北师版九年级上册数学同步精品讲义

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四边形

平行四边形

第01讲菱形

温故知新

我们之前学习了平行四边形及矩形，下面简单的回顾一下：

1、四边形

2、平行四边形的性质：

边：角：

对角线：

3、我们又学习了哪种特殊的平行四边形？满足什么条件即可？它相比平行四边形而言，特殊在哪？

智慧乐园

探究活动：让我们一起通过折纸、剪纸的方法得到菱形。

我们一起这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.

观察得到的菱形，猜想菱形有什么性质？

边：菱形的两组对边分别平行。（这是平行四边形具有的性质）

菱形的四条边都相等。（这是菱形特有的性质，如何进行证明呢？）

角：菱形的两组对角分别相等。

菱形的邻角互补。

对角线：菱形的对角线互相平分、垂直，且每条对角线平分一组对角。

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知识要点一

菱形的定义与性质

1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

注意：（1）菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等。二者必须同时具备，缺一不可。

（2）菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的基本判定方法。

2、性质：

（1）菱形的四条边都相等；

（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

（3）菱形具有平行四边形的一切性质；

（4）菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线；

（5）利用菱形的性质可证线段相等，角相等；

（6）菱形的面积计算：

①菱形的面积等于底乘高；

②菱形的面积等于对角线乘积的一半，对角线互相垂直的四边形的面积都可以用

两条对角线乘积的一半来进行计算。

?典例分析

例1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）

A．对边相等 B．对角相等

C．对角线互相平分D．对角线互相垂直

例2、

如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）

A．B．

C．5 D．4

例3、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD的

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长为（）

A．2 B．3

C ．D．2

例4、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH等于（）

A．2 B ．

C ．

D ．

例5、如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的

菱形，剪口与折痕所成的角a的度数应为

．

例6、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE= ．

例7、如图，在菱形ABCD中，点E为AB的中点，请只用无刻度的直尺作图

（1）如图1，在CD上找点F，使点F是CD的中点；

（2）如图2，在AD上找点G，使点G是AD的中点．

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?举一反三

1、如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（）

A．3cm B．4cm

C．2.5cm D．2cm

2、如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E、F分别在边AB、BC上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD 上．若

EG ⊥AC，AB=6，则FG的长为．

（1）求证：△ABE≌△ADE；

（2）若AB=AE，∠BAE=36°，求∠CDE的度数．

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知识要点二

菱形的判定

判定的方法：

1、（定义法）：有一组邻边相等的平行四边形是菱形

2、（对角线）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

3、（边）：四条边相等的四边形是菱形。

注意：（1）判定菱形时，一定要明确前提条件是从“四边形”出发的，还是从“平行四边形”出发的；

（2）判定菱形的方法：

①若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直

接证明四边形的对角线互相垂直平分；

②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明

四边形的四边都相等。

?典例分析

例1、如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED 为菱形的是（）

A．AB=BC B．AC=BC

C．∠B=60° D．∠ACB=60°

例2、如图，在?ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使?ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）

A．AB=AD B．AC⊥BD

C．AC=BD D．∠BAC=∠DAC

例3、如图，已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC 拼成四边

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形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（）

A．一组邻边相等的平行四边形是菱形

B．四条边相等的四边形是菱形

C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形

D．对角线互相垂直的平分四边形是菱形

例4、如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：

①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④FH=BD；

其中正确结论的是（）

A．①②③B．①②④

C．①③④D．②③④

例5、如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC 是对称轴，

AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；

④△ABD≌△CDB．其中正确的是（只填写序号）

例6、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F．

（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；

（2）当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形．

?举一反三

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1、如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H

分别是AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则

四边形ABCD需满足的条件是（）

A．AB=AD B．AC=BD

C．AD=BC D．AB=CD

2、如图，已知AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是边AC、AB的中点，连接DE、DF，要

使四边形AEDF称为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是

．

3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．

（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；

（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．

课堂闯关

?初出茅庐

建议用时：10分钟

1、如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（）

A．18 B．16

C．15 D．14

2、如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC=6，BD=4，则菱形

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ABCD的周长是（）

A．24 B．16

C．2 D．4

3、某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（）

A．20m B．25m

C．30m D．35m

4、如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动，可以添加一个条件，使四边形CBFE为菱形，下列选项中错误的是（）

A．BD=AE B．CB=BF

C．BE⊥CF D．BA平分∠CBF

5、如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC 的中点．若四边形ADEF是菱形，则△ABC 必须满足的条件是（）

A．AB⊥AC B．AB=AC

C．AB=BC D．AC=BC

6、如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为．

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?优学学霸

建议用时：15分钟

1、如图，已知△ABC的顶点B、C为定点，A为动点（不在直线BC上），B′是点B关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点，连接BC′、CB′、BB′、CC′．

（1）猜想线段BC′与CB′的数量关系，并证明你的结论；

（2）当点A运动到怎样的位置时，四边形BCB′C′为菱形？这样的位置有几个？请用语言对这样的位置进行描述（不用证明）；

（3）当点A在线段BC的垂直平分线（BC的中点及到BC 的距离为的点除外上运动时，判断以点B、C、B′、C′为顶点的四边形的形状，画出相应的示意图．（不用证明）

2、已知等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EF∥AB，分别交AC，BC于E，F点，作PM∥AC，交AB于M点，连接ME．（1）求证：四边形AEPM为菱形；

（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？

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考场直播

1、【2016春?深圳】如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的（）

A．仅甲正确 B．仅乙正确

C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误

2、【2013春?深圳】能够判定一个四边形是菱形的条件是（）

A．对角线互相垂直平分B．对角线互相平分且相等

C．对角线相等且互相垂直D．对角线互相垂直

3、【2015?深圳】如图，菱形ABCD中，对角线AC

与

BD相交于点O，且AC=8，BD=6，则菱形

ABCD的高DH= ．

自我挑战

建议用时：30分钟

1、如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，则下列等式

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中一定成立的是（）

A．AB=BE B．AC=2AB

C．AB=2OE D．AC=2OE

2、如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）

A．75° B．70°

C．60°D．55°

3、如图，菱形ABCD中，∠A=60°，周长是16，则菱形的面积是（）

A．16 B．16

C．16D．8

4、如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论：

①AD=BC=CE；②BD，AC 互相平分；

③四边形ACED是菱形；

④四边形ABED的面积为AB2．

其中正确的个数是（）

A．4个B．3个

C．2个D．1个

5、如图，下列选项中能使平行四边形ABCD是菱形的条件有（）

①AC⊥BD ②BA⊥AD ③AB=BC ④AC=BD．

A．①③B．②③

C．③④D．①②③

6、在△ABC中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，

使四边形AFDE为菱形，应添加的条件是（添加一个条

件即可）．

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7、如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周

长是

．

8、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F在对角线AC上，且∠ABF=∠CDE，AE=CF．

（1）求证：△ABF≌△CDE；

（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形BFDE是菱形？为什么？

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第02讲矩形

温故知新

复习平行四边形的性质

边

角

对角线

智慧乐园

活动一：拿出自制平行四边形学具，分组活动,交流回答下列问题

问题一：平行四边形在拖动过程中，什么在发生变化？

问题二：平行四边形的一个内角由锐角变为钝角的过程中，会发生什么特殊情况？这时的图形是什么图形？

学生归纳得出矩形定义：

活动二：矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？(小组讨论，得出猜测)

猜想1：

猜想2：

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知识点一

矩形的定义及性质

（1）矩形的定义

定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

注意：①矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形；

②矩形必须具备的两个条件：它是一个平行四边形，它有一个直角。

（2）矩形的性质：①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等；

③矩形具有平行四边形的所有性质；④矩形是轴对称图形。

（3）直角三角形斜边上的中线

直角三角形斜边上中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

?典例分析

例1、如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC、BD的交点，点E为BC上一点，连接EO，并延长交AD于点F，则图中全等三角形共有（）

A．3对B．4对

C．5对D．6对

例2、如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED的面积（）

A．2 B．4

C．4D．8

例3、如图所示，矩形ABCD 中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下面的结论：①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，

其中正确结论有（）

A．1个 B．2个

C．3个D．4个

例4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为

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AB，AC，BC的中点，则DC和EF的大小关系是（）

A．DC＞EF B．DC＜EF

C．DC=EF D．无法比较

例5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若

∠B=50°，则∠ACB′=

．

例6、如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．

（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；

（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．

?举一反三

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1、如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF 交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论正确的个数是（）

①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；

③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．

A．4个B．3个

C．2个D．1个

2、如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为斜边AC的中点，BD=6cm，则AC的长为（）

A．3 B．6

C ．D．12

3、已知：如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，若点E是

AO的中点，点F是OD的中点．求证：BE=CF．

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知识要点二

矩形的判定

判定方法

（1）方法一：（定义判断）有一个角是直角的平行四边形是矩形；

（2）方法二：（对角线判定）对角线相等的平行四边形是矩形；或对角线相等且互相平分的四边形是矩形；

（3）方法三：（角判定）有三个角是直角的平行四边形是矩形。

?典例分析

例1、在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（）

A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等

C．测量对角线是否相等 D．测量其中三个角是否都为直角

例2、如图，要使?ABCD成为矩形，需添加的条件是（）

A．AB=BC B．AO=BO

C．∠1=∠2 D．AC⊥BD

例3、如图，在锐角△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，下列结论中正确的是（）

①OE=OF；②CE=CF；③若CE=12，CF=5，则OC的长为6；

④当AO=CO时，四边形AECF是矩形．

A．①② B．①④

C．①③④ D．②③④

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例4、在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．

（1）求证：四边形BFDE为矩形；

（2）若AE=3，BF=4，AF平分∠DAB，求BE的长．

?举一反三

1、如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（）

A．AB=CD B．OA=OC，OB=OD

C ．

AC⊥BD D．AB∥CD，AD=BC

2、如图，已知MN∥PQ，EF与MN，PQ分别交于A、C两点，过A、C两点作两组内错角的平分线，分别交于点B、D，则四边形ABCD是．

3、如图，将?ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．

（1）求证：△BEF≌△CDF；

（2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．

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课堂闯关

?

初出茅庐

建议用时：10分钟

1、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED 的周长为（）

A．4 B．8

C．10 D．12

2、如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）

A．30° B．45°

C．60° D．75°

3、下列说法正确的是（）

A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．平行四边形的对角线相等 D．有一个角是直角的四边形是矩形

4、如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．

5、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于度．

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6、如图，在直角三角形ABC中，斜边上的中线CD=AC，则∠B 等于

．

?优学学霸

建议用时：15分钟

1、如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分别是AC、BD的中点，

∠BAC=15°，∠DAC=45°，则的值为．

2、如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．

（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；

（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；

（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．

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考场直播

1、【2016秋?深圳期末】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线相交于点O，要使它成为矩形，那么需要添加的条件可以是（）

A．AB=BC B．AB=AC

C．AC=BD D．AC⊥BD

2、【2016秋?深圳期末】如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，BE与CD相交于点F，BF=2CE，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．下列结论中：①∠A=67.5°；②DF=AD；③BE=2BG；④DH⊥BC，正确的个数是（）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

3、【2017?深圳】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE= 度．

自我挑战

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