高中数学 精选单元测试卷集 - 向量测试03

向量测试03

一．选择题：

1．若a＜b＜c，则下列结论正确的是

111A．|a|c＞|a|b B．bc≥ac C．b?c?a?c D．??

cba2．在△ABC中，D、E、F分别为三边AB、BC、CA的中点，则AF?DB等于 A．FD B．FC C．FE D．BE 3．设

?????????????????????????为锐角，a?sin??cos?2,b?12sin2?,c?sin2?sin??cos?,则a、b、c的大小关系是

A．a?b?c B．b?a?c C．b?c?a D．c?b?a

???????34．若点P分向量 AB 的比为，则点A分向量 BP 的比为

43377 A．? B． C．? D．

44335．下面四个函数中，以?为最小正周期，且在区间 (,?) 上为减函数的是

21cosx A．y?cos2x B．y?2|sinx| C．y?() D．y??cotx

36．下列不等式中，解集为实数集RA．x?4x?4?0 B. x2?0 C. 7．若把一个函数的图象按向量

2?的是

11?1? D. cos(sinx)?0 xx3 图象的解析式为

A．y?cos(x? C．y?cos(x?a?(???,?2)平移后得到函数y?cosx的图象，则原函数

?3)?2 B．y?cos(x?)?2 D．y?cos(x??3)?2[ )?2

?3?38．不等式loga?1(2x?1)?loga?1(x?1)成立的充要条件是 A．a＞2, x＞1 B．a＞1, x＞1 C．a＞2,x＞0 D．x＞0 9．下列各式中，值为

12的是 A．sin15cos15 B．cos??2?12?sin2?12 C．

tan22.5?1?tan222.5?

1?cosD．?6 210．已知a、、是两两不共线的非零向量，且的 b c(a?b)//c, (b?c)//，则下列结论中不正确a?????????????是 A．a?c与b共线 B．a?b?c=0

???? C．a?c与2b共线 D．a?2b?c=0

11．已知不等式

A．?3 B．?1 C．1 D．3

12．海上两个小岛A、B到海洋观察站C的距离都是a km，小岛A在观察站C北偏东20°，

小岛B在观察站C南偏东40°，则A与B的距离是

A．a km B．3a km C．2a km D．2a km 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

?5 若sin4??cos4??, 则sin2?? . 13．已知??(0,) ，2914．已知向量a?(m?1,?3),向量b?(1,m?1),若(a?b)?(a?b)，则实数m的值为 . 16．若对n 个向量 a1,a2,?an 存在 n 个不全为零的实数 k1，k2,?kn，使 k1a1?k2a2???knan?0 成立,则称向量a1,a2,?an为“线性相关”，依此规定，

?????????????????????????????????????能说明向量a1?(1,0), a2?(1，?1), a3?(2,2)“线性相关”的实数k1,k2,k3依次可以取

（只写出一组数值，不必考虑所有情况）

三．解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知

????????e1、 是两单位向量，其夹角为e2，求向量?18．已知a＞0，解关于x 的不等式 19．已知0?x????与向量6?的夹角??. 0?aax2?2ax?15?x.

.

213x1（I）若tan?,求 cosx 及 cosy 的值;

22（II）试比较siny 与 sin(x?y) 的大小，并说明理由.

??y??,且sin(x?y)?20．（本小题满分12分）

已知△ABC的外接圆半径R为6，面积为S，a、b、c分别是角A、B、C的对边设

4S?a2?(b?c)2, sinB?sinC?.

3（I）求sinA的值;（II）求△ABC面积的最大值. 21．（本小题满分12分）

某小区欲建一面积为a平方米的矩形绿地，四周有小路，绿地长边外小路宽5米，短边外小

路宽8米（如图），绿地长边至多长28米，至少长20米.

（I）设长边为x，试将绿地和小路的占地总面积S表示成x的函数；（II）对于给定的

a(300?a?700),当x取何值时，S最小.

8 绿 地 22．（本小题满分5 14分） 已知二次函数 f(x)?ax2?bx?c，g(x)??ax?b(??1)，当|x|?1时，|f(x)|?1.

（I）证明：|a|?2;

（II）用f(0)、f(1)、f(?1)表示g(1)，g(?1); （III）当|x|?1时，证明|g(x)|?2?.

高一年级数学参考答案

一、选择题

1—6. CDDCBD 7—12. DACDDB 二、填空题

22 14．?2 15．?2 13．316．只要写出?4c, 2c, c(c?0) 中一组即可，如?4, 2, 1等 三、解答题 17．解：?|a|?(2e1?e2)?4e1?4e1?e2?e2?5?4cos60?7 ?|a|?7

?2????2??2??????2??（?3分）

|b|2??(?3e????2??2??????21?2e2)?9e1?12e1?e2?4e2?13?12cos60??7

?|b|?7 （6分）

??cos???a??b??(2?e???????1?e2)?(?3e1?2e2)?6?e?2??????21?e1?e2?2e2|a||b|7（9分）?7 ??4?cos60?7??12 ???120? （12分）

18．解：原不等式可化为

ax2?2?(ax2?x)ax?1?0 即

?x?2ax?1?0亦即(x?2)(ax?1)?0 由a?0得(x?2)(x?1a)?0 4分 当?1a??2 即 a?12 时，x??2 或 x??1a

当?11a??2 即 0?a?2 时，x??1a 或 x??2

当?11a??2 即 a?2 时，x?R且 x??2 （10分）

综上所述：原不等式的解集：

当a?112 时为 {x|x??2 或 x??a}

当0?a?12 时为 {x|x??1a 或 x??2}

当a?12 时为 {x|x?R 且 x??2} ??????（12分）

19．解：（I）?0?x??x12?y??, tan2?2

?0?x2??4且cosx2?25, sinx12?5 cosx?2cos2x342?1?5, sinx?5 ??（3分）

又

?cos(x?y)??1213 ???（5分）

?cosy?cos[(x?y)?x]?cos(x?y)cosx?sin(x?y)sinx

1235416????? ??????（8分） 13513565??3??3?, ?y?x?y?（II）证法一：?0?x??y?? ??x?y??（10分） 又

22222?3?y?sinx 在 [,] 上为减函数 ?siny?sin(x?y)?（12分）

22xx证法二：?sin(x?y)?siny?2cos(?y)sin ???（10分）

22?x5?x?xx, 0?? ?cos(?y)?0, sin?0 又??y?2242422?sin(x?y)?siny?0, 即 sin(x?y)?siny ????（12分） ??20．解：（I）由S?12bc sinA 及 S?a2?(b?c)2 得

12bcsinA?2bc?(b2?c2?a2)?2bc?2bccosA?14?1?cosAsinA （4分）

11?cosA?1?sinA ?cos2A?(1?sinA)2

4411172122 ?1?sinA?1?sinA?sinA 即sinA?sinA?0

2161628 又sinA?0 ?sinA? ??????????（6分）

174bc4??（II）?sinB?sinC? ? 又?R?6 ?b?c?16

32R2R3144b?c2256?S?bcsinA?bc?()? 当且仅当

21717217256b?c?8 时，Sm?a ??????（8分） x17 此时sinB?sinC?由a?2RsinA?23 ?sinA?sin(B?C)?459(?817)与(I)矛盾

101217

961714048?S?bcsinA?

2289且b?c?16代入a2?b2?c2?2bccosA 得 bc?

??????（12分）

21．解：（I）由已知得绿地短边为

ax 米，且 x?ax

a16a?S?(x?2?8)(?2?5)?10x??a?160 (20?x?28) ??（4分）

xx（II）由（I）得S?210x? 当且仅当10x?16ax?a?160?810a?a?160

16ax, 即 x?8a5 时，上式中等号成立 ????（6分）

?8a20??28?5?? 即250?a?490 ?满足等号成立的充要条件是?8aa??8a?5?5? 又由已知300?a?700 ?(1)当 300?a?490 时，x?8a5 时，S 最小 ??????（8分）

(2)当 490

16a?280x28x16a28) ?(28?x)?

又?20?x?28, a?490

?28?x?0, 16a?7840?280x ?u(x)?u(28)?0, 即 u(x)?u(28)

?当 x?28 时，S 最小，

aa并且此时?a?700 ???28 ???????

x2822．（I）?f(0)?c, f(1)?a?b?c, f(?1)?a?b?c

?2a?f(1)?f(?1)?2f(0) ??????????（2分）

|f(1)|?1, |f(?1)|?1, |f(0)|?1 又?|x|?1 时, |f(x)|?1 ?

|2a|?|f(1)?f(?1)?2f(0)|?|f(1)|?|f(?1)|?2|f(0)|?4 ??|a|?2 ??????????（4分）

（II）由

1?a?[f(1)?f(?1)]?f(0)?2?f(0)?c?1???????? ?f(1)?a?b?c得?b?[f(1)?f(?1)]2?f(?1)?a?b?c???c?f(0)??11 ?g(1)??a?b???[f(1)?f(?1)]??f(0)?[f(1)?f(?1)]

22??1??1f(1)?f(?1)??f(0) ??????（7分） ?2211 g(?1)???a?b????[f(1)?f(?1)]??f(0)?[f(1)?f(?1)]

221??1??f(1)?f(?1)??f(0) ??????（8分） ?22 （III）???1, |f(1)|?1, |f(?1)|?1, |f(0)|?1

?|g(1)|?|??12f(1)???12f(?1)??f(0)|

f(1)????1??12?2???2? ?|g(?1)|?|??12??12f(?1)??f(0)|

????2? ??????（12分） 22 又g(x) 是关于x 的一次函数，故由一次函数的单调性知：

对一切|x|?1, 有|g(x)|?2? ??????（14分）

?

??1??1

［例1］求经过两点P1（2，1）和P2（m，2）（m∈R)的直线l的斜率，并且求出l的倾斜角α及其取值范围.

选题意图：考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式.

解：(1)当m=2时，x1＝x2＝2，∴直线l垂直于x轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角α=

? 2(2)当m≠2时，直线l的斜率k=∴α=arctan

1∵m＞2时，k＞0. m?21?,α∈（0，）， m?221?，α∈(,π). m?221，m）共线，求m的值. 2∵当m＜2时，k＜0 ∴α＝π＋arctan

说明：利用斜率公式时，应注意斜率公式的应用范围. ［例2］若三点A(－2，3），B（3，－2），C（

选题意图：考查利用斜率相等求点的坐标的方法. 解：∵A、B、C三点共线， ∴ｋAB＝ｋAC，

?2?3m?3?. 13?2?22解得m=

1. 2说明：若三点共线，则任意两点的斜率都相等，此题也可用距离公式来解.

［例3］已知两点A(－1,－5),B(3,－2),直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求直线l的斜率.

选题意图：强化斜率公式.

解：设直线l的倾斜角α，则由题得直线AB的倾斜角为2α.

∵tan2α=ｋAB=

?2?(?5)3?.

3?(?1)4?2tan?3?

1?tan2?41或tanα＝－3. 3即3tan2α+8tanα－3=0， 解得tanα＝∵tan2α＝

3＞0,∴0°＜2α＜90°, 40°＜α＜45°， ∴tanα＝

1. 3因此，直线l的斜率是

1 3说明：由2α的正切值确定α的范围及由α的范围求α的正切值是本例解法中易忽略的地方.

命题否定的典型错误及制作

在教材的第一章安排了《常用逻辑用语》的内容．从课本内容安排上看，显得较容易，但是由于对逻辑联结词不能做到正确理解，在解决这部分内容涉及的问题时容易出错．下面仅对命题的否定中典型错误及常见制作方法加以叙述．

一、典型错误剖析

错误1——认为命题的否定就是否定原命题的结论

在命题的否定中，有许多是把原命题中的结论加以否定．如命题：2是无理数，其否定是：2不是无理数．但据此就认为命题的否定就是否定原命题的结论就错了．

例1 写出下列命题的否定： ⑴ 对于任意实数x，使x＝1； ⑵ 存在一个实数x，使x＝1． 错解：它们的否定分别为 ⑴ 对于任意实数x，使x≠1； ⑵ 存在一个实数x，使x≠1．

剖析：对于⑴是全称命题，要否定它只要存在一个实数x，使x≠1即可；对于⑵是存在命题，要否定它必须是对所有实数x，使x≠1．

正解：⑴存在一个实数x，使x≠1； ⑵对于任意实数x，使x≠1．

错误2——认为命题的否定就是原命题中的判断词改和其意义相反的判断词

在命题的否定中，有许多是把原命题中的判断词改为相反意义的词，如“是”改为“不是”、“等”改为“不等”、“大于”改为“小于或等于”等．但对于联言命题及选言命题，还要把逻辑联结词“且”与“或”互换．

例2 写出下列命题的否定： ⑴ 线段AB与CD平行且相等；

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2

2

2

2

2222

⑵ 线段AB与CD平行或相等．

错解：⑴ 线段AB与CD不平行且不相等； ⑵ 线段AB与CD不平行或不相等．

剖析：对于⑴是联言命题，其结论的含义为：“平行且相等”，所以对原命题结论的否定除“不平行且不相等”外，还应有“平行且不相等”、“不平行且相等”；而⑵是选言命题，其结论包含“平行但不相等”、“不平行但相等”、“平行且相等”三种情况，故否定就为“不平行且不相等”．

正解：⑴ 线段AB与CD不平行或不相等； ⑵ 线段AB与CD不平行且不相等．

错误3——认为“都不是”是“都是”的否定 例3 写出下列命题的否定： ⑴ a，b都是零；

⑵ 高一(一)班全体同学都是共青团员． 错解：⑴ a，b都不是零；

⑵ 高一(一)班全体同学都不是共青团员．

剖析：要注意“都是”、“不都是”、“都不是”三者的关系，其中“都是”的否定是“不都是”，“不都是”包含“都不是”；“至少有一个”的否定是“一个也没有”．

正解：⑴a，b不都是零，即“a，b中至少有一个不是零”．

⑵ 高一(一)班全体同学不都是共青团员，或写成：高一(一)班全体同学中至少有一人共青团员．

错误4——认为“命题否定”就是“否命题”

根据逻辑学知识，任一命题p都有它的否定(命题)非p(也叫负命题、反命题)；而否命题是就假言命题(若p则q)而言的．如果一个命题不是假言命题，就无所谓否命题，也就是说，我们就不研究它的否命题．我们应清醒地认识到：假言命题“若p则q”的否命题是“若非p则非q”，而“若p则q”的否定(命题)则是“p且非q”，而不是“若p则非q”．

例4 写出命题“满足条件C的点都在直线F上”的否定． 错解：不满足条件C的点不都在直线F上．

剖析：对于原命题可表示为“若A，则B”，其否命题是“若┐A，则┐B”，而其否定形式是“若A，则┐B”，即不需要否定命题的题设部分．

正解：满足条件C的点不都在直线F上．

二、几类命题否定的制作 1．简单的简单命题

命题的形如“A是B”，其否定为“A不是B”．只要把原命题中的判断词改为与其相反意义的判断词即可．

例5 写出下列命题的否定： ⑴ 3＋4＞6； ⑵ 2是偶数．

解：所给命题的否定分别是： ⑴ 3＋4≤6； ⑵ 2不是偶数．

2．含有全称量词和存在量词的简单命题

全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等，形如“所有A是B”，其否定为“存在某个A不是B”；存在量词相当于 “存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“至多有一个”等，形如“某一个A是B”，其否定是“对于所有的A都不是B”．

全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题． 例6 写出下列命题的否定：

⑴ 不论m取什么实数，x＋x－m＝0必有实根． ⑵ 存在一个实数x，使得x＋x＋1≤0． ⑶ 至少有一个整数是自然数． ⑷ 至多有两个质数是奇数．

解：⑴ 原命题相当于“对所有的实数m，x＋x－m＝0必有实根”，其否定是“存在实数m，使x＋x－m＝0没有实根”．

⑵ 原命题的否定是“对所有的实数x，x＋x＋1＞0”． ⑶ 原命题的否定是“没有一个整数是自然数”． ⑷ 原命题的否定是“至少有三个质数是奇数”．

3．复合命题“p且q”，“p或q”的否定

2

2

2

22

“p且q”是联言命题，其否定为“非p或非q”(也写成┐p或┐q“；“p或q”是选言命题，其否定为“非p且非q”(也写成┐p且┐q“；

例7 写出下列命题的否定：

⑴ 他是数学家或物理学家．⑵ 他是数学家又是物理学家． ⑶

1≥0．

x2?2x?3解：⑴ 原命题的否定是“他既不是数学家也不是物理学家”．

⑵原命题的否定是“他不能同时是数学家和物理学家”，即“他不是数学家或他不是物理学家”．

⑶若认为┐p：

11＜0，那就错了．┐p是对p的否定，包括＜0或

x2?2x?3x2?2x?31＝0． 2x?2x?3或∵p：x＞1或x＜－3，∴┐p：－3≤x≤1．

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