第2章 - 矩阵及其运算（熊维玲版）

《 线性代数》教案 (熊维玲.第一版） 第二章 矩阵及其其运算 第二章 矩 阵

【教学章节】§2.1 矩阵的概念 §2.2 矩阵的运算 【教学内容】矩阵的概念,矩阵的运算. 【教学学时】2学时

【教学目的】1.理解矩阵的概念;

2.了解单位矩阵、对角矩阵、零矩阵、上(下)三角矩阵及矩阵相等的概念; 3.熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算及它们的运算规律; 4.理解方阵的幂、方阵的行列式及其性质.

【教学重点、难点】矩阵的运算 【教学方法、方式】课堂讲授 【教学过程】

§2.1 矩阵的概念

================================================================================

引例

?1，从i市到j市有一条单向航线例1 四城市间的单线航线通航图如右图所示,令 aij??

0；从i市到j市没有单向航线?则此航线图可用数表表示为

0 1 1 1 ① ② 1 0 0 1 1 0 0 0

③ ④ 0 0 1 0

例2 若n个变量x1,x2,?,xn与m个变量y1,y2,?,ym之间有变换关系

?y1?a11x1?a12x2???a1nxn??y2?a21x1?a22x2???a2nxn ?

???????y?ax?ax???axm11m22mnn?m称之为一个从n个变量x1,x2,?,xn与m个变量y1,y2,?,ym的线性变换,其中aij为常数,显然该线性变换的系数可构成一个数表A?(aij)m?n表示.

例3 线性方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1??a21x1?a22x2???a2nxn?b2 ???????????????ax?ax???ax?bn22nnnn?n11的解取决于未知量的系数aij及常数项bj.将它们按在原方程中的位置排列可得到一个数表:

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《 线性代数》教案 (熊维玲.第一版） 第二章 矩阵及其其运算 a11a21?am1a12a22?am2???a1na2n?ammb1b2?bm

称这一数表为矩阵,在数表两侧加上括号表示为

?a11?a?21????am1a12a22?am2???a1na2n?ammb1??b2? ???bm? 综上所述：所以例子中出现的数表，都是一些数按照一定的规律摆放在一起构成的一个数表阵列，统称矩阵。

一、矩阵的定义

定义1 由m?n个数aij排成的m行n列的数表

a111aa?1222????aa?n1n2

a2?

am1am2amn称为m行n列矩阵,简称m?n矩阵,记为

?a11?a21?A?????am1a12a22?am2????a1n??a2n?. ???amn?这m?n个数称为矩阵A的元素,也简称为元, 元素aij位于矩阵的第i行第j列, 称为矩阵A的(i,j)元, 矩阵A也记为Am?n或(aij)m?n.

注1 矩阵和行列式是不同的概念,具体体现在以下几个方面:

(1) 矩阵是一个数表,而行列式是一个实数;

(2) 矩阵的行数和列数通常不一样,而行列式的行数和列数总是一样; (3) 表示方法不一样,矩阵用??表示,而行列式用表示.

二、矩阵的有关概念

1、方阵：行数与列数相等的矩阵称为n阶方阵,常记为An.

2、行矩阵和列矩阵

行矩阵——只有一行的矩阵A?(a1a2?an),又称行向量,也记为A?(a1,a2,?,an).

?b1?b列矩阵——只有一列的矩阵B??2????bn??????,又称列向量,也记为B??b1b2?bn?T.

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《 线性代数》教案 (熊维玲.第一版） 第二章 矩阵及其其运算 3、同型矩阵 行数和列数均相等的两个矩阵称为同型矩阵. 4、矩阵的相等

若A、B为同型矩阵,且对应元素相等,即aij?bij(i?1,2,?,m；j?1,2,?,n),则称矩阵A与B相等,记作A = B. 5、零矩阵

元素均为零的矩阵称为零矩,记为O.要注意不同型的零矩阵是不相等的. 6、对角矩阵

主对角线上的元素分别为?1,?2,?,?n,其余元素为0的n阶方阵称为对角矩阵,记为

A?diag(?1,?2,?,?n).

7、单位矩阵

主对角线上的元素为1,其余元素为0的n阶方阵,记为En.

0??a11a12?a1n??a11???a22?a2n??0?a21a22?8、上三解阵： A?；下三角阵：A???????????????0??a0?ann???n1an2?9、实矩阵和复矩阵

实矩阵——元素均为实数的矩阵; 复矩阵——元素中有复数的矩阵.

§2 矩阵的运算

一、矩阵的加、减运算

定义2.2.1 设有两个m?n矩阵A?(aij),B?(bij),称矩阵

?a11?b11a?a21?b21a? ????am1?bm1am?b12?b22?2120??0? ???ann????aann22?2?bm?amn?b1n???b2n? ????bmn?2为矩阵A与B的和,记为A?B.

注1 同型阵之间才能进行加法运算.

注2 称矩阵?A?(?aij)为矩阵A的负矩阵,利用负矩阵的概念可定义矩阵的减法运算:

A?B?A?(?B).

注3 矩阵的加法运算满足以下运算律

① 交换律——A?B?B?A; ② 结合律——(A?B)?C?A?(B?C); ③ A?(?A)?O;A?O?A. O?A?A 二、矩阵的数乘运算

??a11??a21定义2.2.2 称矩阵??????am1?a12?a22??????a1n??a2n??am2?amn??为数?与矩阵A的乘积,记为?A或A?. ??? 信息与计算科学系 韦振中 第 3 页 2013-4-28

《 线性代数》教案 (熊维玲.第一版） 第二章 矩阵及其其运算 注 矩阵的数乘运算满足以下运算律 ① 结合律——(??)A?(?A)???(?A); ② 分配律——(???)A??A??A;?(A?B)??A??B.

三、矩阵的乘法运算

引例

设有两个线性变换

?y1?a11x1?a12x2?a13x3 (1) ?y?ax?ax?ax211222233?2?x1?b11t1?b12t2??x2?b21t1?b22t2 (2) ?x?b?b32t231t1?3要求从变量t1,t2到变量y1,y2的线性变换,只需将(2)代入(1):

?y1?(a11b11?a12b21?a13b31)t1?(a11b12?a12b22?a13b32)t2 (3) ??y2?(a21b11?a22b21?a23b31)t1?(a21b12?a22b22?a23b32)t2线性变换(3)是先作线性变换(2),再作线性变换(1)的结果,在线性变换中称线性变换(3)是线性变换(2)与线性变换(1)的乘积,从矩阵的角度分析看:线性变换(3)的矩阵C是由线性变换(1)的矩阵A与线性变换(2)的矩阵B按下面给出的运算规则得到:

cij?左矩阵的第i行元素与右矩阵的第j列对应元素乘积之和.即

?a11a??a21a1222?b11b1?2a?1?3?1a2b21??ab1?1a1b1bb??21?2?2a?2?b?2a2b213?b??ab2?1a11b3?2?31a1b?ab1?1a1b3312a2b?ab2?1a1b3312?12?. ?22222213233232将由这一运算规则而得到的矩阵C称为矩阵A与矩阵B的积.

================================================================================ 定义2.2.3 设是A一个m?s矩阵,B是一个s?n矩阵,记矩阵A与B的乘积为AB?C?(cij),其

s中C是一个m?n矩阵,cij?ai1b1j?ai2b2j???aisbsj??ak?1ikbkj(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n).

注1 两个矩阵可以进行乘法运算的条件是:左矩阵的列数=右矩阵的列数.

注2 设A是n阶方阵,则A的m次幂定义为

mAA??A. A?????m个A

注3 矩阵的乘法运算满足以下运算律

① 结合律 ——(AB)C?A(BC);?(AB)?(?A)B?A(?B). ② 分配律 ——A(B?C)?AB?AC;(B?C)A?BA?CA.

③ 乘单位阵不变 ——EmAm?n?Am?n;Am?nEn?Am?n. ④ 乘方的性质 ——AkAl?Ak?l;(Ak)l?Akl.

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《 线性代数》教案 (熊维玲.第一版） 第二章 矩阵及其其运算 ?1?例1 设A???1?0??1解 AB???1??0?34??02???121??,求AB. 130,B????31?1??5?14????121???034?0?12??7????5621?1????10130?2?6. ??31?1??????5?14?????21710???121???24??24?,B?????的乘积AB与BA. ?2?1???3?6?0?1例2 矩阵A?解 AB????24??24???16??????1?2???3?6??8?32??24???24??0,BA????????16???3?6??1?2??00??. 0?

注4 矩阵乘法不满足交换律,即一般而论情况下AB?BA.

注5 矩阵乘法允许有非零的零因子,即A,B?O,但BA?O.

例3 已知解 AB???24???14??10?A??,B?,C??????,求AB,AC?3?62?111??????.

?64??64?,AC??????9?69?6????.

注6 矩阵乘法不满足消去律,即AB

??1?例4 设????????1k?k????????AC,A?O,但B?C.

?2?????diag(?,?,?,?),证明

12n???n?????diag(?k,?k,?,?k)

12n??k??n???1k?1????????2k?证明 显然k?1时结论成立; 设?k?1?2k?1????,则 ??k?1??n? 信息与计算科学系 韦振中 第 5 页 2013-4-28

《 线性代数》教案 (熊维玲.第一版） 第二章 矩阵及其其运算 ??1k?1?kk?1??????????kk?2k?1????1????????k?1??n???2????????n???1k???????2k????? ?k??n??diag(?1,?2,?,?n).k??1k?k所以对一切自然数k,有????????2k?????diag(?k,?k,?,?k).

12n??k?n??例5．用矩阵乘法表示出线性变换的式子。

例6．线性方程组的表示方法。

四、矩阵的转置运算

定义2.2.4 把矩阵A的行换成同序号的列得到的新矩阵叫做A的转置矩阵,记为AT.

注 矩阵的转置运算满足以下运算律:

① (AT)T?A;

② (A?B)T?AT?BT; ③ (?A)T??AT; ④ (AB)T?BTAT.(证明略) 例5 A???2?103?1?1???,B??42??2?03720?1?T?3,求?AB?. ?1??720?1???03????171??1413?3?? 10?解法一 ??2AB???1?1?1????42???217??13 ?10??423??AB?T?0??14???3?解法二 ?AB?T?1?TT?BA?7???1?2??2??00???1????11??0??3?14???2????317??13 ?10??

定义2.2.5 若n阶方阵A满足AT?A,即aij?aji(i,j?1,2,?,n),则称A为对称矩阵;

若n阶方阵A满足AT??A,则称A为反对称矩阵.

?1?例如 A??2?8?2318??0??1为对称矩阵,A??2????8?5??20?18??1为反对称矩阵. ?0?? 信息与计算科学系 韦振中 第 6 页 2013-4-28

《 线性代数》教案 (熊维玲.第一版） 第二章 矩阵及其其运算 例6 设列矩阵X?(x1,x2,?,xn)T满足XTX?1,E为n阶单位阵,H?E?2XXT证明H是对称阵,且HHT?E.

证明 ?XTX?1

??TTTTTTTH?(E?2XX)?E?2(XX)?E?2XX?H

H为对称阵且

T2T2TTTTTHH?H?(E?2XX)?E?4XX?4(XX)(XX)?E?4XX?4XX?E.

例7 证明任一n阶矩阵A都可表示成对称阵与反对称阵之和.

证明 设B?A?AT,C?A?AT,则 BT??A?AT?CTT?A?A?. BT??A?ATT?T?A?A??CTT.

所以B为对称矩阵,C为反对称矩阵,且A?A?A2?A?A2?B2?C2.即任一n阶矩阵A都可表

示成对称阵与反对称阵之和.

五、方阵的行列式

定义2.2.6 由方阵A的元素按其在矩阵中的位置构成的行列式称为方阵A的行列式,记为A或detA.

注1方阵的行列式具有以下性质

① AT?A;

③ AB?A?B;(证明略) 注2 ?A??A

注3 只有两个同阶方阵相乘时,性质③才成立, 即一般情况下An?sBs?n?A?B. 注4 当A,B都是同型方阵时, 虽然一般情况下AB?BA, 但AB?A?B?B?A. 注5.推广:A1A2?Ak??A1?.?A2???Ak? 例8 已知A,B是两个四阶矩阵，且A?2,B??1，求解

?1?T4T4(AB)???(AB)2?2?41TAB ?161TA?B ?1614② ?A??nA;

④ An?An.

12(AB)T4.

(性质②) (性质④)

??44 (性质③) (性质①)

? ?

1161?A?B?

416?1

?2?(?1?)

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《 线性代数》教案 (熊维玲.第一版） 第二章 矩阵及其其运算 例9 由行列式A各元素的代数余子式Aij构成的矩阵

????A? ????a11?a?21????an1?A11A12?A1nA21A22?A2na1n??a2n????ann?????An1??An2???AA?AA?AE. 称为的伴随矩阵.试证:A???Ann?A11A12?A1nA21A22?A2n????An1??A??An20??????0??Ann???00A0000A00??0?. 0??A??证明 设A?(aij),则

a12a22?an2???????????即AA?AE;同理可证AA?AE.

【本节小结】 1、矩阵的定义

2、矩阵的有关概念 3、矩阵的运算

【课外练习】P65 ex1 ex2(2) (4) ex3

?3补充题:设A???5?2??7?，B??4???5??4??2?，C???33??1?1T2?，求ABC. 4?2? 信息与计算科学系 韦振中 第 8 页 2013-4-28

《 线性代数》教案 (熊维玲.第一版） 第二章 矩阵及其其运算 【教学章节】§2.3 逆矩阵 【教学内容】逆矩阵的定义,性质,可逆条件,逆矩阵的求法. 【教学学时】2学时

【教学目的】1.理解逆矩阵的定义、性质;

2.掌握矩阵可逆的判别法;

3.掌握利用伴随矩阵法求逆矩阵.

【教学重点、难点】逆矩阵的定义、性质;矩阵可逆的条件. 【教学方法、方式】课堂讲授 【教学过程】

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引入

实数的四则运算除加、减、乘之外还有除法,且可利用乘法定义除法:对任一非零的实数a,都存在唯一的实数a?1,满足aa?1?a?1a?1,称a?1为a的逆元,并定义b?a?b?a?1.

在矩阵理论中,已经定义了矩阵的加减法、乘法运算,且也有单位元的概念——单位阵,那么能不能模仿实数运算,给出矩阵的逆元概念?即对于任一矩阵A,有没有矩阵使得AB?BA?E?先看一个例子:

设有一个从n个变量到n个变量的线性变换

?y1?a11x1?a12x2???a1nxn??y2?a21x1?a22x2???a2nxn (1) ????????y?ax?ax???axn11n22nnn?n??其系数矩阵为一n阶方阵A,记X?????Y?AX

Ax1??y1??x2y2???, Y??????xn??ym???,则(1)式可用矩阵乘法表示为 ???A若A?0,由克莱姆法则知,xi?1(A1iy1?A2iy2???Aniyn).记bij?ji,即有

A?by???x1?b1y11122??by???x2?b2y11222 ????????x?by?by??n11n22?nb?nynb?nynb?nnyn12 (2)

(2)式表明,变量x1,x2,?,xn可用变量y1,y2,?,yn线性表示,且这个表示式是唯一的.称线性变换(2)是(1)的逆变换,记逆变换(2)的系数矩阵为B,则(2)可用矩阵乘法表示为X?BY. 我们知道线性变换与其系数矩阵构成一一对应.下面的关键是看线性变换(1)与它的逆变换(2)的系数矩阵之间有什么关系？

首先提醒一下:一组变量自身到自身的线性变换是恒等变换,它的系数矩阵是单位阵.

?Y?AX?A(BY)?(AB)Y

?AB?E X?BY?(BA)X BA?E

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又?? 信息与计算科学系 韦振中

《 线性代数》教案 (熊维玲.第一版） 第二章 矩阵及其其运算 ?AB?BA?E (B?1?A). A但应注意,得到这个等式是有限制条件的: ① A必须是方阵; ② A?0.

除去这一问题的实际背景,可抽象出逆矩阵的概念.

================================================================================ 1、逆矩阵的定义

定义1 设A为n阶方阵,若存在n阶方阵B,使得AB?BA?E,则称矩阵A是可逆的,并称矩阵B是矩阵A的逆矩阵.

注1 如果n阶方阵A可逆,则它的逆矩阵是唯一的.实际上,如果B,C都是A的逆矩阵,则有

AB?BA?E,AC?CA?E.

于是

B?BE?B(AC)?(BA)C?EC?C.

所以A的逆矩阵是唯一的.记A的逆阵为A?1. 注2 并不是每个方阵都是可逆的. 例如 矩阵

?10?A???是不可逆的.事实上,若A?00?可逆,可设A?1?ab????,则有 cd???10??ab??ab??10????????????0?1,矛盾.

cd0001?00???????故A不可逆.

2、逆矩阵的运算性质

① 如果A是可逆矩阵,则A?1也可逆且(A?1)?1?A.

② 如果A是可逆矩阵,??0,则?A也可逆且(?A)?1?1A?1.

?③ 如果A,B为同阶可逆矩阵,则AB也可逆且(AB)?1?B?1A?1. ④ 如果A是可逆矩阵,则Am也可逆且(Am)1?(A?1). ⑤ 如果A是可逆矩阵,则AT也可逆,且(AT)?1?(A?1)T.

1⑥ 如果A是可逆矩阵,则有A?1?.

A?m例1设矩阵A,B及A?B均可逆，证明A?1?B?1也可逆，并求其逆矩阵. 证明 ?A?1(A?B)B?1?B?1?A?1?A?1?B?1

又?A,B及A?B均可逆 ?A?1,B?1可逆

?A?1(A?B)B?1可逆

?A?1?B?1?1?1?1??B(A?B)A. A(A?B)B可逆，且?A?1?B?1??????1?13、可逆的条件

定理 n 阶方阵A可逆的充要条件是A?0,且可逆时A?1?1?A. A?1证明 必要性 若A可逆,则AA?1?E,于是AA?E?1,所以A?0.

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《 线性代数》教案 (熊维玲.第一版） 第二章 矩阵及其其运算 充分性 若A?0,由AA??A?A?AE知A???1??A???A???1??1??1A?A?E,故A?A. ??A?A??A注3 定理不仅解决了逆矩阵的存在性问题,而且给出了一个求逆阵的方法:A?1?1A?. 推论 若存在B,使得AB?E(或BA?E),则A可逆,且B?A?1.

证明 由条件可得 AB?E?1?A?0,由定理知A可逆,且有

B?EB?(A?1A)B?A?1(AB)?A?1E?A?1, 同理可证BA?E的情形.

注4 推论实际上是定义1的简化形式,以后验证可逆时,只需验证满足推论的条件:AB?E或BA?E.

注5 可逆的等价条件

A可逆 ? 存在B,使得AB?BA?E

? 存在B,使得AB?E(或BA?E) ? A ? 0

? A是非奇异阵

例2 设方阵A满足A2?A?2E?O,证明A可逆,并求A?1. 证明 ?A2?A?2E

?1A(A?E)?E2

1(A?E). 2??1?1????????A可逆,且A?1???1???例3 证明对角阵?????(?1?2??n?0)的逆矩阵??1??n?????1?由于?????2?1???????1?n??.

证明

?2????1?????????n????1?2?1?????E???1?n??,所以??1??1?1????????2?1???????1?n??.

4、逆阵的求法举例

?ab?A?例4 求矩阵??的逆阵(ad?bc?0).

cd??解 A?1?d?b?1?1?A??. Aad?bc??ca???10??31?B?,????2?1???11?注6 例3和例4可作为公式用,如A????1?1A?????20?1?1?1??1B??,?. 4?1?13??,则A,B可逆,且

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《 线性代数》教案 (熊维玲.第一版） 第二章 矩阵及其其运算 ?1?例5 求A??2?3?122422433??1的逆矩阵. ?3??解?A?23??1?2?0 3A可逆. A11?2413?2,A12??2313??3,A13?2324?2

同理A21?6,A22??6,A23?2,A31??4,32?5,A33??2,

??2??A??3??2?A?16?62?4??5, ??2??6?62?4??1??5??32????2???1?1???,C??23???313??0?1????21?1??A??3A2??2?2243??B??21,???53??3?31?2??52 ??1??例6 设

?1?A?2??3?,求矩阵X满足AXB?C.

解 ∵ A?2?0,B?1?0,

∴ A,B可逆

? AXB?C

?1?1?1?1?1?1?1?1? 用A左乘上式,B右乘上式,有AAXBB?ACB,即X?ACB

?1?A?1?3????2?1?3?3?1?1?3????2?1??2???35?,B?1??2???51??3?3?1?1?1?? 2??X?ACB?1?1?2???15??22???3?1???13???30???5?1????2?1????102???10?1??4?4??.

注7 如果矩阵A,B可逆,则矩阵方程AX?C,XB?C,AXB?C有解,且它们的解分别为

X?AC,X?CB?1?1,X?ACB.

?1?例7设A??0?1?0201??0,且AB?E?A2?B,求B. ?1??解 由AB?E?A2?B得(A?E)B?A2?E.

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《 线性代数》教案 (熊维玲.第一版） 第二章 矩阵及其其运算 ?0 由于A?E??0??1??12?10101??0.于是A?E??1?0.故A?E可逆.所以 ?0??B?(A?E)(A?E)?(A?E)(A?E)(A?E)?A?E?2??0??1?030?1?1

1??0?2??2??1,????4??0?1例8 设P?? ??0??,AP?P?2?,求An

解 ?AP?P?

A?P?PP?2,P?1????0,A2?(P?P?1)(P?P?1)?P?(P?1P)?P?1?P?2P?1,…,An?P?nP?1

?1?4?2??1?2?? 1?0??1n??,…,?2?2??00?n?2??10??12??,??2??0

n2?1?? n?12?1??1?A???1n2??1??4??00?1?4?n?2?2??1?2??2?2n???1??2?2n?15、矩阵多项式

定义2 设f(x)?a0?a1x?a2x2???amxm为x的m次多项式,A为n阶矩阵,记

f(A)?a0E?a1A?a2A???amA2m

称f(A)为方阵A的m次多项式.

定理 设f(A)?a0E?a1A?a2A2???amAm

??1?(1) 如果A???????????diag(?,?,?,?),则

12n???n??f(?1)??????f(?2)???? ??f(?n)??2?f(?)?a0E?a1??a2????am?2m(2) 如果A?P?P?1,则f(A)?Pf(?)P?1 证明

(1) ??k?diag(?1k,?2k,?,?nk)

?f(?)?a0E?a1??a2?2???am?m

di(a?g1,??,,? ?a0E?a12n?)2adi?(a1g?,?,2222n?,??)?mad?i(ag??,21mmmn, ?,) ?diag(f(?1),f(?2),?,f(?n))

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《 线性代数》教案 (熊维玲.第一版） 第二章 矩阵及其其运算 (2) ??A?P?P2?1

?1?1?1?1A?(P?P)(P?P)?P?(PP)?P?P?P2?1,…,An?P?nP?1

m?1?f(A)?a0E?a1A?aA???amA2?a0PP?12m1

?a1P?P?1?aP?P222????amP?Pm?1

?P(a0E?a1??a2????am?)P?Pf(?)P?1【本节小结】

1、逆矩阵的定义

2、逆矩阵的运算性质 3、可逆的条件

4、求逆矩阵的伴随矩阵法 5、矩阵多项式 【课外练习】

P54-11(3),12(2),P55-15,16

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《 线性代数》教案 (熊维玲.第一版） 第二章 矩阵及其其运算 【教学章节】§2.4矩阵的分块 【教学内容】分块矩阵的概念, 分块矩阵的运算. 【教学学时】2学时

【教学目的】了解矩阵分块的概念和运算 【教学重点、难点】分块矩阵的运算 【教学方法、方式】课堂讲授 【教学过程】

一、分块矩阵的概念

定义1 将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块,每一小块称为矩阵的子块(或子阵),以子块为元素形成的矩阵称为分块矩阵.

?a11?例如 A??a21?a?31?a11?A??a21?a?31a12a22a32a12a22a32a13a23a33a13a23a33a14???A11a24????A21?a34?a14???Aa24??11??A21a34??A12??A22?

A12A22A13?? A23?并也可称Aij为矩阵A的(i,j)块.

注1 矩阵的分块方式不是唯一的. 二、分块矩阵的运算 1、线性运算

设矩阵A,B为同型阵,且分块方式相同,?,?为数,则

?A??B???Aij??Bij?,

即对应子块作相应的线性运算. 2、乘法运算

设A为m?l矩阵,B为l?n矩阵,并分块成

?A11?A????A?s1???A1t??B11???, B??????BAst??t1???B1r??? ?Btr??其中A每行子块的列数等于B每列子块的行数,则

?C11?? AB?????C?s1?Cr1????t????AikBkj? ??k?1?Csr??注2 分块矩阵可进行乘法运算要求满足两个条件:

① A的列数 = B的行数; ② A第i行子块的列数 =B第i列子块的行数. 例如 对矩阵A,B有以下两种分块方法:

?1?(1) A??4?3?22?1?3520???A11?3????A21?5??3?A12?0?,B???2A22???4367228339??B7???11?6??B21?3?B12?? B22? 信息与计算科学系 韦振中 第 15 页 2013-4-28

《 线性代数》教案 (熊维玲.第一版） 第二章 矩阵及其其运算 (2)

?1?A??4?3?22?1?3520???A11?3????A215???3?0A12???,B??2A22???4?367228339??7???B116???B21?3??B12??B22?

可以验证,在第一种分块方法下,分块矩阵

?A11A???A21A12??B11,B???A22??B21B12?? B22?可进行乘法运算,而在第二种分块方法下则不行.

实际上,两个矩阵A,B在分块后可进行乘法运算除了要求矩阵A的列数等于矩阵B的行数外;要保证A第i行子块的列数 =B第i列子块的行数,在进行分块时应做到对矩阵A列的分块方式应与对矩阵B行的分块方式一致. 3、转置运算

?A11?设A????A?s1????A11A1t???T?,则A?????ATAst???s10??1??0?1?,B???10???1???1020?1T???1042TA1t????. TAst??00?1?010例1 设A????121?10?1解 对A,B作如下分块

?1?0A????1??1012100100??1?,求AB. 1??0?020?110420??B1???11?1??B21?0?0??E0???2?0??A21?1??1?O??1?,B???1E2????1E2??,则 B22??E2AB???A21? A21B11?B21O??B11??E2??B21??1???1E2??B11???B22??A21B11?B210??1???2???11??3???0??3??

A21?B22?4?? 1?E22??1??1???12??4???1??20???2????1???1??1A21?B22???13?? 1??1??1?AB????2???1024110330??1?. 3??1?三、分块对角阵及其性质 1、分块对角阵的定义

?A1?定义2 设A为n阶方阵,若A可分块为A???O??O???,称A为分块对角阵. As?? 信息与计算科学系 韦振中 第 16 页 2013-4-28

《 线性代数》教案 (熊维玲.第一版） 第二章 矩阵及其其运算 2、分块对角阵的性质 (1)

?A1?mA???O?mO??; ??mAs??(2) A?A1?A2?As; (3) A可逆?

?A1?A1,?,As可逆,且A?1???O??1?O????1As??.

(4) 如果Ai的列数 等于Bi的行数,则

?A1?0?????00A2?0????0??0????As??B1?0?????00B2?0????0??A1B1??00?????????Bs??00A2B2?0??????0? ???AsBs?0?5?例2 设A??0?0?0320??1,求A?1. ?1??O??A2?解

?5?A?0??0?0120???A13????O1???31?,其中A1?(5),A2???

21????1?1??1??1?1A1???,A2??? 5????23?A?1??1/5??0??0?01?20???1. ?3??【本节小结】

1、分块矩阵的概念 2、分块矩阵的运算

(1)线性运算 (2)乘法运算 (3)转置运算 【课外练习】

P55-26,P56-28,30(1)

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