数列与函数、不等式综合问题选讲经典精讲 课后练习一
更新时间:2024-06-13 02:04:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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数列与函数、不等式综合问题选讲经典精讲
主讲教师:王春辉 数学高级教师
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题一:设曲线y=xn1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn, 则log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012的值为________.
题二:已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0,且有f, (1?x)?f(1?x)直线g被f(x)的图像截得的弦长为417,数列?an?满足a()x?4(x?1)1?2,
* aa?gaf?a?0n?N????????n?1nnn(1)求函数f(x)的解析式; (2)求数列?an?的通项公式;
(3)设b,求数列?bn?的最值及相应的n. ?3fa?ga????nnn?1
13x?x ,数列{an}满足条件:a1≥1,an+1≥f ′ (an+1). 3111试比较与1的大小,并说明理由. ????1?a11?a21?an题三:已知函数f(x)?[来源学&科&网Z&X&X&K]
题四:已知数列{an}的前n项和为Sn,且对于任意n?N*,总有Sn?2(an?1). (1)求数列{an}的通项公式;
(2)在an与an?1之间插入n个数,使这n?2个数组成等差数列,当公差d满足3?d?4时,求n的值并求这个等差数列所有项的和T; (3)记an?f(n),如果cn?n?f(n?log2m)(n?N*),问是否存在正实数m,使得数列{cn}是单调
递减数列?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
数列与函数、不等式综合问题选讲经典精讲
课后练习参考答案
题一:-1
详解:因为y′=(n+1)xn,所以在点(1,1)处的切线的斜率k=n+1, 所以
0-1n
=n+1,所以xn=, xn-1n+1
所以log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012=log2013(x1·x2·…·x2012)
1220121=log2013(··…·)=log2013=-1.
2320132013
[来源:Zxxk.Com]
题二:(1)
f(x)??x?1?2;(2)
?3?an????4?189256n?1?1;
(3)当n时,bn有最小值是??32, 当n时,bn有最大值是0 . ?1详解:(1)设f(x)?a?x?1??a?0?,则直线
g(x)?4(x?1)与y?f(x)图像的两个交点为(1,0),
16??4??1,? ?aa?2?4??16? ???????417?a?0?,?. a?1,fx()?x?1???a??a?22 (2)
fa?a?1,ga?4a?1???????? nnnn2[来源:Zxxk.Com]a?a·41a??a?1?0 ? n?1nnna?14a??31a?0 ? ? a?2,?a?1,4a?3a?1?0nn?1n1nn?1n?2?????????3a?1,a?11? ??n143 数列?是首项为1,公比为的等比数列 a?1?n4 ?a?1?n?1[来源:Zxxk.Com]33???? ? a?1?,a?1?????nn????44n?1n?1[来源学科网ZXXK]
n?12n?1?n?12n????2??3???3???3??3??3a??1a?1(3)b?3?????4???3????????? ??4??nnn?1?4?????4????4????4???????3?令b?y,u???n?4?n?122?????1?1?1?3, 则y?3u?????3u??? ???????42???24?39279*,?的值分别为1,,,……,经比较?n?Nu4166416距
12最近,
∴当n时,bn有最小值是??3当n时,bn有最大值是0 .?1题三:小于1
189256
,
[来源:学。科。网]详解:∵f ′(x)=x2?1,an+1≥f ′(an+1),∴an+1≥(an+1)2?1.
[来源:Z*xx*k.Com]
∵函数g(x)=(x+1)2?1=x2+2x在区间[1,+∞)上单调递增, 于是由an≥1,得a2≥(a1+1)2?1≥22?1,由此猜想:an≥2n?1.
以下用数学归纳法证明这个猜想:①当n=1时,1=a1≥21?1=1,结论成立; ②假设n=k时结论成立,即ak≥2k?1,则当n=k+1时,ak+1≥(ak+1)2?1≥22k-1≥2k+1?1, 即n=k+1时,结论也成立.
由①、②知,对任意n∈N*,都有an≥2n?1. 即1+an≥2n,∴
[来源学科网]
由g(x)=(x+1)2?1在区间[1,+∞)上单调递增知,
11?n1?an2,
∴
1111111??????2???n?1?()n?1.
1?a11?a21?an2222?2n题四:(1)an;(2)
n?4,T?144;(3)
?2??? m??0,2???详解:(1)当n当n?1时,由已知a1?2(a1?1),得a1?2.
?2时,由Sn?2(an?1),Sn?1?2(an?1?1),两式相减得an?2an?2an?1, ?2an?1,所以{an}是首项为2,公比为2的等比数列.
?2n(n?N*)
即an所以,an(2)由题意,an?1a?an?an?(n?1)d,故d?n?1n?12n,即d?,
n?12n因为3?d?4,所以3??4,即3n?3?2n?4n?4,解得n?4,
n?11616.所以所得等差数列首项为16,公差为,共有6项 536?(16?32)所以这个等差数列所有项的和T??144
2所以,n?4,T?144
所以d?(3)由(1)知
f(n)?2n,所以cn?n?f(n?log2m)?n?2
n?log2m?n?2n?log2m2
[来源学科网]
?n?22n?log2m?n?(2log2m)2n?n?m2n
[来源:Z#xx#k.Com]
由题意,cn?1所以m2?cn,即(n?1)?m2n?2?n?m2n对任意n?N*成立,
n1*对任意n?N成立 ?1?n?1n?111*因为g(n)?1?在n?N上是单调递增的,所以g(n)的最小值为g(1)?.
n?12?所以m2?12.由m?2???0得m的取值范围是??0,2?.
???2???时,数列{cn}是单调递减数列 所以,当m?0,?2???
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