九年级数学上册第一章二次函数微专题二次函数与一元二次方程（不等式）的关系随堂练习（含解析）浙教版

微专题__二次函数与一元二次方程(不等式)的关系

(教材P30作业题第2题)

用两种不同的图解法求方程x－2x－5＝0的解(精确到0.1)．

解：解法一：作出函数y＝x，y＝2x＋5的图象(图略)，观察图象交点的横坐标得方程的解为x1≈－1.4，x2≈3.4；

解法二：作出函数y＝x－2x－5的图象(图略)，观察图象与x轴交点的横坐标得方程的解为x1≈－1.4，x2≈3.4.

【思想方法】 (1)令二次函数y＝ax＋bx＋c中的y＝0，则原式变为一元二次方程ax＋bx＋c＝0；令一元二次不等式ax＋bx＋c＞0的不等号变为等号，则原式变为一元二次方程ax＋bx＋c＝0.

(2)二次函数y＝ax＋bx＋c的图象与x轴的两交点的横坐标x1，x2(x1＜x2)，即为一元二次方程ax＋bx＋c＝0的两根(抛物线与x轴有一个交点，即方程有两个相同的根；抛物线与x轴没有交点，即方程无实数根)．

一元二次不等式ax＋bx＋c＞0(a>0)的解集是x＜x1或x＞x2；一元二次不等式ax＋bx＋c＜0(a>0)的解集是x1＜x＜x2.

(3)判别：b－4ac>0?抛物线与x轴有两个交点；

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b2－4ac＝0?抛物线与x轴有一个交点； b2－4ac<0?抛物线与x轴没有交点．

二次函数y＝kx－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( D ) A．k＜3 C．k≤3

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B．k＜3且k≠0 D．k≤3且k≠0

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函数y＝ax＋bx＋c的图象如图1所示，那么关于x的方程ax＋bx＋c－3＝0的根的情况是( C )

图1

A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号实数根

C．有两个相等的实数根 D．无实数根

设二次函数y＝x＋bx＋c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是( B ) A．c＝3 C．1≤c≤3

B．c≥3 D．c≤3

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[2017·泰安]已知二次函数y＝ax＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：

x y … … －1 －3 0 1 1 3 3 1 … … 下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x＝1；③当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax＋bx＋c＝0有一个根大于4.其中正确的结论有( B ) A．1个 C．3个

B．2个 D．4个

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【解析】 由表格所给出的自变量与函数值变化趋势，可知随x的值增大，y值先增大后变3

小，抛物线的开口向下；由对称性知其图象的对称轴为x＝，所以当x＜1时，函数值y随

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x的增大而增大；由表可知，方程ax2＋bx＋c＝0的根在－1与0和3与4之间．综上正确

的结论有2个．此题也可求出表达式进行判断．

[2016·沈阳]在平面直角坐标系中，二次函数y＝x＋2x－3的图象如图2所示，点A(x1，y1)，B(x2，y2)是该二次函数图象上的两点，其中－3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是( D )

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图2

A．y1＜y2

C．y的最小值是－3

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B．y1＞y2

D．y的最小值是－4

【解析】 ∵y＝x＋2x－3＝(x＋3)(x－1)， ∴该抛物线与x轴的两交点横坐标分别是－3，1.

∵y＝x＋2x－3＝(x＋1)－4，

∴该抛物线的顶点坐标是(－1，－4)，对称轴为直线x＝－1.

A．无法确定点A，B离对称轴直线x＝－1的远近，故无法判断y1与y2的大小，故本选项错误；

B．理由同A.故本选项错误； C．y的最小值是－4，故本选项错误； D．y的最小值是－4，故本选项正确．故选D.

二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)图象如图3所示，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③当m≠1时，a＋b＞am＋bm；④a－b＋c＞0；⑤若ax1＋bx1＝ax2＋bx2，且x1≠x2，则x1＋x2＝2.其中正确的有( D )

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图3

A．①②③ C．②⑤

B．②④ D．②③⑤

【解析】 ∵抛物线开口向下，∴a＜0. ∵抛物线对称轴为直线x＝－＝1，

2a∴b＝－2a＞0，即2a＋b＝0，∴②正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0，∴abc＜0，∴①错误； ∵抛物线对称轴为直线x＝1， ∴函数的最大值为a＋b＋c，

∴当m≠1时，a＋b＋c＞am＋bm＋c，即a＋b＞am＋bm，∴③正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在(3，0)的左侧，而对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点在(－1，0)的右侧， ∴当x＝－1时，y＜0，∴a－b＋c＜0，∴④错误； ∵ax1＋bx1＝ax2＋bx2，

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b∴ax1＋bx1－ax2－bx2＝0，

∴a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(x1－x2)＝0， ∴(x1－x2)[a(x1＋x2)＋b]＝0，

∵x1≠x2，∴a(x1＋x2)＋b＝0，即x1＋x2＝－. 又∵b＝－2a，∴x1＋x2＝2，∴⑤正确．故选D.

[2017·攀枝花]如图4，抛物线y＝x＋bx＋c与x轴交于A，B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)． (1)求抛物线的表达式；

(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点

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baF，求PE＋EF的最大值．

图4 备用图

?3＋3b＋c＝0，?b＝－4，??

解：(1)由题意得?解得?

??c＝3，c＝3，??

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∴抛物线的表达式为y＝x－4x＋3；

(2)方法1：如答图①，过P作PG∥CF交CB于G，由题意知∠BCO＝∠CFE＝45°， ∵F(0，m)，C(0，3)，

∴△CFE和△GPE均为等腰直角三角形， ∴EF＝

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CF＝(3－m)，PE＝PG， 222

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PG＝(－t＋3－t－m)＝(－2t－m＋3)，t2－4t＋3＝t222

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设xP＝t(1＜t＜3)，则PE＝＋m， ∴PE＋EF＝

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(－2t－m＋3)＋(3－m)＝(－2t－2m＋6)＝－2(t＋m－3)＝－2(t222

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－4t)＝－2(t－2)＋42， ∴当t＝2时，PE＋EF取最大值42.

方法2：(几何法)由题易知直线BC的表达式为y＝－x＋3，OC＝OB＝3，∴∠OCB＝45°.

同理可知∠OFE＝45°，∴△CEF为等腰直角三角形，

变形7答图① 变形7答图②

如答图②，以BC为对称轴将△FCE对称得到△F′CE，作PH⊥CF′于H点，则PE＋EF＝PF′＝2PH.

∵PH＝yc－yp＝3－yp，

∴当yp最小时，PE＋EF取最大值， ∵抛物线的顶点坐标为(2，－1)，

∴当y＝－1时，(PE＋EF)max＝2×(3＋1)＝42.

[2016·杭州]已知函数y1＝ax＋bx，y2＝ax＋b(ab≠0)在同一平面直角坐标系中．

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(1)若函数y1的图象过点(－1，0)，函数y2的图象过点(1，2)，求a，b的值； (2)若函数y2的图象经过y1的顶点． ①求证：2a＋b＝0；

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②当1

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???a－b＝0，?a＝1，

解：(1)由题意，得?解得?

?a＋b＝2，?b＝1；??

?b－b?，

(2)①证明：∵函数y1的图象的顶点坐标为?－，??2a4a?

－b－b?b?∴a?－?＋b＝，即b＝， 4a2a?2a?∵ab≠0，∴－b＝2a，∴2a＋b＝0；

②∵b＝－2a，∴y1＝ax(x－2)，y2＝a(x－2)， ∴y1－y2＝a(x－2)(x－1). 3

∵10，

2∴(x－2)(x－1)<0，

∴当a>0时，a(x－2)(x－1)<0，即y1

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当a<0时，a(x－2)(x－1)>0，即y1>y2.

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