三角函数在实际生活中的应用 - 图文

第三章 三角函数在实际生活中的应用

三角学的发展，由起源迄今差不多经历了三﹑四千年之久，在古代，由于古代天文学的需要，为了计算某些天体的运行行程问题，需要解一些球面三角形，在解球面三角形时，往往把解球面三角形的问题归结成解平面三角形，这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角学﹑古代平面三角学；虽然古代球面三角学的发展早于古代平面三角学，但古代平面三角学却是古代球面三角学的发展基础。三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数意义上的反函数。三角函数在复数中有重要的应用，在物理学中也是常用的工具。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。

在实际生活中，有许多周期现象可以用三角函数来模拟，如物理中简谐振动、交流电中的电流、潮汐等，都可以建立三角函数的模型利用三角函数的性质解决有关问题；很多最值问题都可以转化为三角函数来解决，如天气预报、建筑设计、航海、测量、国防中都能找到神奇的三角函数的影子。因而三角函数解决实际问题应用极广、渗透能力很强。

停车场设计问题

1

如图ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中ATPN是一半径为90m的扇形小山，P是弧TN上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场PQCR面积的最大值和最小值。

分析：矩形PQCR的面积显然跟P的位置有关，连

延长RP交AB于M.若直接设RP的长度为x，则PM?100－x,在RtAPM中， AP，

AM?902?(100?x)2，从而得PQ?MB?100－902?(100?x)2，

·x，虽然可以得出函数关系，但是求解面积的最值S?（100－902?(100?x)2）比较复杂。不妨以角为变量建立函数关系。

（00???900），则解：如上添加辅助线，设?PAB??，AM?90?co,PM?90sin?，RP?RM－PM?100?90sin?PQ?MB?100－90cos?，?S?PQ·PR?（100－90cos?）（100－90sin?）?10000－9000（sin?? cos?）?8100 sin?cos?.设sin?? cos??t(1?t?2)，则

t2?110210sin?cos???950.故当t?时，Smin?950m2；。代入化简得S?（t－）299??当t?2时， Smax?14050－90002(m2)

通讯电缆铺设问题

如图，一条河宽km，两岸各有一座城市

A和B，A与B的直线距离是4km，今需铺设一条电

A θ 2

缆连A与B，已知地下电缆的修建费是2万元

C D B

/km，水下电缆的修建费是4万元/km，假定河岸是平行的直线（没有弯曲），问应如何铺设方可使总施工费用达到最少？

分析：设电缆为AD?DB时费用最少，因为河宽AC为定值，为了表示

AD和BD的长，不妨设?CAD??.

解：设?CAD??，则AD?sec?,CB?,BD?－tan?, （0???900） ∴总费用为

y?4 sec?－2tan??215=

4?2sin??215 cos?4?2sin?的最小值及相应的θ值，

cos?sin??2而u?－2?表示点P与点Q（cos?,sin?）（0，2）cos?1（0???900）斜率的－2倍，有图可得Q在单位圆周上运动，当直线PQ与圆弧

4?切于点Q时，u取到最小值。此时KPQ??3，∴ umin?23， ??。 即水下

6问题转化为求u?电缆应从距B城（15－23+215（万元）。

3）km处向A城铺设，图三因此此时总费用达最小值3注：本题在求u的最小值时，除了利用数结合的方法外，还可以利用三角函数的有界性等方法。 探索与思考：

1. 你能用其他方法解决上述两个实际问题吗？

2. 通过两个例子你能体会三角函数在生活中应用之大，从而体会学习数学的意义了吗？

食品包装问题

3

某糖果厂为了拓宽其产品的销售市场，决定对一种半径为1的糖果的外层包装进行设计。设计时要求同时满足如下条件：

（1）外包装要呈一封闭的圆锥形状；（2）为减少包装成本，要求所用材料最省；（3）为了方便携带，包装后每个糖果的体积最小。问：这些条件能同时满足吗？如果能，如何设计这个圆锥的底面半径和高？此时所用的外包装用料是多少？体积是多少？若不能，请说明理由。

分析：要求该圆锥的全面积和体积，需要知道它的下底面半径AC、母线PA及高PC，这些变量之间的关系可以通过一个“角”把它们联系起来。

解：如图，设?OAC??，则OC?1，下底面半径

A B

R?C

，高h?Rtan2?，??（0，）AC?R?cot?,母线长l?.cos2?4R1?1) ??cot2? 则S全??Rl??R2??R(?R)??R2(cos2?cos2?12?(+1)=; 1?tan2?tan2??(1?tan2?)1?tan2?112tg?111 ?R2h? ?R2· ?R3tg2?? ?ctg3?= V?Rtg2??331?tg2?333O P

?2

tg2?(1?tg2?)2时，能使S全和v同时取到最小值，此时2∴当且仅当tg2??1－tg2?,即tg??R?2，h?2，即当圆锥的下底面半径和高分别为2、2时能同时满足条件，

4

8外包装用料是8?，体积是?。

3营救区域规划问题

如图，在南北方向直线延伸的湖岸上有一港口A，一机艇以60km/h的速度从A出发，30分钟后因故障而停在湖里，已知机艇出发后先按直线前进，以后又改成正东，但不知最初的方向和何时改变方向。如何去营救，用图示表示营救的区域。

分析：1.要表示出一个区域，一般可在直角坐标系中表示，所以应首先建立直角坐标系；2.题中涉及到方向问题，所以不妨用方向角θ作为变量来求解。

解：以A为原点，过A的南北方向直线为y轴建立直角坐标系，如图：设机艇的最初航向的方位角为θ，设OP方向前进m到达点P，然后向东前进n到达点Q发生故障而抛锚。则m?n?30,令点Q的坐标为， （x,y）?x?msin??n?则? ??[0，].

2?y?mcos?∴

2AQ?x2?y2?m2?n2?2mnsin??m2?n2?2mn?（m?n）?9002∵机艇中途东拐，∴x2?y2?900.…………① 又

msin(??∵x??(??y?s??m innc?4?x?y?30????②?

)?n?m?n?30,

（x,y）满足不等式组①和②的点Q所在的区域，按对称性知上图阴影区域所示。

探索与思考：

1.你能用其他方法解决上述两个实际问题吗？

2.通过两个例子你能体会三角函数在生活中应用之大，从而体会学习数学的意义了吗？

5

足球射门问题

在训练课上，教练问左前锋，若你得球后，沿平行于边线GC的直线EF助攻到前场（如图，设球门宽AB?a米，球门柱B到FE的距离BF?b米），那么你推进到距底线CD多少米时，为射门的最佳位置？（即射门角?APB最大时为射门的最佳位置）？请你帮助左前锋回答上述问题。 D 分析：本题中要求射门的最佳位置，题目中已对A 题意进行了明确，即只要当射门角最大时为最佳位B 置。所以设角后“求解角”的过程是本题的关键。 F C 若直接在非特殊APB中利用边来求?APB的

P E G 最值，显得比较繁琐，注意到?APB??APF－?BPF，而后两者都在Rt中，故可应用直角三角形的性质求解。

（?、?为锐角），解：如图，设FP?x，?APB??，?BPF??则?APF????，tg(???)?tg?? tg[(???)－?]?a?bx,tg??

bx,

tg(???)?tg?=

1?tg(???)?tg?a(a?b)?b。若令y?x?，

(a?b)?bxx?x则y?2x?(a?b)?b(a?b)?b=2(a?b)?b，当x?,即x?(a?b)?b时，y取到

xx最小值2(a?b)?b，从而可知x?(a?b)?b时，tg?取得最大值，即

tg??a时，?有最大值。故当P点距底线CD为(a?b)?b米时，为

2(a?b)?b 6

射门的最佳位置。依图像知，在白天的9—15时这个时间段可供冲浪爱好者进行冲浪运动。

点评：本例一开始也可直接建立余弦函数模型y?Acos?t?k。另外，模拟汉书中的少数点有误差是允许的。

最值问题

三角函数的最值问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关,而且与代数中的二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识的联系也很密切。因此,三角函数的最值问题的求解,不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图象以及三角函数的恒等变形,还经常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算等众多知识。这类问题往往概念性较强,具有一定的综合性和灵活性。

100m的正方形地皮， 其中 如图，ABCD是一块边长为AST是一半径为AT?90m的扇形小山，其余部分都是平地。一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在弧ST上，相邻两边CQ，CR落在正方形的边

BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值。

解：设?PAB??, (00???900),延长RP交AB于M，

易得PQ?MB?AB?AM?100?90cos?， RP?RM—PM?100?90sin?， 从而S矩形PQCR?(100?90cos?)(100?90sin?)?10000?9000(sin??cos?)?8100sin?cos? 令t?sin??cos? ，(1?t?2)， 则S矩形PQCR10t2?1?4050(t?10)2?950，t?故当时，S矩形PQCR?10000?9000t?8100?992有最小值950m2；当t?2时，S矩形PQCR有最大值(14050?90002)m2

[思维点拔]引进变量?建立面积函数后，问题转化为求解三角函数的最值问题.

一条河宽1km，两岸各有一座城镇A和B，A与B的直线距离是4km，仅需在

A、B间铺设一条电缆。已知地下电缆的修建费是2万元/km，水下电缆的修建费是2万元/km。假设河的两岸呈平行线状，那么如何铺设电缆方可使总是费用达到最少？

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A

C D B

图九

解：如图所示，设过A点作对岸的垂线，垂足为C,若从A到C再到B的线路铺设电缆，虽然AC最短，但陆上线路BC太长并不合算。

设在BC之间取一点D,CD?x?km?, ?CAD??,则x?tan?,依题意知总施工费用y(万元)的函数关系式为

y?41?x2?2(15?x)

?41?tan??2(15?tan?),(0?tan??15)2

cos2??sin2?sin??y?4?2(15?)2cos? cos?

4?2sin?2?sin???215?2(?15),cos?cos?令u?2?sin?，则sin??ucos??2 cos?有sin(???)?|sin(???)|?1即22u?122 （1）

u?1?1，解得u?3

当u?3时，则tan??3,??由（ 1）知sin(???)?1即?????3,?2

????6时，ymin?2(3?15)?11.2(万元)

3)km,处的D点,再从3即先从B镇沿河岸铺设地下电缆至距离B镇(15?D点向A镇铺设水下电缆，可使得总施工费用最少，约为11.2万元。

把一段半径为R的圆木，锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法，才能使横截

8

面积最大？

分析：如图所示：

设?CAB??，则AB?2Rcos?,CB?2Rsin?

S矩形ABCD?ABBC?2R2sin2??2R2D O A C

当且仅当sin2??1时，即

???24时，Smax?2R

θ B 所以在圆木的横截面上截取内接正方形时，才能使横截面积最大。 生活中的实际问题：

在这里提供这样一个生活中的问题，看看它们与三角函数的联系。（让学生探究解决）

在一住宅小区里，有一块空地，这块空地可能有这样三种情况： （1）是半径为10米的半圆；

（2）是半径为10米，圆心角为60的扇形； （3）是半径为10米，圆心角为120的扇形；

现要在这块空地里种植一块矩形的草皮，使得其一边在半径上，应如何设计，使得此草皮面积最大？并求出面积的最大值。

分析1：第一种情况，如图所示：连结OC， 设?BOC??，则BC?10sin?，OB?10cos?， AB?2OB?20cos?

S矩形?AB?BC?200sin?cos??100sin2? D C

sin2??1 ?S矩形?100

即 2??90，??45

E θ F 这时BO?AO?10cos45?52,BC?52 A O B

此时，点A、D分别位于点O的左右方52处时S取得最大值100。 分析2：第二种情况，连结OC，

设?BOC??，则BC?10sin?，OB?10cos?，

OA?BCcot60?103sin?3

E D C S矩形?AB?BC?(OB?OA)?BC ?(10cos??

103sin?)?10sin?3

10032sin?3θ O A B F ?100sin?cos?? ?50sin2??

503(1?cos2?)3

9

1003?503sin(2??)?363

5032??Smax?m??sin(2??)?136时，6当且仅当时，即 ?分析3：如图所示：连结OB,

设?AOB??，则AB?10sin?，OA?10cos?，

E C O

θ B A D

S矩形?OA?AB?100sin?cos??50sin2?当且仅当sin2??1时，即例中的题的联系。

试试身手：(看谁做得快又准确)

???4时，

Smax?50学生发言完毕，老师总结，将每个同学的发言简单整理；引导学生分析此题与引

下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表（时间近似到0.1小时）

1日期 月1日 日期位置1 序号x 白昼时间y（小时） （I）以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在给定坐标系中画出这些数据的散点图；

（Ⅱ）试选用一个形如y?Asin(?x??)?t的函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系.[注：①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算]

（Ⅲ）用（Ⅱ）中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时.

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2月28 日 3月21 日 4月27 日 5月6 日 6月21 日 8月13 日 9月20 日 10月12月25日 21日 59 80 117 126 172 225 263 298 355 5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.4 8.5 5.4

解：（I）画散点图见下面.

（Ⅱ）由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为

y?Asin(?x??)?t， 由图形知函数的最大值为19.4，最小值为5.4， 即

ymax?19.4,ymin?5.4，

由19.4－5.4=14，得A=7； 由19.4+5.4=24.8，得t=12.4；

又T=365，

???2?365. 当x?172时,2?x365????2, ????323?730?(?等于?32?73,?323?161?65?730,?365,?146均可) ?y?7sin(2?365x?323?730)?12.4.(1?x?365,x?N?)

（Ⅲ）

由y?15.9得sin(2?x323?1?2?x323?5?365?730)?2.?6?365?730?6,365323365?

12?4?x?52?6?3234,?112?x?232.

∴该地大约有121天（或122天）白昼时间大于15.9小时.

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小结：

通过我们的研究，我们深深地体会到，身边就有数学，数学就在身边，在以后的学习过程中，只要我们勇于探索，有些同学可能会成为真正的发明家、创造者，我们现在的研究让它作为一个奠基，通过我们的研究开拓思路，为将来成为一名数学家、发明家创造良好的条件。

总之，设“角”求解的应用题一般涉及到角与边之间的相互关系，对这类问题，有的虽然可以用边为变量建立函数关系，但往往求解比较困难。用“角变量”建立函数关系后的求解过程是这类问题的另一难点，一般可以利用三角函数的相关知识，如正弦、余弦定理、数形结合、三角函数的有界性、基本不等式、函数单调性等。 探索与思考：

1.你能用其他方法解决上述两个实际问题吗？

2.通过两个例子你能体会三角函数在生活中应用之大，从而体会学习数学的意义了吗？

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/622w.html