三角形中的四心问题

三角形中的“四心”问题

重心：三角形的三条边上的中线的交点

如果三角形ABC中三边BC、CA、AB上的中点分别是D、E、F 则AD、BE、CF的交点为O，O为三角形ABC的重心

AO?2OD,OA?OB?OC?0,AO?BO?CO?0??x0??AB?AC?2AD?3AO，坐标???y??0xyA?xB?xC?Ay3B

?yC3重心可以得到这些，要证明是否过重心或者是否为重心也就是要证明这些，

垂心：三角形当中三条高的交点

如果三角形的三条高交与H一点，则H就是三角形的垂心，那么我们可以得到

AH?BC?0,BH?AC?0,CH?AB?0 如果PA?PB?PB?PC?PC?PA则P为三角形的垂心

要判断一个点是否过垂心或者就是垂心就是要证明这些或者某些 内心;三角形中的三条角平分线的交点

三角形三条角平分线交与一点O,则这个点O就是三角形中的内心，那么我们可以得到

O 点到三角形的三边的距离相等，其次AO???AB?AC?,BO???BA?BC?,CO???CA?CB?

???????AB?AC???BA?BC???CA?CB????????O是内心也就是三角形的内切圆的圆心，既然是角平分线在向量中就是要单位向量相加，所以要证明一个点是否为内心或者一直线是否过内心就是要单位向量相加，其中还可以与切线长定理合用。 外心;三角形的三边上三条线段的垂直平分线的交点

如果三角形三边AB、AC、BC的垂直平分线交与P点，则P点就是三角形的外心，也就是三角形的外接圆的圆心，则可以得到AB=AC=BC，向量当中可以得到PB?PC?BC?0,PA?PC?AC?0

?????PA?PB??AB?0要证明外心就是要看起定义，与其相关的例题：

例1 已知O是平面内一定点，A、B、C是平面内不共线的三个点，其中???0,???，动点P满足：

sinC??1?.OP?OA???AB?AC?时，动点P过?ABC的内心；?sinB??tanC??2?.OP?OA???AC?时，动点P过?ABC的垂心；?AB?tanB??

???ABAC? ?3?.OP?OA?????时，动点P过?ABC的重心；?ABsinBACsinC????????4?.OP?OB?OC???AB?AC?时，动点P过?ABC的外心；其中正确的2?ABcosBACcosC???命题是_____________________(写出所有正确的序号)例2 若O 是三角形ABC 内一点，满足OA?角形ABC的___________垂________心

2BC2?OB2?CA2?OC2?AB2则O是三

例3 已知C为线段AB上的一点，P为直线AB外一点，满足

PA?PB?2,PA?PB?25

PA?PCPA?PB?PCPB???ACAP?BI?BA,I为PC上一点且BI?BA????(??0)则的值为____5?1 ??ACAP?BA??例4 已知O为三角形ABC的外心，AB=4,AC=6,BC=8则AO?BC?_________ 10 例5 若P为三角形ABC所在平面内一点，且ABPC?BCPA?CAPB?0则P为?ABC的_内__心

例6 已知O为三角形ABC的外心，外接圆的半径为1，且3OA?4OB?50C?0则OC?AB的值为__2_

PO?例7 （1）点 O，P为?ABC所在平面内两个点，2221PA?PB?PC，则O是?ABC的___心 3222??（2）O为?ABC平面内一点，OA?BC?OB?CA?OC?AB,则O是?ABC的____心（3）?ABC中，a,b,c,分别是角A,B,C所对的边，P是?ABC平面上一点，且aPA?bPB?cPC?0,则O是?ABC的______________心（4）O为?ABC平面内一点，OA?OBAB?OB?OCBC?OC?OACA?0，则O是?ABC的____________心例8 O是?ABC的外心，且AB?2,AC?3,AO?xAB?yAC且x?2y?1,则cos?BAC?__

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