和?，则

n?1它们的乘积

??un?1k?1?nkvn?1?k?u1v1??u1v2?u2v1?????u1vn?u2vn?1??unv1???6

第一章 级数基本概念

?。 也是绝对收敛，且和为S?1.4.4 函数项级数

1. Cauchy准则：函数项级数?fn?z?在D一致收敛于S?z?的充分且必要条

n?1?件是： ????，??，使得当n?N时，Sn?p?z??Sn?z??z?D及一切自然数P同时成立。

?f?z???对一切

n?kk?1?p2. weierstass判别法： 设在集合G上fn?z??an?n?1,2??，且?an收敛，

n?1则?fn?z?在G上一致收敛。

n?1?1.4.5 幂级数

1. Abel定理：若?cn(z?a)n在z1?z1?a?收敛，则当z?a?z1?a时，级

n?1?数?cn(z?a)绝对收敛，若?cn(z?a)n在z2处发散，则当z?a?z2?a时，级

nn?1?n?1??数?cn(z?a)n发散。

n?1(1)幂级数在其收敛圆是内闭一致收敛的。

?1cn?1(2)比值法：若lim??，则幂级数?cn(z?a)n的收敛半径R?，这里，

n??c?n?1n当??0时，R???，当????时，R?0。

(3)根值法：limncn??，则级数?cn(z?a)n的收敛半径R?n???1n?1?

7

1.4.6 傅立叶级数

1. 狄尼判别法：设f?x?连续或者至多有第一类间断点，记

s?f?x?0??f?x?0?

2??f?x?u??f?x?u??2s

若存在??0，使????u?u0du存在，则

a0????ancosnx?bnsinnx??s 2n?12. Lipschitz判别法 设f?x?在点x满足Lipa条件，即对充分小的u 有

f?x?u??f?x??Mu?（M,?为常数，0???1），则

a0?f?x?????ancosnx?bnsinnx?

2n?13. 狄里希莱-约当判别法 若f?x?在?x?h,x?h?上囿变，则在点x

f?x?0??f?x?0?a0? ???ancosnx?bnsinnx??2n?124. 弗耶定理 设f?x?是周期为2?的连续函数，Sn?x?为f?x?傅立叶级数的部分和，?n?x??于f?x?。

5. 威尔斯托拉斯逼近定理 设f?t??C?a,b?，周期为2?，则存在三角多项式列Tt?t?一致收敛于f?t?。

1?S0?x??S1?x????Sn?1?x??，则在???,???上?n?x?一致收敛n

8

第二章 级数敛散性判别法

第二章 级数敛散性判别法

2.1 判别级数发散的简单方法

（注：面对一道通项有规律的判定收敛性的题时，最初的想法应该从定义下手）

定义：如果级数?un 的部分和数列?Sn?有极限，则?un收敛，反之发散。

n?1n?1??例题l 判别级数?解：因为

1的散敛性。

nn?1?n?1??un?11? nn?1故级数的部分和

N11??1Sn???????n?1?n?1n?n?1?n?1?nN1??1??11??11??1???????1????????????????，

?2??23??34??NN?1?1??????1?N?1又因为

1??limSn?lim?1???1 n??n???n?1?所以，原级数收敛。

例题2 判别级数?解：因为

NN111?1?1?1??1???2??2,?N?? ?????2nnn?1n?1nN??n?1n?2?n?2???1的散敛性 2nn?1?? 所以级数?

1收敛。 2nn?1??9

例题3 判别级数?n?1??1是否收敛。 n解：因为

?n?1N11?N?N,?N?? nN所以级数?n?1??1发散。 n2.2 比较判别法

2.2.1 定理及其极限形式

为了考查一个正项级数的散敛性，常用另一个已知是收敛的或者已知是发散的正项级数来与之作比较（可见比较判别法只用于正项级数）。

在此先引入几个常用来做比较的级数：几何级数、调和级数、P级数。 等比级数：（几何级数）判别法：级数?uqn?u?uq?uq2???uqn??(u?0)n?0?叫做等比级数，下面讨论该级数的散敛性。 解：（1）如果q?1，则部分和

Sn?u?uq?uq???uq2n?1u?uqn? 1?q?u当q?1时，由于limqn?0，所以limSn?，因此级数?uqn 收敛，其

n??n??1?qn?0和为

u； 1?q??当q?1时，由于limqn??，所以limSn??，因此级数?uqn级数?uqn发

n??n??n?0n?0散。

（2）如果q?1，则有

10

第二章 级数敛散性判别法

当q?1时，Sn?nu，从而limSn??，所以级数?uqn发散；

n???n?0当q??1时，Sn?u?u?u?u??，所以有S2n?0，S2n?1?u从而limSn不存

n??在，所以级数?uqn发散；

n?0?由上可知:当q?1时，等比级数?uq收敛；而当q?1，等比级数?uqn发

nn?0n?0??散。

1111调和级数：级数1????????称为调和级数，试讨论该级数的散敛

234n性。

解：令f(x)?lnx，由拉格朗日中值定理可知，存在???N,N?1?。使得

ln?N?1??lnN?ln'?

(N?1)?N即

ln?N?1??lnN?1?1???(N为整数) N?所以有

N?1?时，ln2?ln1?11N?2?时，ln3?ln2?21N?3?时，ln4?ln3?,

3??????1N?n?时，ln2?ln1?n将上面所有式子的两端分别相加得

ln?n?1??1?111???? 23n111其中 1?????为调和级数的部分和Sn

23n因为

limSn?limln?n?1????n??n??11

1所以,调和级数?发散。.

n?1n?P级数：级数?1(p?0)称为P级数,试讨论该级数的散敛性. pn?1n?解:(1)当p?1时,这时级数的各项都不小于把调和级数的对应项,即

11? pnn1由前面可知调和级数?发散,由比较判别法可知该级数发散.

n?1n?(2)当p?1时,把P级数写成

1??1111??11??11?????????????pp??4pppp??8pp?2356715??????1??1111??11??1?1?????????????p??p??? pppppp2??4444??88??2111?1??2p?1?3p?1??2p?12??2??而1?12?p?1?122?p?1??123?p?1???是一个等比级数,且p?1,其公比q?12p?1?1,于是

级数?1p?1n?12收敛,由比较判别法可知,P级数收敛.

综上所述,当0?p?1时,P级数收敛;当p?1时,P级数发散. 在介绍几个常用来比较的级数后,接着介绍比较判别法 比较判别法定义 ：设?un和?vn是正项级数，则

n?1n?1??(1) 如果?vn收敛，并且存在c?0和n0??，使得un?cvn,?n?n0，那

n?1?么级数?un也收敛；

n?1?(2) 如果?vn发散，并且存在c?0和n0??，使得un?cvn,?n?n0，那么

n?1?12

第二章 级数敛散性判别法

级数?un也发散。

n?1? 证明：(1)对于?un??un??un??un?c?vn??un?c?vn，因

n?1n?1n?n0n?1n?n0n?1n?1Nn0?1Nn0?1Nn0?1N?N??N?为??vn?有上界，所以??un?也有上界。 ?n?1??n?1??1 (2)反证法：对于vn?un,?n?n0，如果级数?un收敛，那么根据上面的

cn?1??结论，级数?vn也应该收敛，但这与题设所矛盾。所以?un是发散级数。

n?1n?1例题1 设x??0,??，试判断级数?sinn?1?x的散敛性。 2n解：由题意得

sin?xx?,?n?2 n2n2?1x因为级数?收敛，所以级数?sin 也收敛。

22nn?1nn?1?例题2 试判断级数?n?11的散敛性。 4n?3解：容易知道

1111???,?n??， 4n?34n2n因为级数?n?1??11发散，所以级数?发散 n4n?3n?1??推论：设?un和?vn是正项级数，并且设极限limn?1n?1un??,(0?????)存vn在，则有：

(1)如果级数?vn收敛，????，那么级数?un也收敛，

n?1n?1??13

(2)如果级数?vn发散，??0，那么级数?un也发散。

n?1n?1??证明：（1）对于取定的??0，存在n0??，使得只要n?n0，就有也就是

un????，vnun??????vn,?n?n0

（2）对于取定的???0,??，存在n0??，使得只要n?n0，就有

un????，也就是 vnun??????vn,?n?n0

x??例题3 设x??0,??，试判断级数??1?cos?的散敛性。

n?n?1??解：容易知道

1?coslimn??xn?x2 12n2?1x??因为级数?收敛，所以级数??1?cos? 收敛。

2n?n?1nn?1??1例题4 试判断级数?ln(1?)的散敛性。

nn?1?解：容易知道

?1?lim??1???limln?N?1???? N??n?N??n?1??11因为级数?发散，所以级数?ln(1?)发散。

nn?1nn?1?N

14

第二章 级数敛散性判别法

2.2.2 比值判别法

运用比较判别法来解决级数散敛性问题是一种广泛应用的方法，但前提是需要找到一个能用来做比较的级数，要找到一个合适的级数并不容易，所以很多时候就要用到以下的比值判别法：

设有正项级数?un，如果limn?1??un?1??，则

n??un（1）当??1时，级数?un收敛；

n?1?（2）当??1时，级数?un发散；

n?1?（3）当??1时，级数?un可能收敛也可能发散。

n?1例题5 试判别级数?3ntann?1??4n的散敛性。

解：因为

limun?14n?1?3?1 ?limn??un???4n3n?tan4n?3n?1?tan?故根据比值判别法可知，原级数?3ntann?1?4n收敛。

例题6 试判别级数?解：因为

1的散敛性。 2n?11?n?11??n?1?u1?n2limn?1?lim?lim?1 n??un??n??2?2n?n21n1?n2215

?111?因此，比值判别法失效，但0?，而级数?是收敛的，可以根据比2221?nnn?1n较判别法可知，原级数?1也收敛。 21?nn?1?2.2.3 活用比较判别法

当所求级数的通项中出现关于n的有理式时，比较对象常常选择P级数或者调和级数。

例题7 试判别级数?解：因为

1的散敛性。

n?1n?n?1??11 ?2n?n?1?n?11又由于?收敛，则由比较判别法可知，级数?也收敛。

2n?1nn?1n?n?1??例题8 试判别级数?解：因为

n?1的散敛性。 42nn?1?n?1n?n2n1???， 2n42n42n4n3?1n?1又由于?收敛，则根据比较判别法可知，原级数?也收敛。

34n2nn?1n?1?例题9 试判别级数?解：因为

n?1的散敛性。

2n?12n?n?5?1nnn?1???

2222n2n2n?n?52n?n?5?1n?1又有级数?发散，根据比较判别法可知，原级数?也是发散的。

2?n?5n2nn?1n?1?16

第二章 级数敛散性判别法

例题10 试判别级数?2nsinn?1??3n的散敛性。

解：考虑到当x?0时，sinx?x，则

?2?sin?,2nsin?2n????? 3n3n3n3n?3?2?2?而????是公比q??1的收敛级数，故根据比较判别法可知，原级数

3n?1?3??n????n?2nsinn?1??3n收敛。

?n2?1例题11 试判别级数?ln的散敛性。

2nn?1解：由于

n2?11?1? ln?ln?1??2?2n2nn??而?1是收敛的级数，所以原级数收敛。 2n?1n?2.3 柯西判别法

柯西根式判别法（普通形式）设级数?un是正项级数，

n?1?(1)如果存在r?1和N??，使得nun?r,?n?N，那么级数?un收敛。

n?1?(2)如果对无穷个n有un?1，那么级数?un发散。

nn?1?柯西根式判别法（极限形式）设?un是正项级数。并设存在极限limnun?q，

n?1?则有

(1)如果q?1，那么级数?un收敛，

n?1?17

(2)如果q?1，那么级数?un发散。

n?1?证明：（1）对于取定的???0,1?q?，存在N??，使得nun?q???1,?n?N。 （2）对于取定的???0,q?1?，存在N??，使得nun?q???1,?n?N。

?n?例题1 判别级数???的散敛性。

n?1?2n?1?解：由于

n1?n?limnun?limn??lim??1 ?n??n??n??2n?12?2n?1?n?n?n?根据柯西判别法可知，级数???收敛。

2n?1?n?1?2n例题2 试判断级数?的散敛性。

lnn3n?1??n解：由于

2n22limun?lim?limlnn??2?1 n??n??3lnnn??3n30nn2n根据柯西判别法可知，级数?发散。

lnn3n?1?2.4达朗贝尔判别法

达朗贝尔判别法（普通形式） 设?un是严格的正项级数。

n?1??un?1?r,?n?n0，那么级数?un收敛。 (1)如果存在r?1和n0??使得unn?1?un?1?1,?n?n0，那么级数?un收敛。 (2)如果存在n0??使得unn?1?达朗贝尔判别法（极限形式） 设?un是严格的正项级数。并存在极限

n?118

第二章 级数敛散性判别法

limun?1?q则有

n??un?(1)如果q?1，那么级数?un收敛。

n?1?(2)如果q?1，那么级数?un发散。

n?1证明：(1)对于取定的???0,1?q?，存在n0??，使得只要n?n0，就有

un?1?q???1. un(2)对于取定的???0,q??1，存在n0??，使得只要n?n0，就有

un?1?q???1. un推论 设?un和?vn都是严格的正项级数。

n?1n?1??(1)如果级数?vn收敛，并且存在n0??，使得

n?1?unv?n,?n?n0，那么级un?1vn?1数?un 也收敛。

n?1?(2)如果级数?vn发散，并且存在n0??，使得

n?1?unv?n,?n?n0，那么级un?1vn?1数?un 也发散。

n?1?例题1 试判别级数?解：由于

n!的散敛性。 nn?1n?n??n?1?!un?1n!???1??1?n?lim?lim?/?lim?lim1/?1?????1 ????n?1?nn??un??n??n?1n???n??????n??en??n?1??由达朗贝尔定理可知，级数?n!收敛。nn?1n19

?广东石油化工学院本科毕业论文：级数敛散性总结

例题2 试判别级数?解：由于

5n的散敛性。 5n?1n?u?n?limn?1?lim5???5?1 n??un???n?1?n5n由达朗贝尔定理可知，级数?发散。

5n?1n?52.5 对数判别法

对数判别法（普通形式） 设?un是严格的正项级数。

n?1?1?un?p?1，则有级数?un收敛；若从某一项起，若从某一项起有

lnnn?1lnln1?un?1，则有级数?un发散。 lnnn?1对数判别法（极限形式） 设?un是严格的正项级数。

n?1?1??un?p，则当p?1时，级数?un收敛；当p?1时，级数?un发散；设lnnn?1n?1ln当p?1时，级数?un有可能收敛也有可能发散。

n?1?例题1 试判别级数

111??????的散敛性。 ln?2!?ln?3!?ln?n!?解：因为当n?2时，有nn?n!，所以

nlnn?lnn!

11?ln?n!?nlnn20

第二章 级数敛散性判别法

?11但由于?发散，因此级数?发散。

n?1nln?n?n?2ln?n!??1111例题2 试判别级数???????的散敛性。 33n33333333?3?3解：由题可知，un?因为

1??11???????lnn?c?n???,c为欧拉常数 2n??13111????2n

所以

un?1????3?但是

lnn?1?????3?1??1?1?????n??2?1??????? n???3?c?3n?1?1lnn??n?1?1nln3，ln3?1

则有级数??1ln3n?1n收敛，从而级数?un收敛。

n?1?1202!?20?3!?20?4!?20?例题3 试讨论级数1?????????????的散敛

2732?7?43?7?54?7?性。

解： 由题可知，级数的通项为

n?1n?1?!?20??un?n?1???????n?1,2,3?? ??234n?7?则有

un?1?n??20??????un??n?1???7?

120201??????????????1????n?n??7e?1??7?1????n?n21

由对数判别法可知，原级数发散。

2.6 积分判别法

柯西积分判别法：设函数f?x?在??1,???单调下降并且非负，则级数?f?n?n?1?与广义积分???1f?x?dx同为收敛或同为发散。

证明：依题意得，f?x?为?对于任意的正数A，f?x??1,???上的非负减函数，在??1,A?上可积，从而有f?n???mmmnn?1f?x?dx?f?n?1?,n?2,3?，依次相加可得

?f?n???f?x?dx??f?n?1???f?n?，若此积分收敛，则上式的左边，对于

n?21n?2n?2m?1任何的整数，有sm??f?n??f?1???f?x?dx?f?1???n?21??mm??1f?x?dx，于是级数

?f?n?收敛。反之，若级数?f?n?为收敛级数，则上式的右边，对于任意正整

n?1n?1数m?m?1?有?f?x?dx?sm?1??f?n??s，因为f?x?是非负减函数，故对任意

1n?1m?的正数A，都有0??f?x?dx?sn?s,n?A?n?1，根据上式得?1A??1 f?x?dx收敛。

同理可证级数?f?n?和积分?n?1???1f?x?dx是同时发散的。

例题1 试判别级数?解：将级数??1的散敛性。 3nn?1???11dx，由于 换成积分形式?133xn?1n?即???1??111dx??x32x2??1?1??1?11?lim?????0?? ???2p??22?2p??2??11dx收敛，根据积分判别法可知，?也收敛。33xn?1n22

第二章 级数敛散性判别法

1例题2 试判别级数?的散敛性

n?1n??11dx，由于 解：将级数?转化成积分的形式?1xnn?1???即???1??11dx?lnxx??1????0???，

?11dx发散，根据积分判别法可知，级数?发散。 xn?1n2.7拉贝判别法

拉贝判别法（普通形式）设?un是严格的正项级数。

n?1???un?（1）如果存在q?1和n0??，使得n??1??q,?n?n0，那么级数?unun?1?n?1?收敛。

??un?（2）如果存在n0??，使得n??1??1,?n?n0，那么级数?un发散。

n?1?un?1?证明：（1）由题可得

1

?pn?1n

?

unq?1?,?n?n0，取一实数p，满足1?p?q，则级un?1nvn?1np数收敛，另

p，则对于充分大的n有

?vn?1?pqun?1???1???1??O??1??，所以，级数?un也收敛。

2?vn?1?n?nnnu??n?1n?1（2）由题意得，

unun?11?11n?1??,?n?n0，因为级数?发散，所以级数

1nn?1nn?1?un?1?n也发散。

?拉贝判别法（极限形式）设?un是严格的正项级数，并且以下的极限存在，

n?123

?un?lim??1??q n??u?n?1?（1）如果q?1，那么级数?un收敛。

n?1??（2）如果q?1，那么级数?un发散。

n?1?1?3???????2n?1??，当r?1,2,3是的收敛性。 例题1：试讨论级数???2?4??????2n??n?1???r解：当s?1时，

?u?2n?1?n1?limn?1?n?1??limn?1??lim??1， ?n??n??n??un?2n?22?2n?2???1?3???????2n?1??容易根据拉贝判别法可知，级数???发散。

4???????2n??n?1?2??1当s?2时，

??2n?1?2?n?4n?3??un?1?limn?1??limn1??lim?1， ???n??????n??2n??un??2n?2????2n?2???1?3???????2n?1??发散。

容易根据拉贝判别法可知，级数???4???????2n??n?1?2??2当s?3时，

??2n?1?3?n?12n2?18n?7??un?1?3limn?1??limn1??lim??1， ???n??????n??3n??u2n?22???2n?2?n?????1?3???????2n?1??收敛。

容易根据拉贝判别法可知，级数???4???????2n??n?1?2??3从上面我们可以看出,有些比值判别法不能判别的可用拉贝判别法可以判别,但是用拉贝判别法也同样要受到比较因子的精确度的限制。

24

第二章 级数敛散性判别法

2.8高斯判别法

设?un是严格的正项级数，并设有

n?1?un???1??????o??， un?1nnlnn?nlnn?则有

(1)如果??1，那么级数?un收敛；如果??1，那么级数?un发散。

n?1n?1??(2)如果??1，??1，那么级数?un收敛；如果??1，??1，那么级数?unn?1n?1??发散。

(3)如果??1，??1，??1，那么级数?un收敛；如果??1，??1，??1，

n?1?那么级数?un发散。

n?1??推论：设?un是严格的正项级数，并设有

n?1un??1?????o??， un?1n?n2?则有

(1)如果??1，那么级数?un收敛；如果??1，那么级数?un发散。

n?1n?1??(2)如果??1，??1，那么级数?un收敛；如果??1，??1，那么级数?unn?1n?1??发散。

例题1 设x?2?0，试判别级数

11212n??????????? 2?x2?x3?x2?x3?xn?1?x的散敛性。

25

解：令un?12n??，则 2?x3?xn?1?xnun?un?1????????n?1,2,3?,u0?1?

n?1?x由此可得

?1?x?un?n??un?1?un??1?x?Sn??1?x??u1?u2?u3???un? ?????????????????u0?Sn??n?1?unxSn?1??n?1?un

但由于

?n?1?un?所以当x?0时，un?11 ????xxx1?1?1?23n?1111，级数发散；当?2?x?0是，显然有un?，故级n?1n?1数发散；当x?0时，有

?n?1?un?故?n?1?un?0?n???，所以

1xxx1?????23n?1

limSn?n??1 x11?例题2 设un?ln?ln?sinn?n?????，试讨论级数?un的散敛性。 ?n?1解：因为

un?ln1?11?1???ln???O???n??n5????n?3!n3?1??????ln11?1?1??O??3!n2??n4???11?1????????ln?1??O??n4??3!n2?11?1?????????O??3!n2??n4????????

??11故当??是，级数?un收敛；当??时，级数?un发散。

22n?1n?126

第三章 级数敛散性比较及应用

第三章 级数敛散性比较及应用

3.1 基于级数类型的方法总结

对于级数的敛散性判断，当一个级数是具体属于某一种级数，则可以考虑利用该种级数对应的收敛判别法来进行判别其散敛性。而常见的几种级数和对应的判别法如下表：

表1 判别总结表

级数类型 正项级数

散敛性判别法

比较判别法、根值判别法、比值判别法、 对数判别法、拉贝判别法、高斯判别法

任意项级数

柯西判别法、绝对收敛判别法、 Abel判别法 交错收敛判别法、Dirichlet判别法

函数项级数

M判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法、 狄尼判别法、一致收敛判别法

幂级数 傅立叶级数

Abel定理、比值法、根值法

狄尼判别法、Lipschitz判别法、弗耶定理 狄里希来-约当判别法、威尔斯托拉斯逼近定理

3.1.1 对常数项级数

若给出的级数是常数项级数，一般可以利用以下的流程来进行判断：

27

已给级数?un?1?n u??limun?0否？ 否 发散 是 是正项级数否？ 否 是 是否交错级数 否 是任意项级数 是 比值判别法可行？ 莱布尼茨判别法 任意项级数判别法 否 比较判别法的极限形式可行？ 是 否 比值判别法 是 否 其他方法 收敛或发散

图1 判别流程图

对于求级数的散敛性，首先要研究出其通项。但是当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比式或通项为含二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时，可以选用正项级数的充要条件进行判断。下面通过具体的例子说明：

例题1 试判别级数?分析：容易知道un?u??1的散敛性 2n?11?n?1 21?nu??(1)首先判断limun是否为0，因为1?n2?????，所以有limun?0 n??(2)然后判断是否为正项级数，由于1?n2?1，故原级数为为正项级数 (3)因为

28

第三章 级数敛散性比较及应用

11??n?1?un?11?n2lim?lim?lim?1 n??un??n??2?2n?n21n1?n22因此，比值判别法失效。

?111?(4)现在考虑比较判别法，由于0?，而级数?是收敛的，可以2221?nnn?1n根据比较判别法可知，原级数?1也收敛。 21?nn?1?3.1.2 对幂级数

若给出的级数是幂级数，一般可以利用以下的方法来进行判断： (1)首先要求出收敛域，利用式子??limn??1un?1求出收敛半径R?，从而确

?un定幂级数的收敛区间??R,R?，将x??R分别代入幂级数中，此时的幂级数就成为了常数项级数，然后就可以按照常数项的散敛性判别法判断其散敛性。

(2)很多时候可以通过一些幂级数的展开式间接的将一些函数展开成幂级数，具体如下：

x2xne?1?x????????????????,???

2!n!xx3x5x7x2n?1nsinx?x????????1?????????????,???

3!5!7!2?2n?1?x2x4x6nx2ncosx?1????????1?????????????,???

2!4!6!?2n?!x2x3nxn?1ln?x??x???????1????????????1,1?

23n?1?1?x?11?1?mx?m?m?1?x2?m?m?1??m?2?x33! 12n??????????????????m?m?1???m?n?1?x???????????1,1?n!m(3)将一个函数f?x?直接展开为x的幂级数的步骤如下：

29

A．求出f?x?的各阶导数，再求出函数及各阶导数在x?0处的函数值，若某阶导数不存在，就停止进行，此时函数f?x?不能展开为x的幂级数。

B．写出f?x?在x0?0处的泰勒级数，并求出其收敛域。

C．考查在其收敛域内是否有limRn?x??0，若极限为零，则第（1）中求

n??出的幂级数就是函数f?x?的展开式，若极限不为零。则幂级数虽然收敛，但它的和并不是所给的函数f?x?。

D．最后写出f?x?在x?0点的泰勒展开式。 例题2 将函数f?x??ex展开成x的幂级数。 解：①求出f?x?的各阶导数及其在x?0处的函数值：

f'?x??ex，f''?x??ex,?,f?n??x??ex

?n?f?0??1,f'?0??1,f''?0??1,?,f ②因此f?x?在x0?0处的泰勒级数为：

1?x??0??1

121x???xn?? 2!n!其收敛半径为R???，收敛区间为???,???。 ③对任意有限数x,??0???x?余项的绝对值

xe?Rx?x???xn?1?ex?

?n?1?!?n?1?!x由比较判别法知道?收敛，又有级数收敛的必要条件有

n?1!?n?1??n?1n?1limxn?1n???n?1?!?0

而ex相对于n是一个常数，则有

xxlimRn?x??lime??0 n??n???n?1?!n?130

第三章 级数敛散性比较及应用

④f?x??ex的泰勒级数为：

ex?1?x?121x???xn????????,??? 2!n!3.1.3 对于傅立叶级数

若是需要化为傅立叶级数，一般可以利用以下的方法来进行判断（韩志刚，2003）：

将周期函数f?x?在???,??上展开为傅立叶级数的步骤 (1)运用收敛定理判断f?x?是否满足收敛条件。 (2)若满足收敛定理条件，则求出傅立叶系数。 (3)写出傅立叶级数并注明在何处收敛于函数f?x?

例题3 设f?x?是周期为2?的周期函数，在???,??上的表达式为

?0???????????x?0 f?x????x????????0?x??将函数f?x?展开为傅立叶级数。

解：函数f?x?的图形如下，所给的函数在x??2k?1????k?Z?处不连续，而在其余点处都连续，满足收敛定理的条件。

f?x?? 3? 2? ? 0 ? 2? 3? x

图2 函数图像

31

当x??2k?1??????k?Z?时，傅立叶级数收敛于

??02??2

当x??2k?1??????k?Z?时，傅立叶级数收敛于f?x?。 下面计算傅立叶系数

a0?1?????f?x?dx?1???0xdx??2

an?1?????f?x?cosnxdx?1???0xcosnxdx1???????xd?sinnx?n??011????????xsinnx?0?n?n?1???????cosnx?0?n2???01sinnxdxn

?2???????n?1,3,5,??1??n2????????n?????1??1???20n???0???????????????n?2,4,6,?bn?1???f?x?sinnxdx?????1?0xsinnxdx1????????xd?cosnx?n??011??????????xcosnx?0?cosnxdx?0n?n?n?1?1??1?????????sinnx?0nnxn?1?1????????n于是，函数f?x?的傅立叶展开式为

?2?11?f?x????cosx?cos3x?con5x???4??3252??????????111????????????????sinx?sin2x?sin3x?sin4x?

234????????????????????????x???,x??2k?1?,k?Z??

32

第三章 级数敛散性比较及应用

3.2 基于通项特征的方法总结

按照上面所说的方法的确可以有效的使我们更快的判断级数的散敛性，但是对于通项一些有明显的一些特征的时候，可以采取下面的一些方法，以便更快的达到判断的效果。

(1)对于求级数的散敛性，首先要研究出其通项。但是当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比式或通项为含二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时，可以选用正项级数的充要条件进行判断。如（张筑生，2008）：

1?111?????? 23n取0??0?1，?n??，若令p?n，有 21111Sn?p?Sn????????0

n?1n?22n2所以级数发散。

(2)当级数一般项如含有sin?或con?等三角函数的因子可以进行适当的放缩，并与几何级数、P级数、调和级数进行比较limun?1、limnun不容易算出或n??n??un者limun?1?1等此类无法判断级数收敛性或进行有关级数的证明问题时，应选用

n??un?比较判别法。例（胡适耕、张显文，2008）：?n?1?na?1??a?1?、?n?1??1?lnn?lnn。

比较判别法使用的范围比较广泛，适用于大部分无法通过其它途径判别其敛散性的正项级数。

(3)当级数通项un含形如nx、an、n!的或分子、分母含多个因子连乘除时，

??n2n!2nn!选用比式判别法。例（孙清华、孙昊，2003）：?、?、?、

nnnn?13n?14n?1n??n2arctann?1??2n?1。

33

(4)当级数通项un含形如an、?f?n??的时候，可选用根式判别法。例如：

n?n??n?、??????n?1?2n?1?n?1?n?1??2n?n21??、??2nsin?。

n?n?1??n2一般来说，当选用根式判别法无法判断时，我们也可以选用比式判别法来判断，但有时候我们用根式判别法而不使用比式判别法，因为根式判别法得到的收敛条件比比式判别法更优（王传荣、朱玉灿、徐荣聪，2007）。

(5)当级数通项un含形如

11、的时候，或者含有sin?或con?等三角lnnf?lnn???11函数的因子可以找到原函数，可以选用积分判别法。例：?、?、2nlnnn?2n?2n?lnn?1。 ?n?3nlnnlnlnn?(6)当级数通项un含形如f?n?lnn的时候，可以选用对数判别法，例如?nlnn、

n?1??n?1?1?lnn?lnlnn。

(7)当级数通项同时含有阶层与n次幂或者分子、分母含多个因子连乘除时，使用比值、根式判别法时极限等于1或无穷无法判断其敛散性的时候，选用拉贝

??u?n!enn!1判别法。例：?、?????x?0?，limn?1?n?1???不

nn??un?2n?1nn?1?x?1??x?2???x?n????n?1?能用比值判别法；lim??n???n?limnun?n???1无法判别法散敛性不能用根式判别法，

enn!无法判别散敛性。因此，当根式判别法与比值判别法无法判断敛n散性时，我们可以选用拉贝判别法(叶国菊、赵妨,2009)。

(8)当级数通项是由两个部分乘积而成，其中一部分为单调递减且极限趋于0 的数列，另一部分为部分和有界的数列，如含有sin?或con?等三角函数、??1?等；或可化为??1?如??1?nnn?n?1?2 ???1?；也可以型如?sin?un?，un为任意函数，

n?1n?34

则可以选用狄利克雷判别法。阿贝尔判别法也可以看成是狄利克雷判别法的特殊形式。例设?bn收敛，则级数?n?1??n?1??bn?n3n?1?1?，，等bblnb1???nn?n??n?12nnnn?1??n?1n?1n都收敛。

(9)当级数通项同时含logn、f?logn?的时候，可以选择伯尔特昂判别法。如:

limn??nlogn?logkn???1?1n?1nlogn???1u?nlogn?logk?1n?n?1u???n?数收敛；??1，级数发散。

(10)当

unu的值可化为泰勒开式，则选用高斯判别法。如： n?1??1?xlnn?xn?1np??1?n?? 37

??1,级

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/62u6.html