2017年春国家开放大学《经济数学基础》任务4参考答案

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. . . . 2017年春国家开放大学“经济数学基础”任务4 参考答案

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一、填空题

1.

函数1()ln(1)f x x =-在区间___________________是单调减少的. 答案：]4,2()2,1(? 2. 函数2)1(3-=x y 的驻点是________，极值点是 ，它是极 值点. 答案：1,1==x x ，小

3.设某商品的需求函数为2e 10)(p

p q -=，则需求弹性=p E .答案：2-p

4.行列式____________1

11111111

=---=D .答案：4

5. 设线性方程组b AX =，且????

??????+-→010*********t A ，则__________t 时，

方程组有唯一解.答案：1-≠ （二）单项选择题

1. 下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ B ）．

A ．sin x

B ．e x

C ．x 2

D ．3 – x

2. 设()1(),()f x f f x x

=

=则 （ C ）． A ．1x B ．21x C ．x D ．2x

3. 下列积分计算正确的是（ A ）．

A ．?--=-1

10d 2e e x x

x B ．?--=+110d 2e e x x x C ．0d sin 1

1=?x x x - D ．0)d (31

12=+?x x x - 4. 设线性方程组b X A n m =?有无穷多解的充分必要条件是（ D ）．

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. . . . A ．m A r A r <=)()( B ．n A r <)( C ．n m < D ．n A r A r <=)()(

5. 设线性方程组?????=++=+=+3321

2321212a x x x a x x a x x ，则方程组有解的充分必要条件是（ C ）．

A ．0321=++a a a

B ．0321=+-a a a

C ．0321=-+a a a

D ．0321=++-a a a

解答题、经济应用题必须手写解题步骤后拍照上传！ 若直接将提供的word 文档答案截图上传，则成绩按0分计算！！！切记，切记！！

三、解答题

1．求解下列可分离变量的微分方程：

(1) y x y +='e 解：y x e e x y =d d dx e dy e x y ??=- c x y +=--e e

（2）23e d d y

x x y x

= 解：dx e x dy y x ?

?=23 c x y x x +-=e e 3 2. 求解下列一阶线性微分方程：

（1）32y y x x

'-

= 解：32(),()p x q x x x =-= 代入公式得

()

22432

2=2dx dx x x x y e x e dx c x xdx c cx -????+=+=+ ????? （2）x x x

y y 2sin 2=-' 解：x x x q x

x p 2sin 2)(,1)(=-= ，

. . . . .

. . . . 代入公式得??????+=??-?c dx xe x e y dx x dx x 11

2sin 2 []

c dx xe x e x x

+=-?ln 2sin 2ln ??????+=?c dx x x x x 12sin 2[]

c x x

d x +=?22sin (cos 2)x x c =-+ 3.求解下列微分方程的初值问题：

(1) y x y -='2e ,0)0(=y 解：y x e e x y -=2d d dx e dy e x y 2??

=，c x y +=221e e ， 把0)0(=y 代入c +=0021e e ，C=2

1， 所以，特解为：21e 21e +=

x y (2)0e =-+'x y y x ,0)1(=y 解：1x

e y y x x

'+=， 1(),()x

e p x q x x x

==， 代入公式得??

????+=???-c dx e x e e y dx x x dx x 11??????+=??????+=??-c xdx x e x c dx e x e e x x x x 1ln ln x e c x +=， 把0)1(=y 代入c)e +=x x y

(1，C= -e , 所以特解为：e)e (1-=x x

y 4.求解下列线性方程组的一般解：

（1）?????=-+-=+-+-=-+0352023024321

4321431x x x x x x x x x x x

解：

????

??????--→??????????----→??????????-----=000011101201111011101201351223111201A 所以，方程的一般解为

. . . . .

. . . .

??

?-=+-=4

324

312x x x x x x （其中34,x x 是自由未知量）

（2）???

??=+-+=+-+=++-5

1147242124321

43214321x x x x x x x x x x x x

解

：

???????

????????

?

--?+??????????---???????????----+?????

??

???------?+-?+??????????---??????????---=000005357531054565101)2()2()1(000005357531024121)51()2(000003735024121)2()3(373

5037350241

21)1()1()3()2()1()2(5114711111224121)2(),1(5114712412111112)(b A ??

???

+

-=+--=535753545651432431

x x x x x x （其中34

,x x 是自由未知量）

5.当λ为何值时，线性方程组

??????

?=+--=+--=-+-=+--λ

432143214

321432110957332231322

45x x x x x x x x x x x x x x x x 有解，并求一般解。 解：

1154211542

(2)(1)(2)2

1311011393()(3)(1)(3)32233011393(4)(1)(7)7

5

910022618141

1542(3)(2)(1)011393(4)(2)(2)0

0000A b λλ----????+?-????----?

???=+?-????----+?-???

?----????

--+?---+?-108

51(1)(2)011393000000

0008000

8λλ--????????+--???

???

??

???

?--????

. . . . .

. . . . .当λ=8有解,???-+-=-+-=3

913158432431x x x x x x （其中

34,x x 是自由未知量）

6．b a ,为何值时，方程组

?????=++=-+=--b

ax x x x x x

x x x 3213213213221

解：

??????????-+----?+??

???

?????-+----?+-?+??????????---=31130012

011

1)2()2()3(111140120111)1()1()3()

1()1()2(2131211111b a b a b a A 当3-=a 且3≠b 时，()()r A r A ≠, 方程组无解；

当3-≠a 时，()()3r A r A ==方程组有唯一解；

当3-=a 且3=b 时，()()23r A r A ==<方程组无穷多解。

四．经济应用问题

（1）设生产某种产品q 个单位时的成本函数为：q q q C 625.0100)(2++=（万元）, 求：①当10=q 时的总成本、平均成本和边际成本；

②当产量q 为多少时，平均成本最小？

解：

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（2）.某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为201.0420)(q q q C ++=（元），单位销售价格为

q p 01.014-=（元/件）

，问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少．

（3）投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为402)(+='q q C (万元/百台)．试求产量由4百台增

至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低．

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（4）已知某产品的边际成本)(q C '=2（元/件），固定成本为0，边际收益

q q R 02.012)(-='，求：

①产量为多少时利润最大？

②在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？

解：①002.010)()()(=-='-'='q q c q R q L ,

()0L q '=令，解得500q =

因为只有一个驻点，且实际问题的最大利润存在，所以当产量为500件时，利润最大.

②

即在最大利润长了的基础上再生产50件，利润将减少25元.

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