安徽省皖南八校2019届高三第二次（12月）联考数学理试题Word版含

安徽省皖南八校2019届高三第二次（12月）联考

数学理试题

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合A?xx2?x?2?0，x?z，B??xx?2k，k?z?，则A?B等于?? A．?0，1? B．??4，?2? C． ??1，0? D．??2，0?

i2?ai2. 已知i是虚数单位，若z?是纯虚数，则实数a???

1?i??A． 1 B． -1 C． 2 D．-2

3. 已知向量a，b满足a?2，b?1，a?b??2，则2a?b??? A． 5 B． 3 C． 5 D． 9

4. 已知直线l平分圆C:x2?y2?6x?6y?2?0的周长，且直线l不经过第三象限，则直线l的倾斜角?的取值范围为??

A． 90?，135? B． 90?，120? C. 60?，135? D．90?，150?

????????????5. 将函数f?x??sin?2x??的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，

124??所得图象的一条对称轴的方程是?? A． x?3?7?2?5? B． x? C. x? D．x? 1624366. 函数f?x??cosx?3???3??，x???，0???0，?的图象大致是??

x?sinx2???2?

7. 若a?0，?x?2y??ax?y?展开式中，x4y2的系数为-20，则a等于??

535A． -1 B． ? C. -2 D．?

228. 当n?5时，执行如图所示的程序框图，输出S的值为（ ） A． 28 B． 36 C. 68 D． 196

??9. 榫卯（sunmao）是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式. 我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构. 图中网格小正方形的边长为1，粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图，则其体积与表面积分别为??

34?52? B． 24?52?，36?54? A． 24?52?，36?54? D．24?54?，34?52? C. 24?54?，x2y210. 已知椭圆2?2?1?a?b?0?的左、右焦点分别为F1，F2，若在直线x?2a上存在点P使

ab线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是??

?2??2??1?A．?0，? B． ?，1? C. ?0，?

?3??3??2??1?1? D．?，2??1212?????35，则tan2???? 11. 已知???0，?，且

sin?cos??2?724724 B． C. ? D．?247247

?x2?mx?2m，x?0，12. 已知函数f?x???若关于x的方程f(x)?mx?0至少有两个不同的实

1?1?x?2m，x?0，?A．

数解，则实数m的取值范围为（ ）

?1??1?0???2，??? B． ??，1???1，??? A． ??，33?????1??1???? D．??，2???2，??? C. ??，?3??3?二、填空题：本小题4小题，每小题5分，共20分.

13. 在1，2，3，4，5，6，7，8中任取三个不同的数，取到3的概率为 ． 14. 已知?ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若S?4cosC，a?2，

b?32，则C? ．

15. 已知函数f?x?是偶函数，定义域为???，0???0，???，且x?0时，f?x??y?f?x?在点??1，f??1??处的切线方程为 ．

x?1，则曲线ex16. 已知正方体ABCD?A1B1C1D1的体积为1，点M在线段BC上（点M异于点B，C） ，点N为线段CC1的中点，若平面AMN截正方体ABCD?A1B1C1D1所得的截面为四边形，则线段

BM长的取值范围为 ．

三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17∽21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分

17. 已知?an?是等比数列，?bn?满足b1?1，b2?3，且a1b1?a2b2???anbn?3??2n?3??2n. （Ⅰ）求?an?的通项公式和前n项和Sn； （Ⅱ）求?bn?的通项公式.

18. 随着网络时代的进步，流量成为手机的附带品，人们可以利用手机随时随地的浏览网页，聊天，看视频，因此，社会上产生了很多低头族.某研究人员对该地区18∽50岁的5000名居民在月流量的使用情况上做出调查，所得结果统计如下图所示： （Ⅰ)以频率估计概率，若在该地区任取3位居民，其中恰有X位居民的月流量的使用情况 在300M∽400M之间，求X的期望E?X?； （Ⅱ）求被抽查的居民使用流量的平均值； （Ⅲ）经过数据分析，在一定的范围内，流量套餐的打折情况x与其日销售份数y成线性相关

关系，该研究人员将流量套餐的打折情况x与其日销售份数y的结果统计如下表所示： 折扣x 销售份数y 1折 50 2折 85 3折 115 4折 140 5折 160 试建立y关于x的的回归方程.

?x?a??b?中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 附注：回归方程y??b??x?x??yii?1ni?1Ni?y?2??x?x?i?x ??y?b，a

19. 在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA?平面ABCD，?PAD是等腰三角形，

AB?2AD，E是AB的一个三等分点（靠近点A），CE与DA的延长线交于点F，连接PF.

（Ⅰ）求证：平面PCD?平面PAD； （Ⅱ）求二面角A?PE?F的正切值

20. 过抛物线C:x2?2py?p?0?的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，AF?2. （Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）若抛物线C上存在点M??2，yo?，使得MA?MB，求直线l的方程.

21. 已知函数f?x??1nxa??a?1?a?R?. x2x（Ⅰ）若a?0，证明：函数f?x?在

?e，???上单调递减；

32（Ⅱ）是否存在实数a，使得函数f?x?在?0，8?内存在两个极值点？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由. （参考数据：1n2?0.693，e?4.5）

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分.

22. [选修4—4：坐标系与参数方程]

?x?t平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程是?（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴

y?3t?的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p2?8pcos??3?0. （Ⅰ）求直线l的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求OA?OB.

23[选修4—5：不等式选讲] 已知函数f?x??x?a?x?1.

（Ⅰ）若a?0，解不等式f?x?1??3；

（Ⅱ）若不等式f?x??2a?1对任意x?R恒成立，求实数a的取值范围.

安徽省皖南八校2019届高三第二次（12月）联考数学理试题

参考答案、解析及评分细则

一、选择题 1. D 2. A

2a?b?3. 3. B 2a?b?4a?4a?b?b?16?8?1?9，2224. A 依题意，圆C:?x?3???y?3??16，故直线l过圆C的圆心?3，?3?；因为直线l不经过第

22三象限，结合图像可知，??90?，135?.

????2????????????k?z?. 5. C y?sin?x??，y??x????sin?x??，x??k???k?z?，x?k??6234?6???124??6. C

217. A xC5?ax?3y2?2yC5?ax?4y?10a3?1?a?x4y2，10a3?1?a???20，ABCD代入验证得A.

8. D S?0?0?2?0，k?2；S?0?1?22?4，k?3；S?4?2?23?20，k?4；

S?20?3?24?68，k?5；S?68?4?25?196，k?6?5.输出S?196. 9. C 依题意，该几何体由一个长方体和一个圆柱体拼接而成，故其体积

V?4?2?3???32?6?24?54?；表面积

S?2???32?2???3?6?4?3?2?2?2?3?54??36. 10. B 由题意知PF2?F1F2，2c?PF2?2a?c，?2a?3c，?e?2. 3t2?111. D 依题意，12?sin??cos???35sin?cos?，令sin??cos??t，则原式化为12t?35?，

25712sin?cos?12?解得（t??舍去）；故sin??cos??，则sin?cos??，即2，即27525sin??cos?25tan?12342tan?242?tan??tan2????12tan??25tan??12?0，即，解得或，则.

1?tan2?25431?tan2?7?x2?mx，x?0，12. A 依题意，令g?x???故问题转化为g?x??m?x?2?有两个不同的实数解，即

1?1?x，x?0，?函数g?x?的图像与直线y?m?x?2?至少有两个交点；作出函数g?x?的图像如下所示，易知直

?y?m?x?2?，线y?m?x?2?过定点A?2，故0?，故可以寻找出临界状态如下虚线所示；联立?2?y?x?mx，1?，故x2?mx?m?x?2?，即x2?2mx?2m?0，令??4m2?8m?0，解得m?2，因为B??1，1?1?kAB??，结合图像知，实数m的取值范围为??，0???2，???.

33??313.

8

14.

1436485S?absinC?3sinC?4cosC，tanC?，cosC?，c2?a2?b2?2abcosC?，

23555c?85. 51?x?1??f??x??2?xx，?f??1??1，?f?1??0，?曲线y?f?x?在点?1，f?1??处的切eee1线方程为y??x?1?，又f?x?是偶函数，所以曲线y?f?x?在点??1，f??1??处的切线方程为

e1y???x?1?.

e15. y???1?16. ?0，?依题意，正方体ABCD的棱长为1；如图所示，当点M为线段BC的中点时，由题

?2?意可知，截面为四边形AMND1，从而当0?BM?11时，截面为四边形，当BM?时，截面为22?1?五边形，故线段BM的取值范围为?0，?

?2?17. 解:（Ⅰ）?a1b1?a2b2???anbn?3??2n?3??2n

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