高中数学同步题库含详解52等比数列的前n项和

高中数学同步题库含详解52等比数列的前n项和

一、选择题（共40小题；共200分）

1. 等比数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????，且 4??1，2??2，??3 成等差数列，若 ??1=1，则 ??4= ??

A. 7

B. 8

C. 15

??

2

D. 16

2. 设 ???? 为等比数列 ???? 的前 ?? 项和，8??2+??5=0，则 ??5 等于 ??

A. 11

1

B. 5

1

C. ?8

1

D. ?11

1

3. 等比数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????，已知 ??3=??2+10??1，??5=9，则 ??1= ??

A. 3

A. ??7??8>??8??7

B. ?3 B. ??7??8

C. 9

C. ??7??8=??8??7

12

D. ?9 D. 不能确定

4. 已知等比数列 ???? 的公比 ??>0，其前 ?? 项和为 ????，则 ??7??8 与 ??8??7 的大小关系为 ?? 5. 公比不为 1 的等比数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????，且 ?2??1，???2，??3 成等差数列，若 ??1=1，则 ??4= ?? A. ?5 A. ?1 A. 15 A. 1 是 ??

B. 0 B. 1 B. 31 B. ?1

C. 5 C. ?2 C. 40 C. 0

D. 7 D. 2 D. 63 D. ?2

6. 等比数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????，若 ??2+??3=0，则公比 ??= ?? 7. 已知等比数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????，??1+??3=5，??4=15，则 ??6= ?? 8. 数列 ?1 ??+2 的前 100 项和为 ??

9. 已知数列 ???? 是正数组成的等比数列，???? 是它的前 ?? 项和．若 ??1=3，??2??4=144，则 ??5 的值

A. 269

B. 69 C. 93 D. 189

10. 在等比数列 ???? 中，已知 ??1=3，????=96，????=189，则 ?? 的值为 ??

A. 4

B. 5

C. 6

172

D. 7

，??2??4=4，则 ??6= ??

D. 263

11. 已知等比数列 ???? 为递增数列，???? 是其前 ?? 项和．若 ??1+??5=

A.

1627

B.

8

??+??+??

1

2

5

27

C.

4

63

12. 已知等比数列 ???? 中 ??1=1，且 ??4+??5+??8=8，那么 ??5 的值是 ??

A. 15

B. 31

C. 63

D. 64

1

??

13. 已知 ???? 是首项为 1 的等比数列，???? 是 ???? 的前 ?? 项和，且 9??3=??6，则数列 ?? 的前 5 项

和为 ??

A. 8 或 5

15

B. 16 或 5

1

31

C. 16

31

D. 8 15

14. 已知 ???? 是等比数列，??2=2，??5=4 ，则 ??1??2+??2??3+?+????????+1 等于 ??

A. 16 1?4???

B. 16 1?2???

C. 3 1?4???

32

D. 3 1?2???

32

第1页（共21页）

15. 在等比数列 ???? 中，???? 表示前 ?? 项和，若 ??3=2??2+3，??4=2??3+3，则公比 ??= ??

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

16. 已知等比数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????，且 ??3=7??1，则数列 ???? 的公比 ?? 的值为 ??

A. 2

B. 3

C. 2 或 ?3

D. 2 或 3

17. 若数列 ???? 满足 ????+1=2???? ????≠0,??∈??? ，且 ??3 与 ??5 的等差中项是 10，则 ??1+??2+?+

???? 等于 ?? A. 2??

B. 2???1

C. 2???1

D. 2???1?1

18. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日

脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人要走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地．”问此人第 4 天和第 5 天共走了 ??

A. 60 里 B. 48 里

1

C. 36 里 D. 24 里

1

222

19. 已知等比数列 ???? 的前 ?? 项和 ????=2?????，则 ??1+??2+?+????= ??

A. 2???1 2

B. 3 2???1 B. 303

C. 4???1

D. 3 4???1 D. ?303

5

??

??

20. 设等比数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????，若 ??3=3，且 ??2016+??2017=0，则 ??101 等于 ??

A. 3

C. ?3

5

21. 已知等比数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????，且 ??1+??3=2，??2+??4=4，则 ????= ??

A. 4

???1

B. 4?1

??

C. 2

???1

D. 2???1

22. 已知 ???? 为无穷等比数列，且公比 ??>1，记 ???? 为 ???? 的前 ?? 项和，则下面结论正确的是

?? A. ??3>??2

2 C. ???? 是递增数列

B. ??1+??2>0 D. ???? 存在最小值

??

3

23. 设等比数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????，且满足 ??6=8??3，则 ??6= ??

A. 4

B. 5

C. 8

1

D. 9

1

24. 等比数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????，已知 ??1，2??2，3??3 成等差数列，则 ???? 的公比为 ??

A. 2

B. 3

C. 2 D. 3

??+??+??

1

2

5

25. 设数列 ???? 是各项为正数的等比数列，???? 为其前 ?? 项和，已知 ??2??4=16，??4+??5+??8=8，则

??5= ?? A. 40

B. 20

C. 31

??

2

D. 43

26. 设 ???? 为等比数列 ???? 的前 ?? 项和，??3=8??6，则 ??4 的值为 ??

A. 2 1

B. 2

C. 4 5

D. 5

27. 在各项均为正数的等比数列 ???? 中，??2，??4+2，??5 成等差数列，??1=2，???? 是数列 ???? 的前

?? 项的和，则 ??10???4= ?? A. 1008

B. 2016

C. 2032

D. 4032

第2页（共21页）

28. 设 ???? 为等比数列 ???? 的前 ?? 项和，??2?8??5=0，则 ??8 的值为 ??

4

??

A. 2 1

B. 16

17

C. 2

??

D. 17

29. 等比数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????=???3???1+??，则 ??= ??

A. ?3 ??2016= ??

B. ?1

C. 1

D. 3

30. 已知数列 ???? 是递增的等比数列，??1+??4=9，??2???3=8，则数列 ???? 的前 2016 项之和

A. 22016

B. 22015?1

C. 22016?1

D. 22017?1

31. 清代著名数学家梅彀成在他的《增删算法统宗》中有这样一歌谣：“远望巍巍塔七层，红光点点

倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”其译文为：“远远望见 7 层高的古塔，每层塔点着的灯数，下层比上层成倍地增加，一共有 381 盏，请问塔尖几盏灯?”则按此塔各层灯盏的设置规律，从上往下数第 4 层的灯盏数应为 ??

A. 3 ??1= ??

B. 12 C. 24 D. 36

32. 设公比为 ?? ??>0 的等比数列 ???? 前 ?? 项和为 ????．若 ??2=3??2+2，??4=3??4+2，则

A. ?2

B. ?1

C. 2

1

1

D.

3

9

2

33. 已知数列 ???? 为等比数列，???? 是它的前 ?? 项和，若 ??3??5=4??1，且 ??4 与 ??7 的等差中项为 8，

则 ??5 等于 ?? A. 35

B. 33

C. 31

D. 29

34. 已知等比数列 ???? 的前 ?? 项和是 ????，且 ??20=21，??30=49，则 ??10 为 ??

A. 7 ??12= ??

B. 9

C. 63

D. 7 或 63

35. 已知数列 ???? 是等比数列，???? 为其前 ?? 项和，若 ??1+??2+??3=4，??4+??5+??6=8，则

A. 40

??2016 等于 ??

B. 60

C. 32

D. 50

36. 设等比数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????，已知 ??1=2016，且 ????+2????+1+????+2=0 ??∈??? ，则

A. 0

B. 2016

C. 2015

6332

D. 2014

12764

37. 已知数列 ???? 满足 ??1=1，?????1=2???? ??≥2,??∈??? ，则数列 ???? 的前 6 项和为 ??

A. 63

B. 127

C.

D.

38. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日

脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为 ??

A. 24 里 A. 22015?1

B. 12 里 B. 21009?3

C. 6 里 C. 3×21007?3

D. 3 里 D. 21008?3

39. 已知数列 ???? 满足 ??1=1，????+1?????=2?? ??∈??? ，则 ??2015= ??

第3页（共21页）

40. 如图，作边长为 3 的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的

内切圆.如此下去，则前 ?? 个内切圆的面积和为 ??

A.

π??23

1?4??

1

B. 1?4?? π

1

C. 1?4???1 π

1

D. 3 1?4?? π

1

二、填空题（共40小题；共200分） 41. 等比数列的前 ?? 项和公式

等比数列 ???? 的公比为 ?? ??≠0 ，其前 ?? 项和为 ????， 当 ??=1 时，????= ；

当 ??≠1 时，????= = ．

1

??

42. 等比数列中，??1=2，??3=26，则其公比的值为 . 43. 设等比数列 ???? 的公比 ??=2，前 ?? 项和为 ????，则 ??4= ?? ．

4

44. 已知公比为 ?? 的等比数列 ???? 的前 ?? 项的和为 ????，且 ??4=65，??=，则首项 ??1=??．

3

2

45. 在等比数列 ???? 中，已知 ??1=2，前三项的和 ??=

5152

，则公比 ??= ．

1

1??2

46. 在等比数列 ???? 中，已知 ??1=1，??=2，那么 ????=??

为 ．

+??

1

2??3

+?+??

1

??????+1

的结果可化

47. 若数列 ???? 满足 2????+1+????=0，??2=1，则数列 ???? 的前 10 项和 ??10= ．

48. 设 ???? 是由正数组成的等比数列，???? 为其前 ?? 项和，已知 ??2??4=1，??3=7，则 ???? 的公比

??= ．

49. 已知等比数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????，若 ??2=2，??4=20，则 ??6= ．

50. 等比数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????．已知 ??1=2，??4=?2，则 ???? 的通项公式 ????= ，

??9= ．

51. 若等比数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????，??3=2，??3=2，则公比 ??= ．

52. 等比数列 ???? 的各项都是正数，若 ??1=81，??5=16，则它的前 5 项的和是 ． 53. 已知数列 ???? 满足 3????+1+????=0，??2=?，那么数列 ???? 的前 10 项和 ??10= ．

34

??

??

5??+1???1

3

9

54. 已知 ???? 是等比数列 ???? 的前 ?? 项和，若存在 ??∈???，满足 ??2??=9，??2??=

??

??

，则数列 ????

的公比为 ．

55. 已知等比数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????，且 ????=???2???1?3，则 ??= ． 56. 在等比数列 ???? 中，若 ??5=4，??10=12，则 ??15= ．

57. 已知数列 ???? 满足 2????+1+????=0，??2=1，则数列 ???? 的前 10 项和 ??10= ． 58. 已知等比数列 ???? 的首项 ??1=?1，前 ?? 项和为 ????，若 ??10=32，则公比 ??= ．

5

??31

第4页（共21页）

59. 在等比数列 ???? 中，若 ??1+32??6=0，??3??4??5=1，则数列 ???? 的前 6 项和 ??6= ． 60. 已知等比数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????，且 ??1+??3=2，??2+??4=4，那么 ????= ．

??

55??

61. 已知公比不为 1 的等比数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????，且 ?3??1，???2，??3 成等差数列，则公比

??= ．

62. 设等比数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????，若 27??3???6=0，则 ??6= ．

3

??

63. 已知等比数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????，若 ??2=3，??4=15，则 ??6 的值为 ．

64. 各项均为正数的等比数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????，若 ??3=2，??4=5??2，则 ??1 的值为 ，??4 的值为 ．

65. 若等比例数列 ???? 满足 ??2+??4=20，??3+??5=40，则公比 ??= ；前 ?? 项和

????= ． 66. 等比数列前 ?? 项和的性质

公比不为 ?1 的等比数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????，则 ????，??2???????，??3?????2?? 仍成等比数列，其公比为? ．

67. 已知数列 ???? 是递增的等比数列，??1+??4=9，??2??3=8，则数列 ???? 的前 ?? 项和等

于 ．

68. 设等比数列 ???? 的公比为 ?? 0

中项为 ??5，则 ??6= ．

69. 等比数列的前 ?? 项和为 3，前 2?? 项和为 9，则前 3?? 项和为 ．

70. 设数列 ???? 的首项 ??1=1，且满足 ??2??+1=2??2???1 与 ??2??=??2???1+1，则 ??20= ． 71. 已知等比数列的前 ?? 项和为 ????，若 ??3:??2=3:2，则公比 ??= ． 72. 已知等比数列 ???? 的前 ?? 项和 ???? 满足：??15=2，则 ??45= ．

10

35

3

??3??

73. 已知等比数列 ???? 的公比 ??=2，其前 4 项和 ??4=60，则 ??2= ．

74. 在公比为 ?? 且各项均为正数的等比数列 ???? 中，???? 为 ???? 的前 ?? 项和．若 ??1=??2，且

??5=??2+2，则 ?? 的值为 ． 75. 等比数列 ???? 中，??1=1，????=

?????1+?????2

2

1

（??=3,4,?），则 ???? 的前 ?? 项和为 ．

76. 等比数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????，若 ??2+??3=0，则公比 ??= ．

77. 已知数列 ???? 满足：??1=1，????=?2?????1 ??≥2,??∈?? ，则其前 6 项的和 ??6= ． 78. 设数列 ???? 满足 ??4=，且对任意的正数 ??，满足 ????+2?????≤3??，????+4?????≥10×3??，则

81

??2016= ．

79. 将数列 ???? 按如图所示的规律排成一个三角形表，并同时满足以下两个条件： ??1

??2??3??4

??5??6??7??8??9

??

①各行的第一个数 ??1，??2，??5，? 构成公差为 ?? 的等差数列；

②从第二行起，每行各数按从左到右的顺序构成公比为 ?? 的等比数列．

第5页（共21页）

若 ??1=1，??3=4，??5=3，则 ??= ； 第 ?? 行的和 ????= ．

1

80. 已知各项均为整数的数列 ???? 中，??1=2，且对任意的 ??∈???，满足 ????+1?????<2??+2，

????+2?????>3×2???1，则 ??2017= ．

三、解答题（共20小题；共260分）

81. 求 1+2+22+?+2?? 的和．

82. 已知数列 ???? 为等比数列，它的前 ?? 项和为 ????=16，若 ??1=2，公比 ??=?2，求 ?? 及 ????． 83. 已知数列 ???? 满足 ????+1=3????+2（??∈Ν?），且 ??1=2．

（1）求证：数列 ????+1 是等比数列；

（2）求数列 ???? 的前 ?? 项和 ????．

84. 已知等比数列 ???? 中，??3=4，??3=12，求数列 ???? 的通项公式． 85. 数列 ???? 中 ??1=3，前 ?? 项和 ???? 满足 ????+1?????= 3

（1）求数列 ???? 的通项公式 ???? 以及前 ?? 项和 ????；

（2）若 ??1，?? ??1+??2 ，3 ??2+??3 成等差数列，求实数 ?? 的值．

86. 在等比数列 ???? 中，??1 最小，且 ??1+????=66，??2??????1=128，前 ?? 项和 ????=126．

（1）求公比 ??；

（2）求 ??．

87. 已知等比数列 ???? 的前 ?? 项和为 2，其接下去的后面的 2?? 项和为 12．求其再接下去的后面的

3?? 项的和．

88. 求等比数列 1，2，4，8，? 中，从第 5 项到第 10 项的和．

89. 把一个正方形等分成 9 个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉（如图①）；再将剩余的

每个正方形都分成 9 个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉（如图②）；如此下去 ?…

（1）如此下去，第三次共挖掉了多少个正方形?

1

1??+121

1

??∈??? ．

（2）第 ?? 个图共挖掉了多少个正方形?若原正方形的边长为 ?? ??>0 ，则这些正方形的面积之

和为多少?

90. 已知等比数列 ???? 中，??2=2，??5=，求和：??1??2+??2??3+?+????????+1．

41

91. 在等比数列 ???? 中，已知 ??4=8??1，且 ??1，??2+1，??3 成等差数列．

（1）求数列 ???? 的通项公式； （2）求数列 ?????4 的前 ?? 项和 ????．

第6页（共21页）

92. 已知一个等比数列的首项为 1，项数为偶数，其奇数项的和为 85，偶数项的和为 170，求这个

数列的公比与项数． 93. 在等比数列 ???? 中，

（1）若 ??=2，??4=1，求 ??8；

（2）若 ??1+??3=10，??4+??6=，求 ??4 和 ??5．

45

94. 设 ???? 是公比不为 1 的等比数列，其前 ?? 项和为 ????，且 ??5，??3，??4 成等差数列．

（1）求数列 ???? 的公比；

（2）证明：对任意 ??∈???，????+2，????，????+1 成等差数列．

95. 已知 ???? 是公差为 3 的等差数列，数列 ???? 满足 ??1=1，??2=，????????+1+????+1=??????．

31

（1）求 ??1 的值并求数列 ???? 的通项公式；

（2）求数列 ???? 的前 ?? 项和 ????．

96. 已知 ???? 为等差数列，且 ??3=?6，??6=0．

（1）求 ???? 的通项公式．

（2）若等比数列 ???? 满足 ??1=8，??2=??1+??2+??3，求 ???? 的前 ?? 项和公式． 97. 已知等差数列 ???? 和等比数列 ???? 满足 ??1=??1=1，??2+??4=10，??2??4=??5．

（1）求 ???? 的通项公式；

（2）求和：??1+??3+??5+?+??2???1．

98. 已知数列 ???? 满足 ??1=，????+1=3?????1 ??∈??+ ．

23

12

（1）若数列 ???? 满足 ????=?????，求证： ???? 是等比数列；

（2）求数列 ???? 的前 ?? 项和 ????．

99. 已知等比数列 ???? 满足 ??3???1=3，??1+??2=3．

（1）求数列 ???? 的通项公式；

2

（2）若 ????=????+1，求数列 ???? 的前 ?? 项和公式．

100. 已知等差数列 ???? 的公差不为 0，??1=1 且 ??1，??3，??9 成等比数列．

（1）求通项公式 ????．

（2）设 ????=2????，求数列 ???? 的前 ?? 项和 ????．

第7页（共21页）

答案

第一部分 1. C

2. D

【解析】由条件得 8??1??+??1??4=0，

??

1???5

2

所以 ??1??≠0，则 ??=?2，于是 ??5=1???2=?11． 3. C

【解析】由已知条件及 ??3=??1+??2+??3，得 ??3=9??1．设数列 ???? 的公比为 ??，则 ??2=

19

2 1???7 ??1

2 1???8 ??1

9．所以 ??5=9=??1???4=81??4，得 ??1=． 4. B

【解析】因为 ??7??8???8??7=

【解析】因为 ??2+??3=0，

1???

????

7

1???

26

???6=???1??<0，

所以 ??7??8

所以 ??1??+??1+??1??+??1??2=0， 即 ??2+2??+1=0， 解得 ??=?1． 7. D

8. C

【解析】因为数列 ?1 ??+2 为等比数列，且首项 ??1=?1，公比 ??=?1，

1?????1 1???100

?1 × 1? ?1 100

1+1

所以 ??100=9. C

==0．

24

【解析】因为 ??2??4=??1??=144，所以 ??1??2=12．又数列 ???? 是正项数列，且 ??1=3，所

??1 1???5 1???

以 ??=2，所以 ??5=10. C

=3× 25?1 =93．

??1???????1???

3?96??1???

1?32??1???

【解析】????=??1??????1=96=3??????1，所以 ?????1=32．????=63．解得 ??=2．所以 2???1=32，所以 ??=6． 11. D 12. B 【解析】因为

==189，=

===

=

所以 ??=2． 又因为 ??1=1， 所以 ??5=

1? 1?25 1?2

??4+??5+??8??1+??2+??5

??1???3+??2???3+??5???3

??1+??2+??5

??3 ??1+??2+??5 ??1+??2+??5??38.

=31．

13. C 【解析】显然 ??≠1， 所以

9 1???3 1???

=

1???61???

，

即 1+??3=9， 解得 ??=2，

第8页（共21页）

所以数列 ?? 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，前 5 项和 ????=

??

11

1?

15211?2

=16．

31

14. C 【解析】因为 ??3=??5=8，

2

??1

所以 ??=2，??1=4． 所以 ????=??1?????1=4× 2 所以 ????????+1=16× 2

1???1

1???1

1

，

1??

× =32× ． 24

8 1?

1??

411?41??

所以 ??1??2+??2??3+?+????????+1=15. B

=

323

1?4??? ．

12

16. C 17. B 18. C 【解析】记每天走的路程里数为 ???? ，可知 ???? 是公比 ??= 的等比数列， 由 ??6=378，得 ??6=

1

1

??1 1?6 211?2=378，解得：??1=192，

1

所以 ??4=192×23=24，??5=192×24=12，此人第 4 天和第 5 天共走了 24+12=36 里． 19. D 【解析】因为 ????=2?????，

所以 ??1=2???，??1+??2=4???，??1+??2+??3=8???， 解得 ??1=2???，??2=2，??3=4， 因为数列 ???? 是等比数列， 所以 22=4 2??? ，解得 ??=1．

2

所以公比 ??=2，????=2???1，????=22???2=4???1． 222则 ??1+??2+?+????=

4???14?1

=3 4???1 ．

1

20. A

【解析】因为等比数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????，??3=3，且 ??2016+??2017=0， ??1??2=3, 解得 ??1=3，??=?1， 所以 2015 ??1??1+??=0,所以 ??101=??1??100=3× ?1 100=3． 21. D 【解析】设等比数列 ???? 的公比为 ??， ??1+??3=2,

因为 5

??2+??4=4,??1+??1??2=2,所以 5

??1??+??1??3=4,

1+??2

55

???①???②

由 ①÷② 可得 ??+??3=2， 所以 ??=，代入 ① 解得 ??1=2，

21

1??211?2所以 ????=2× 2 1???1

=2??，????=

4

2× 1?

=4 1?2?? ，

1

第9页（共21页）

所以

????

????

=

4 1?

42??1 2??=2???1．

22. C 23. D 【解析】因为等比数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????，且满足 ??6=8??3， 所以 ??6=??3=8，解得 ??=2，

3

????

所以 ??6=1???3=1+??3=9．

3

1???6

24. D 【解析】设等比数列 ???? 的公比为 ??，因为 ??1，2??2，3??3 成等差数列，所以 ??1+3??3=2×2??2，所以 4??1+3??2+3??3=4??1+4??2，化为：3??3=??2，解得 ??=3． 25. C

24

【解析】设等比数列 ???? 的公比为 ??>0，因为 ??2??4=16，??4+??5+??8=8，所以 ??1??=16，??3=8，

1

2

5

1

??+??+??

解得 ??=2，??1=1．则 ??5=

25?12?1

=31．

26. C 27. B 【解析】设正项等比数列 ???? 公比为 ??， 则由题意知：??1???+??1???4=2 ??1???3+2 ， 因为 ??1=2，

所以 ??4?2??3+???2=0， 即 ??3+1 ???2 =0， 因为 ??>0， 所以 ??=2，??10=

??1 1???10 1???

=211?2，??4=

??1 1???4 1???

=25?2，

所以 ??10???4=2016．

28. B 【解析】设 ???? 的公比为 ??， 由题意得

??5??2

==??3，

8

1

因此 ??=2，

又 ??5+??6+??7+??8=??4 ??1+??2+??3+??4 ， 即有 ??8???4=??4??4，

因此 ??8= ??4+1 ??4，??8=??4+1=16．

4

1

??17

29. A 【解析】因为等比数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????=???3???1+??，

所以 ??1=??1=??+??，??2=??2???1=3??+????????=2??，??3=??3???2=9??+???3?????=6??，

2因为等比数列 ???? 中，??2=??1??3，

所以 2?? 2= ??+?? ×6??，解得 ??=?3． 30. C

【解析】在等比数列 ???? 中，

若 ??1+??4=9，??2??3=8，则 ??1+??1??3=9，??2??3=8， 则 ??1??2???1??=8， 解得 ??=2，??1=1． 则 ??2016=

1?22016 1?2

??

=22016?1．

31. C 【解析】依题意知，此塔各层的灯盏数构成公比 ??=2 的等比数列，且前 7 项和 ??7=381，

第10页（共21页）

由

??1 1?27 1?2

=381，解得 ??1=3，

故 ??4=??1??3=24．

32. B 【解析】由 ??2=3??2+2，??4=3??4+2 得 ??3+??4=3??4?3??2，即 ??+??2=3??2?3，解得 ??=?1（舍）或 ??=2，将 ??=2 代入 ??2=3??2+2 中得 ??1+2??1=3×2??1+2，解得 ??1=?1． 33. C 【解析】因为 ??3??5=4??1， 所以 ??1??7=??1，

411

1

3

3

3

3

所以 ??7=4．

又 ??4 与 ??7 的等差中项为 8， 所以 ??4+??7=，

49

9

所以 ??4=2，

所以 ??= ??7=2，??1=16，

43

??1

所以 ??5=

??11???

1???5 =31．

34. A 【解析】由等比数列的性质可得 ??10，??20???10，??30???20 成等比数列， 所以 ??20???10 2=??10? ??30???20 ，

所以 21???10 2= 49?21 ??10，即 ??10?7 ??10?63 =0． 即得 ??10=7 或 ??10=63（舍去，因为 ??30=3???10=2>1）．

20

??7

35. B

【解析】由等比数列的性质可知，数列 ??3，??6???3，??9???6，??12???9 是等比数列， 即数列 4，8，??9???6，??12???9 是等比数列， 因此 ??12=4+8+16+32=60．

36. A 【解析】因为 ????+2????+1+????+2=0 ??∈??? ，

所以 ????+2??????+??????2=0，?? 为等比数列 ???? 的公比，即 ??2+2??+1=0， 所以 ??=?1．

所以 ????= ?1 ???1?2016，

所以 ??2016= ??1+??2 + ??3+??4 +?+ ??2015+??2016 =0． 37. C 【解析】由已知 ?????1=2???? ??≥2,??∈??? 得 所以数列 ???? 是以 1 为首项， 为公比的等比数列，

21

?????????1

=，

2

1

所以数列 ???? 的前 6 项和为 ??6=

1? 16211?2=

6332

．

12

38. C 【解析】记每天走的路程里数为 ???? ，易知 ???? 是公比 ??= 的等比数列，??6=378，??6=

1

??1 1?6 211?2

=378，

所以 ??1=192， 所以 ??6=192×25=6．

1

第11页（共21页）

39. B 【解析】因为 ??1=1，????+1?????=2??， 所以 ??2=2，

所以当 ??≥2 时，??????????1=2???1， 所以 ??

????+1

???1

=2???1=2，

1?210081?2

2??

所以数列 ???? 中奇数项、偶数项分别成等比数列， 所以 ??2015=40. B

【解析】据已知条件，第一个内切圆的半径为 6×3=

33π

3π1 1??? 4411?4

+

2 1?21007

1?2

=21009?3．

33π 3，面积为 ； 24

3π

1

第二个内切圆的半径为 4，面积为 16?，这些内切圆的面积组成一个等比数列，首项为 4，公比为 4， 故 ?? 个内切圆的面积之和为 第二部分 41. ????1，43. 15

【解析】对于 ??4=??4=??1??3， 所以

??4??4

1???4

??3 1???

??1 1???4 1???

??1 1????? 1???

，

??1???????1???

42. ?4 或 3

，

==15．

44. 27 45. ?2 或 1

【解析】当 ??=1 时，??3=3??1 满足题意； 当 ??≠1 时，??=

??1 1????? 1???

5

1???3 2=

1???

=

152

，

所以 ??2+??+1=3，

所以 ??=?2 或 ??=1（舍去）． 故 ??=?2 或 ??=1． 46. 1?

34

【解析】由题意得 ????=2???1，所以 ????=

43

11??

1? 24

11?4

2

1??

1

????????+1

=

12???1?2??=

122???1=×

2

114???1，

=3 1? 4 ．

2

1??

47. 2?10?1

【解析】因为 2????+1+????=0,， 所以

????+1????

1

=?2．

又 ??2=1，

第12页（共21页）

所以 ??1=?2，

所以数列 ???? 是首项 ??1=?2，公比 ??=?2 的等比数列， 所以 ??10=48.

21

??1

1???10 1???

1

1102=

?2× 1? ?

11+2

=3 2?10?1 ．

4

49. 182

50. 2× ?1 ???1，2 51. 1 或 ?2 52. 211

【解析】由 ??5=??1??4，得 16=81???4，所以 ??=3．所以 ??5=53. 3 1?3?10 【解析】由题意知

????+1????

13

13

2

??1???5??1???

1

= 81?16×3 ×3=211．

1??

2

=?，所以数列 ???? 是公比为 ? 的等比数列，所以 ??1=??2×

4 1? ?

110311+3

=?×

3

4

?3 =4，所以 ??10=54. 2

=3 1?3?10 ．

【解析】设 ???? 的公比为 ??，若 ??=1，则 ??2??=2，与题中条件矛盾，故 ??≠1．

??

??

因为

??2??????

??1 1???2??

=

1?????1 1????? 1???

=????+1=9,

所以 ????=8． 所以

??2??????

??1??2???1=

??1?????1=????

=8

5??+1=,???1所以 ??=3，则 ??3=8， 所以 ??=2． 55. 6

【解析】??1=??1=???3，当 ??≥2 时，????=??????????1=???2???2，

2

所以 ??2=??，??3=2??，又 ??2=??1??3，

所以 ??2= ???3 ?2??，整理得 ??2?6??=0，则 ??=6 或 ??=0（舍去）． 56. 28

【解析】由等比数列的性质知 ??5，??10???5，??15???10 成等比数列，所以 ??5=4，??10???5=8，??15???10=16，解得 ??15=28．

第13页（共21页）

57. ?

341256

????+1????

【解析】因为 2????+1+????=0，所以

1

=?．又 ??2=1，所以 ??1=?2，所以数列 ???? 是首项为

2??1 1???10 1???

1

?2，公比 ??=?2 的等比数列，所以 ??10=58. ?2 【解析】由

??10??5

1

=

?2 1?2?10

11+2=3 2?10?1 =?256．

4341

=

3132

，??1=?1 知公比 ??≠1，

??10???5??5

=?．由等比数列前 ?? 项和的性质知 ??5，

321

1

1

??10???5，??15???10 成等比数列，且公比为 ??5，故 ??5=?32，??=?2． 59. ?4

【解析】由 ??1+32??6=0， 得

??6??1

21

=?

132

=??5，

所以 ??=?．

2

3

又 ??3??4??5=1，即 ??4=1，

??

1

所以 ??4=1，则 ??1=??4

3=?8， 所以数列 ???? 的前 6 项和 ??6=60. 2???1

【解析】设 ???? 的公比为 ??， 所以 ??=??2+??4=2，

1

3

?8 1? ?

11+2

162

=?4．

21

??+??1

所以 ??1=2， 所以 ????=2× 2 所以 ????=所以 ??=

??

1???1

=2??，

12??4

2× 1?

1??211?21 2??=4 1? ，

????

4 1?

42??=2???1．

61. ?3

【解析】依题意有 ?2??2=?3??1+??3，即 ?2??1??=?3??1+??1??2， 即 ??2+2???3=0， ??+3 ? ???1 =0， 又 ??≠1， 因此有 ??=?3． 62. 28

【解析】设等比数列 ???? 的首项为 ??1，公比为 ??， 由 27??3???6=0，得 27??3???3??3=0，即 ??=3， 所以 ??=

3

??1 1?36 1?3??1 1?33 1?3

??6

=28．

63. 63

【解析】设等比数列 ???? 的公比为 ??，由题意知 ??2=3， 1+??2 ??2=15，

第14页（共21页）

所以 ??2=4，

所以 ??6= 1+??2+??4 ??2=63． 64. 2，2

【解析】当等比数列的公比等于 1 时，由 ??3=2，

得 ??4=4??3=4×2=8，5??2=5×2??3=5×2×2=20，与题意不符． 设各项均为正数的等比数列的公比为 ?? ??>0且??≠1 ，由 ??3=2，??4=5??2， 得 ??1 1???4

1???1

15

??1??2=2,

=5 ??1+??1?? ,

??1??2=2,整理得 2

??=4,

??=,??=,解得 12 或 12（舍）．

??=2,??=?2,则 ??4=

1

× 1?24 211

65. 2，2即有 ??=

1?2??+1

=

152

．

?2 =

4020

【解析】数列 ???? 是等比数列，??3+??5=??2???+??4???=40，

??3+??5??2+??4

=2．

代入 ??2+??4=20，得 ??1=2， 故 ????=66. ?? 67. 2???1

??+??4=9,所以 ??1，??4 为方程 ??2?9??+8=0 的两个根，因为 ??4>??1，【解析】由题意得 1 ??2??3=??1??4=8,所以 ??1=1，??4=8．所以 ??3=??4=8，所以 ??=2．所以 ????=

1

2 1?2?? 1?2

=2??+1?2．

??

??

??1 1????? 1???

=2???1．

68. 4

63

【解析】因为 ??1=4??3??4，所以 4??1??5=1，所以 ??6=4．又因为 ??6 与 4??4 的等差中项为 ??5，所以 ??6+??4=2??5，即 1+

43

34??21

13

=，化简得 4??2?8??+3=0，解得 ??= 或 ??=（舍去），所以

??

2

2

1? 215216213

??6=

??1 1???6 1???

=

??6 1???6 ??5 1???

=4?

=

634

．

69. 21 70. 2056

【解析】数列 ???? 的首项 ??1=1，且满足 ??2??+1=2??2???1， 可得数列 ??2???1 为等比数列，可得 ??2???1=2???1， 所以 ??2??=??2???1+1=2???1+1， 所以 ??2???1+??2??=2??+1， 则

第15页（共21页）

??20

= ??1+??2 + ??3+??4 +?+ ??19+??20 =21+22+?+210+10

2 210?1

=+10

2?1=2056.

71. 1 或 ?2

【解析】若 ??=1，必有 ??3:??2=3??1:2??1=3:2，满足题意； 故 ??≠1，由等比数列的求和公式可得 ??3:??2=化简可得 2??2????1=0，解得 ??=?，

21

??1 1???3 ??1 1???2 1???

1

:

1???

=3:2，

综上，??=1或?2． 72. 或

79

171172

1

73. 8 74.

5?1

2

2

2

1??

75. ?? 或 3?3× ?2 76. ?1

【解析】因为 ??2+??3=0， 所以 ??1??+77. ?21 78.

81504?80

8

??1 1???3 1???

=0，

即 ??2+2??+1=0，解得 ??=?1．

【解析】因为对任意的正整数 ??，满足 ????+2?????≤3??， 所以 ????+4?????+2≤3??+2． 所以 ????+4?????≤10×3??，

又 ????+4?????≥10×3??，则 ????+4?????=10×3??，

所以 ??8???4=10×34，??12???8=10×38，?，??2016???2012=10×32012． 所以

??2016???4

=10× 34+38+?+32012

81 81503?1

=10× 81?181 81503?1 =.

8所以 ??2016=??4+

81 81503?1

8

=

81504?80

8

．

79. 1，??? 22???1?1

【解析】根据题意得 ??5=??1+2??，所以 3=1+2??，所以 ??=1．又因为 ??3=??2??= ??1+?? ??，所以 ??=2，所以 ??，?? 的值分别为 1，2．记第 ?? 行第 1 个数为 ??，则 ??=??1+ ???1 ??=??．又根据此数表的排列规律可知：每行的总个数构成一个以 1 为首项，2 为公差的等差数列，所以 第 ?? 行共有

第16页（共21页）

2???1 个数，所以 第 ?? 行各数为以 ?? 为首项，??=2 为公比的等比数列，因此其总数的和 ????=

?? 1?22???1

1?22017

=???22???1???．

121

80. 2

【解析】因为 ????+1?????<2??+， 所以 ????+2?????+1<2??+1+2， 所以 ????+2?????<3×2??+1． 又 ????+2?????>3×2???1． 所以 ????+2?????=3×2??． 所以

??2017

= ??2017???2015 + ??2015???2013 +?+ ??3???1 +??1=3×22015+3×22013+?+3×21+2

2× 41008?1

=3×+2

4?1=22017.

第三部分

81. 这是一个首项为 1，公比为 2 的等比数列前 ??+1 项的和， 所以，1+2+22+?+2??=82. ??=6，????=2 ?2 83. （1） 因为

????+1+1????+1

1???1

1?2??+11?2

=2??+1?1．

=3，??1+1=3，

=

3????+3????+1

所以 ????+1 是首项为 3，公比为 3 的等比数列． （2） 由（1）可得 ????+1=3??， 所以 ????=3?1，????=

??

3 1?3?? 1?3

???=

3??+1?32

???．

84. 当 ??=1 时，??1=??2=??3=4，

??3=??1+??2+??3=12，所以 ??=1 符合题意． ????=4． 当 ??≠1 时，

12

??3=??1??2=4,??3=

??1 1???3 1???

=12,

???3

解得：??=?，所以 ????=??3??

= ? 2

1???5

．

．

故数列 ???? 的通项公式为 ????=4 或 ????= ?2 85. （1） 由 ????+1?????= 3又 ??1=，

31

1??+1

1???5

得 ????+1=

3

1??+1

??∈??? ；

1??

????= ??∈???

3从而 ????=

11?? 1? 33

11?3=2 1? 3 ??∈??? ．

1

1??

第17页（共21页）

（2） 由 1 可得 ??1=，??2=，??3=

3

9

13

4

13

1

4

141327

从而由 ??1，?? ??1+??2 ，3 ??2+??3 成等差数列可得； +3× +

9

=2× 3+9 ??， 27

解得 ??=2．

86. （1） 因为 ???? 成等比数列， 所以 ??1?????=??2??????1=128，

解方程 ??2?66??+128=0，得 ??1=2，??2=64， 又 ??1 最小，所以 ??1=2，????=64， 又 ????=126， 所以由 ????=

??1???????1???

得

2?64??1???

=126，

所以 ??=2．

（2） 由 ????=??1?????1 得 2×2???1=64， 所以 ??=6．

87. 设数列的公比为 ??，显然 ??≠1，令 ??=????=?? ?????1 =2则

??3??=?? ??3???1 =14

????=?3????=2解方程组，得 或 1

??=2??=?

2

??1???1

，

若 ?? 为偶数，则 ????=2．??6?????3??=?? ??6?????3?? =112． 若 ?? 为奇数，则 ????=2 或 ????=?3．??6?????3??=112 或 ?378． 综上所述，

?? 为偶数时，所求数值为 112； ?? 为奇数时，所求数值为 112 或 ?378． 88. 由 ??1=1，??2=2，得 ??=2． 所以 ??10=

1 1?210 1?2

=1023，??4=

1 1?24 1?2

=15，所以 ??10???4=1008．

89. （1） 8×9+1=73．

（2） 我们把由图①分割为图②看作是一次操作，则一次操作挖去 8 个小正方形，且由图①分割为图②时，增加了 8 个图①，所以 ???1 次操作后得到第 ?? 个图，共挖掉了 1+8+82+?+8???1=

1?8??1?8

=

8???17

个正方形，这些正方形的面积和为

12141612??

2???1

?? 1× +8× +8× +?+8×

333321

=9

1? 9 1?9

88??

??2

8??2

= 1? ??.

9

90. 设数列 ???? 的公比为 ??，由 ??2=2，??5=??2??3=4，得 ??=2．所以 ??1=4．

第18页（共21页）

1

1

因为 ????

??????+1

???1????

=????+1=

???1

??

?????1??2?????1

=??2=4 为常数 ??≥2 ，

1

1??411?4

1

所以数列 ????????+1 为以 ??1??2=4×2=8 为首项，以 4 为公比的等比数列． 所以 ??1??2+??2??3+?+????????+1=

8? 1?

=

323

1?4??? ．

91. （1） 设数列 ???? 的公比为 ??，则 ??4=??1???3=8??1， 所以 ??=2．

又 ??1，??2+1，??3 成等差数列，即 2 ??2+1 =??1+??3， 所以 ??1=2．

所以 ????=2?? ??∈??? ．

（2） 当 ??=1 时，??1?4=?2<0，????= ??1?4 =2． 当 ??≥2 时，?????4≥0， 所以

????

=2+ ??2?4 +?+ ?????4 =2+22+?+2???4 ???1

2 1?2??

=?4 ???1

1?2??+1=2?4??+2.

又当 ??=1 时，上式也满足，

所以 当 ??∈??? 时，????=2??+1?4??+2．

92. 设此等比数列共 2?? 项，公比为 ??，??奇≠??偶，

所以 ??≠1，由于奇数项组成一个以 ?? 为首项，以 ??2 为公比 的等比数列，

故所有奇数项之和为 ??奇=

??1 1???2?? 1???2=85①

=170②

同理得所有偶数项之和为 ??偶=所以 ??=4，2??=8， 所以共 8 项，其公比为 2．

??2 1???2?? 1???2②÷① 得 ??=2，代入①，得 22??=256，

93. （1） 由 ??=2 及 ??4=1，得 解得 ??1=所以 ??8=

115

??1 1?24 1?2

=1，

，

1???

??1 1???8

=

1

1?28 15

1?2

=17．

??1+??1??2=10,

3

5

（2） 设公比为 ??，由题意，得 即

??1 1+??2 =10,??①??1??1+??

13

2

51

??1??+??1??=,

54

=4,??②

②÷①，得 ??3=8， 解得 ??=2，从而 ??1=8．

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所以 ??4=??1??=8× 2 =1； ??5=

??1

1???5 1???

3

13

=

8× 1?

15211?2

=

312

．

94. （1） 由题意，得 2??3=??4+??5， 设公比为 ??，则 2??1??2=??1??3+??1??4， 由 ??1≠0 及 ??≠0，得 ??2+???2=0， 结合 ??≠1，解得 ??=?2． （2） 因为 ????=又 ????+2+????+1=

??1 1? ?2 ?? 1? ?2 3

=

??1 1? ?2 ??

33

， =

2??1 1? ?2 ??

3

??1 1? ?2 ??+2

+

??1 1? ?2 ??+1

，

所以 2????=????+2+????+1．

所以对任意 ??∈???，????+2，????，????+1 成等差数列．

95. （1） 由 ??1=1，??2=，????????+1+????+1=??????，当 ??=1 时，有 ??1??2+??2=??1．

31

13

23

因为 ??1=， 所以 ??1=2．

又因为 ???? 是公差为 3 的等差数列， 所以 ????=3???1．

（2） 由 ????=3???1 知： 3???1 ????+1+????+1=??????，化简得 3????+1=????，即 ???? 是以 1 为首项，以 为公比的等比数列，

31

????+1????

=3，即数列

1

所以 ????= 3

1???1

，

1× 1?

1??311?3所以等比数列 ???? 的前 ?? 项和 ????=

=2?2× 3 ．

33

1??

96. （1） 因为 ???? 为等差数列，且 ??3=?6，??6=0， ??+2??=?6,所以 1 解得 ??1=?10，??=2，

??1+5??=0,所以 ????=?10+ ???1 ×2=2???12．

（2） 因为等比数列 ???? 满足 ??1=8，??2=??1+??2+??3=?10?8?6=?24， 所以 ??=??2=

1

???248

=?3，

8× 1? ?3 ?? 1? ?3

所以 ???? 的前 ?? 项和公式：????=

=2?2× ?3 ??．

97. （1） 等差数列 ???? ，??1=1，??2+??4=10， 可得：1+??+1+3??=10，解得 ??=2，

所以 ???? 的通项公式：????=1+ ???1 ×2=2???1． （2） 由（Ⅰ） 可得 ??5=??1+4??=9， 等比数列 ???? 满足 ??1=1，??2??4=9，

可得 ??3=3或?3 舍去 （等比数列奇数项符号相同）， 所以 ??2=3， ??2???1 是等比数列，公比为 3，首项为 1，

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