09-10学年第二学期《高等代数》期末考试卷1
更新时间:2023-08-26 02:56:01 阅读量: 教育文库 文档下载
一、 单选题(32分. 共8题, 每题4分)
1. 下列说法错误的是________.
A) 若向量组
线性无关,则其中任意两个向量线性无关;
B) 若向量组中任意两个向量线性无关,则线性无关;
C)
向量组线性相关;
D) 若向量组线性无关,则线性无关
.
2. 设n维列向量
线性无关, 则n维列向量
线性无关的充要条件是________.
A) 向量组
可由向量组
线性表示;
B) 向量组
可由向量组线性表示;
C) 向量组与向量组等价;
D) 矩阵与矩阵相抵
.
3. 设线性方程组A)
.
的解都是线性方程组
; C)
的解,则
____.
; D)
; B)
4. 设n阶方阵A的伴随矩阵解,则对应的齐次线性方程组
,非齐次线性方程组的基础解系____.
有无穷多组
A) 不存在;
B) 仅含一个非零解向量;
C) 含有两个线性无关的解向量; D) 含有三个线性无关的解向量.
5.
下列子集能构成的子空间的是________.
A) ;
B) ;
C) ; .
D)
6. 设V是数域K上的线性空间, V上的线性变换在基阵为A且
,若在基
下的矩阵为B, 则
下的矩________.
A) ; B) 2; C) ; D)
不能确定. 7. 设V是维向量空间,和的充分必要条件是________. A) 和C)
都是可逆变换;
B) Ker=Ker是V上的线性变换,则
;
; D) 和在任一组基下
的表示矩阵的秩相同. 8. 设个.
是线性空间V到U的同构映射, 则下列命题中正确的有________
(Ⅰ) 为可逆线性映射;
(Ⅱ) 若W是V的s维子空间, 则是U的s维子空间;
(Ⅲ) 在给定基下的表示矩阵为可逆阵;
(Ⅳ) 若, 则.
A) 1
B) 2 C) 3
D) 4
二、 填空题(32分.
共8题,
每题4分)
1. 若矩阵经过行初等变换化为, 那么向
量组的一个极大无关组是_________________, 其余向量由此极
大无关组线性表示的表示式为________________. 2. 设3维向量空间的一组基为
在这组基下的坐标为____.
,则向量
3. 设,均为线性空间V的子空间,则____.
4. 数域上所有三阶反对称矩阵构成的线性空间的维数是____.而____是
它的一组基. 5. 已知Im=____.
上的线性变换定义如下:
,则Ker=____.
6.
设是数域上维线性空间V到维线性空间U的线性映射, 则为
满射的充分必要条件是____.(请写出两个) 7. 设
和
的过渡矩阵为,则在基
是线性空间V的两组基,从. 若是V上的线性变换且
下的表示矩阵是
____ .
到
8. 设是线性空间V上的线性变换,在基,其中A为
下的表示矩阵为
矩阵,则存在V
的一个非平凡-不变子空间____.
三、 (8分) 设线性空间V的向量组量组性表示.
四、 (10分) 设,
分别是数域
线性无关,
可由
,考虑向
线
.求证:或者该向量组线性无关,或者
上的齐次线性方程组
.
与
的解空间. 证明
五、 (10分) 设
,使得
. 证明:
且
.
的充分必要条件是存在,
六、 (8分) 设V, U, W是有限维线性空间,
映射. 求证:存在线性映射
.
使得
,是线性
的充分必要条件是
附加题: (本部分不计入总分)
设V, U, W是有限维线性空间且是线性映射. 证明:存在可逆线性映射件是
一、填空:(每空2分,共30分)
,使得
,
的充分必要条
.
1、n元二次型正定的充分必要条件是它的正惯性指数______________。 2、A为正定矩阵,则A _______。
3、L( 1, 2 s)的维数__________向量组 1, 2 s的秩。 4、V1,V2都是线性空间V的子空间,则维V1+维V2=______________。 5、和V1+V2是直和的充要条件为V1 V2 ___________。
6、数域P上两个有限维线性空间同构的充要条件是______________。
7、A,B是两个线性变换,它们在基 1, 2, n下的矩阵分别为A,B,则A+B在基 1, 2, n下的矩阵为______________。
8、A是n维线性空间V的线性变换,则A的秩+A的零度=______________。 9、在欧几里德空间中,=_______。 , =_______。 10、欧几里德空间的一组标准正交基的度量矩阵为_______。 11、A为正交矩阵,则A=_______,A 1=_______。
二、判断(每题2分,共10分)
1、A的值域是A的不变子空间,但A的核不是A的不变子空间( )。 2、两个子空间的交还是线性空间V的子空间( )。 3、线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的( )。 4、线性变换把线性无关的向量变为线性无关的向量( )。 5、度量矩阵是正定矩阵( )。
三、t取什么值时,二次型x1 x2 5x3 2tx1x2 2x1x3 4x2x3正定?(10分) 四、在P4中,求向量 在基 1, 2, 3, 4下的坐标,其中
2
2
2
1 (1,1,1,1), 2 (1,1,-1,-1), 3 (1,-1,1,-1)
, =(1,2,1,1)(10分) 4 (1,-1,-1,1)
五、P3中,令 (a1,a2,a3) (2a1 a3,a1 4a3,a1 a2),求 在基{ 1, 2, 3}下的矩阵。(10分)
四、六、在R上矩阵A是否可对角化,如果A可对角化,则求可逆矩阵C使C 3
角矩阵,其中A 1
1
120
1
0。(12分) 2
1
AC是对
七、在R4中,求 , ,其中 (2,1,3,2), (1,2,-2,1)(8分)
八、对R3的基 1 (1,1,1), 2 (0,1,1), 3 (0,1, 1)施行Schmidt正交化,得出R3的一组标准正交基。(10分)
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