2.简化圆锥曲线运算的几种数学思想

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专题：简化圆锥曲线运算的几种数学思想

（一）极端思想

通过考察圆锥曲线问题的极端元素，灵活地借助极限状态解题，则可以避开抽象及复杂运算，优化解题过程，降低解题难度。这是简化运算量的一条重要途径。

e?[例1] 求已知离心率

225?,2x?y?3?0相切于点5，过点（1，0）且与直线l：（33），

长轴平行于y轴的椭圆方程。

225215e??,(x?)2?(y?)2?05的椭圆353解：把点（33）看作离心率（“点椭圆”），

则与直线l：2x?y?3?0相切于该点的椭圆系即为过直线l与“点椭圆”的公共点的椭

215(x?)2?(y?)2??(2x?y?3)?0353圆系方程为：

又由于所求的椭圆过点（1，0），代入上式得，

???23

y2x??15因此，所求椭圆方程为：

2（二）补集思想

有些圆锥曲线问题，从正面处理较难，常需分类讨论，运算量大，且讨论不全又容易出错，如用补集思想考虑其对立面，可以达到化繁为简的目的。

[例2] k为何值时，直线l：y?1?k(x?1)不能垂直平分抛物线y?x的某弦。

2I?{k|k?R}A?{k|y?x的某弦}。若直线l垂直平l解：设，直线垂直平分抛物线

2分抛物线的弦AB，且A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1?x1，y2?x2 上述两式相减得：(y1?y2)(y1?y2)?x1?x2

221y1?y21??x1?x2y1?y2 即k?更多资源xiti123.taobao.com

又设M是弦AB的中点，且M(x0,y0)，则

y0?y1?y2k??22

因为点M在直线l上，所以

x0?11?2k

k211k3?2k?4(?)????02y?x22kk00由于M在抛物线的内部，所以，即 (k?2)(k2?2k?2)??0??2?k?0k

故原命题中k的取值范围是k??2或k?0

（三）整体思想

对有些圆锥曲线问题，注意其整体结构特点，设法将问题整体变形转化，以达到避免一些不必要的运算，降低解题难度。

x2y2??12[例3] 从椭圆3外一点P（2，4）作椭圆的切线，求两切线的夹角。

解：由椭圆的切线方程y?kx?ak?b知两切线的方程为：y?kx?3k?2

2又切线过点P（2，4），所以4?2k?3k?2，整理得，k?16k?14?0

22222所以k1?k2?16，k1?k2?14

k?k2tan??1?1?kk12所以

(k1?k2)2?4k1k21?k1k2

162?4?1422??1?143

所以两切线的夹角

??arctan223

（四）方程思想

把圆锥曲线问题中的解析式看作一个方程，通过解方程的手段或对方程的研究，使问题得到解决，这种思想方法在解析几何试题中经常使用。

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[例4] 已知双曲线C：(1?a)x?ay?a(a?1)，设该双曲线上支的顶点为A，且上支与直线y??x相交于P点，一条以A为焦点，M（0,m）为顶点，开口向下的抛物

2222211?k?3，求实数a的取值范围。 线通过点P，设PM的斜率为k，且4解：由双曲线方程知A（0，1），则抛物线方程为x??4(m?1)(y?m)，由双曲线与直线相交，解得点P的坐标为(?a,a)，又因为点P在抛物线上，所以

2a2??4(m?1)(a?m) ①

k?m?aa，所以m?ak?a

22而MP的斜率为

将m?ak?a代入①，得a??4(ak?a?1)(?ak)，即4ak?4(a?1)k?a?0②

11[,]根据题意，方程②在区间43上有实根

k?1?a?02a

令f(k)?4ak?4(a?1)k?a，其对称轴方程为

2?1f()?0?12?4??a?4?712?f(1)?0[,4]?3?所以 所以实数a的取值范围为7

（五）函数思想

对于圆锥曲线问题上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法处理起来十分方便。

[例5] 直线m：y?kx?1和双曲线x?y?1的左支交于A、B两点，直线l过P（?2,0）和AB线段的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围。

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?y?kx?1(x??1)?2222x?y?1y(k?1)x?2kx?2?0，由题意，有： ?解：由消去得

????4k2?8(1?k2)?0?2k?x?x??0?1221?k??2?xx??012?21?k??1?k?2 x1?x2k?x????021?k2??y?kx?1?10?01?k2 设M（x0,y0），则?k12,b?22?2k2?k?2 由P（?2,0）、M（1?k1?k）、Q（0,b）三点共线，可求得117??2(k?)2?48，则f(k)在(1,2)上为减函数。 设f(k)??2k?k?22所以f(2)?f(k)?f(1)，且f(k)?0

所以?(2?2)?f(k)?1 所以b??(2?2)或b?2

（六）参数思想

处理圆锥曲线问题，可以通过引入参变量替换，使许多相关或不相关的量统一在参变量下，其妙处在于减少未知量的个数或转化原命题的结构，以达到简化解题过程的目的。

(x?a)21y2?x?y2?12有公共点？ 2[例6] 当a为何实数时，椭圆与曲线C：

(解：椭圆方程变形为：

x?a2)2?y2?1

x?a设

2?cos?,y?sin?，即x?a?2cos?,y?sin?代入曲线C得：

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sin2??1(a?2cos?)22，即a?2sin??2cos?（1）

2y?2sin??2cos?的值椭圆与曲线C有交点，等价于方程（1）有解，即等价于函数

域

所以

a?2sin2??2cos??922?2(cos??)44

因为

?2?99229[?2,]?2(cos??)?4 444，所以a的取值范围是

（七）转化思想

数学问题的求解过程，实际上就是问题的转化过程。它主要体现在条件由“隐”转化为“显”，结论由“暗”转化为“明”，即从陌生向熟悉、复杂向简单、间接向直接的过程。 [例7] 设圆满足：① 截y轴所得弦长为2；② 被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x?2y?0的距离最小的圆的方程。

22解：设圆的圆心为P（a,b），半径为r，由①知r?a?1；由②知，圆P截x轴所得

22劣弧对应的圆心角为90?，即圆P截x轴所得的弦长为2r，故有r?2b，消去r得圆22心的轨迹为：2b?a?1

如何求圆心P（a,b）到直线l：x?2y?0的距离不同角度求条件最值问题。 转化1：变量替换求最值

22∵ 2b?a?1 ∴ (2b?a)(2b?a)?1

d?a?2b5的最小值，这样转化为从

设2b?a?t(t?0)，则有

2b?a?1112a?t?22b?t?t，解得t，t，所以有

111(t?)?2(t?)(2?1)t?(2?1)a?2bttt?d?25255=

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(2?1)t??

1(2?1)t?55

25(2?1)t?当且仅当或a?b??1

1(2?1)t，即t?2?1时，d达到最小值。此时可求得a?b?122由于r?2b，故r?2。于是所求圆的方程是：

(x?1)2?(y?1)2?2或(x?1)2?(y?1)2?2

转化2：三角代换求最值

令2b?sec?,a?tan?,0???2?，

d?则

a?2b5?2?sin?5cos??sin??5dcos??2，

21?5dsin(???)2 所以

由

sin(???)?25?1d?1?5d25 ，得

??3?5?????4，并由此解得??4或4 当d达到最小值5时，sin(???)=1，从而

即a?b?1或a?b??1，以下同解法1 转化3：判别式法求最值

d?由

a?2b5得a?2b??5d，即a?4b?45bd?5d①

2222222将a?2b?1代入①式，整理得2b?45bd?5d?1?0 ②

把它看作b的一元二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即

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??8(5d?1)?0，得5d2?1，所以

d?2d?55

将

55代入②，得2b2?4b?2?0

解得b??1

22从而r?2b?2,a??1，由a?2b?1，知a与b同号

于是，所求圆的方程为：(x?1)?(y?1)?2或(x?1)?(y?1)?2

2222【模拟试题】（答题时间：60分钟）

x2y2??1431. 已知椭圆，能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M，使它到左准

线的距离为它到两焦点F1、F2距离的等比中项？

2. 求证：椭圆bx?ay?ab(a?b?0)的弦中点与椭圆中心连线的斜率（两斜率

222222b2?2均存在时）与此弦的斜率之积为a.

3. 一椭圆长短轴平行于坐标轴，与直线2x?y?11相切于点P（4，3），它还经过点Q（0,?1），R（1,10?1），求椭圆方程.

4. 两个不同的点P、Q在曲线y?x上移动，不管如何选择其位置，它们总不能关于直线

2y?m(x?3)对称，求m的范围.

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5. 过抛物线y?4x的焦点F的直线l与该抛物线交于A、B两点，若AB的中点为M，直线l的斜率为k。

（1）试用k表示点M的坐标；

（2）若直线l的斜率k?2，且点M到直线l?：3x?4y?m?0的距离为数m的取值范围.

21，试确定实5x2y2?2?12b6. 已知椭圆a（a?b?0），A、B是椭圆上两点，线段AB的垂直平分线与a2?b2a2?b2??x0?x轴交于点P（x0,0），求证：aa.

【试题答案】

1. 解：由椭圆方程可知a?2,b?3，并求得c?1，离心率设椭圆上y轴左侧部分存在点M（x0,y0）（?2?x0?0）

e?12，准线x??4

MN满足

2?MF1?MF2 ① |MN|为点M到左准线的距离

1MF21?,?2 则由椭圆第二定义，得x0?424?x0MF1?a?ex0?2?1x02

MF1因而由椭圆的焦半径公式知

MF2?a?ex0?2?1x02

又

MN?MF1?1?2MF1?4?x0e

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将以上各式代入①中得：

(4?x0)2?(2?11x0)(2?x0)22

125或x0??4，这与?2?x0?0相矛盾，

整理得：5x?32x0?48?0，所以故不存在满足条件的点M

20x0??2. 证明：设弦两端点为A（x1,y1），B（x2,y2），中点为P，则

kOP?y1?y2x1?x2

kAB?y2?y1x2?x1

222222??bx1?ay1?ab?222222?bx?ay?ab?b2(x2?x1)(x2?x1)?a2(y2?y1)(y2?y1)?0 22?由

2y1?y2y2?y1b2b????2k?k??2x1?x2x2?x1a 即OPABa

3. 解：视点P（4，3）为退化椭圆，其方程为(x?4)?n(y?3)?0（n?0,n?1） 由此所求椭圆长、短轴与坐标轴平行且与直线2x?y?11相切于点P的椭圆方程可设为：

22(x?4)2?n(y?3)2??(2x?y?11)?0（1）

n?1,??22，代入椭圆方程（1）

将Q、R点坐标代入（1）式得：

222(x?2)?(y?1)?12 得

(x?2)2(y?1)2??1612即所求椭圆方程为

4.

解析：从不能的角度考虑，需分别讨论各种情况，比较麻烦，用补集思想从问题的反面考虑就可以达到避繁就简的目的。

解：设I?{m|m?R},A?{m|P、Q关于直线y?m(x?3)对称}

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若m?0，显然曲线y?x上没有关于直线y?0对称的点

当m?0时，设抛物线上的两点（x1,x1）、B（x2,x2）关于直线y?m(x?3)对称，

2221?122(x?x)?m[(x1?x2)?3]2?2122?x12?x2?m(x1?x2?6)???22??x?x1112???x?x??2?1mm??x1?x2则?

消去x2得

2x12?2x11?2?6m?1?0mm

21??()2?8(2?6m?1)?02mm由，得(2m?1)(6m?2m?1)?0

2∵ 6k?2k?1?0恒成立

11A?{m|m??}2 ∴ 2m?1?0，即m??2 ∴

m??12时满足题设条件

故当

5. 解：

（1）设直线方程y?k(x?1)，代入y?4x，得kx?(2k?4)x?k?0，k?0

222222(k2?2)k2设A（x1,y1），B（x2,y2），则x1?x2? y1?y2?422M(1?2,)k ∴ kk

（2）∵ M到l?的距离

d?1686868|3?2??m||3?2??m|?1m??2??25kkkkkk ∴ ，从而或68??42kk

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令

t?11,k?20?t?2k2，这时m?f(t)??6t?8t?2 ，则

?1519?m??2??m??422或

或m?f(t)??6t?8t?4 ∴

219,?2因此m的取值范围是（2）

?PA?PB可得： 6. 证明：设A（acos?1,bsin?2），B（acos?2,bsin?2），由

22(x0?acos?1)2?b2sin2?1?(x0?acos?2)2?b2sin2?2

2222(a?b)(cos??cos?2)?2ax0(cos?1?cos?2) 1∴

∵ AB的垂直平分线与x轴相交，故AB与y轴不平行，即cos?1?cos?2

?1?cos?2)?2ax0 所以有：?2?cos?1?cos?2?2 ∴ (a?b)(cosa2?b2a2?b2??x0?2222?2(a?b)?2ax?2(a?b)aa 0即 故

22

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令

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?1519?m??2??m??422或

或m?f(t)??6t?8t?4 ∴

219,?2因此m的取值范围是（2）

?PA?PB可得： 6. 证明：设A（acos?1,bsin?2），B（acos?2,bsin?2），由

22(x0?acos?1)2?b2sin2?1?(x0?acos?2)2?b2sin2?2

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∵ AB的垂直平分线与x轴相交，故AB与y轴不平行，即cos?1?cos?2

?1?cos?2)?2ax0 所以有：?2?cos?1?cos?2?2 ∴ (a?b)(cosa2?b2a2?b2??x0?2222?2(a?b)?2ax?2(a?b)aa 0即 故

22

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