淮海工学院概率论与数理统计试卷和答案集合

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淮 海 工 学 院

09 - 10 学年 第2学期 概率论与数理统计 试卷（A

闭卷）

答案及评分标准

1．一袋中有6个白球，4个红球，任取两球都是白球的概率是-----------------（ B ） ()A 1/2 ()B 1/3 ()C 1/4 ()D 1/6 2．设随机变量~(3,)X b p ，且{1}{2}P X P X ===，则p 为---------------（A ）

()A 0.5 ()B 0.6 ()C 0.7 ()D 0.8

3．设),(Y X 的联合概率密度为(,)f x y ，则边缘概率密度()X f x =----------（ C ）

()

A (,)f x y dx +∞

-∞

?

()

B (,)xf x y dx +∞

-∞

?

()C (,)f x y dy +∞

-∞

?

()D (,)yf x y dy +∞

-∞

?

4．设X 是一随机变量，则下列各式中错误的是----------------------------------（ C ）

()A [()]()E D X D X = ()B [()]()E E X E X = ()C [()]()D

E X E X = ()D [()]0D E X =

5．已知()0E

X =，()3D X =，则由切比雪夫不等式得{||6}P X ≥≤------（ B ）

()A 1/4

()B 1/12 (

)C 1/16 ()D 1/36

6．设总体()21,2

X

N ，12,,

,n X X X 为X 的一个样本，则---------------（ C ）

(

)A

()10,12X N - ()B ()10,14X N - ()C ()0,1N ()D ()0,1N

7．设总体2

~(,)X N μσ，2

,μσ未知，n X X X ,,,21 为来自X 的样本，样本

均值为X ，样本标准差为S ，则μ的置信水平为α-1的置信区间为-------（ D ）

()A 2

()X z α±

()B 2

((1))X z n α±

-

()C 2(())X n α±

()D 2

((1))X n α- 8．设总体2

~(,)X N μσ，2,μσ未知，检验假设22220010:,:H H σσσσ=≠的

拒绝域为--------------------------------------------------------------------------------------（ A ）

()A 222212

2

(1)(1)n n ααχχχχ-≥-≤-或 ()B 22

(1)n αχχ≥-

()C 2

2

22

1(1)(1)n n α

αχχ

χχ

-≥-≤-或 ()D 22

1(1)n αχχ-≤-

二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）

1．设,,A B C 表示三个随机事件，则事件“,,A B C 不都发生”可用,,A B C 的运

算关系表示为ABC .

2．随机变量X 的数学期望()2E X =，方差()4D X =，则2

()E X = 8

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3．设X Y 和相互独立，且()~0,1X U ，Y 的概率密度为12

1,0

()20,y Y e y f y -?>?=???

其他，

则(,)X Y 的概率密度为

12

1

,(0,1),0

(,)2

0,y e

x y f x y -?∈>?=???

其他

.

4．设n X X X ,,,21 是来自正态总体),(~2

σμN X 的一个简单随机样本，2

,X S 分别为样本均值和样本方差，则()E X =μ，2

()E S =

2

σ.

三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）

1．已知()()0.4,0.7P A P A

B ==，分别在下列两种条件下，求()P B 的值.

（1）若A 与B 互不相容；（2）若A 与B 相互独立. 解 由加法公式()()()()P A

B P A P B P AB =+- ------------2'

（1）A 与B 互不相容，即()0AB P AB =??=，

代入加法公式得，()0.70.40.3P B =-= ------------2' （2）A 与B 相互独立，即()()()P AB P A P B =

代入加法公式得，0.70.4()0.4()P B P B =+-，得()0.5P B = ------------3'

2．已知随机变量X 的概率密度函数为2

,01,()0,,ax x f x ?<<=?

?

其他 求（1）常数a ；（2）{0.3}.P X > 解 (1)

1

20

()1,13f x dx ax dx a +∞

-∞

=∴=∴=?

? -----------------4'

(2) 1

123

0.3

0.3

{0.3}30.973.P X x dx x >===?

-----------------3'

3．已知随机变量~(0,1)X U ，求随机变量ln Y X =的概率密度函数)(y f Y . 解 1,01,

()0,X x f x <

?其他,

---------------------2'

1

()ln ,()0y g x x g x x

'===

>,()g x 在(0,1)严格单调增， 反函数(),()y

y

x h y e h y e '===

{}{}min (0),(1),max (0),(1)0.g g g g αβ==-∞==----------------------2'

[()]|'()|,,()0,X Y f h y h y y f y αβ?<

0,0

y e y y ?<=?

≥? ---------------------3'

4．设随机变量X

求（1）(),X Y 的分布律；（2）{3}.P X Y += 解 （1）

-------------------5'

（2）{3}{1,2}{2,1}P X Y P X Y P X Y +====+==

0.210.210.42.=

+= ---------------------2'

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四、应用题（本题8分）

某商店将同牌号同瓦数的一、二、三级灯泡混在一起出售，三个级别的灯泡比例为1:2:1，出售灯泡时需试用. 一、二、三级品在试用时被烧毁的概率分别为0.1, 0.2, 0.3. 现有一顾客买一灯泡试用正常，求该灯泡为三级品的概率. 解： 设1A =“一级品”，2A =“二级品”，3A =“三级品”，B =“灯泡正常”，

------------------2'

123123121

(),(),(),

444

(|)0.9,(|)0.8,(|)0.7,P A P A P A P B A P B A P B A ====== ------------------2' 313112233()(|)

(|)()(|)()(|)()(|)

P A P B A P A B P A P B A P A P B A P A P B A ∴=

++

1

0.940.281.121

0.90.80.7444

?==?+?+? ----------------4'

五、计算题（本题8分）

设随机变量X 在[2,5]上服从均匀分布，现对X 进行三次独立观测，试求其中至少有一次“观测值大于3”的概率.

解 1

,

25,

()3

0,

X x f x ?≤≤?=???其他,

---------------2'

5312

{3}33

p P X dx =>==? ---------------2'

设Y 表示三次独立观测中“观测值大于3”的次数，则2

~(3,)3

Y b ---------------2'

3126

{1}1{0}1()327

P Y P Y ∴≥=-==-= -----------------2'

六、计算题（本题8分）

设总体X 的概率密度为1,0,

(;)0,0.x

e x

f x x θ

θθ-?>?=??≤?

其中0＞θ为未知参数，

12,,,n X X X 为来自X 的样本，12,,

,n x x x 为相应的样本值，

（1）求θ的最大似然估计量1

?θ

； （2）试问1?θ与21

?2X X θ=-是不是θ的无偏估计量？当1n >时，上述两个估计量哪一个较为有效？

解 (1) 似然函数1

121

1

1

()(;),,,,0n

i

i x n

n

i

n n

i i L f x e

x x x θ

θθθ=-

==∑=

=>∏∏ -------2'

1

1

ln ()ln n

i

i L n x θθθ

==--

∑，

令

21ln ()10()n

i i d L n x d θθθθ

==-+=∑，解得1

1?n

i i x x n θ===∑， 所以θ的最大似然估计量为1

?.X θ= ----------------2' (2) 1?()(),E E X θθ== 21

?()(2)2,E E X X θθθθ=-=-= ∴估计量12

??θ

θ与都是θ的无偏估计量。 ----------------2' 又2

1

?()(),D D X n

θθ==

2112222?()(2)n n D D X X D X X X n

n n θ-??

=-=+++

???

22

2

122222

222()()()(2)4(1).n n D X D X D X n n n n n n

θθ-????

??

=++

+ ? ? ???????-+-==

当1n >时，12??()()D D θθ<，所以1?θ较2

?θ为有效. ------------------2'

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七、应用题（本题8分）

根据经验知某种产品的使用寿命服从正态分布，标准差为150小时. 今由一批产品中随机抽查25件，计算得到平均寿命为2536小时，试问在显著性水平0.05下，能否认为这批产品的平均寿命为2500小时？并给出检验过程.

( 已知 645.1,96.105.0025.0==z z )

解 设产品的使用寿命150),,(~2

=σσμN X 已知，由题意

需检验假设 2500:;

2500:10≠=μμH H ---------------2'

采用Z 检验，取检验统计量n

X Z /0

σμ-=

，

则拒绝域为96.1||025.0=≥z z ----------------2' 将2536,2500,150,250====x n μσ代入算得

96.12.125

/150********||<=-=

z ，未落入拒绝域内，故接受0H ， ----------3'

即认为这批产品的平均寿命为2500小时. ----------------1'

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淮 海 工 学 院

09 - 10 学年 第2学期 概率论与数理统计试卷（B

闭卷）

答案及评分标准

1．设C B A ,,为三事件，则事件“A 与B 都发生，而C 不发生”可用C B A ,,的运算关系表示为--------------------------------------------------------------------------（ C ）

()A AB ()B C ()C C AB ()D C AB

2．设随机变量~(0,1)X N ，(0)Y aX b a =+>，则------------------------（ C ）

()A ~(0,1)Y N ()B ~(,)Y N b a ()C 2~(,)Y N b a ()D 2~(,)Y N a b a +

3．设),(Y X 的联合密度为),(y x f ，则其边缘概率密度()Y f y = --------（ A ）

()

A ?

+∞

∞

-dx y x f ),( ()

B ?

+∞

∞

-dy y x f ),( ()C ?+∞∞

-dx y x xf ),( ()D ?+∞

∞

-dy y x yf ),(

4．设随机变量~(,)X b n p ，且()2.4,()1.44E X DX ==，则二项分布的参数,n p

的值为--------------------------------------------------------------------------------------（ B ）

()A 4,0.6n p == ()B 6,0.4n p == ()C 8,0.3n p == ()D 24,0.1n p ==

5．设随机变量X 具有数学期望()E X μ=，方差2

()D X σ=，则由切比雪夫不等式，有{}

3P X μσ-≥≤ --------------------------------------------------------------（ A ）

()A 1/9

()B 1/3 ()C

8/9 ()D 1

6．设总体2

~(,)

X N μσ，其中μ已知，2σ未知，123,,X X X 为来自总体X 的一个样本，则下列各式不是统计量的是---------------------------------------------------（

D ）

()A 1231

()3

X X X ++ ()B 122X X μ+

()C 12

3max{,,}X X X

()D 22212321

()X X X σ

++

7．设总体2

~(,)X N μσ，2

,μσ未知，n X X X ,,,21 为来自X 的样本，样本

均值为X ，样本标准差为S ，则μ的置信水平为α-1的置信区间为-----（ D ）

()A 2

()X z α±

()B 2

((1))X z n

α±

-

()C 2(())X n α±

()D 2

((1))X n α- 8．设总体2

~(,)X N μσ，2,μσ未知，检验2

σ，可取检验统计量为-------（ C ）

()A X Z =

()B X T =

()C 2

2

2

0(1)n S χσ-=

()D 2

2

2

(1)n S χσ-=

二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）

1．一口袋有6个白球，4个红球，“无放回”地从袋中取出3个球，则事件“恰有两个红球”的概率为3/10

.

2．设随机变量()0,5T

U ，则方程210x Tx ++=有实根的概率为

3/5

.

3．设连续型随机变量X 的概率密度函数为2

44

(),x

x f x x R ---=

∈，则

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()E X =2-，()D X =1/2

.

4．设总体X 的均值为μ，方差为2

σ，在统计量2

211()1n

i i S X X n ==--∑和221

1()n

i i B X X n ==-∑中，

2S 是2

σ的无偏估计量.

三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）

1．设事件,,A B C 相互独立，且其概率都等于0.9，求事件,,A B C 中最多发生2个的概率.

解法一 ()()1()P D P ABC P ABC ==- -------------3'

1()()()P A P B P C =-

3

10.90.271=-= -------------4'

解法二 D ABC

ABC ABC ABC ABC ABC ABC =

()()()()()P D P ABC P ABC P ABC P ABC =+++

()()()P ABC P ABC P ABC +++ -------------3'

3

2

2

0.10.10.930.10.930.271=+??+??= -------------4'

2．设随机变量~(0,1)X U ，求随机变量(0)Y aX b a =+≠的概率密度)(y f Y . 解 101()0

X x f x <

?其他

---------------------2'

(),()0y g x ax b g x a '==+=≠,()g x 在(0,1)为严格单调函数，

反函数1

(),()y b x h y h y a a

-'==

= {}{}min (0),(1),max (0),(1).g g b g g a b αβ====+ --------------------2'

[()]|'()|,,()0,X Y f h y h y y f y αβ?<

,,

||

0,0b y a b a y ?<<+?=??≥?

-------------3'

3．设二维随机变量),(Y X 的分布律如下表：

求（1）,αβ应满足的条件；

（2）若X 与Y 相互独立，求,αβ的值.

解 （1）1

0,0,3αβαβ≥≥+= ----------------------4' （2）12121112

()9399

p p p αα??=??=+?=

1

9

β?= ----------------------3'

4．已知(,)X Y 的概率密度为

,01

(,)0,

k xy x y f x y <<

求（1）常数k 的值； （2）{1}.P X Y +≥

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解 （1）由

10

(,)1188

y

k

f x y dxdy dy kxydx k +∞+∞

-∞

-∞

==?

=?=??

?? --------4' （2）1

0.5

1{1}8y

y

P X Y dy xydx -+≥=?

?

1

1222

0.50.5

54[(1)](84).6

y y y dy y y dy =--=-=?? ----------3'

四、应用题（本题8分）

有朋自远方来，他乘火车、汽车、飞机来的概率分别是0.5,0.2,0.3. 已知他乘

火车、汽车、飞机来的话迟到的概率分别是111

,,.4412

结果他迟到了，试问他乘火

车来的概率是多少？

解 设1A =“乘火车”，2A =“乘汽车”，3A =“乘飞机”，B =“迟到”，----2'

123123()0.5,()0.2,()0.3,

111(|),(|),(|)4412P A P A P A P B A P B A P B A ======

-----------------------2'

121112233()(|)

(|)()(|)()(|)()(|)

P A P B A P A B P A P B A P A P B A P A P B A =

++

1

0.50.540.625.1110.80.50.20.34412

?

===?+?+?

-------------------4'

五、应用题（本题8分）

设顾客在某银行窗口等待服务的时间X （分钟）服从指数分布，其概率密度为

51,

0()5

0,x

X e x f x -?>?=???

其他

某顾客在窗口等待服务，若超过10 分钟他就离开．已知他一个月要到银行5次．以

Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数．写出Y 的分布律，并求{1}P Y ≥． 解 顾客未等到服务离开的概率为/5

210

1{10}5

x p P X e dx e +∞

--=>==?

--------4' 由题意 2(5,)Y

b e -，其分布律为2255{}()(1),0,1,

,5k k k P Y k C e e k ---==-=，

25{1}1{0}1(1)P Y P Y e -≥=-==-- --------4'

六、计算题（本题8分）

设总体X 的概率密度为(1),01,

(;)0,.x x f x θθθ?+≤≤=??

其他 其中0＞θ为未知

参数，12,,

,n X X X 为来自X 的样本，12,,,n x x x 为相应的样本值，

(1) 求θ的矩估计量； (2) 求θ的最大似然估计量. 解 (1) 1

1

10

1

()(1)(1)2

E X x x dx x dx θθθμθθθ++==

+=+=

+?

?， ---------------2' 令

12

X θθ+=+，得θ的矩估计量的矩估计量为21?.1X X θ

-=----------------2' （2）似然函数1

2

1

()(;)(1),n

n

i

n i L f x x x x θθ

θθθθ==

=+∏ 120,,

,1n x x x ≤≤

-----------------2'

取对数有 1

ln ()ln(1)ln n

i

i L n x

θθθ

==++∑

令

1

ln ()ln 0()1n

i i d L n

x d θθθ==+=+∑ 解得θ的最大似然估计值为1

?1ln n

i

i n x θ=-=-∑ θ的最大似然估计量为1

? 1.ln n

i

i n

X

θ=-=

-∑ --------------2'

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七、应用题（本题8分）

假定人的脉搏服从正态分布，正常人的脉搏平均为72次/分钟，现测得16例慢性铅中毒患者的脉搏样本的均值为66次/分钟，标准差为8次/分钟，试问在显著性水平05.0下，慢性铅中毒患者和正常人的脉搏有无显著差异? 并给出检验过程.

)

7459.1)16(,7531.1)15(,1199.2)16(,1315.2)15((05.005.0025.0025.0====t t t t 已知解 设脉搏数2

2

),,(~σσμN X 未知，由题意

需检验假设72:;

72:10≠=μμH H ， ---------------------2'

采用t 检验，取检验统计量n

S X t /0μ-=

，

则拒绝域为：

()2

1t t n α≥- ----------------------2'

将8,66,72,160====s x n μ代入算得1315.2316

/872.66>=-=

t ，

落入拒绝域，故拒绝0H ， ----------------------3' 即认为慢性铅中毒患者和正常人的脉搏有显著差异. -----------------------1'

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淮 海 工 学 院

09 - 10 学年 第1学期 概率论与数理统计试卷（A

卷）

答案及评分标准

1．一袋中有6个白球,4个红球,任取两球都是白球的概率是-------------------（ B ） ()

A 12 ()

B 13 ()

C 14 ()

D 16

2．设连续型随机变量X 的概率密度函数为()f x ，则下列错误的是----------（ C ）

()A ()0f x ≥ ()B ()1f x dx +∞

-∞

=?

()C 0

()0.5f x dx +∞=?

()D {}()b a

P a X b f x dx <<=?

3．已知),(Y X 的概率密度函数为,0,(,)0,y e x y f x y -?<<=??其他,则关于Y 的边缘概率密

度函数为---------------------------------------------------------------------------------------（D ）

()A ,,()0,y

Y e y x f y -?>=??其他. ()B ,,

()0,y

Y ye y x f y -?>=??其他.

()C ,0,()0,y Y e y f y -?>=?

?其他. ()D ,0,

()0,y Y ye y f y -?>=??

其他. 4．设X 是随机变量，则下列各式中不正确的是------------------------------------（ C ）

()A []()()E D X D X = ()B [()]()E E X E X =

()C []()()D E X E X = ()D [()]0D E X =

5．设X 和Y 相互独立, ()()()()1,1,1,2E X D X E Y D Y ====,则由切比雪夫不等式得(||6)P X Y -≥≤-------------------------------------------------------------（ C ）

()

A 14 ()B

16 ()C 112

()D 136

6．设12,,

,

n X X X 是总体()0,1X

N 的一个样本，2,X S 分别为样本均值和样

本方差，则------------------------------------------------------------------------------------（ B ）

()A ()0,1X

N ()B ()0,nX

N n

()

C ()2

21

1n

i

i X

n χ=-∑ ()D ()1X S t n - 7．设总体()2,,X

N μσ2,μσ未知。12,,

,n X X X 为来自总体X 的样本，样本

均值为X ，样本标准差为S ，则μ的置信水平为95%的置信区间为---------（ C ）

()A 0.05()X z ()B 0.025()X z

()C 0.025((1)X n -） ()D 0.025(()X n ±) 8．2

~(,)X N μσ，2σ未知，

假设检验0010:,:H H μμμμ=≠的拒绝域为---（ B ） ()A ()2

1t t n α≤- ()B ()2

1t t n α≥- ()C 2

z z α≤ ()D 2

z z α≥

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二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）

2．设()()0.3,0.7,P A P A

B ==若A 与B 不相容，则()P B =0.4。

2．已知离散型随机变量~()X P λ，且(2)(4)P X P X ===，则λ

=。 3．设X Y 和相互独立，且()()~0,1~1,1X N N 和Y ，则{}

1P X Y +≤=0.

5。

4．设随机变量,X Y 相互独立,其中X 在[]0,6上服从均匀分布,Y 服从参数为3λ=的泊松分布，记2Z X Y =-，则()D Z =

15

。

5．设~(100,0.2)X b ， 利用德莫佛—拉普拉斯中心极限定理可得

{}30P X ≥≈

0.0062， 其中(2.5)0.9938Φ=。

6．设总体~(0,0.25)X N ，12,n X X X 为来自总体X 的样本，若

221

~()n

i i k X n χ=∑，则k =

4

。

三、计算题（本大题共4小题，每题6分，共24分）

1．设134

(),(),(|),255P A P B P B A =

==　　

求(),()P AB P A B 。 解： 142

(),(|),()()(|)255

P A P B A P AB P A P B A ==∴==　-------------------3'

3

()1()1()()()10

P A B P A B P A P B P AB =-=--+=--------------------3'

2．已知连续型随机变量X 的概率密度函数为,

(0,4),

()8

0,

X x x f x ?∈?=???其他.

求随机变

量32Y X =-的概率密度函数)(y f Y 。

解： 11()32,()(3),()22

g x x h y y h y '=-=

-=- {}{}min (0),(4)5,max (0),(4) 3.g g g g αβ==-==----------------------3'

[()]|'()|,

,

()0,

X

Y f h y h y y f y αβ<

3,(5,3),32

0,y

y -?∈-?

=???其他.

------------------3'

3．设二维随机变量(),X Y 的分布律如右表，若

X Y 与相互独立，求,a b 的值。

解：由231

151015

a b ++

++=---------------------2' {}{}{}0,505P X Y P X P Y ====?=,-------2'

解得215110a b ?=????=??

-------------------------------------2'

4．设随机变量X 的概率密度函数,01,

()0,

x k x f x +<

解：由

()1f x dx +∞

-∞

=?

,即1

()1x k dx +=?，可得1

2

k =

--------------------------------2' 1

017

()()()212E X xf x dx x x dx +∞

-∞==+=?

?------------------------------------------------1' 122

2015()()()212

E X x f x dx x x dx +∞-∞==+=??-------------------------------------------1'

)(X D =2211

()(())144E X E X -=-----------------------------------------------------------2'

第１１页 共30页

四、计算题（本题8分）

设某仓库有一批产品，已知其中45%，35%，20%分别由甲、乙、丙厂生产，甲、乙、丙厂生产的次品率分别为 4%,2%,5%，现从这批产品中任取一件，求： （1）取得正品的概率？（2）假设已知取得的是一个正品，那么它出自甲厂的概率是多少？

解： 设1A =“取得的产品由甲厂生产”，2A =“取得的产品由乙厂生产”，

3A =“取得的产品由丙厂生产”，B =“取得的产品是正品”，-----------------------2'

123123453520

(),(),(),100100100

969895

(|),(|),(|),

100100100P A P A P A P B A P B A P B A =

=====112233()()(|)()(|)()(|)

P B P A P B A P A P B A P A P B A ∴=++

4596359820950.965100100100100100100

=

?+?+?=------------------------------------------3' 111112233()(|)

(|)()(|)()(|)()(|)

P A P B A P A B P A P B A P A P B A P A P B A =

++

4596432100100459635982095965100100100100100100

?

==

?+?+?-----------------------------------3'

五、计算题（本题8分）

已知某电子元件的寿命X （单位：小时）的概率密度函数为

2

.

1500

,1500,()0,x f x x ?>?

=???其他 （1）1只这种电子元件寿命大于2000小时的概率为多少？

（2）在一批这种元件（元件是否损坏相互独立）中，任取出5只，其中至多有4只

寿命大于2000小时的概率是多少？

解：寿命在2000小时以上的概率2

200015003

(2000)4p P X dx x +∞

=≥=

=?----------4' 设5只电子管中寿命在2000小时以上的个数为Y ，则3

~(5,)4

Y B ---------------2'

53269

1(5)1()4512

P Y ∴-==-=

-------------------------------------------------------------2' 六、计算题（本题8分）

已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量2

~(,)X N μσ，2

0.03σ=，

在某段时间抽测了10炉铁水，算得铁水含碳量的样本方差为0.0375.试问这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有无显著差异？

(显著性水平05.0=α(7.2)9(,023.19)9(2

975.02025.0.==χχ)

解：由题意建立原假设和备择假设22

01:0.03,:0.03H H σσ=≠，---------------2'

拒绝域为2

2

2

1/2

2

(1)(1)n s n αχχ

σ

--=

≤-或2

2

2/22

(1)(1)n s n αχχσ

-=

≥-.----2'

()22

2

2

190.0375

0.0375, 10, 11.25,0.03

n s s

n χσ

-?====

=

因为2

11.259.023,χ=<1因此接受0H ，-------------------------------------------3' 即这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差无显著差异. ---------1'

第１２页 共30页

七、计算题（本题10分）

设总体~()X P λ，12,,

,n X X X 为来自总体X 的样本，样本均值为X ，

样本方差为2

S ，其中λ是未知参数，且0λ>， （1）试求λ的最大似然估计量；

（2）试证：对一切(01)αα≤≤，2

(1)X S αα+-都是λ的无偏估计； （3）试求2

λ的一个无偏估计量。

解：（1）X 服从参数为λ的泊松分布，则()!

x

x P X x e x λ-==

，

似然函数为(){}1

1

1

!

n

i

i x n

n i

n

i i

i L P X x e x λλ

λ=-==∑=

==

∏∏.----------------------------------------2'

()11ln ln ln !n n

i i i i L x n x λλλ==??

=-- ???

∑∏，

()1

ln 0n

i

i x d L n d λλλ

==-=∑.解得11n i i x x n λ===∑.

所以λ的最大似然估计量为1

1?n i i X X n λ===∑.------------------------------------------2' （2）对一切(01)αα≤≤，22

((1))()(1)()E X S E X E S αααα+-=+-

(1)αλαλλ=+-=，所以2(1)X S αα+-都是λ的无偏估计---------------------3'

第１３页 共30页

淮 海 工 学 院

09 - 10 学年 第1学期 概率论与数理统计试卷（B

卷）

答案及评分标准

1．设一射手每次命中目标的概率为p ,现对同一目标进行若干次独立射击，直到命中目标5次为止，则射手射击了10次的概率为---------------------------------（ C ）

()A 55510

(1)C p p - ()B 44510(1)C p p - ()C 4559(1)C p p - ()D 4459(1)C p p - 2．设连续型随机变量的概率密度函数和分布函数分别为()(),f x F x ，则下列选项中正确的是-------------------------------------------------------------------------------（ C ）

()A ()01f x ≤≤ ()B {}()P X x F x == ()C {}()P X x F x ≤= ()D {}()P X x f x ==

3．已知),(Y X 的概率密度为(,)f x y ,则关于Y 的边缘概率密度为---------（ A ）

()

A ?

+∞

∞

-dx y x f ),(()

B ?

+∞

∞

-dy y x f ),( ()C ?+∞

∞

-dx y x xf ),( ()D

?

+∞

∞

-dy y x yf ),(

4．设X 是一随机变量，则下列各式中正确的是--------------------------------（ D ）

()A )(25)25(X D X D -=- ()B )(25)25(X D X D +=- ()C )(4)25(X D X D -=- ()D )(4)25(X D X D =-

5. 设12)(=X E ，3)(=X D ，则由切比雪夫不等式得≥<-)412(X P ---（ C ）

()A

163

()B 167 ()C 1613

()D 16

15

6．设12,,

,n X X X 是总体()0,1X

N 的一个样本，2,X S 分别为样本均值和样

本方差，则------------------------------------------------------------------------------------（ B ）

()A ()0,1X

N ()B ()0,nX

N n

()

C ()221

1n

i

i X

n χ=-∑ ()D ()1X S t n -

7．设样本n X X X ,,21来自正态总体),(2

0σμN ，0σ为常数，μ未知，则μ的置信水平为α-1的置信区间长度为------------------------------------------------------（ B ）

()A

022z n ασ ()B 2z α ()C 012

2z n ασ- ()D z α

8．2

~(,)X N μσ，2σ已知，

假设检验0010:,:H H μμμμ=≠的拒绝域为--（ D ） ()A ()2

1t t n α≤- ()B ()

2

1t t n α

≥-

()C

2

z z α≤ ()D 2

z z α≥

二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）

1．假设()()0.4,0.7,P A P A B ==若A 与B 相互独立，则()P B =

0.5

。

2．设随机变量()2,X

b p ，()3,Y

b p ，

若{}519

P X ≥=，则{}1P Y ≥=10

27。 3．已知(),X Y 的分布函数为(),F x y ，关于X Y 和的边缘分布函数分别是

()(),X Y F x F y ，则概率{}00,P X x Y y >>

第１４页 共30页

可表示为00001()()(,)

X X F x F y F x y --+。

4．已知(3,1)X

N -, (2,1)Y

N 且X 与Y 相互独立, 27Z X Y =-+, 则

Z (7,5)

N -。

5．设~(100,0.2)X b ， 利用德莫佛—拉普拉斯中心极限定理可得

{}30P X ≥≈0.0062， 其中(2.5)0.9938Φ=。

6．设总体()2

,X

N μσ

，2

,X S

分别为样本均值和样本方差，n 为样本容量，则

常用统计量X T =

()1t n - 。

三、计算题（本大题共4小题，每题6分，共24分）

1．已知)(B P 3

1=，)(AB P =61

，求)(B A P ，()P A B 。

解：

11()1

(),(),(|)36()2

P AB P B P AB P A B P B ==∴==　----------------------------3'

1

()()()6

P A B P B P AB =-=

-----------------------------------------------------3' 2．设随机变量X 在区间)2,1(上服从均匀分布，试写出X 的概率密度函数()f x ，并求X

e

Y 3=的概率密度函数)(y f Y 。

解： 1

12()0

x f x ≤≤?=?

?其他

-----------------------------------------------------------------2'

311

(),()ln ,()33x g x e h y y h y y

'===

{}{}36min (1),(2),max (1),(2).g g e g g e αβ====---------------------------------2'

[()]|'()|,

,

()0,

X

Y f h y h y y f y αβ<

361,(,),

30,y e e y

?∈?=???

其他.--------------------2'

3．设二维随机变量),(Y X 的分布律如右表。 求（1）关于X 的边缘分布律； （2）Z X Y =+的分布律

解：关于X 的边缘分布律为-------------------------3'

Z X Y =+的分布律---------------------------------------------------------------------------3'

4．若2(1),01,

()0,

k x x f x ?-≤≤=??其它.为某连续型随机变量X 的概率密度函数，

求:（1）常数k ； （2）()E X 。 解：解：由

()1f x dx +∞

-∞

=?

,即1

20

(1)1k x dx -=?，可得3

2

k =

-----------------------2' 1

2033

()()(1)28

E X xf x dx x x dx +∞

-∞

==-=?

?

----------------------------------------------4'

第１５页 共30页

四、计算题（本题8分）

某电子设备厂所用的元件由甲、乙、丙三家元件厂提供,根据以往的记录,这三个厂家的次品率分别为0.02,0.01,0.03,提供元件的份额分别为0.15,0.8,0.05,设这三个厂家的产品在仓库是均匀混合的,且无区别的标志。 (1)在仓库中随机地取一个元件,求它是次品的概率；

(2)在仓库中随机地取一个元件,若已知它是次品, 则它出自乙厂的概率是多少? 解： 设1A =“取得的元件由甲厂生产”，2A =“取得的元件由乙厂生产”，

3A =“取得的元件由丙厂生产”，B =“取得的元件是次品”，----------------------2'

12312315805

(),(),(),100100100

213

(|),(|),(|)100100100P A P A P A P B A P B A P B A =

=====

112233()()(|)()(|)()(|)

P B P A P B A P A P B A P A P B A =++

15280153

0.0125100100100100100100

=?+?+?=. -----------------------------------3' 222112233()(|)

(|)()(|)()(|)()(|)

P A P B A P A B P A P B A P A P B A P A P B A =

++

80116100100.1528015325100100100100100100?

==?+?+?------------------------------------------------3'

五、计算题（本题8分）

设二维随机变量),(Y X 具有概率密度8,01,

(,)0,

xy x y f x y <<

求：（1）关于X 的边缘概率密度；（2）}.1{≤+Y X P

解：1

801

()(,),0

x X xydy x f x f x y dy +∞

-∞

?<

=?????

其他

24(1)01

,0

x x x ?-<<=??其他-----------------------------------------------------4'

1

120

1

1

{1}(,)8.6

x

x

x y P X Y f x y dxdy dx xydy -+≤+≤=

==????

-------------------------4'

六、计算题（本题8分）

设考生的某次考试成绩服从正态分布，从中任取36位考生的成绩，其平均成绩为66.5分，标准差为15分。问在05.0的显著性水平下，可否认为全体考生这次的平均成绩为70分?)0301.2)35(,6896.1)35((025.005.0==t t 已知

解：由题意建立原假设和备择假设01:70,:70H H μμ=≠，---------------------2'

拒绝域为：

()2

1t t n α≥-.----------------------------------------------------------2'

5.270

-=

-=

X n

S X t μ， 统计量4.15.2705.66=-=t 而0301.2)35(025.0=t <∴t )35(025.0t --------------------------------------------------3' 故接受0H ，即可以认为这次考试的平均分为70分-------------------------------1'

第１６页 共30页

七、计算题（本题10分）

设总体X 具有概率密度21,0,

()0,0.x

xe x f x x θ

θ-?>?=??≤?

其中0＞θ为未知参数，

12,,,n X X X 来自X 的样本，12,,,n x x x 是相应的样本值。

(1) 求θ的最大似然估计量θ

? (2) 问求得的估计量θ

?是否是θ的无偏估计量？为什么？ 解：(1)构造似然函数θ

θ

θ∑

==

=-==∏∏

n

i i

x n

i i n

i n

i e

x x f L 1

1

1

21

)()( -----------------------2'

取对数有∑=-+-=n

i i x L 1

)1

1(ln 2)(ln θ

θθ

令

0)()(ln =θθd L d 得2

?x =θ

，所以θ的最大似然估计量为2?X =θ------------3' (2)1

()()22X E E EX θ==θθθ

θθ=-==??∞+--∞+022*******x

x

de x dx e x ----4' ∴估计量θ

?是θ的无偏估计量。------------------------------------------------1'

（3）由于(),(),E X D X λλ== 故2

2

2(),()()()E X E X D X E X n

λ

λλ==+=+---------------------------------------1'

从而2

21

()E X X n

λ-

=， 所以2

λ的一个无偏估计量为2

2

1

?X X n

λ

=--------------------

第１７页 共30页

淮 海 工 学 院

10 -11学年 第2学期 概率论与数理统计 试卷答案（A 卷）

一、 选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）

1．对于事件A ，B ，下列命题正确的是 （ D ） （A ）若A ，B 互不相容，则 与 也互不相容。 （B ）若A ，B 相容，那么 与 也相容。

（C ）若A ，B 互不相容，且概率都大于零，则A ，B 也相互独立。 （D ）若A ，B 相互独立，那么 与 也相互独立。

2．袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从

袋中随机各取一球。则第二人取到黄球的概率是 ( B ) （A ）1/5 （B ）2/5 （C ）3/5 （D ）4/5 3．设3{0,0}7P X Y ≥≥=

，4

{0}{0}7

P X P Y ≥=≥=，则{m a x {,}0}P X

Y ≥=

( C )

(A)

37 (B) 74 (C) 57 (D) 67

4．设X ~(,1)N μ，则满足{}{}22P X P X >=≤的参数μ= ( C )

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

5．设()()

()()~,E X 1X 21,X P Poisson λλ--==????分布且则 ( A ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0

6．设总体X ~2

(1,)N σ，12,,,n X X X ???是取自总体X 的一个样本，

则为参数2

σ的无偏估计量的是 ( A )

(A) 211()1n i i X X n =--∑ (B) 2

11()n i i X X n =-∑ (C) 21

1n i

i X n =∑ (D) 2X 7．设总体

X ~2

(1,)N σ，其中

2

σ已知，μ未知，12,,,n X X X ???为其样本，下列

各项中不是统计量的是

( D ) (A) 123X X X

++ (B) {}

123min ,,X X X (C) 2

3

2

1

i i X σ

=∑ (D) 1X μ-

8．设总体X ~()2

,N

μσ，1

2

,,

,n X X

X 是取自总体X 的样本，12,,,n x x x 为

样本的观测值，2

σ为未知，则μ的置信水平为1α-的置信区间为 （ D ）

(A) 2

2

11

2212

2

()()

(,

)(1)(1)

n

n

i

i

i i x x x x n n αα

χχ

==-----∑∑ (B) 22

(,)x z x z αα+ (C) 2

2

(,)x z x z αα+

(D) 22

((1),(1))x n x n αα-

-+-

二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）

1．一书架上有5本小说，3本诗集以及1本字典，今随机选取3本，则选中2本小说和1本诗集的概率是

5

14

2．设随机变量(,1)X N μ，2()Y n χ，且X ,Y 相互独立，则

T =

()t n

3．已知()~3,0.2X b ，则()

2E X = 0.84

4．设随机变量X 的数学期望()75E X =，方差为()5D X =，利用切比雪夫不等式估计得{}

750.05P X ε-≥≤，则ε= 10

三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）

１．设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份吗，7份和5份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份。求先抽到的一份是女生表的概率。

第１８页 共30页

解： 设i H 表示“报名表是取自第i 地区的考生”(1,2,3)i =，j A 表示“第j 次

取出的报名表是女生表” (1,2)j =。 （1分）

由题意，有 123

1()()()3

P H P H P H === 113()10P A H =， 127()15P A H =， 135

()25

P A H = （2分）

由全概率公式，

3

11

137529

()()()()310152590i i i P A P H P A H ===++=∑ (4分)

2．已知连续型随机变量X 的分布函数为2

20,

0(),0

x x F x A Be x -≤??

=??+>?， 求：(1) 常数,A B 的值； (2) 随机变量X 的密度函数()f x ；

(3) )

2P

X <<。

解： (1) 由()F x 右连续性得()

()00F F +=，即0A B +=，又由()1F +∞=得，1A =， 解得1,1A B ==- (3分)

(2) ()2

2,0()0,

x

xe x f x F x -??>'==???其它， (2分)

(3) )2P

X <<(

)2F F

=-1

2e

e --=- (2分)

3．设二维随机变量(,)X Y 的密度函数：1

,

02,(,)4

0,

x y x f x y ?<<

。

（1）求边缘概率密度()(),X Y f x f y ；（2）X 和Y 是否独立? 解:

(1)()(,)X f x f x y dy +∞

-∞

=

?

1/4,020,

x

x dy x -?≤≤?=????其他 /2,02

0,x x ≤≤?=??其他 (3分)

()(,)Y f y f x y dx +∞

-∞

=?

221/4,20

1/4,020,y

y dx y dx y -?-≤

=?≤

??其他()()2/4,202/4,020,y y y y +-≤

?其他

(3分)

(3) ()()(,)X Y f x f y f x y ≠，不独立 (2分)

4．盒中有7个球，其中4个白球，3个黑球，从中任抽3个球，求抽到白球数X 的数学期望()E X 和方差()D X 。

解：设X 为抽白球的个数，X=0，1, 2，3。 (1分)

有下列分布率

X 0 1 2 3

P 135=3337C C 1243371235C C C = 2143

371835C C C = 3

437

435C C = (3分)

712

35433518235121)(=?+?+?

=X E (1分) 724

35493518435121)(2=

?+?+?=X E (1分) 49

24

)712(724)(2=

-=X D (1分)

四、证明题 （本题8分）

设三个事件,,A B C 满足AB C ?,试证明:()()()1P A P B P C +≤+

证明：由于AB C ?，所以()()P AB P C ≤， （3分） 所以()()()()P A P B P A

B P AB +=+()()P A B P

C ≤+()1P C ≤+

(5分)

第１９页 共30页

五、计算题（本题8分）

已知某仪器装有3个独立工作的的同型号电子元件，其寿命（单位：h ）都服从同一指数分布，概率密度为

600600,0,()0,

0.x e x f x x -??>=??≤? 试求在仪器使用的最初200h 内，至少有一个电子元件损坏的概率。

解：把3个元件编号1，2，3，并设事件k A 为“在仪器使用的最初200h 内，第k 只元件损坏”(1,2,3)k =。 （1分）

设k X 表示第k 只元件的使用寿命(1,2,3)k =，由题意，k X (1,2,3)k =服从概率密度为()f x 的指数分布，于是

1

600

32001(){200}600

x k k P A P X e dx e --+∞

=>==?，(1,2,3)k = （3分）

因此所求事件的概率为

1

3

131

23123()1()1()1P A A A P A A A e

e --=-=-=-。 （4分）

六、计算题（本题8分）

设12,,

,n X X X 为总体X 的一个样本，X 的密度函数:

(1),01

()0, x x f x ββ?+<<=??

其他，

0β>, 求参数β的矩估计量和极大似然估计量。

解：()1

1

(1)2

E X x x dx ββββ+=

+=

+?

(2分) 由()12X E X ββ+==

+知矩估计量为1?21X

β=-- (2分) ()1

(1),01

0,n

n i i i x x L β

ββ=?+<

∏其它 (1分) ()1

ln ln(1)ln n

i i L n x βββ==++∑ (1分)

()1

ln 0ln 1n i i L n x βββ=?==+?+∑ (1分)

故极大似然估计量为 1

1ln n

i

i n

x

β=-=

-∑ (1分)

七、计算题（本题8分）

某种元件的寿命X （以小时计）服从正态分布2

(,)N μσ，2

,μσ均未知，现

测得16只元件的寿命的均值x =241.5，s =98.7259，问是否有理由认为元件的平均寿命大于225（小时）。（0.050.05,(15) 1.7531t α==）

解：提出假设：01:225;:225H H μμ≤> (3分)

拒绝域为：(1)t t n α≥-, (1分) 计算统计量的值：

0.05225

241.5225

0.6685 1.7531(15)x t t --=

=

=<= (2分)

没有落入拒绝域，接受0H ，因此认为元件的平均寿命不大于225。(2分)

第２０页 共30页

淮 海 工 学 院

10 -11学年 第2学期 概率论与数理统计 试卷答案（B 卷）

一、 选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）

1．设,A B 为对立事件，()01P B <<，则下列概率值为1的是 ( C )

(A) ()|P A B (B) ()|P B A (C) ()

|P A B (D) ()P AB 2．设,A B 为两随机事件，且B A ?，则下列式子正确的是 ( A )

(A)

()()P A B P A += (B) ()()P AB P A =

(C) ()()|P B A P B = (D) ()()()P B A P B P A -=-

3．袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。则第二人取到黄球的概率是 ( B )

（A ）

51 （B ）52 （C ）53 （D ）5

4

4．设4{1,1}9P X Y ≤≤=，5

{1}{1}9

P X P Y ≤=≤=，则{min{,}1}P X Y ≤=

( A )

(A)

23 (B) 2081 (C) 49 (D) 13

5．设()()()()~,E X-1X 21,X P poission λλ-==????分布且则( A )

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0

6．设()f x 是随机变量X 的概率密度，则一定成立的是 ( B )

(A) ()f x 定义域为[0,1] (B) ()f x 非负 (C) ()f x 的值域为[0,1] (D) ()f x 连续

7．设随机变量X ~()1,1N ，概率密度为()f x ，分布函数()F x ，则下列正确的是

( B )

(A) {0}{0}P X P X ≤=≥ (B) {1}{1}P X P X ≤=≥ (C) ()()f

x f x =-, x R ∈ (D) ()()1F x F x =--, x R ∈ 8．设12,,

,n X X X 是正态总体X ~()

2,N μσ的样本，其中σ已知，μ未知，则

下列不是统计量的是 ( C ) (A) 1max k k n

X ≤≤ (B) 1min k k n

X ≤≤ (C) X μ- (D)

1

n

k

k X σ

=∑

二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）

1．设,A B 为随机事件，()()0.7P A P B +=，()0.3P AB =，则

()()P AB P AB +=_____0.1____

2．设随机变量X 在区间[0,2]上服从均匀分布，则2Y X =的概率密度函数为

()(1,04

0,

Y y f y ?<

??其他 3．设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则应用切比雪夫不等式估计得

{}22P X -≥≤

1

2

4．设1234,,,X X X X 是来自正态总体X ~()0,4N 的样本，则当a =

1

20

时，()()22

123422Y a X X a X X =++-~()22χ

三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）

1． 有三个盒子，第一个盒子中有2个黑球，4个白球，第二个盒子中有4个黑球，2个白球，第三个盒子中有3个黑球，3个白球，今从3个盒子中任取一个盒子，再从中任取1球。

(1) 求此球是白球的概率；

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(2) 若已知取得的为白球，求此球是从第一个盒子中取出的概率.

解: 设A 表示“取得的为白球” ，i B 分别表示“取得的为第一，二，三盒的球” 1,2,3i = 则

()()()1231/3P B P B P B ===，

()1|2/3P A B =，()2|1/3P A B =，()3|1/2P A B =， (3分)

由全概率公式得：()()()3

1

|i

i

i P A P A B P B ==

=∑1/2， (2分)

由贝叶斯公式得：()()()

111||()

P A B P B P B A P A =

=4/9 (2分)

2．已知连续型随机变量X 的分布函数为2

20,

0(),0

x x F x A Be x -≤??

=??+>?， 求：(1) 常数,A B 的值； (2) 随机变量X 的密度函数()f x ；

(3) )

2P

X <<。

解: (1) 由()F x 右连续性得()()0

0F F +

=，即0A B +=, (1分)

又由()1F +∞=得，1A =， (1分) 解得1,1A B ==- (1分)

(2) ()2

2

,0()0,

x xe x f x F x -?

?>'==?

??其它

, (2分)

(3) )2P X <<(

)2F F

=-1

2e

e --=- (2分)

3．设总体为X ，期望()E X μ=，方差()2D X σ=,12,,,n X X X ???是取自总体X

的一个样本，样本均值11n i i X X n ==∑，样本方差()221

11n i

i S X X n ==--∑，证明：2

S 是参数2

σ的无偏估计量。

证明：()E X μ=，()2

D X σ=，12,,,n X X X ???是取自总体X 的一个样本，

所以()

E X μ=，()

2

/D X n σ=， (3分)

所以()()22

111n i i E S E X X n =??=-??-??∑ ()()22111n i i E X nE X n =??=-??-??

∑ ()()222211/1n i n n n σμσμ=??=+-+??-??

∑2σ=， （3分） 即2

S 是参数2

σ的无偏估计量 (1分)

4．设随机变量X 与Y 相互独立,概率密度分别为：

,0()0,

0x X e x f x x -?>=?≤?，1,01

()0,Y y f y <

求随机变量Z X Y =+的期望和方差。

解：因为X 与Y 相互独立，所以(,)X Y 的联合概率密度为

()(),0,01,

)0(,,x X Y e x y f x x f y f y -?><<==??其它 (3分)

()100

3Z ()(,)(())2x

E x y f x y dxdy x y e dy dx +∞+∞

+∞--∞

-∞=+=+?=?

??? （2分）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/60ee.html