全国初中(初二)数学竞赛辅导15
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本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 全国初中(初二)数学竞赛辅导
第十五讲 相似三角形(一)
两个形状相同的图形称为相似图形,最基本的相似图形是相似三角形.对应角相等、对应边成比例的三角形,叫作相似三角形.相似比为1的两个相似三角形是全等三角形.因此,三角形全等是相似的特殊情况,而三角形相似是三角形全等的发展,两者在判定方法及性质方面有许多类似之处.因此,在研究三角形相似问题时,我们应该注意借鉴全等三角形的有关定理及方法.当然,我们又必须同时注意它们之间的区别,这里,要特别注意的是比例线段在研究相似图形中的作用.
关于相似三角形问题的研究,我们拟分两讲来讲述.本讲着重探讨相似三角形与比例线段的有关计算与证明问题;下一讲深入研究相似三角形的进一步应用.
例1 如图2-64所示,已知AB∥EF∥CD,若AB=6厘米,CD=9厘米.求EF.
分析 由于BC是△ABC与△DBC的公共边,且AB∥EF∥CD,利用平行线分三角形成相似三角形的定理,可求EF. 解 在△ABC中,因为EF∥AB,所以
同样,在△DBC中有
①+②得
设EF=x厘米,又已知AB=6厘米,CD=9厘米,代入③得
说明 由证明过程我们发现,本题可以有以下一般结论:“如本题
请同学自己证明.
例2 如图2-65所示. ABCD的对角线交于O,OE交BC于E,交AB的延长线于F.若AB=a,BC=b,BF=c,求BE.
分析 本题所给出的已知长的线段AB,BC,BF位置分散,应设法利用平行四边形中的等量关系,通过辅助线将长度已知的线段“集中”到一个可解的图形中来,为此,过O作OG∥BC,交AB于G,构造出△FEB∽△FOG,进而求解.
解 过O作OG∥BC,交AB于G.显然,OG是△ABC的中位线,所以
在△FOG中,由于GO∥EB,所以
例3 如图2-66所示.在△ABC中,∠BAC=120°,AD平分
分析 因为AD平分∠BAC(=120°),所以∠BAD= ∠EAD=60°.若引DE∥AB,交AC于E,则△ADE为正三角形,从而AE=DE=AD,利用△CED∽△CAB,可实现求证的目标.
证 过D引DE∥AB,交AC于E.因为AD是∠BAC的平分线,∠BAC=120°,所以
∠BAD=∠CAD=60°.
又
∠BAD=∠EDA=60°,
所以△ADE是正三角形,所以 EA=ED=AD. ①
由于DE∥AB,所以△CED∽△CAB,所以
由①,②得
从而
例4 如图2-67所示. ABCD中,AC与BD交于O点,E为AD延长线上一点,OE交CD于F,EO延长线交AB于G.求证:
分析 与例2类似,求证中诸线段的位置过于“分散”,因此,应利用平行四边形的性质,通过添加辅助线使各线段“集中”到一个三角形中来求证.
证 延长CB与EG,其延长线交于H,如虚线所示,构造平行四边形AIHB.在△EIH中,由于DF∥IH,所以
在△OED与△OBH中,
∠DOE=∠BOH,∠OED=∠OHB,OD=OB,
所以 △OED≌△OBH(AAS). 从而
DE=BH=AI,
例5(梅内劳斯定理) 一条直线与三角形ABC的三边BC,CA,AB(或其延长线)分别交于D,E,F(如图2-68所示).求
分析 设法引辅助线(平行线)将求证中所述诸线段“集中”到同一直线上进行求证.
证 过B引BG∥EF,交AC于G.由平行线截线段成比例性质知
说明 本题也可过C引CG∥EF交AB延长线于G,将求证中所述诸线段“集中”到边AB所在直线上进行求证.
例6 如图2-69所示.P为△ABC内一点,过P点作线段DE,FG,HI分别平行于AB,BC和CA,且DE=FG=HI=d,AB=510,BC=450,CA=425.求d.
分析 由于图中平行线段甚多,因而产生诸多相似三角形及平行四边形.利用相似三角形对应边成比例的性质及平行四边形对边相等的性质,首先得到一个一般关系:
进而求d.
因为FG∥BC,HI∥CA,ED∥AB,易知,四边形AIPE,BDPF,CGPH均是平行四边形.△BHI∽△AFG∽△ABC,从而
将②代入①左端得
因为
DE=PE+PD=AI+FB, ④ AF=AI+FI, ⑤ BI=IF+FB. ⑥
由④,⑤,⑥知,③的分子为
DE+AF+BI=2×(AI+IF+FB)=2AB.
从而
即
下面计算d.
因为DE=FG=HI=d,AB=510,BC=450,CA=425,代入①得
解得d=306.
练习十五
1.如图2-70所示.梯形ABCD中,AD∥BC,BD,AC交于O点,过O的直线分别交AB,CD于E,F,且EF∥BC.AD=12厘米,BC=20厘米.求EF.
2.已知P为
ABCD边BC上任意一点,DP交AB的延长线于
Q
3.如图 2-72所示.梯形 ABCD中,AD∥BC,MN∥BC,且MN与对角线BD交于O.若AD=DO=a,BC=BO=b,求MN.
4.P为△ABC内一点,过P点作DE,FG,IH分别平行于AB,BC,CA(如图2-73所示).求证:
5.如图 2-74所示.在梯形 ABCD中,AB∥CD,AB<CD.一条直线交BA延长线于E,交DC延长线于J,交AD于F,交BD于G,交AC于H,交BC于I.已知EF=FG=CH=HI=HJ,求DC∶AB.
6.已知P为△ABC内任意一点,连AP,BP,CP并延长分别交对边于D,E,F.求证:
不
少于2.
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