泸溪一中2012届高三理科数学综合试题
更新时间:2023-12-26 05:25:01 阅读量: 教育文库 文档下载
泸溪一中2012届高三理科数学综合试题 姓名
一.选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.每小题只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合M={1,2,3,4},M?N={2,3},则集合N可以为( ).
A.{1,2,3} B.{1,3,4 C.{1,2,4} D.{2,3,5}
2.抛物线y2?4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|?4,则点M的横坐标x=( ). A.2 B. 3 C. 4 D. 5 3.“a=1”是函数f?x??x?a在区间?1,???上为增函数的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是( ). A.6? B.7?
2 2 2 2 C.8? D.9?
5.已知?ABC中,?A?30?,AB,BC分别是3?2,3?2的等差中项与等比中项,则?ABC的面积等于( )
2 2 2 2 3A. 23C.或3 23B. 433D. 或24 (正视图) (侧视图)
2 (俯视图)
(第4题图)
6.在△ABC中,AB?(cos23?,sin23?),AC?(2sin22?,2cos22?),则△ABC的面积为( ).
A.22 B.2 C.
22 D. 23?x?1(?1?x?0)???的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a,则a的值为( ). 7.若函数f?x???cosx(0?x?)?2?13A. B. 1 C. D. 2 228.定义在R上的函数y?f(x),在?-?,a?上是增函数,且函数y?f(x?a)是偶函数,当
x1?a,x2?a,且x1?a?x2?a时,有( ).
A.f(2a?x1)?f(2a?x2) B.f(2a?x1)?f(2a?x2) C.f(2a?x1)?f(2a?x2) D.?f(2a?x1)?f(x2?2a) 二.填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分.把答案填写在答题卡中对应题号后的横线上.
9. 已知函数f(x)?log2(|2x?1|?|x?2|?m).若关于x的不等式f(x)?1的解集是R,则m的取值范围是 .
10. 已知圆C的极坐标方程为??2cos??23sin?,则圆心C的一个极坐标为 .
11.执行右图所示的程序框图,输出结果y的值是_________.
12.若二项式(1?2x)n展开式中x3项的系数等于x项的系数的8倍,则n等
(第11题图)
于 .
13.已知两定点M(-2,0),N(2,0),若直线上存在点P,使得|PM|?|PN|?2,则该称直线为“A型直线”.给出下列直线:
①y?x?1, ②y?3x?2, ③y??x?3, ④y??2x, 其中是“A型直线”的序号是 .
?x?0,?14.若不等式组?y?0,表示的区域面积为S,则
?y??kx?4k?kS(1)当S=2时,k? ;(2)当k?1时,的最小值为 .
k?115.把正整数排列成三角形数阵(如图甲),如果擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数,得到新的三角形数阵(如图乙),再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列?an?,则a2011? .
三.解答题:本大题共6小题,共75分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知平面上三点A(2,0),B(0,2),C(cos?,sin?). (1)若(OA?OC)2?7(O为坐标原点),求向量OB与OC夹角的大小;
(2)若AC?BC,求sin2?的值.
17.(本小题满分12分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次,记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,设复数z?a?bi. (1)设事件A:“z?3i为实数”,求事件A的概率; (2)当“z?2?3”成立时,令??a?b,求?的分布列和期望.
????????18.(本小题满分12分)已知正方形ABCD的边长为1,AC?BD?O.将正方形ABCD沿对角线BD折起,使AC?1,得到三棱锥A—BCD,如图所示.
(1)求证:AO?平面BCD;(2)求二面角A?BC?D的余弦值.
19.(本小题满分13分)国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款,旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费.每一年度申请总额不超过6000元.某大学2010届毕业生李霄在本科期间共申请了24000元助学贷款,并承诺在毕业后3年内(按36个月计)全部还清.
签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元,第13个月开始,每月工资比前一个月增加5%直到4000元.李霄同学计划前12个月每个月还款额为500,第13个月开始,每月还款额比前一月多x元. (1)若李霄恰好在第36个月(即毕业后三年)还清贷款,求x的值;
(2)当x?50时,李霄同学将在第几个月还清最后一笔贷款?他还清贷款的那一个月的工资余额是多少?(参考数据:1.0518?2.406,1.0519?2.526,1.0520?2.653,1.0521?2.786)
20.(本小题满分13分)若圆C过点M(0,1)且与直线l:y??1相切,设圆心C的轨迹为曲线E,A、
B为曲线E上的两点,点P(0,t)(t?0),且满足AP??PB(??1).
1(1)求曲线E的方程;(2)若t?6,直线AB的斜率为,过A、B两点的圆N与抛物线在点A处
2有共同的切线,求圆N的方程;(3)分别过A、B作曲线E的切线,两条切线交于点Q,若点Q恰
????????好在直线l上,求证:t与QA?QB均为定值.
21.(本小题满分13分)己知函数f(x)?????????1.
(x?1)ln(x?1)1(1)求函数f(x)的增区间;(2)是否存在实数m,使不等式2x?1?(x?1)m在?1?x?0时恒成立?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.
泸溪一中2012届高三理科数学综合试题参考答案
一.选择题:1~8 DBABDCCA 二.填空题:9.m??三.解答题:
1 10. 21????2,? 11. 1 12.5 13. ①③ 14. ;32 15. 3959
4?3?????????216.解:(1)∵OA?OC?(2?cos?,sin?),(OA?OC)?7,
∴(2?cos?)2?sin2??7,∴cos??1, ?????????????? 4分 2又B(0,2),C(cos?,sin?),设OB与OC的夹角为?,则
cos??OB?OCOBOC?2sin?3?sin???, 22?????????5∴OB与OC的夹角为或?; ??????????????????? 7分
66????2()?AC?(cos??2,sin?),BC?(cos?,sin??2),? 9分
1,① ??????? 11分 21332∴(cos??sin?)?,∴2sin?cos???,sin2???. ???????12分
444由AC?BC,∴AC?BC?0, 可得cos??sin??
17.解:(1)z?3i为实数,即a?bi?3i?a?(b?3)i为实数,∴b=3, --------3分 又依题意,b可取1,2,3,4,5,6,故出现b=3的概率为即事件“z?3i为实数”的概率为
????????????????1, 61; ---------------------------------6分 6(2)由已知,z?2?|a?2?bi|?(a?2)2?b2?3, ---------------------------------8分
可知,b的值只能取1、2、3, ---------------------------------9分
当b=1时, (a?2)2?8,即a可取1,2,3,4、,当b=2时, (a?2)2?5,即a可取1,2,3,4 当b=3时, (a?2)2?0,即a可取2,由上可知,?=2、3、4、5,6 ?的分布列为
? p 2 3 4 5 6 1 92 92 91 31 9E??26815637????=. ----12分 999999
18.解:(1)证明:在?AOC中,?AC?1,AO?CO?2, 2?AC2?AO2?CO2,?AO?CO,
又? AC、BD是正方形ABCD的对角线,?AO?BD, 又BD?CO?O?AO?平面BCD; ????????????????4分
(2)由(1)知AO?平面BCD,则OC,OA,OD两两互相垂直,如图,以O为原点,建立空间直角坐标系O?xyz, 则
O(0,0,0),A(0,0,,
2222),C(,0,0),B(0,?,0),D(0,,0)2222????2OA?(0,0,)是平面BCD的一个法向量,??????7分
2????????2222AC?(,0,?),BC?(,,0),
2222???????????设平面ABC的法向量n?(x,y,z),则n?BC?0,n?AC?0,
??(x,y,z)?(?即??(x,y,z)?(??22,,0)?022, …………………….10分
22,0,?)?022?y??x,z?x,x?1,y??1所以且令则,z?1,解得n?(1,?1,1) ???????11分
??????????n?OA33??. ?????12分 从而cos?n,OA??????,二面角A?BC?D的余弦值为
|n||OA|3319.解:(1)依题意,从第13个月开始,每个月的还款额为an构成等差数列,其中a1?500?x,公差为x. 从而,到第36个月,李霄共还款12?500?24a1?令12?500?(500?x)?24?24?(24?1)?x
224?(24?1)?x?24000,解之得x?20(元),
2据题意,验证可行。即要使在三年全部还清,
第13个月起每个月必须比上一个月多还20元; ???????6分 (2)设李霄第n个月还清,则应有
12?500?(500?50)?(n?12)?(n?12)?(n?12?1)?50?24000
2整理可得n2?3n?828?0,解之得n?即李霄工作31个月就可以还清贷款, 这个月;李霄的还款额为
3?3321?30,取n?31, 224000?[12?500?(500?50)?(30?12)?(30?12)?(30?12?1)?50]?450元,
2第31个月李霄的工资为1500?1.0519?1500?2.526?3789元,
因此,李霄的剩余工资为3789?450?3339. ???????13分
20.解:(1)依题意,点C到定点M的距离等于到定直线l的距离,所以点C的轨迹为抛物线,曲线E的方程为x2?4y; …………………………………………………………3分 (2)直线AB的方程是y?1x?6,即x?2y?12?0, 2由??x?2y?12?0,得点A、B的坐标是(6,9)或(?4,4),????????????5分 2x?4y,?121x,y??x, 42x?6当A(6,9)、B(?4,4)时,由x2?4y得y? 所以抛物线x2?4y在点A处切线的斜率为y??3,
1133131317线段AB的中点坐标为(1,),中垂线方程为y???2(x?1),即y??2x?????②
222323由①、②解得N(?,), ??????????????????????7分
22323323于是,圆C的方程为(x?)2?(y?)2?(?4?)2?(4?)2,
222232232125)?即 (x?)?(y?, ?????????????????????8分
222直线NA的方程为y?9??(x?6),即y??x?11????① 当A(?4,4)、B(6,9)时,抛物线x2?4y在点A处切线的斜率为y?所求圆为以AB为直径的圆,可求得圆为(x?1)2?(y?22x??4??2,此时切线与AB垂直,
132125)?, ??9分 24x12x1x1x2Q(a,?1)?(x?x1), (3)设A(x1,,过点A的切线方程为y?),),B(x2,42442即x12?2ax1?4?0,同理可得x2?2ax2?4?0,所以x1?x2?2a,x1x2??4,??10分
又
kABx1x?2x1?x2x12x1?x2?(x?x1), ,所以直线AB的方程为y?4=?4444x1?x222x1?x2xxax?12,亦即y?x?1,所以t?1,???????????????11分 442????????x12x22?1),QB?(x2?a,?1),所以 而QA?(x1?a,4422????????x12x2x12x2(x1?x2)2?2x1x22QA?QB?(x1?a)(x2?a)?(?1)(?1)?x1x2?a(x1?x2)?a???1
441644a2?822??4?2a?a?1??1?0. ?????????????13分
4即y?21.解:(1)根据函数解析式得??x?1?0,解得x??1且x?0,
?x?1?1?函数f(x)的定义域是?xx?R,x??1且x?0?. ????1分 ?f(x)?1ln(x?1)?1,?f?(x)??, ????????4分
(x?1)ln(x?1)(x?1)2ln2(x?1)由f?(x)?0得ln(x?1)?1?0.??1?x?e?1?1.
?函数f(x)的增区间为(?1,e?1?1); ??????????5分
(2)?e?1?1?x?0,?e?1?x?1?1.??1?ln(x?1)?0.?ln(x?1)?1?0,
?当e?1?1?x?0时,f?(x)??ln(x?1)?1?0.?在区间??1,0?上,
(x?1)2ln2(x?1)?1当x?e?1?1时, f(x)取得最大值,??f(x)?最大?f(e?1)??e,???????10分
?21x?1?(x?1)m在
?1?x?0时恒成立,?1ln2?mln(x?1)在?1?x?0时恒成立, x?1?m?ln2在?1?x?0时恒成立,
(x?1)ln(x?1)?ln2在?1?x?0时的最大值等于?eln2,?m??eln2.
(x?1)ln(x?1)1?当m??eln2时,不等式2x?1?(x?1)m在?1?x?0时恒成立. ???13分
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