（整理）快速傅里叶变换

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3-2 非正弦周期函数展开成傅里叶级数

周期信号是定义在(-∞,∞)区间，每隔一定时间一般表示为

，按相同规律重复变化的信号。

式中，为该信号的重复周期，其倒数称为该信号的频率，记为

或角频率

对于非正弦周期函数，根据定理3-1，可以用在区间集来表示。下面讨论几种不同形式的表示式。

内完备的正交函数

一、 三角函数表示式

由上节讨论可知，三角函数集

内为完备正交函数集。根据定理3-1，对于周期为

都可以精确地表示为

在区间

的一类信号(函数)中任一个信号

的线性组合，即对于

有

由式(3-10)，得

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式(3-13)称为周期信号

的三角型傅里叶级数展开式。从数学上讲，当周期信号

满足狄里赫利条件时才可展开为傅里叶级数。但在电子、通信、控制等工程技术中的周期信号一般都能满足这个条件，故以后一般不再特别注明此条件。

若将式(3-13)中同频率项加以合并，还可写成另一种形式，即

比较式(3-13)和式(3-15)，可看出傅里叶级数中各量之间有如下关系：

式(3-15)称为周期信号的余弦型傅里叶级数展开式。

式(3-13)和式(3-15)表明，任何周期信号，只要满足狄里赫利条件，都可以分解为许多频率成整数倍关系的正(余)弦信号的线性组合。在式(3-13)中，

是直流成分；

,称为基波分量，为基波频率；,称n次谐波分量。直流分量的大小，基波分量和各次谐波的振幅、相位取决于周期信号的波形。从式(3-14)和式(3-16)可知，各分量的振幅数，并有：

,

,

和相位

都是

的函

,

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是的偶函数，即 ；

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，是的奇函数，即

例3-2 图3-3所示锯齿波，求其三角型傅里叶级数展开式。

解 由图3-3可知，该信号在一个周期区间(-π,π)内，有

周期

,

由式(3-14)，得

。

故该信号的三角型傅里叶级数展开式为

三、 周期信号的对称性与傅里叶系数的关系

要把已知周期信号

展开为傅里叶级数，如果

为实函数，且它的波形满足

某种对称性，则在其傅里叶级数中有些项将不出现，留下的各项系数的表示式也变得比较简单。周期信号的对称关系主要有两种：一种是整个周期相对于纵坐标轴的对称关系，这取决于周期信号是偶函数还是奇函数，也就是展开式中是否含有正弦项或余弦项；另一种是整个周期前后的对称关系，这将决定傅里叶级数展开式中是否含有偶次项或奇次项。下面简单说明函数的对称性与傅里叶系数的关系。

1

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若周期信号波形相对于纵轴是对称的，即满足

则是偶函数，其傅里叶级数展开式中只含直流分量和余弦分量，即

2

若周期信号波形相对于纵坐标是反对称的，即满足

此时称为奇函数，其傅里叶级数展开式中只含有正弦项，即

3

若周期信号足

波形沿时间轴平移半个周期后与原波形相对于时间轴像对称，即满

则

称为奇谐函数或半波对称函数。这类函数的傅里叶级数展开式中只含有正弦和余

弦项的奇次谐波分量。

4

若周期信号

波形沿时间轴平移半个周期后与原波形完全重叠，即满足

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则为偶谐函数或半周期重叠函数，其傅里叶级数展开式中只含有正弦和余弦波的偶

次谐波分量。

熟悉并掌握了周期信号的奇、偶和奇谐、偶谐等性质后，对于一些波形所包含的谐波分量常可以作出迅速判断，并使傅里叶级数系数的计算得到一定简化。

表3-1给出了周期信号波形的各种对称情况、性质，以及对应的傅里叶系数an和bn的计算公式。

表3-1周期信号的对称性与傅里叶系数的关系 函数偶函数 性质 只有直0 流分量 和余弦 项 只有正0 弦 项 只有奇0 0 奇谐函数 次谐波分量 (n为奇数) (n为奇数) 偶谐函数 只有偶次谐波分量 (n为偶数) (n为偶数)

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