考研数学公式手册

考研数学公式

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB

tanA?tanBtanA?tanBtan(A+B) = tan(A-B) =

1-tanAtanB1?tanAtanBcotAcotB-1cotAcotB?1cot(A+B) = cot(A-B) =

cotB?cotAcotB?cotA

倍角公式

2tanAtan2A = Sin2A=2SinA?CosA

1?tan2ACos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A

三倍角公式

sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA

??tan3a = tana·tan(+a)·tan(-a)

33

半角公式 sin(

AAA1?cosA1?cosA1?cosA)= cos()= tan()= 222221?cosAAA1?cosAsinA1?cosA)= tan()== 22sinA1?cosA1?cosAcot(

和差化积

a?ba?ba?ba?bcos sina-sinb=2cossin 2222a?ba?ba?ba?bcosa+cosb = 2coscos cosa-cosb = -2sinsin

2222sin(a?b)tana+tanb=

cosacosb

积化和差

11Sina sinb = -[cos(a+b)-cos(a-b)] Cosa cosb = [cos(a+b)+cos(a-b)]

2211Sina cosb = [sin(a+b)+sin(a-b)] Cosa sinb = [sin(a+b)-sin(a-b)]

22

诱导公式

sina+sinb=2sin

sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(sin(

??-a) = cosa cos(-a) = sina 22??+a) = cosa cos(+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa 22sinasin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =

cosa

万能公式

aaa2tan1?(tan)22tan2 cosa=2 tana=2 sina=

aaa1?(tan)21?(tan)21?(tan)2222其它公式

ba?sina+b?cosa=(a2?b2)×sin(a+c) [其中tanc=]

aaa?sin(a)-b?cos(a) = (a2?b2)×cos(a-c) [其中tan(c)=]

baaaa1+sin(a) =(sin+cos)2 1-sin(a) = (sin-cos)2

2222

其他非重点三角函数 11csc(a) = sec(a) =

sinacosa双曲函数

ea-e-aea?e-asinh(a)sinh(a)= cosh(a)= tg h(a)=

22cosh(a)公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosα tan（2kπ＋α）= tanα cot（2kπ＋α）= cotα 公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）= -sinα cos（π＋α）= -cosα tan（π＋α）= tanα cot（π＋α）= cotα 公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosα tan（-α）= -tanα cot（-α）= -cotα 公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα cot（π-α）= -cotα 公式五：

利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）= -tanα cot（2π-α）= -cotα 公式六： ?3?±α及±α与α的三角函数值之间的关系： 22????sin（+α）= cosα cos（+α）= -sinα tan（+α）= -cotα cot（+α）= -tanα

2222????sin（-α）= cosα cos（-α）= sinα tan（-α）= cotα cot（-α）= tanα

22223?3?3?3?sin（+α）= -cosα cos（+α）= sinα tan（+α）= -cotα cot（+α）= -tanα

22223?3?3?3?sin（-α）= -cosα cos（-α）= -sinα tan（-α）= cotα cot（-α）= tanα

2222(以上k∈Z)

A?sin(ωt+θ)+ B?sin(ωt+φ) =A2?B2?2ABcos(???)×sin

?t?arcsin[(Asin??Bsin?)A?B?2ABcos(???)22

高等数学公式

导数公式：

(tanx)??secx(cotx)???csc2x(secx)??secx?tanx(cscx)???cscx?cotx(ax)??axlna(logax)??基本积分表：

2(arcsinx)??11xlna1?x21(arccosx)???1?x21(arctanx)??1?x21(arcctanx)???1?x2?tanxdx??lncosx?C?cotxdx?lnsinx?C?secxdx?lnsecx?tanx?C?cscxdx?lncscx?cotx?Cdx1x?arctan?C?a2?x2aadx1x?a?ln?x2?a22ax?a?Cdx1a?x??a2?x22alna?x?Cdxx?arcsin?C?a2?x2a?2ndx2?cos2x??secxdx?tanx?Cdx2?sin2x??cscxdx??cotx?C?secx?tanxdx?secx?C?cscx?cotxdx??cscx?Cax?adx?lna?Cx?shxdx?chx?C?chxdx?shx?C?dxx2?a2?ln(x?x2?a2)?C?2In??sinxdx??cosnxdx?00n?1In?2n???x2a22x?adx?x?a?ln(x?x2?a2)?C22x2a2222x?adx?x?a?lnx?x2?a2?C22x2a2x222a?xdx?a?x?arcsin?C22a22三角函数的有理式积分：

2u1?u2x2dusinx?，　cosx?，　u?tan，　dx? 22221?u1?u1?u一些初等函数： 两个重要极限：

e?e2ex?e?x双曲余弦:chx?2shxex?e?x双曲正切:thx??xchxe?e?x双曲正弦:shx?arshx?ln(x?x2?1）archx??ln(x?x2?1)11?xarthx?ln21?x三角函数公式： ·诱导公式：

函数 角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α sin x?x

sinx lim?1x?0 x1

lim(1?)x?e?2.718281828459045...x?? x

cos tan cot -sinα cosα cosα cosα sinα sinα -tanα -cotα cotα tanα -sinα -cotα -tanα -cosα -tanα -cotα cotα tanα -sinα -cosα tanα -cosα -sinα cotα -cosα sinα -sinα cosα sinα cosα -cotα -tanα -tanα -cotα tanα cotα

·和差角公式： ·和差化积公式：

sin(???)?sin?cos??cos?sin?cos(???)?cos?cos??sin?sin?tan??tan?tan(???)?1?tan??tan?cot??cot??1cot(???)?cot??cot?·倍角公式：

sin??sin??2sin???22??????sin??sin??2cossin22??????cos??cos??2coscos22??????cos??cos??2sinsin22cos???

sin2??2sin?cos?

cot2??1 cot2??

22222cot?cos2??2cos??1?1?2sin??cos??sin?cos3??4cos3??3cos?2tan?tan2?? 1?tan2?3tan??tan3?

tan3??sin3??3sin??4sin3?1?3tan2?·半角公式：

sintan

?2????1?cos??1?cos?　　　　　　　　　　　　cos??2221?cos?1?cos?sin??1?cos?1?cos?sin???　　cot????1?cos?sin?1?cos?21?cos?sin?1?cos??2·正弦定理：

abc???2R ·余弦定理：c2?a2?b2?2abcosC sinAsinBsinC·反三角函数性质：arcsinx??2?arccosx　　　arctanx??2?arccotx

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

(uv)(n)k(n?k)(k)??Cnuvk?0n?u(n)v?nu(n?1)v??n(n?1)(n?2)n(n?1)?(n?k?1)(n?k)(k)uv?????uv???uv(n)2!k!

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)f(b)?f(a)f?(?)柯西中值定理：?F(b)?F(a)F?(?)曲率：

当F(x)?x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。弧微分公式：ds?1?y?2dx,其中y??tan?平均曲率：K???.??:从M点到M?点，切线斜率的倾角变化量；?s：MM?弧长。?sy????d?M点的曲率：K?lim??.

23?s?0?sds(1?y?)1.a直线：K?0;半径为a的圆：K?定积分的近似计算：

b矩形法：?f(x)?ab?a(y0?y1???yn?1) nb梯形法：?f(x)?abb?a1[(y0?yn)?y1???yn?1]n2b?a[(y0?yn)?2(y2?y4???yn?2)?4(y1?y3???yn?1)]3n

抛物线法：?f(x)?a定积分应用相关公式：

功：W?F?s水压力：F?p?Am1m2,k为引力系数 2rb1函数的平均值：y?f(x)dx?b?aa引力：F?k12均方根：f(t)dt?b?aa空间解析几何和向量代数：

b空间2点的距离：d?M1M2?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2向量在轴上的投影：PrjuAB?AB?cos?,?是AB与u轴的夹角。????Prju(a1?a2)?Prja1?Prja2????a?b?a?bcos??axbx?ayby?azbz,是一个数量,两向量之间的夹角：cos??i???c?a?b?axbxjaybyaxbx?ayby?azbzax?ay?az?bx?by?bz222222k??????az,c?a?bsin?.例：线速度：v?w?r.bzaybycyaz???bz?a?b?ccos?,?为锐角时，cz

ax??????向量的混合积：[abc]?(a?b)?c?bxcx代表平行六面体的体积。平面的方程：?1、点法式：A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0，其中n?{A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax?By?Cz?D?0xyz3、截距世方程：???1abc

平面外任意一点到该平面的距离：d?Ax0?By0?Cz0?DA2?B2?C2?x?x0?mtx?xy?y0z?z0??空间直线的方程：0???t,其中s?{m,n,p};参数方程：?y?y0?ntmnp?z?z?pt0?二次曲面：x2y2z21、椭球面：2?2?2?1abcx2y22、抛物面：??z（,p,q同号）2p2q3、双曲面：x2y2z2单叶双曲面：2?2?2?1abcx2y2z2双叶双曲面：2?2?2?（马鞍面）1abc多元函数微分法及应用

全微分：dz??z?z?u?u?udx?dy　　　du?dx?dy?dz?x?y?x?y?z全微分的近似计算：?z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y多元复合函数的求导法：dz?z?u?z?vz?f[u(t),v(t)]　　　????　dt?u?t?v?t?z?z?u?z?vz?f[u(x,y),v(x,y)]　　　?　????x?u?x?v?x当u?u(x,y)，v?v(x,y)时，du??u?u?v?vdx?dy　　　dv?dx?dy　?x?y?x?y隐函数的求导公式：FxFFdydyd2y??隐函数F(x,y)?0，　　??，　　2?(?x)＋(?x)?dxFy?xFy?yFydxdxFyF?z?z隐函数F(x,y,z)?0，　??x，　　???xFz?yFz

?F?F(x,y,u,v)?0?(F,G)?u隐函数方程组：　　　J????G?(u,v)?G(x,y,u,v)?0?u?F?v?Fu?GGu?vFvGv?u1?(F,G)?v1?(F,G)?u1?(F,G)?v1?(F,G)???　　??????　　??? ?xJ?(x,v)?xJ?(u,x)?yJ?(y,v)?yJ?(u,y)微分法在几何上的应用：

?x??(t)x?xy?y0z?z0?空间曲线?y??(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：0?????(t)?(t)??(t0)00?z??(t)?在点M处的法平面方程：??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0??FyFzFzFxFx?F(x,y,z)?0若空间曲线方程为：,则切向量T?{,,?GGGxGx?yzGz?G(x,y,z)?0曲面F(x,y,z)?0上一点M(x0,y0,z0)，则：?1、过此点的法向量：n?{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}x?x0y?y0z?z03、过此点的法线方程：??Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度：

FyGy}2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)(z?z0)?0?f?f?f函数z?f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：?cos??sin??l?x?y其中?为x轴到方向l的转角。?f??f?函数z?f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)?i?j?x?y

???f??它与方向导数的关系是：?gradf(x,y)?e，其中e?cos??i?sin??j，为l方向上的?l单位向量。?f?是gradf(x,y)在l上的投影。?l多元函数的极值及其求法：

设fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?0，令：fxx(x0,y0)?A,　fxy(x0,y0)?B,　fyy(x0,y0)?C??A?0,(x0,y0)为极大值2AC?B?0时，???A?0,(x0,y0)为极小值??2则：值?AC?B?0时，　　　　　　无极?AC?B2?0时,　　　　　　　不确定???重积分及其应用：

??f(x,y)dxdy???f(rcos?,rsin?)rdrd?DD?曲面z?f(x,y)的面积A???D??z???z?1???????y??dxdy?x????22平面薄片的重心：x?Mx?M??x?(x,y)d?D???(x,y)d?DD,　　y?MyM???y?(x,y)d?D???(x,y)d?D平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix???y2?(x,y)d?,　　对于y轴Iy???x2?(x,y)d?D

平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a?0)的引力：F?{Fx,Fy,Fz}，其中：Fx?f??D?(x,y)xd?(x?y?a)2222，　　Fy?f??3D?(x,y)yd?(x?y?a)2222，　　Fz??fa??3D?(x,y)xd?(x?y?a)22322柱面坐标和球面坐标：

?x?rcos??柱面坐标：f(x,y,z)dxdydz????F(r,?,z)rdrd?dz,?y?rsin?,　　　??????z?z?其中：F(r,?,z)?f(rcos?,rsin?,z)?x?rsin?cos??2球面坐标：?y?rsin?sin?，　　dv?rd??rsin??d??dr?rsin?drd?d??z?rcos??2??r(?,?)2F(r,?,?)rsin?dr?0????f(x,y,z)dxdydz????F(r,?,?)rsin?drd?d???d??d??002重心：x?1M???x?dv,　　y???1M???y?dv,　　z???1M???z?dv，　　其中M?x?????dv???转动惯量：Ix????(y2?z2)?dv，　　Iy????(x2?z2)?dv，　　Iz????(x2?y2)?dv

曲线积分：

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：?x??(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,　　(??t??),则：??y??(t)?L?x?t22??f(x,y)ds??f[?(t),?(t)]?(t)??(t)dt　　(???)　　特殊情况：??y??(t)??

第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：?x??(t)设L的参数方程为，则：??y??(t)??P(x,y)dx?Q(x,y)dy???{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dtL两类曲线积分之间的关系：?Pdx?Qdy??(Pcos??Qcos?)ds，其中?和?分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。?Q?P?Q?P格林公式：(?)dxdy?Pdx?Qdy格林公式：(?)dxdy??Pdx?Qdy??????x?y?x?yDLDL?Q?P1当P??y,Q?x，即：??2时，得到D的面积：A???dxdy??xdy?ydx?x?y2LD·平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！·二元函数的全微分求积：?Q?P在＝时，Pdx?Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：?x?y(x,y)?Q?P＝。注意奇点，如(0,0)，应?x?yu(x,y)?(x0,y0)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy，通常设x0?y0?0。

曲面积分：

22对面积的曲面积分：f(x,y,z)ds?f[x,y,z(x,y)]1?z(x,y)?z(x,y)dxdyxy?????Dxy对坐标的曲面积分：??P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy，其中：???R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正号；?Dxy??P(x,y,z)dydz????P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正号；?Dyz

??Q(x,y,z)dzdx????Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正号。?Dzx两类曲面积分之间的关系：??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds??高斯公式：

???(??P?Q?R??)dv???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds?x?y?z??高斯公式的物理意义——通量与散度：??P?Q?R?散度：div????,即：单位体积内所产生的流体质量，若div??0,则为消失...?x?y?z??通量：??A?nds???Ands???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds，?因此，高斯公式又可写成：???divAdv???Ands

?????斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

??(??R?Q?P?R?Q?P?)dydz?(?)dzdx?(?)dxdy??Pdx?Qdy?Rdz?y?z?z?x?x?y?cos???yQcos???zR

dydzdzdxdxdycos?????上式左端又可写成：??????x?y?z?x??PQRP?R?Q?P?R?Q?P空间曲线积分与路径无关的条件：?，　?，　??y?z?z?x?x?yijk????旋度：rotA??x?y?zPQR???向量场A沿有向闭曲线?的环流量：Pdx?Qdy?Rdz?A???tds??常数项级数：

1?qn等比数列：1?q?q???q?1?q(n?1)n 等差数列：1?2?3???n?2111调和级数：1?????是发散的23n2n?1

级数审敛法：

1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：???1时，级数收敛?设：??limnun，则???1时，级数发散n?????1时，不确定?2、比值审敛法：???1时，级数收敛U?设：??limn?1，则???1时，级数发散n??Un???1时，不确定?3、定义法：sn?u1?u2???un;limsn存在，则收敛；否则发散。n??

交错级数u1?u2?u3?u4??(或?u1?u2?u3??,un?0)的审敛法——莱布尼兹定理：? ?un?un?1如果交错级数满足s?u1,其余项rn的绝对值rn?un?1。?limu?0，那么级数收敛且其和??n??n绝对收敛与条件收敛：

(1)u1?u2???un??，其中un为任意实数；(2)u1?u2?u3???un??如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。 1(?1)n调和级数：?n发散，而?n收敛；1　　级数：?n2收敛；ｐ?１时发散1　　p级数：?np　　p?1时收敛幂级数：

1x?1时，收敛于1?x1?x?x2?x3???xn??　　x?1时，发散对于级数(3)a0?a1x　?a2x2???anxn??，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全x?R时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使x?R时发散，其中R称为收敛半径。x?R时不定1

??0时，R?求收敛半径的方法：设liman?1??，其中an，an?1是(3)的系数，则??0时，R???n??an????时，R?0?函数展开成幂级数：

f??(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数：f(x)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n??2!n!f(n?1)(?)余项：Rn?(x?x0)n?1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn?0n??(n?1)!f??(0)2f(n)(0)nx0?0时即为麦克劳林公式：f(x)?f(0)?f?(0)x?x???x??2!n!

一些函数展开成幂级数：

m(m?1)2m(m?1)?(m?n?1)nx???x??　　　(?1?x?1)2!n! 2n?1x3x5xsinx?x?????(?1)n?1??　　　(???x???)3!5!(2n?1)!(1?x)m?1?mx?欧拉公式：

?eix?e?ixcosx???2 eix?cosx?isinx　　　或?ix?ix?sinx?e?e?2?三角级数：

a0?f(t)?A0??Ansin(n?t??n)???(ancosnx?bnsinnx)2n?1n?1其中，a0?aA0，an?Ansin?n，bn?Ancos?n，?t?x。正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x?sinnx,cosnx?任意两个不同项的乘积在[??,?]上的积分＝0。

?

傅立叶级数：

a0?f(x)???(ancosnx?bnsinnx)，周期?2?2n?1??1(n?0,1,2?)?an??f(x)cosnxdx　　　????其中???b?1f(x)sinnxdx　　　(n?1,2,3?)?n?????11?21?2?2???835　111?2?????24224262正弦级数：an?0，bn?余弦级数：bn?0，an?111?21?2?2?2???（相加）6234111?21?2?2?2???（相减）12234f(x)sinnxdx　　n?1,2,3?　f(x)??b??02?nsinnx是奇函数2???0f(x)cosnxdx　　n?0,1,2?　f(x)?a0??ancosnx是偶函数2

周期为2l的周期函数的傅立叶级数：

a0?n?xn?xf(x)???(ancos?bnsin)，周期?22n?1lll?1n?xa?f(x)cosdx　　　(n?0,1,2?)?n?ll??l其中?

l?b?1f(x)sinn?xdx　　　(n?1,2,3?)?nl?l?l?微分方程的相关概念：

一阶微分方程：y??f(x,y)　或　P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy?f(x)dx的形式，解法：?g(y)dy??f(x)dx　　得：G(y)?F(x)?C称为隐式通解。dyy?f(x,y)??(x,y)，即写成的函数，解法：dxx

ydydududxduy设u?，则?u?x，u???(u)，??分离变量，积分后将代替u，xdxdxdxx?(u)?ux齐次方程：一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：

dy1、一阶线性微分方程：?P(x)y?Q(x)dx?P(x)dx当Q(x)?0时,为齐次方程，y?Ce?P(x)dx?P(x)dx当Q(x)?0时，为非齐次方程，y?(?Q(x)e?dx?C)e?

dy2、贝努力方程：?P(x)y?Q(x)yn，(n?0,1)dx全微分方程：

如果P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0中左端是某函数的全微分方程，即：?u?udu(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0，其中：?P(x,y)，?Q(x,y)

?x?y?u(x,y)?C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：

f(x)?0时为齐次d2ydy ?P(x)?Q(x)y?f(x)，2dxdxf(x)?0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)y???py??qy?0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：(?)r2?pr?q?0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y??,y?,y的系数；2、求出(?)式的两个根r1,r23、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：

r1，r2的形式 两个不相等实根(p?4q?0) 两个相等实根(p?4q?0) 一对共轭复根(p?4q?0) 222(*)式的通解 y?c1er1x?c2er2x y?(c1?c2x)er1x y?e?x(c1cos?x?c2sin?x) r1???i?，r2???i?4q?p2 p???，??22二阶常系数非齐次线性微分方程 y???py??qy?f(x)，p,q为常数f(x)?e?xPm(x)型，?为常数；f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型

dy1、一阶线性微分方程：?P(x)y?Q(x)dx?P(x)dx当Q(x)?0时,为齐次方程，y?Ce?P(x)dx?P(x)dx当Q(x)?0时，为非齐次方程，y?(?Q(x)e?dx?C)e?

dy2、贝努力方程：?P(x)y?Q(x)yn，(n?0,1)dx全微分方程：

如果P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0中左端是某函数的全微分方程，即：?u?udu(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0，其中：?P(x,y)，?Q(x,y)

?x?y?u(x,y)?C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：

f(x)?0时为齐次d2ydy ?P(x)?Q(x)y?f(x)，2dxdxf(x)?0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)y???py??qy?0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：(?)r2?pr?q?0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y??,y?,y的系数；2、求出(?)式的两个根r1,r23、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：

r1，r2的形式 两个不相等实根(p?4q?0) 两个相等实根(p?4q?0) 一对共轭复根(p?4q?0) 222(*)式的通解 y?c1er1x?c2er2x y?(c1?c2x)er1x y?e?x(c1cos?x?c2sin?x) r1???i?，r2???i?4q?p2 p???，??22二阶常系数非齐次线性微分方程 y???py??qy?f(x)，p,q为常数f(x)?e?xPm(x)型，?为常数；f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型

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