结构动力学习题2

结构动力学习题

参考答案

1

2.3一根刚梁AB，用力在弹簧BC上去激励它，其C点的运动规定为Z（t）,如图P2.3. 按B点的垂直运动u来确定系统的运动方程，假定运动是微小的。 解：以在重力作用下的平衡位置作为基准点，则方程建立时不考虑重力。根据

达朗贝尔原理，通过对A点取矩建立平衡方程，刚体上作用有弹簧弹力fs1，

以及阻尼力fD，惯性力M2。B点的垂直位移是u，则有几何关系知L/2fs2，

处的位移为u/2。 根据位移图和受力图可得：

MI?fs1?LL?fD??fs2?L?022 其中

..12u1MI?mL?mLu3L3u1f?R??k2u2 s1 22fs2?k2(z?u)..1.fD?cu21式得： 代入○

...111MLu?cLu?k1Lu?k2(z?u)L?0 344 合并化简得：

4Mu?3cu?(3k1?12k2)u?12k2Z(t)

...2.5 系统如图P2.5 , 确定按下形式的运动方程：mu?cu?ku?Pu(t)。其中u为

E点的垂直运动。假定薄刚杆AE的质量为M,其转动很小。

...1

解：根据牛顿定律，运动几何关系，对B点取矩得

p0f(t)?L5uLuL?1L?u ?L?c??k????mL2?m()2??483434?124?3L4...化简合并得：

45POf(t)L845令7M?m,3c?C,3k?K.,POf(t)L?Pu(t)得

87Mu?3cu?3ku?...mu?cu?ku?Pu(t)...2.13 一根均匀杆，图P2.13 其单位体积质量密度?，并具有顶部质量M，应

用假定法??x)?xL来推导该系统轴向自由振动的运动方程。假定AE?常数。 解：

u(x,t)??(x)u(t)?xu(t) L 由虚功原理，有：

?W非保守??V??W惯?0 ①

其中非保守力为端部集中力P(t)，惯性力包括顶部质量M和均匀杆的所受的惯性力，计算如下：

2

?W非保守?P（t)?u(L,t)?P(t)?u?V??EAu'?u'dx??EA?OOL....LLu1EAu??udx??uLLLL......x..x1?W惯???A?u?udx?Mu(L,t)?u(L,t)???A?u??udx?Mu?u??A?Lu?u?Mu?uOOLL3 把上式代入①式，化简合并得：

..EA?1?（?AL?M)u?u?P(t)?u?0 ??3L?? 因为?u可取任意值，所以得运动方程：

..1EA(?AL?M)u?u?P(t) 3L2.14 应用?(x)?sin(?x/2L)重做习题2.13

解：u(x,t)??(x)u(t)?sin由习题2.13可得

?x2Lu(t)

?W非保守?P(t)??u(L,t)?p(t)?u?V??EAu'?u'dx??EA(OOEAu?u8L..........LL?x..?x1?W慢???A?u?udx?Mu?u(L,t)???A?sinuxsin?udx?Mu??(A?u?Mu)?uOo2L2L22Lx?cos2LLL??x)u?udx?2?2 合并化简得：

..LA???EA(?M)u?u?P(t) 28L2.17一均匀悬臂梁作用有一水平力N和一与时俱变的横向分布荷载p(x,t)，如

图P2.17.?(x,t)采用一简单多项式来推导悬臂梁横向振动的运动方程。

3

解：设u(x,t)??(x)u?t?，由虚功原理得

?W非保守??V??W惯性力?0 ①

其中非保守力包括三角形均布力，轴向压力N，以及阻尼力；惯性力为均匀梁所受的惯性力，计算如下：

.LP0?W非保守??xf(t)?u(x,t)dx??Nu'?u'dx?c0u(L/2,t)?u(L/2,t)0L0 ..LP0LL??xf(t)?(x)?udx??N[?(x)']2u?udx?c0?2()u?u0L02L ?V??EIu\?u\dx??EI[?\(x)]2u?udx

00LL ?W惯性力??mu?u(x,t)dx??m?2(x)?udx

00L?..L?x2x2为了简化计算，假设多项式?(x)?2, 则u(x,t)?2u(t)，代入以上各式

LL得

.p0L41?W非保守?f(t)?u?Nu?u?c0u?u43L164EI ?V?3u?uLmL..?W惯性力?u?u5代入①式，合并化简得

?4

因为忽略阻尼，所以 又

?2m?2m?2??2??k?2，

kwn?2 代入数据，得

2000?386?(48?)2k??19617.028(1b/in)6

4.17 在振动的结构上一个点，已知其运动为???1cos(?1t)??2cos(?2t)=

0.05cos (60?t)?0.02cos(120?t)。

（a）用一加速度计其阻尼因数??0.70和20KHz共振频率来确定振动记录

wp(t)。

(b) 加速度计是否会引起有效幅值或相位畸变？

解：（a）振动记录wp(t)可以看作由两部分组成。一部分由???1cos(?1t)激励引起，一部分由???2cos(?2t)激励引起。总的振动记录

wp(t)由这两部wp1(t)和wp2(t)叠加而成。

首先计算wp1(t)

2 wp1(t)??1?1??11?Dcos[?(t?)] s112?1wn 其中 ?1??160??3 ??1.5?1023wn20?10?2?10

Ds1?1 2221/2[(1??1)?(2??1)]{[1?(1.5?10?3)2]2?(2?0.7?1.5?10?3)2} ?0.999999955?1?112

?1?arctan

2??11??122?0.7?1.5?10?3?arctan ?321?(1.5?10)?0.0021(rad/s) 则wp1(t)可以表示为 wp1(t)=C1A1cos?1(t??1)

Ds11?11??6.339?102wn(20?103?2?)2C1?2?0.05?(60?)2?1774.728 其中 A1?Z1?1?0.0021?1?1??1.1146?10?5?160?

所以 wp1(t)=6.339?10?11A1cos60?(t?1.1146?10?5) 计算wp2(t)

wp2(t)??2?22? 其中 ?2??21?Dcos[?(t?)] s222?2wn?2120??3 ??3.0?1023wn20?10?2?11

Ds2?1 2221/2[(1??2)?(2??2)]{[1?(3.0?10?3)2]2?(2?0.7?3.0?10?3)2} ?0.999999982?1?112

?2?arctan

2??221??22?0.7?3.0?10?3?arctan ?321?(3.0?10)?0.0042(rad/s) 则wp2(t)可以表示为 wp2(t)=C2A2cos?2(t??2)

Ds21?11??6.339?102wn(20?103?2?)2C2?2?0.02?(120?)2?2839.5648 其中 A2?Z1?1?0.0021?2?2??1.1146?10?5?260? 所以 wp2(t)=6.339?10?11A2cos120?(t?1.1146?10?5)

所以

wp(t)=wp1(t)+wp2(t)

?6.339?10?11A1cos60?(t?1.1145?10?5)?6.339?10?11A2?cos120?(t?1.1146?10)?5

（b）由相位畸变和幅值畸变的定义，由第一步的计算可知

C1?C2?6.339?10?11?C?1??2?1.1146?10??12

?5

所以

wp(t)=C[A1cos?1(t??)?A2cos?2(t??)]

A1,A2分别表示Z1,Z2的加速度幅值，所以输出wp(t)与加速度输入成正比，所以不会发生幅值畸变或相位畸变。

5.2 运送一件仪器设备重40 1b，是用泡沫包装在一容器内。该容器的有效刚度

k=100 1b/in，有效阻尼因数??0.05，若整个容器和它的包装以垂直速度V=150 in/s碰撞在地面上，求泡沫包装在仪器设备的最大总应力。（如图P5.2所示）

解： 由有阻尼SDOF系统脉冲响应函数得仪器设备的振动位移函数为

V??wntu?esinwdt

wd其中wn?

k?m100?31.067(rad/s)

40/386

wd?wn1??2?31.067?1?0.052?31(rad/s)

.. 方法① 直接求加速度w的最大值

wd Vwd?wn,近似计算用wn代替wd，并令w?u? 对w求三次导得

2??wntw?wne[(?2?1)sinwnt?2?coswnt].. ...

3??wntw?wne[(??3?3?)sinwnt?(1?3?2)coswnt]..... 为了求得w的极值，令w?0得

13

(??3?3?)sinwdt?(1?3?2)coswdt?0 解得

..1?3?2 wnt?arctan，代入w的表达式得 33???

2wmax??wn1??2e..1?3?2??arctan3???3

umax?wmax?V/wd.... 代入数据得

.3353(in/s2) umax?4351.. 所以泡沫包装作用在仪器设备上的最大总力 Fmax?mumax?40/386?4351.3353?450.92(1b) 方法② 由f?kw?cw，求极值得到总力的最大值

...c?2m?wn?2?(40?386)?0.05?31.067?0.322 f?kw?cw.

?k?V??wntVesinwdt?c?(e??wntsinwdt)'wdwd 因为f的表达式中含有很多的参数，用符号表达式计算求导

过程会使计算复杂化，故求导时直接代入数据计算。

代入数据，计算得

f?e?1.55t(483.45sin31t?48.3cos31t) 对f求一次导得

f'?e?1.55t(?2243.55sin31t?14750.08cos31t)

14

令f'?0得

?2243.55sin31t?14750.08cos31t?0 14750.0831t?arctan?1.422243.55 把31t?1.42代入f得表达式计算得

fmax?e?1.55?(1.42/31)?(483.45sin1.42?48.3cos1.42)?451.739(1b)

考虑到数据误差，方法①与方法②所得的结果一致。 6.5 例题4.3中的车辆，已知k?400?103,m?1200当满载时以kg,??0.4。100km/h速度通过一半正弦曲线形的凸起路面，凸起长度为2m，如图P6.5

所示。

（1）计算质量在t?0,t?td和t?td时的力。 2（2）确定被弹簧支承的质量m所受的最大力，并与（1）比较。 解：分析：质量m所受的最大力与其绝对加速度成正比，要求得绝对加速

度的最大值就可以先求出质量m相对运动的运动方程w的表达

式，然后再求w?z的极值即可。其中w的表达式可以用SDOF系统在简谐激励下的公式计算，也可以用杜哈梅积分计算。

汽车自振频率wn和wd和周期Tn的计算如下：

k?m400?103?18.3(rad/s),1200....wn?wd?1??2wn?1?0.42?18.3?16.8(rad/s)Tn?2??0.343(s)wn路面凸起作用的激励力频率?和作用时间作用td计算如下100000?6.28?43.6(rad/s)4?36002td??0.072(s)100/3.6??15

方法① 通过求解运动为运动微分方程求解w的表达式 车辆的振动方程为

①当0?t?td时，车辆为正弦型荷载作用下的强迫振动，运动方程如下：

mw?cw?kw?mz?2sin??t??228115.2sin43.6t

...初始条件

w(0)?w(0)?0

.②当t?td时，车辆为有阻尼的自由振动，运动方程如下：

...mw?cw?kw?0

初始条件

w?w(td)w?w(td)

..求解运动方程，得w的表达式： 解①得

w?Usin(43.6t??)?e??wnt(Acoswdt?Bsinwdt) 其中

U?U0Ds?p0?k1?1???22?(2??)2p0mz?2?2又??z?2?z?r2kkw?k?m?2?0??2?1??????arctan?2?????2?2.7546??

16

代入初始条件计算得 A=0.0424 , B=0.2886 所以

w?0.1124sin(43.6t?2.7546)?e?7..32t(0.0424cos16.8t?0.2886sin16.8t)w?4.9006sin(43.6t?2.7546)?e?7..32t(4.5398cos16.8t?2.8256sin16.8t)w??213.6679sin(43.6t?2.7546)?e?7..32t(?80.7014cos16.8t?55.5851sin16.8t)则绝对加速度的表达式为：u?w?z??213.6679sin(43.6t?2.7546)?e?7..32t(?80.7014cos16.8t?55.5851sin16.8t)?190.1sin(43.6t)把t?td?0.072(s)代入上式求得

..........w(td)?0.2104w(td)?3.9293，代入自由振动解公式得

在自由振动阶段的振动方程（z?0）：

u?w??e?7..32(t?0.072)(0.2014cos16.8(t?0.072)?0.3256sin16.8(t?0.072))对w求两次导得(本题的求导过程都是通过matlab求解的)

u?e?7..32(t?0.072)(128.19cos16.8(t?0.072)?22.70sin16.8(t?0.072))

...... 由于w的表达式很复杂，要求得两个时间段下u的最大值，可以通过

Matlab作出两个时间段下u的图形，进而得到u的最大值。通过作图

(s)时，u取到负的最大，最大值umax?129.1(m/s2)；知当t?0.0685........u??67.4(m/s2)；t?0.072(s)时， u=?128.2(m/s)；t?0.036(s)时，

2..2....u??6.2(m/s)。 t?0时， 用matlab绘制加速度随时间变化的曲线如下：

17

所以，

被弹簧支承的质量m受到的最大力Fmax为

.. Fmax?mwmax?1200?129.1?154.92KN 方法② 通过杜哈梅积分求解w的表达式

① 当0?t?td时，车辆为正弦型荷载作用下的强迫振动，w的表达

式由杜哈梅积分（强迫振动部分）和自由振动两部分表达式组成

?1w???mwd?.?t??wn(t??)??wnt?P(?)esinw(t??)d??wecoswdt?d0??0?.

?w0??wnw0??wntesinwdtwd 其中P(?)?mz?2sin??t??228115.2sin43.6t

18

w(0)?w(0)?0

. 对上式积分可得（用matlab计算）

w?11.3152*?sin(43.6?)*e?7.32(t??)*sin16.8(t??)d?0tw??0.1124sin(43.6t?0.3859)?e?7..32t(0.0427cos16.8t?0.2888sin16.8t)?0.1124sin(43.6t?2.7546)?e?7..32t(0.0427cos16.8t?0.2888sin16.8t)与解微分方程的结果比较可知，忽略数据误差，二者的结果可以认为一致，与理论相符。

② 当t?td时，车辆为有阻尼的自由振动，此时w表达式得求法与

方法①相同。

当用杜哈梅积分求得w的表达式以后，其余的计算步骤同方法①，

二者所得结果相同

9.5 一均匀薄刚杆BC的质量m，长度L附在一根均匀柔性梁AB上，设侧向位移

很小，用哈密顿原理推导柔性梁AB的运动方程和边界条件。

t2t2

解： 哈密顿原理可以表示为???T?V?dt???Wncdt?0

t1t1 对于薄壁长梁的横向振动可以忽略梁的剪切变形和转动惯量， 则对整

体有

12L?.?1?.?1?.? 动能 T???A?u?dx?m?uB??I??B?

202??2????212L' 势能 V??EI?dx

20222??19

外力功 Wnc?0 求变分

?V??EI?'??'dx02L?EI???'2L0??EI???dx02L\

因为在x?0处???0，所以 ?V?EI???'x?2L??EI?\??dx

0..2L.12.?T???Au?udx?muB?uB?mL?B??B03 ......2L1???Au?udx?mu(2L,t)?u(2L,t)?mL2?(2L,t)??(2L,t)032L..?t2t1t2?Vdt??[EI?'??t1t2x?2L.??EI?\??dx]dt0..2L?t1?Tdt??[?t12L0t22L0.12.?Au?udx?mu(2L,t)?u(2L,t)?mL?(2L,t)??(2L,t)]dt3..t2t1??[?Au?u???Au?udt]dx?mu(2L,t)?u(2L,t)t1tt2...t2t1??m?u(2L,t)u(2L,t)dtt1t2..2..t2112.2?mL?(2L,t)??(2L,t)??mL?(2L,t)??(2L,t)dtt133t1???[??Au?udt]dx??m?u(2L,t)u(2L,t)dt??0t1t12Lt2..t2..t2t112..mL?(2L,t)??(2L,t)dt3 把以上各式代入哈密顿公式得

??[??Au?udt]dx??m?u(2L,t)u(2L,t)dt??0t1t12Lt2..t2..t2t1??[EI???t1t2'x?2L??EI?\??dx]dt?002L12..mL?(2L,t)??(2L,t)dt3

又对于均匀梁有??u'，代入上式，化简整理得

......t2t21??\\\'2??EIu??Au??udxdt??(EIu?mu)?udt??(mL??EI?')??t1t13??x?2L??t1t22L0dt?0x?2L20

所以运动方程为

EIu??Au=0

\\..边界条件为

(EIu?mu)x?2L..\..?0

1(mL2??EI?')?03x?2L10.5 有许多结构梁，既不是固定端的也非简直的，而可以考虑成局部弯曲。确

定如图P10.5所示梁的特征方程，其中0????是个控制参数，控制转动约束的大小。

解：梁的振动方程为 ?EIV\\

???AV?0，通解如下：

'' V(x)?C1sh?x?C2ch?x?C3sin?x?C4cos?x 弹性约束边界条件M????，即

21

EI?V\???V'x?0x?L?0?0

EI?V\???V'VVx?0x?L

?0?0 根据公式，对V(x)求两次导得1

dV?C1?ch?x?C2?sh?x?C3?cos?x?C4?sin?xdx 2

dV?C1?2sh?x?C2?2ch?x?C3?2sin?x?C4?2cos?x2dx 代入以上边界条件得 令

?=A,写成矩阵的形式，如下 EI?0101???C1??0???????A1A?1???C2???0????C3??0?sh?Lch?Lsin?Lcos?L???????????sh?L?Ach?Lch?L?Ash?L?sin?L?Acos?L?cos?L?Asin?L??C4??0? 若这组齐次方程方程有非零解，则系数行列式必须为零，这样得到特征方程：

A2?A2ch?Lcos?L?2sh?Lsin?L?0

11.9 应用拉格朗日方程推导下面系统的运动方程式（设图P11.19中两根刚杆的

转动很小）。

22

解：以在重力作用下系统的平衡位置作为基准点建立运动方程，则计算时不

考虑重力势能的影响。

广义坐标q1??1，q2??2

系统动能

2.21?11?1M?L??.22?T???ML??1????????12?92???32?2???

?11ML2?1?ML2?21848.2.2系统势能

1?L?1?2L?V?k??1??k?L?1??2?2?3?2?32? 511?kL2?12?kL2?1?2?kL2?221838外力虚构

22?..?L?L2?1??W??c?????P?L???L??110??3?3??3?3??

1.?2?2??P0?c?1?L??19?9?所以广义力

23

Q???2?9P1.?210?9c?1??L

Q2?0

由拉格朗日公式，有

?T?12.9ML?1??.1?T???0

1?V???5kL2?11?kL2?2193所以可得关于第一个自由度的运动方程

19ML2?..1?59kL2?12?21.?21?3kL?2???9P0?9c?1??L又

?T?1ML2?.2??.242?T???0

2?V?1kL2?12??2?kL?1243所以可得关于第二个自由度的运动方程

124ML2?..2?114kL2?2?3kL2?1?0 写成矩阵形式：

??1ML20????5?9??..??1?1??..1???9cL2??.????kL20?024ML2?????2????00?.1???9????2?????13kL224

?113kL2????1??2??2??9PL2?4kL?????0?2???0??

11.26 一根悬臂梁是用2-DOF假定振型模型来模拟的，如图P11.26所示，

它的广义坐标是以自由度端的挠曲与斜率（很小）表示，即V(t)与

?(t)。图示符合形函数的振型。

（a）根据一般多项式来推导?1与?2多项式形式的形函数

?x??x??x? ?(x)?a?b???c???d??

?L??L??L? （b）推导这个2-DOF模型的运动方程 解：（a）对?1(x)有边界条件如下

?1(0)?0，?1(L)?1，?1'(0)?0， ?1'(L)?0 代入?(x)求解得

2325

a?0，b?0，c?3，d??2

?x??x? 所以?1(x)=3???2??

?L??L? 对?2(x)有边界条件如下

'' ?2(0)?0，?2(L)?0，?2(L)?0 (L)?1， ?223 代入?(x)求解得

a?0，b?0，c?3，d??2

?x??x? 所以?2(x)=??????

?L??L?3??x?2??x?2?x?3??x?? 综上u(x,t)?v(t)?3???2?????(t)????????

?L??????L????L??L???23612x6x6x2 (b) ??2?3 , ?1\?2?3

LLLL'126x?2x3x2 ??2?3，?1\??2?3

LLLL'2 求刚度矩阵kij??EI?i\?\jdx

0L12EI?612x?k11??EI?2?3?dx?30L?L?LL6EI?612x??26x? k12?k21??EI?2?3???2?3?dx?2

0L??LL?L?LL2k22??L04EI?26x?EI??2?3?dx?LL??LL2 求质量矩阵mij???A?i?jdx

026

3??x?2L13?x??m11???A?3???2???dx??AL0LL35????????2m12?m21??m22??LL0323??x?21?x????x??x???A?3???2???????????dx??AL

70?L?????L?????L??L???20??x?2?x?3?1?A????????dx??ALLL105???????? 所以运动方程如下：

?131?..?12???3570?vEI?L2?..?? ?AL??611???L???????L?70105?6?L??v???0? ?????4?????0??12.1 有一两层建筑结构的刚度与刚度矩阵如下：

?1?1??10? k?600?，(k/in)m?2(k?sec2/in) ?????13??01?（a） 求该结构的两个固有周期

（b） 求相应的两个振型，按比例画出两个模态图，其最大位移为1.0。

解：（a）振动方程如下

27

..?10??u1??1?1??u1??0????600??? 2?..???????01????11??u2??0??u2? 设简谐解为

?u1??u1? ?????cos(wt??)，代入振动方程得代数特征值问题：

?u2??u2???300?300?0???u1??0?2?1 ????wi?01???u???0? ?300300?????2????? 得特征方程如下：

300?wi2900?wi2?300?300?0 解得wi2?1024.264，or wi2?175.736 所以

????w1?32(rad/s)

w2?13.257(rad/s)T1? 2?2??0.196(s)T2??0.474(s)w1w2（b）把wi代入方程得

?i?U1300?,代入wi计算得 U2300?wi2 ?1??0.414?2?2.414 12.8 有一2-DOF均匀悬臂梁的横向振动，根据

?x??x? ?1(x)???,?2(x)???

?L??L?（a） 推导出该2-DOF模型的运动方程

28

23

（b） 计算固有频率。比较该频率与例题10.3的精确频率，并比较该频率

与例题10.4的频率值。 解：（a）推导振动方程 ?1'?2x2\?? , 122LL6x3x2 ??3，?1\?3

LL'2 求刚度矩阵kij??EI?i\?\jdx

0L4EI?2?k11??EI?2?dx?30L?L?L6EI?2??6x? k12?k21??EI?2??3?dx?3

0L?L??L?L2k22??L04EI?6x?EI?3?dx?3L?L?L2 求质量矩阵mij???A?i?jdx

0Lm11??01?x??A??dx??AL5?L?L04 m12?m21??1?x??x??A????dx??AL

6?L??L?623m22??L01?x??A??dx??AL7?L? 所以运动方程如下：

?1?5 ?AL?1??61?..??6??u1??EI?46??u1???0?

??u??0?1??u..?L?612???2?????2?7?（b）求固有频率 设简谐解为

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?u??u? ?1???1?cos(wt??)，代入振动方程得代数特征值问题：

?u2??u2???1??46?EI?52?w?AL ???1i?3612L??????6?1???u1??0?6?????? 1??????u2??0?7??? 根据系数行列式矩阵等于零得特征方程如下：

?4EI1??12EI1??6EI1? ?3??ALwi2??3??ALwi2???3??ALwi2??0

576?L??L??L? 化简整理得

2?A12EI34244Lwi?0 +?wi41260EIL?A35 令

?AEIL4??,化简上式得

1341?wi4?wi2?12?0 126035? 解得wi2?1211.52EI12.48EI2w?，or i44L?AL?A 所以

3.533?EI?? w1?2??L??A??1234.807?EI?2??w2? ?2L??A??1比较：1. 由计算可知，所有的近似解都大于精确解。

2．用瑞利法求解频率时往往得到精确解的上限。

3. 用二阶假定振型模拟振动计算得到的频率解要比用一阶假定振

型模拟振动计算得到的对应频率解精确。 4. 假定振型越接近物体实际振动形式，求得的频率解越精确。可以选用适当的振型，从理论上无限地接近精确解。

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16-2．假定一根长度为L，总质量为m的等截面刚性杆，由一个弹性的无质量弯

曲弹簧支承，并且承受均匀分布的，随时间变化的外荷载作用，如图E16-1所示。如果取点1和2从其静力平衡位置向下的竖向挠度作为广义坐标

q1和q2，试用Lagrange方程得到最小挠度的控制运动方程。

解：刚性杆的总动能等于它平动及转动动能之和，即

????1?q1?q2?1mL2T?m???2?2?212 ???m??2??2???q?qq?q1122??6???2

????q1?q2??L?????? ①

2 由于q1和q2是从静力平衡位置算起的位移，如果体系的势能是从弯

曲弹簧中所贮存的应变能算得，则重力可以忽略不计，其中的这种应变能用刚度影响系数表示时，势能变成 V?12k11q12?2k12q1q2?k22q2 ② 2?? 非保守荷载pf(t)在任意变分?q1(t)和?q2(t)产生的虚位移上所做

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?

的虚功为

?Wnc?pLf(t)??q1??q2? 2? 由广义力的定义知

pLf(t) ③ 2? Q1(t)?Q2(t)? 把式①，式②和式③代入Lagrange方程中，给出这个结构的线性

运动方程：

m?pL?f(t)?2q1?q2??k11q1?k12q2?6?2???????m???pL?q?2q?kq?kq?f(t)?11212222?6?2???

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