天字1号思路总结贴

运用比例法－最小公倍数法解决植树经典例题中的要点注解 例一：（2007年国家真题）为了把2008年北京奥运办成绿色奥运，全国各地都在加强环保，植树造林。某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路的（不相交）两旁栽上树，现运回一批树苗，已知一条路的长度是另一条路长度的两倍还多6000米，若每隔4米栽一棵，则少2754棵；若每隔5米栽一棵，则多396棵，则共有树苗（ ）。 A. 8500棵 B. 12500棵 C. 12596棵 D. 13000棵 我们先对题目进行分析。他提供给我们2种情况： 情况（1）：每隔4米栽1棵，则少2754棵 情况（2）：每隔5米栽1棵，则多396 棵

我们知道这2条马路的总长度是固定不变的，我们可以通过这2种情况知道这样一个关系。栽树的间距和栽树间隔数目是成反比的 那么这2种情况相差2754＋396＝3150颗树 因为间距之笔是 4：5 则栽树的数目间隔之比是 5：4 差1个比例点对应的就是3150颗。 即树的数目间隔就是 3150×4＋396＝12996个

这个时候我们还需考虑 植树问题了 ：间隔跟实际的栽树数目关系 相信大家都很清楚 就是＋1 2条马路 4个边 ＋4 答案是13000

例二：在一条公路的两遍植树，每隔3米种一棵树，从公路的东头种到西头还剩5棵树苗，如果改为2.5米种一棵，还缺树苗115棵，则这条公路长多少米？ A.700 B.800 C.900 D.600

同样 总长度固定的情况下，主要看间距 和 植树数目的间隔的比值 我们知道 2种情况的间距是 3：2.5

则 说明所对应的植树数目是2.5：3现在这2种情况差 115+5=120颗

这说明这120颗对应的就是3－2.5=0.5个比例点 那么对于按照3米的情况栽树来计算 就是 120×5＝600个间隔 则我们就知道长度是3×600＝1800 因为是2边 所以答案就是900了

当然我们也可以通过最小公倍数法来做 2.5和3的最小公倍数是15 说明每15米差1颗 现在差120颗 说明有120个15米 即120×15＝1800米 因为是2边 所以每边是 900米 总结 注解：

1：碰到这种类型的题目 如果是求距离 通过最小公倍数的方法要优于比例法。 如果是求栽树数目 则比例法要优于最小公倍数法 2：对于例题中出现的“植树数目的间隔”有些朋友可能不理解， 我们通过一个图来帮助大家认识一下 我们用 X 表示树，

X........X........X........X........X........X........X........X........X

看看有多少个虚线 虚线的个数就是表示植树数目的间隔。 它的总和 比植树的数目少1.

3：要善于抓住题目中 出现乘除法的 被除数，除数，商 或者 2个乘数和积所代表的变量的含义 迅速定位这些变量所代表的内容， 根据题目要求的东西，选择方法。 根据某个变量的固定。从而得到其余变量之间的比例关系 通过比例上的变化 求出最后的结果。

4：运用此方法可以避免我们在一般计算过程中 受到植树问题＋1的干扰。 在介绍排列组合方法之前 我们先来了解一下基本的运算公式！ C5取3＝（5×4×3）/（3×2×1） C6取2＝（6×5）/（2×1） 通过这2个例子 看出

CM取N 公式 是种子数M开始与自身连续的N个自然数的降序乘积做为分子。 以取值N的阶层作为分母 P53＝5×4×3 P66＝6×5×4×3×2×1 通过这2个例子

PMN＝从M开始与自身连续N个自然数的降序乘积 当N＝M时 即M的阶层

排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中，任取m (m≤n)个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”.

解答排列、组合问题的思维模式有二：

其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”； 其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”. 分 类：“做一件事，完成它可以有n类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个 标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法. 分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成.两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完 成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个 步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理.

在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点： 1．有限制条件的排列问题常见命题形式： “在”与“不在” “邻”与“不邻”

在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法： ⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法. ⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”.

⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置. ⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果.

1

2．有限制条件的组合问题，常见的命题形式： “含”与“不含” “至少”与“至多”

在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”.

3． 在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的思想方法.

***************************************************************************** 提供10道习题供大家练习

1、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为（ C ） (A)25个 (B)26个 (C)36个 (D)37个

------------------------------------------------------ 【解析】

根据三角形边的原理 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 可见最大的边是11

则两外两边之和不能超过22 因为当三边都为11时 是两边之和最大的时候 因此我们以一条边的长度开始分析

如果为11，则另外一个边的长度是11，10，9，8，7，6，。。。。。。1 如果为10 则另外一个边的长度是10，9，8。。。。。。2，

（不能为1 否则两者之和会小于11，不能为11，因为第一种情况包含了11，10的组合） 如果为9 则另外一个边的长度是 9，8，7，。。。。。。。3 （理由同上 ，可见规律出现） 规律出现 总数是11＋9＋7＋。。。。1＝（1＋11）×6÷2＝36 2、

（1）将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？

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【解析】 每封信都有3个选择。信与信之间是分步关系。比如说我先放第1封信，有3种可能性。接着再放第2封，也有3种可能性，直到第4封， 所以分步属于乘法原则 即3×3×3×3＝3^4 （2）3位旅客，到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？

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【解析】跟上述情况类似 对于每个旅客我们都有4种选择。彼此之间选择没有关系 不够成分类关系。属于分步关系。如：我们先安排第一个旅客是4种，再安排第2个旅客是4种选择。知道最后一个旅客也是4种可能。根据分步原则属于乘法关系 即 4×4×4＝4^3

（3）8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本，有多少种不同的分法？ ------------------------------------------------------------- 【解析】分步来做

第一步：我们先选出3本书 即多少种可能性 C8取3＝56种 第二步：分配给3个同学。 P33＝6种

这 里稍微介绍一下为什么是P33 ，我们来看第一个同学可以有3种书选择，选择完成后，第2个同学就只剩下2种选择的情况，最后一个同学没有选择。即3×2×1 这是分步选择符合乘法原则。最常见的例子就是 1，2，3，4四个数字可以组成多少4位数？ 也是满足这样的分步原则。 用P来计算是因为每个步骤之间有约束作用 即下一步的选择受到上一步的压缩。 所以该题结果是56×6＝336 3、

七个同学排成一横排照相.

（1）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？ （3600） --------------------------------------------- 【解析】

这个题目我们分2步完成

第一步： 先给甲排 应该排在中间的5个位置中的一个 即C5取1＝5 第二步： 剩下的6个人即满足P原则 P66＝720 所以 总数是720×5＝3600

（2）某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？ （1440） ------------------------------------------------- 【解析】

第一步：确定乙在哪个位置 排头排尾选其一 C2取1＝2 第二步：剩下的6个人满足P原则 P66＝720 则总数是 720×2＝1440

（3）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？ （3120） --------------------------------------------------- 【解析】特殊情况先安排特殊

第一种情况：甲不在排头排尾 并且不在中间的情况

去除3个位置 剩下4个位置供甲选择 C4取1＝4， 剩下6个位置 先安中间位置 即除了甲乙2人，其他5人都可以 即以5开始，剩下的5个位置满足P原则 即5×P55＝5×120＝600 总数是4×600＝2400 第2种情况：甲不在排头排尾， 甲排在中间位置

2

则 剩下的6个位置满足P66＝720

因为是分类讨论。所以最后的结果是两种情况之和 即 2400＋720＝3120 （4）甲、乙必须相邻的排法有多少种？ （1440） -----------------------------------------------

【解析】相邻用捆绑原则 2人变一人，7个位置变成6个位置，即分步讨论 第1： 选位置 C6取1＝6

第2： 选出来的2个位置对甲乙在排 即P22＝2 则安排甲乙符合情况的种数是2×6＝12 剩下的5个人即满足P55的规律＝120 则 最后结果是 120×12＝1440

（5）甲必须在乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种？（2520） ------------------------------------------------------- 【解析】

这个题目非常好,无论怎么安排甲出现在乙的左边 和出现在乙的右边的概率是一样的。 所以我们不考虑左右问题 则总数是P77＝5040 ,根据左右概率相等的原则 则排在左边的情况种数是5040÷2＝2520 4、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数. （1）能组成多少个四位数？ （300）

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【解析】 四位数 从高位开始到低位 高位特殊 不能排0。 则只有5种可能性 接下来3个位置满足P53原则＝5×4×3＝60 即总数是 60×5＝300 （2）能组成多少个自然数？ （1631）

--------------------------------------------------------- 【解析】自然数是从个位数开始所有情况 分情况

1位数： C6取1＝6

2位数： C5取2×P22＋C5取1×P11＝25 3位数： C5取3×P33＋C5取2×P22×2＝100 4位数： C5取4×P44＋C5取3×P33×3＝300 5位数： C5取5×P55＋C5取4×P44×4＝600 6位数： 5×P55＝5×120＝600 总数是1631

这里解释一下计算方式 比如说2位数： C5取2×P22＋C5取1×P11＝25

先从不是0的5个数字中取2个排列 即C5取2×P22 还有一种情况是从不是0的5个数字中选一个和0搭配成2位数 即C5取1×P11 因为0不能作为最高位 所以最高位只有1种可能 （3）能组成多少个六位奇数？ （288）

---------------------------------------------------

【解析】高位不能为0 个位为奇数1，3，5 则 先考虑低位，再考虑高位 即 3×4×P44＝12×24＝288 （4）能组成多少个能被25整除的四位数？ （21）

---------------------------------------------------- 【解析】 能被25整除的4位数有2种可能 后2位是25： 3×3＝9

后2位是50： P42＝4×3＝12 共计9＋12＝21

（5）能组成多少个比201345大的数？ （479）

------------------------------------------------ 【解析】

从数字201345 这个6位数看 是最高位为2的最小6位数 所以我们看最高位大于等于2的6位数是多少？ 4×P55＝4×120＝480 去掉 201345这个数 即比201345大的有480－1＝479 （6）求所有组成三位数的总和. （32640）

--------------------------------------------- 【解析】每个位置都来分析一下

百位上的和：M1=100×P52(5+4+3+2+1) 十位上的和：M2=4×4×10(5+4+3+2+1) 个位上的和：M3=4×4(5+4+3+2+1) 总和 M＝M1+M2+M3=32640

5、生产某种产品100件，其中有2件是次品，现在抽取5件进行检查. （1）“其中恰有两件次品”的抽法有多少种？ （152096）

【解析】 也就是说被抽查的5件中有3件合格的 ，即是从98件合格的取出来的 所以 即C2取2×C98取3＝152096 （2）“其中恰有一件次品”的抽法有多少种？ （7224560）

【解析】同上述分析，先从2件次品中挑1个次品，再从98件合格的产品中挑4个 C2取1×C98取4＝7224560 （3）“其中没有次品”的抽法有多少种？ （67910864）

3

【解析】则即在98个合格的中抽取5个 C98取5＝67910864 （4）“其中至少有一件次品”的抽法有多少种？ （7376656）

【解析】全部排列 然后去掉没有次品的排列情况 就是至少有1种的 C100取5－C98取5＝7376656 （5）“其中至多有一件次品”的抽法有多少种？ （75135424）

【解析】所有的排列情况中去掉有2件次品的情况即是至多一件次品情况的 C100取5－C98取3＝75135424

6、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ） (A)140种 (B)84种 (C)70种 (D)35种

-------------------------------------------------------- 【解析】根据条件我们可以分2种情况

第一种情况：2台甲＋1台乙 即 C4取2×C5取1＝6×5＝30 第二种情况：1台甲＋2台乙 即 C4取1×C5取2＝4×10＝40 所以总数是 30＋40＝70种

7、在50件产品中有4件是次品，从中任抽5件，至少有3件是次品的抽法有__种. ------------------------------------------------------- 【解析】至少有3件 则说明是3件或4件 3件：C4取3×C46取2＝4140 4件：C4取4×C46取1＝46 共计是 4140＋46＝4186

8、有甲、乙、丙三项任务, 甲需2人承担, 乙、丙各需1人承担.从10人中选派4人承担这三项任务, 不同的选法共有（ C ） (A)1260种 (B)2025种 (C)2520种 (D)5040种

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【解析】分步完成

第一步：先从10人中挑选4人的方法有：C10取4＝210

第二步：分配给甲乙并的工作是C4取2×C2取1×C1取1＝6×2×1＝12种情况 则根据分步原则 乘法关系 210×12＝2520

9、12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有__ C(4,12)C(4,8)C(4,4) ___种

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【解析】每个路口都按次序考虑 第一个路口是C12取4 第二个路口是C8取4 第三个路口是C4取4

则结果是C12取4×C8取4×C4取4

可能到了这里有人会说 三条不同的路不是需要P33吗 其实不是这样的 在我们从12人中任意抽取人数的时候，其实将这些分类情况已经包含了对不同路的情况的包含。 如果再×P33 则是重复考虑了

如果这里不考虑路口的不同 即都是相同路口 则情况又不一样 因为我们在分配人数的时候考虑了路口的不同。所以最后要去除这种可能情况 所以在上述结果的情况下要÷P33

10、在一张节目表中原有8个节目，若保持原有节目的相对顺序不变，再增加三个节目，求共有多少种安排方法？ 990 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【解析】

这是排列组合的一种方法 叫做2次插空法

直接解答较为麻烦，故可先用一个节目去插9个空位，有P(9,1)种方法；再用另一个节目去插10个空位，有P(10,1)种方法；用最后一个节目去插11个空位，有P(11,1)方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为P(9,1)×P(10,1)×P(11,1)=990种。 另解：先在11个位置中排上新添的三个节目有P(11,3)种，再在余下的8个位置补上原有的8个节目，只有一解，所以所有方法有P311×1=990种。 数字推理

(1). 5，6，8，A.-1, B.0 C.3 63+18=81=9^2 61－37＝24 【天字1号解析】 5×14－1＝69 10，14，（） A. 12 D.5 23+41=64=8^2 等差数列。 6+(2+6)/2=10 (7) B. 14 C 16 D 18 【天字1号解析】 18+31=49=7^2 或者是 10+(6+10)/2=18 7/3,5/2,6/5,11【天字1号解析】 (-2)^3-3=-11 41+(-5)=36=6^2 1^2-0=1 18+(10+18)/2=3,9/2,11/7, 8,( ) 5＝2＋3 (-1)^3-3=-4 间隔相加是平方3^2-2=7 2 A 9/7 B 9 C 13/11 6＝3＋3 0^3-3=-3 数 5^2-6=19 32+(18+32)/2=5D 7/6 8＝5＋3 1^3-3=-2 (4) 7^2-12=37 7 【天字1号解析】 10＝7＋3 2^3-3=5 1,7,19,37,( ) A. 9^2-20=61 (6) 2，2，3，5，两两一组 14＝11＋3 (3). 57 B.61 C.66 0,2,6,12,20 差14，（ ） A. 50 B. (7+3)/(7-3)=10 16＝13＋3 77,63,23,18,41D.80 为2，4，6，8 55 C.63 D.69 /4=5/2 连续质数＋3的,31,( ) A. -5, 【天字1号解析】 (5) 【天字1号解析】 (6+5)/(6-5)=11数列 B.6 C.12 D.18 7－1＝6 2,6,10,18,32,( ) 2×2－1＝3 /1 (2). 【天字1号解析】 19－7＝12 A 57, B. 58 C.61 2×3－1＝5 (9+2)/(9-2)=11-11,-4,-3,-2,( ) 77+23=100=10^2 37－19＝18 D.63 3×5－1＝14 /7

4

8=8/1=(8+1)/(8-1)=9/7 (8)

0,10,24,68,120,( ) A 196 B.210 C 216 D 222 【天字1号解析】 1^3-1=0 2^3+2=10 3^3-3=24 4^3+4=68 5^3-5=120 6^3+6=222 213-93=120=5^3-5

(14) (7,28,4)，(3，16，16)，（10，20，10），（21，？，9）

A 108 B 63 C 41 D 27

【天字1号解析】 (7×4)/1=28 (3×16)/3=16 (10×10)/5=20 (21×9)/7=27 128=2×4^3 125=1×5^3 0=0×6^3 (20)

0,7,8,63,24,( ) A. 0 B.255 C.215 D.323

【天字1号解析】 1^2-1=0 2^3-1=7 3*2-1=8 4*3-1=63 5^2-1=24 (39/3)^2=169 (26)

11,24,35,42,47,( ) A.50 B.51 C.52 D.53

【天字1号解析】 24－11＝13 35－24＝11 42－35＝7 47－42＝5 50－47＝3 (27)

13,7,8,17,43,( ) 1098 D 1200 【天字1号解析】 （3＋4）×3＝21 （4＋21）×3＝75

（21＋75）×3＝288

（75＋288）×3＝1089 (32) 7，5，2，3，－1，（） A．0 B.2 C 4 D －4

【天字1号解析】 0，27，（ ） A.64 B.128 C.162 D.192

【天字1号解析】 －2×3^0=－2 －1×3^1=－3 0×3^2=0 1×3^3=27 2×3^4=162 (38)、0，0，1，5，23，（ ） A.46 B.97 C.108 D.119

(9)

(9,2,7),(4,3,8),(49,12,31),(0,17,?) A.34 B.51 C.49 D. 47 【天字1号解析】 9开2次方＋2×2＝7

4开2次方＋3×2＝8

49开2次方＋12×2＝31

0开2次方＋17×2＝34 (10)

21,17,22,21,31,37,( ) A.48 B.53 C.56 D 61 【天字1号解析】 22－21＝1 21－17＝4 31－22＝9 37－21＝16 56－31＝25 (11) 2，12，23，52，（） A 61 B 74 C 76 D 82

【天字1号解析】 2=0+2 1+2=3 2+3=5 5+2=7 7+4=11 (12) 1，1，2，6，8，11，（） A 13 B 17 C 18 D 20 【天字1号解析】 1+1+2=4 1+2+6=9 2+6+8=16 6+8+11=25 8+11+17=36 (13) 3，3，9，33，93，（） A 210 B 213 C 216 D 222 【天字1号解析】 3-3=0=1^3-1 9-3=6=2^3-2 33-9=24=3^3-3 93-33=60=4^3-4

(15) 4，11，17，20，15，1，（） A -24, B -16 C 16 D 24

【天字1号解析】 (11+17)-2*4=20 (17+20)-2*11=15

(20+15)-17*2=1 (15+1)-20*2=-24 (16)

6,9,15,21,33,( ) A. 51 B.48 C.42 D.39

【天字1号解析】 6＝2×3 9＝3×3 15＝5×3 21＝7×3 33＝11×3 39＝13×3 (17)

2,3,9,36,360,( ) A.13320 B.13322 C.12320 D12322 【天字1号解析】 (2+1)*3=9 (3+1)*9=36 (9+1)*36=360 (36+1)*360=13320

(18) (14,13,3), (22,25,7), (36,?,23)

A.56 B.64 C.67 D.72

【天字1号解析】 14/2+3*2=13 22/2+7*2=25 36/2+23*2=64 (19)

5,32,81,128,125,( ) A. 0 B.216 C.144 D.189 【天字1号解析】 5=5×1^3 32=4×2^3 81=3×3^3 6^3-1=215 A. 67 B.112 C.84 (21).

D.126

2,6,12,22,36,( ) 【天字1号解析】 A.48 B.58 C.64 7×3－13＝8 D.68

8×3－7＝17 【天字1号解析】 17×3－8＝43 6-2=2*2 43×3－17＝112 12-6=2*3 (28)

22-12=2*5 3,11/5,15/7,2,36-22=2*7

21/11,( ) 58-36=2*11 A.23/11 B.23/13 (22).

C.21/13 D.25/14 4,8,32,128,( ) 【天字1号解析】 A. 256 B.512 C 6/2, 11/5, 15/7, 1024 D.2048 18/9, 21/11, 【天字1号解析】 6-2=4 2^2=4 11-5=6 2^3=8 15-7=8 2^5=32 18-9=9 2^7=128 21-11=10

2^11=2048 选项符合分子－(23).

分母是合数序列7,9,20,62,( ) A. 的 12

194 B.198 C.102 23－11＝12 选D.250

A 【天字1号解析】 (29)

7*1+2=9 (12,7,9),(46,59*2+2=20 5,1),(12,86,8)20*3+2=62 ,(23,13,?) A.4 62*4+2=250 B.6 C.8 D.10 (24).

【天字1号解析】 (12,13,7),(23,看个位数计算 31,9),(43,12,12＋7＝9 0),(37,16,?) 6＋5＝11 A.45 B.32 C.19 2＋6＝8 D.13

3＋3＝6 【天字1号解析】 (30)

1*1+2*3=7 2,6,30,60,130, 2*3+3*1=9 ( ) A.180 B.200 4*1+3*2=10 C.210 D.240 3*1+7*6=45 【天字1号解析】 (25).

1^3+1=2 3,1,12,16,30,12^3-2=6 00,39,( ) A. 177 3^3+3=30 B.189 C.98 4^3-4=60 D.169

5^3+5=130 【天字1号解析】 6^3-6=210 (3/3)^2=1 (31) 3， 4， 21， (12/3)^2=16 75， 288，（） A (30/3)^2=100

900 B 1089 C 5

A－C＝B 7－2＝5 5－3＝2

2－（－1）＝3 3－4＝－1 (33) （2，3，13），（3，2，15），（4，5，？）

A．19 B.31 C 40 D 24

【天字1号解析】 2^2+3*3=13 3^2+2*3=15 4^2+5*3=31 (34) 0，1，2，9，44，（） A．121 B.196 C.265 D 300

【天字1号解析】 1＝0×2＋1 2＝1×3－1 9＝2×4＋1 44＝9×5－1 265＝44×6＋1 (35) 5，2，1，2，5，（） A．2 B.5 C.8 D.10

【天字1号解析】 2－5＝－3 1－2＝－1 2－1＝1 5－2＝3 10－5＝5 或者隔项减 1－5＝－4 2－2＝0 5－1＝4 10－2＝8

(36)、1，3，3，5，4，6，（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 【天字1号解析】 1+3=4 3+3=6 3+5=8 5+4=9 4+6=10 6+6=12 合数序列

(37)、－2，－3，【天字1号解析】 0！－1＝0 1！－1＝0 2！－1＝1 3！－1＝5 4！－1＝23 5！－1＝119 ！表示阶乘 (39) 59，33，18，8，5，（） A.0 B.1 C.2 D.3

【天字1号解析】 59-33=26=5^2+1 33-18=15=4^2-1 18-8=10=3^2+1 8-5=3=2^2-1 5-3=2=1^2+1 (40)、2，5，11，41，911，（ ） A.756941 B.640011 C.630011 D.670031

【天字1号解析】 (5-2)^2+2=11 (11-5)^2+5=41 (41-11)^2+11=911

(911-41)^2+41=756941 (看尾数是否是41) (41)

2,2,0,4,16,( ) A.48 B.64 C.128 D.144

【天字1号解析】 (2-2)^2=0 (2-0)^2=4 (0-4)^2=16 (4-16)^2=144 (42)

5,14,34,76,( ) A.142 B.163 C.169 D.176 【天字1号解析】 5＝2×3－1 14＝3×5－1 34＝5×7－1 76＝7×11－1 ？＝11×13－1

＝142 (43)

3,3,6,18,72,( ) A.256 B.288 C.360 D.384 【天字1号解析】 3/3=1 6/3=2 18/6=3 72/18=4 360/72=5 (44)

15,9,3,3,0,( ) A.1.5 B.-1.5 C. (49) (6, 4, 15) , (7,2,21), (3,2,1), (5,3,? )

A.10, B. 15 C.18 D. 12

【天字1号解析】 6*4-9=15 7*2+7=21 3*2-5=1 5*3+3=18

/*此题质量不高，可不用做*/ (50) 2, 1, 5, 6, 14^2+53×2＝302

(55) 2，6，15，28，( )

A.55 B.56 C.58 D.60

【天字1号解析】 2＝2×1 6＝3×2 15＝5×3 28＝7×4

？＝11×5＝55 (56) 1/3, 1/3, 5/6, 3/2, 9/4, 5*10＝50 6*12＝72

4，6，8，9，10，12是合数列 (61) 7, 13, 20, 29, 38, ( ) A. 50 B.51 C.52 D.54

【天字1号解析】 3^2-2=7 4^2-3=13 5^2-5=20 6^2-7=29 7^2-11=38 4/4=1 6/4=1.5 12/6=2 30/12=2.5

?/30=3 ?=90 (67) 134, 257, 415, 606, ( ) A.911 B.802 C.691 D.459 【天字1号解析】 1＋3＝4 2＋5＝7 4＋1＝5 6＋0＝6 A. 2 B. 1 C.0 D.-1

【天字1号解析】 7*8+1=57 5*7+1=36 3*6+1=19 1*9+1=10 1*0+1=1 (74) 13，16，21，30，45，（ ） A. 57 B.68 C.72 D.75

【天字1号解析】 16－13＝3 -2 D.-3

【天字1号解析】 (15-9)/2=3 (9-3)/2=3 (3-3)/2=0 (3-0)/2=1.5 (45)

0,1,0,7,20,( ) A.32 B.34 C.37 D.42

【天字1号解析】 0+1+0=1=1^3 1+0+7=8=2^3 0+7+20=27=3^3 7+20+37=64=4^2 (46) -1/2, 1/3, 4/5, 9/7, 16/9, ( ) A. 25/13 B.23/13 C.24/11 D.19/11

【天字1号解析】 －1＋2＝1 1＋3＝4 4＋5＝9 9＋7＝16 16＋9＝25 23＋13＝36 选B

(47) 1, 2, 2, 5, 9, 16, ( ) A.22 B.26 C.30 D.34

【天字1号解析】 1＋2＋2＝5 2＋2＋5＝9 2＋5＋9＝16 5＋9＋16＝30 (48) 2, 0, 0, 4, 6, ( )

A.3 B.6 C.12 D.24

【天字1号解析】 -2×(-1)^5=2 -1×0^4=0 0×1^3=0 1×2^2=4 2×3^1=6 3×4^0=3

31, ( )

A. 45 B.67 C.72 D.78

【天字1号解析】 2^2+1=5 1^2+5=6 5^2+6=31 6^2+31=67

(51) 7, 28, 124, 344, ( )

A.990 B.1330 C.1432 D.1691 【天字1号解析】 2^3-1=7 3^3+1=28 5^3-1=124 7^3+1=344 11^3-1=1330 (52) 37, 55, 82, 127, ( ) A.193 B.188 C.172 D.165 【天字1号解析】 3+7=10 5+5=10 8+2=10 1+2+7=10

1+7+2=10 选C (53) 146, 255, 366, 479, ( ) A. 581 B.583 C.891 D.1000 【天字1号解析】 看中间数字 146, 255, 366, 479 4^2=16 合成146 5^2=25 合成255 6^2=36 合成366 7^2=49 合成479 选项中只有C满足

(54) 1, 2, 5, 14, 53, ( )

A. 102 B.202 C.302 D.402 【天字1号解析】 1^2+2×2＝5 2^2+5×2＝14 5^2+14×2＝53 ( )

8^2-13=51

A.31/5 B.31/10 (62) 21, 36, 96, C.61/20 D.61/30 41, 81, ( ) 【天字1号解析】 A. 1 B.34 C. 89 1/3-1/3=0/1 D.72

5/6-1/3=1/2 【天字1号即解3/2-5/6=2/3 析】

9/4-3/2=3/4 除以5的余数都?-9/4=4/5 是1 选A

?=61/20

(63) 3, 1, 8,18, (57) 3, 11, 32, 52,( )

71, 136, ( ) A. 96 B.120 A.199 B.229 C.136 D.140 C.234 D.243 【天字1号解析】 【天字1号解析】 （3＋1）×2＝8 1^3+2=3 （1＋8）×2＝18 2^3+3=11 （8＋18）×2＝3^3+5=32 52

4^3+7=71 （18＋52）×2＝5^3+11=136 140 6^3+13=229

(64)

(58) 2, 3, 5, 11, 2,0,2,7,7,11, 28, 126, ( ) ( )

A.486 B.580 A. 16 B.17 C.18 C.720 D.795 D.19

【天字1号解析】 【天字1号解析】 2+3^2=11 2＋0＋2＝4 3+5^2=28 0＋2＋7＝9 5+11^2=126 2＋7＋7＝16 11+28^2=795 7＋7＋11＝25 (59) 1, 2, 3, 8, 7＋11＋18＝36 27 ( ) (65) 14, 18, 24, A.164 B.200 32, 41, 51, ( ) C.216 D.224 A. 63 B.65 C.66 【天字1号解析】 D.67

1*(2+1)=3 【天字1号解析】 2*(3+1)=8 18－14＝4 3*(8+1)=27 24－18＝6 8*(27+1)=224 32－24＝8 公式：A*(B+1)=C 41－32＝9 (60) 4, 12, 24, 51－41＝10 36, 50, ( ) 63－51＝12 A. 64 B.68 C.72 合数序列

D.80

(66) 8, 4, 4, 6, 【天字1号解析】 12, 30, ( ) 1*4＝4 A.40 B.48 C.72 2*6＝12 D.90

3*8＝24 【天字1号解析】 4*9＝36

4/8=0.5 6

4＋5＝9

(68) 2, -2, 6, -2, 38, ( ) A.－34 B. 40 C. 48 D.56

【天字1号解析】 2^2-(-2)=6 (-2)^2-6=-2 6^2-(-2)=38 (-2)^2-38=-34 (69) 2,6,20,42, ( )

A.80 B.96 C.110 D.120

【天字1号解析】 2^2-2=2 3^2-3=6 5^2-5=20 7^2-7=42 11^2-11=110 (70)

3,3,6,3,33,( ) A.-24, B.27 C.36 D.54

【天字1号解析】 3^2-3=6 3^2-6=3 6^2-3=33 3^2-33=-24

(71) 7, 3, 16, 5, 21, 5 , 66, ( ) A.12 B. 13 C.14 D.15

【天字1号解析】 (7-1)/2=3 (16-1)/3=5 (21-1)/4=5 (66-1)/5=13 (72) 3,1,4,9,25, ( )

A. 90 B.160 C.256 D.343 【天字1号解析】 (3-1)^2=4 (1-4)^2=9 (4-9)^2=25 (9-25)^2=256 (73) 78, 57, 36, 19, 10, ( ) 21－16＝5 30－21＝9 45－30＝15 68－45＝23

(75) 3/4，1/2，1/3，2/9，（ ） A.5/12 B.1/5 C.5/21 D.4/27 【天字1号解析】 3/4 * 2/3=1/2 1/2 * 2/3=1/3 1/3 * 2/3=2/9 2/9 * 2/3=4/27

(76) 131，67，31，15，（） A.11 B. 9 C.7 D.5

【天字1号解析】 131－67＝64＝8^2

67－31＝36＝6^2

31－15＝16＝4^2

15－11＝4＝2^2 (77) 6，3，8，4，2，8， （ ） A.2 B.4 C.6 D.8 【天字1号解析】 移动求积看个位数

6×3＝18 3×8＝24 8×4＝32 4×2＝8

2×8＝16 个位数是6 选C (78) 3，2，13，32，103，（） A.222 B.302 C.316 D.256 【天字1号解析】 3＋2＝5 2＋13＝15

13＋32＝45 32＋103＝135 103＋302＝405 (79) 6，12，12，18，21，（） A.28 B.28.5 C.35 D.38

【天字1号解析】 6＋12/2=12 12＋12/2=18 12＋18/2=21 18＋21/2=28.5 (80) 0，1，6，23，（ ）

A.86 B.81 C.76 36，50，（ ） A. 64 B.60 C.72 D.76

【天字1号解析】 4＝1×4 12＝2×6 24＝3×8 36＝4×9 50＝5×10 72＝6×12

4，6，8，9，10，12 是合数序列 (82) 21，14，17，35，31，52，（ ） A.58 B.66 C.72 42，90，（ ） A. 180 B.210 C.240 D.270 【天字1号解析】 10-7=3＝2^2-1 18-10=8=3^2-1 42-18=24=5^2-1 90-42=48=7^2-1 (84) 25, 35, 54, 73, 92, ( ) A.66 B.97 C.98 D.109 【天字1号解析】 25： 2＋5＝7 35： 3＋5＝8 54： 5＋4＝9 3－2＝1 7－3＝4 14－7＝7 24－14＝10 －2，1，4，7，10 是等差数列 差值是3

(86) -1, 3, 3, 5, 37, ( ) A.87 B.327 C.729 D.735

【天字1号解析】 (-2)^1+1=-1 (-1)^2+2=3 0^3+3=3 【天字1号解析】 将所有分子分母都联系起来看 3，4，7，11，18，29，47，76，？，？ 3＋4＝7 4＋7＝11 7＋11＝18 .......... 47+76=123 76+123=199 这属于裴波纳契数列的分数表达形式！ (88) －1，0，27，9375＝3*5^5 (89) 7，10，16，22，（ ） A.31 B.32 C.33 D.34 【天字1号解析】 3*2+1=7 3*3+1=10 3*5+1=16 3*7+1=22 3*11+1=34 (90) 30，31，54，59，（ ） A.68 B.70 C.78 D.86 【天字1号解析】 5^2+5＝30

D.61

D.78

73： 7＋3＝10 1^4+4=5 512，（ ） A.164 【天字1号解析】 【天字1号解析】 92： 9＋2＝11 2^5+5=37 B.1291 C.3255 3^0-1=0 21＋14＝35 66： 6＋6＝12 3^6+5=735

D.9375

3^1-2=1 14＋17＝31 (85) 4, 2, 3, 7, (87) 3/4, 7/11, 【天字1号解析】 3^2-3=6 17＋35＝52 14, ( ) A.20 18/29, 47/76, ( ) －1＝(-1)*1^1 3^3-4=23 35＋31＝66 B.24 C.26 D.28 A.94/101 0＝0*2^2 3^4-5=76

A＋B＝D

【天字1号解析】 B.123/199

27＝1*3^3 (81) 4，12，24，(83) 7 ,10，18，2－4＝－2 C.113/171 D.7/8 512＝2*4^4

7

6^2-5＝31 7^2+5＝54 8^2-5＝59 9^2+5＝86

第1题： 交叉第2题： 第3题： 第4题： 9 (5+2)^2-6^2=13 计算 5×6/(2+4)=5 11+7+9+9=6^2 (11+7)-(9+9)/2第5题： 下面2(10+4)^2-12^2=(8-2)*(4+2)=36 7×8/(8+6)=4 3+0+5+8=4^2 =9 个数字之和的平52 (1-2)*(3+3)=-6 4×9/(7+5)=3 7+7+9+2=5^2 (3+0)-(5+1)/2=方－上面一个数(3+7)^2-9^2=19 (5-5)*(5+5)=0 0 字的平方＝中间 (7+7)-(8+2)/2=的数字 临界点问题

所谓临界点问题 我们也可看作是青蛙跳井问题，这类问题的特征是 将2次具有结果上互斥（相反）的操作看作1组操作的运算

例如典型的青蛙跳井，每跳上去5米 会滑下来3米 5米和3米的2个结果对应的操作就是互斥操作。 对于这样的类型问题 其考查的要点是： 我们最终要求的结果 有可能是在某一组互斥操作的上半部分的操作时就已经达到目的或者说已经完成任务。 如果仍然看作一组来结果 就会使其从到达目的得位置上被互斥操作得另一个相反操作给拖回去。所以不对最后一组临界点情况做提前判断 就容易产生结果变大得情况！ 下面我们结合3个例题来看这个类型的题目！

例一： 一个数是20 现在先加30，再减20，再加30 ，再减20， 反复这样操作 请问至少经过多少次操作 结果是500？ －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

我们先找最后一组达到500的临界点 也就是我们把＋30，－20 2次操作看作1组， 我们必须看＋30的时候是否能够达到500 先找临界点

最后一次增加 是需要＋30 基数是20 每一组操作是增加10

那么计算是这样的 （500－30－20）/10=45 组 也就是说经过45组即90次操作达到了470 答案就是91次

例二：小明的爸爸在高山上工作,那里的气温白天和夜晚相差很大,他的手表由于受气温的影响走得不正常,白天快1/2分钟,夜里慢1/3分钟,他10月1日白天对准时间,问到哪一天手表正好快5分钟?( ) A 10月25日 B10月28日 C10月26日 D10月29日 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

我们知道 白天 和晚上 为一组 即一天 整体情况是 可以块1/2-1/3=1/6分钟 要得结果是快5分钟 即我们必须最后一个白天情况进行判断 即我们找出临界点是 5－1/2=4.5天

按照每天快1/6 则要快4.5天 需要4.5/（1/6）=27天 这时候 我们发现此时再加上一个白天即可完成 说明经过了28天快了5分钟

答案就是10月28日。

例三：机场上停着10架飞机，第一架起飞后，每隔4分钟就有一架飞机接着起飞，而在第一架飞机起飞后2分钟，又有一架飞机在机场上降落，以后每隔6分钟就有一架飞机在机场上降落，降落在飞机场上的飞机，又依次隔4分钟在原10架之后起飞。那么，从第一架飞机起飞之后，经过多少分钟，机场上第一次没有飞机停留？ A 104 B 108 C 112 D 116

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

这个题目类似于“青蛙跳井”问题，我们不能直接求最终结果，否则我们会忽略在临界点状态的一些变化。 碰到这种问题 首先就是求临界点是在什么时候发生，发生时的状况怎么样。这样才好判断。

例如“青蛙跳井”问题， 10米深的井，青蛙每次跳5米 就会下滑4米。 问几次能够跳上来。这个题目的临界点就是当青蛙最后一次跳5米的时候刚好到井口！也就是说我们只需研究到青蛙跳到10－5＝5米的地方，这里都是常规计算 （10－5）/(5-4)=5次。最后一次的时候 我们就无需考虑下滑了 因为已经到顶了。

同样这个题目很多人做出116分钟，其原因就是犯了这个错误。 我们必须先求临界点。 所谓的临界点就是 当机场剩下1架飞机的时候 假设是N分钟剩下一架飞机！ N/4 +1= (N-2)/6 + 1 +（10-1）

为什么两边都＋1 那是因为这是植树问题。 从0分钟开始计算的 所以要多加1次 解得N＝104分钟

所以我们知道104分钟的时候是临界点 飞机场只有1架飞机没有起飞。

当108分钟的时候，飞机起飞了。 而下一架飞机到机场则是在110分钟的时候， 所以从108～110这段时间是机场首次出现没有飞机的现象！ 答案应该选B 1. 在乘积1×2×3×4×............×698×699×700中,末尾只有( )个零。 A.172 B.174 C.176 D.179

------------------------------------------ 【天字一号解析】

此题我们现需要了解0是怎么形成的，情况只有1种，那就是5跟一个偶数相乘就可以构成一个0， 但

8

是还要注意25算几个5方法一： 的5^1,5^2,5^3,5^4??140/5=28 呢？ 50算几个5呢？ 125我们只要看 700个数字里5^n 28/5=5 算几个5呢，具有几个5 主面有多少个5的倍数 5^n必须小于700 5/5=1 要是看他能否被几个5的700/5=140 所以答案就是 140＋28＋5答案就是这些商的总和即乘积整除， 还不行 我们还要看有多少＋1＝174 174 例如 25的倍数 方法二： 140 是计算含1个5的 但25＝5×5 700/25=28 原理是一样的，但是我们可是里面的25的倍数只被算所以具有2个5， 还要看有多少125的倍数 以通过连除的方式不听的了一次，所以我们还需要将50＝2×5×5 也是2个5 700/125=5 提取5的倍数 直到商小于140个5的倍数再次挑出含125＝5×5×5 625的倍数： 700/625=1 5 5的数字，以此类推，就可具有3个5 其实就是看 700里有多少700/5=140 以将所有含5的个数数清！2. 王先生在编一本书，其页数需要用6869个字，问这本书具体是多少页？ A.1999 B.9999 C.1994 D.1995

――――――――――――――――――――――――― 【天字一号解析】 数字 ＝1994页 每个页码出了1～9，其他这个题目是计算有多少页。 100～999 是 3×900＝为什么减去1 都有十位数，则有A－9个首先要理解题目 2700个 数字 是因为四位数是从1000开十位数 这里的字是指数字个数，比那么我们看剩下的是多少 始算的！ 同理: 有A－99个百位数,如 123这个页码就有3个6869－9－180－2700＝方法二： 有A－999个千位数 数字 3980 我们可以假设这个页数是A则： A＋（A－9）＋（A－我们通常有这样一种方法。 剩下3980个数字都是4位页 99）＋（A－999）＝6869 方法一： 数的个数 那么我们知道， 4A－1110＋3＝6869 1～9 是只有9个数字， 则四位数有 3980/4=995个 每个页码都有个位数则有A4A＝7976 10～99 是 2×90＝180个则这本书是 1000＋995－1个个位数， A＝1994

3. 在一个两位数之间插入一个数字，就变成一个三位数。例如：在72中间插入数字6，就变成了762。有些两位数中间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的9倍，求出所有这样的两位数有多少个？ A、 4 B、5 C、3 D、6

―――――――――――――――――― 【天字一号解析】 2位数×9 百位数肯定不等那么变成的三位数就是 注意条件 m不等于0， 我们先进行简单的判断，首于原来的十位数 所以排100m＋10c＋5 则有如下结果（1，3），（2，先什么数字个位数×9得到除） 根据关系建立等式： 2），（3，1），（4，0） 四组， 的数个位数还是原来的 好我们假设这个2位数是 100m＋10c＋5＝9×（10m答案是选A 乘法口诀 稍微默念一下就10m＋5 ，m是十位上数字，＋5） 知道是5×9 我们在这个数字中间插入c 化简得到 ： 10m＋10c＝40 或者0×9 （个位数是0的这个数字 m＋c＝4

4. 有300张多米诺骨牌，从1——300编号，每次抽取偶数位置上的牌，问最后剩下的一张牌是多少号？ A、1 B、16 C、128 D、256

――――――――――――――――――――――――――― 【天字一号解析】

这个题目本身并不难，但是一定要看清楚题目，题目是抽取偶数位置上的牌，1是奇数位置上的，这个位置从未发生变化，所以1始终不可能被拿走，即最后剩下的就是编号1的骨牌。

当然如果每次是拿走奇数位置上的，最后剩下的是编号几呢？

我们做一个试验，将1到100按次序排开。每轮都拿掉奇数位置上的骨牌。我们发现，骨牌数目基本上是呈现倍数缩小。同时我们有一个更重要的发现，那就是什么样的数字才能确保它的1/2仍然是偶数。这个自然我们知道是2^n，但是当2^n＝2时它的一半就是1，在接下来的一轮中就会被拿走。因此我们发现每一轮操作2^n位置上的数都会变为2^(n-1) 当2^n=1时 被拿走。按照这样的操作，100个多米诺骨牌每次少1/2， 当操作6次即剩下的数目小于2个（100÷2^6<2）。根据上面我们发现的规律，必然是最后留下了2^6＝64 移动到了第1位 也就是仅剩下的1位。所以答案是100内最大的2^n=64 总结：大家记住这样一个规律 直线排列最后剩下的是总数目里面最大的2^n次方 此题300内最大的2的n次方就是256

所以如果每次拿走奇数位置上的骨牌，那么最后剩下的就是编号256

5. 两人和养一群羊，共n只。到一定时间后，全部卖出，平均每只羊恰好卖了n元。两人商定评分这些钱。由甲先拿10元，再由乙拿10元，甲再拿10元，乙再拿10元，最后，甲拿过之后，剩余不足10元，由乙拿去。那么甲应该给以多少钱？ A.8 B.2 C.4 D.6

―――――――――――――――――――― 【天字一号解析】

这个题目就是一个常识的题目没有什么可以延伸的空间，所以我就主要介绍一下解答方法。

X^2是总钱数，分配的时候10 元， 2次一轮，最后单下一次， 说明总钱数是10的奇数倍数根据常识，只有个位数是4，或者6才是十位数是奇数，那么个位数都是6

说明 最后剩下6元 乙应该给甲 10－（10＋6）/2=2元

6. 自然数A、B、C、D的和为90，已知A加上2、B减去2、C乘以2、D除以2之后所得的结果相同。则B等于： A．26 B．24 C．28 D．22

―――――――――――――――――― 【天字一号解析】 A，B，C，D 都是M A＝M－2 结果相同，我们可以逆推出假设这个变化之后四个数那么 B＝M＋2

9

C＝M/2 D=2M A＋B＋C＋D＝90＝4.5M M＝20,则B＝20+2=22 7. 自然数P满足下列条件：P除以10的余数为9，P除以9的余数为8，P除以8的余数为7。如果：100

A、不存在 B、1个 C、2个 D、3个 【天字一号解析】 P＝8Z＋7＝8（Z＋1）－1 公倍数是360 360－1＝359， 根据题目的条件我们看 这样我们就发现了 P＋1 则100～1000内有 2个这或者 720－1＝719 P＝10X＋9＝10（X＋1）－1 就是 8，9，10的公倍数 样的公倍数。 P＝9Y＋8＝9（Y＋1）－1 我们知道 8，9，10的最小所以满足条件的P 就是 8. 三个连续的自然数的乘积比M的立方少M，则这三个自然数的和比M大多少（） A 2M B4M C 6M D 8M

―――――――――――――――― 【天字一号解析】 所以说明 M＝2， 那么我们字是a，那么 这三个数字对比 我们发现 M就是a 方法一：特例法你可以随便看 1＋2＋3＝6 分别是， 再看 （a－1）＋a＋（a－1）找3个连续自然数试试看， 6－M＝4 a－1，a，a＋1 ＝3a ＝3M 例如 1×2×3＝6 可见是2M 乘积是 a×（a－1）×（a可见 答案就是2M 比6稍大的立方数是8 即方法二： ＋1）＝a×（a^2－1）＝2^3=8 平方差公式： 我们假设这a^3-a 8-6刚好是2 三个连续自然数中间的数跟题目说的比M^3少M条件

9. 一个7×7共计49个小正方形组成的大正方形中，分别填上1～49这49个自然数。每个数字只能填1次。使得横向7条线，纵向7跳线，两个对角线的共计16条线上的数字和相等！则其中一个对角线的7个数字之和是（） A 175 B 180 C 195 D 210

―――――――――――――――――――――――――― 【天字一号解析】

这个题目猛一看好复杂，其实仔细看看就会发现端倪。虽然看上去像是一个幻方问题 或者类似于九宫图，但是这里并不是让你关注这个。

49个数字全部填入， 满足条件后，我们发现横向有7条线 产生7个结果 并且相等。那么这个7个结果的和 就是这7条线上的所有数字之和，很明显就发现了 就是1～49个数字之和了 ，根据等差数列求和公式：（首项＋尾项）×项数/2=总和 （1＋49）×49/2＝25×49

则每条线的和是 25×49/7=175

因为对角线和横线7条线的任意一条的和相同所以答案就是175.

10. 把1～100这100个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，从1开始，顺时针方向，留1，擦去2,3,4，留5，擦去6,7,8??（每擦去3个数，留一个数）。直到最后剩下的一个数是多少？ A、47 B、48 C、49 D、64

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【天字一号解析】

考察点：周期循环等比数列的问题

这个题目考到的可能性不是特别大，但是不排除。就只介绍规律吧。

主要是看间隔编号的个数。 如该题 间隔编号就是1个。例如 留1拿走2，留3拿走4，间隔是1： 以下公式是按照从去1开始的。

那么 公式是： 2/1×（A－2^n） 这是最后剩下的数字 2^n表示A内最大的值 A表示原始的编号总数。 间隔是2：3/2×（A－3^n） 间隔是3：4/3×（A－4^n） 间隔是4：5/4×（A－5^n）

特别注意的是：此题的A值不是随便定的 必须满足 A－1要能够除以间隔编号数目。否则最后的结果就是全部被拿走。 该题答案是： 按照公式4/3×（100－4^3）=48 但是这是按照去1开始得如果是留1 那么答案是 48＋1＝49 11. 下列哪项能被11整除？

A．937845678 B．235789453 C．436728839 D．867392267 -------------------------------------- 【天字一号解析】 3＋8＋5＋7＝23 所以 答案是A 9＋7＋4＋6＋8＝34 34－23＝11

所有的奇数位置上的数之和－所有偶数位置上数字之和＝11的倍数 那么这个数就能被11整除。 这类题目属于数字整除特性题目我们这里就顺便介绍几个这样的规律： （1）1与0的特性：

1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a. 0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.

（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。 （3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。 （4） 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。 （5） 若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。 （6） 若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

（7） 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59

10

－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。 （9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。 （10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。

（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！ （12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

（14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

（15）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 （16）若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。 （17）若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。 （18）若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除

12. 甲乙二人分别从相距若干公里的A、B两地同时出发相向而行，相遇后各自继续前进，甲又经1小时到达B地，乙又经4小时到达A地，甲走完全程用了几小时

A．2 B．3 C. 4 D．6 【天字一号解析】 那么甲走了a小时的路程 甲走了1小时 a=2 这个题目只要抓住固定不乙需要4小时 还是根据速度比＝时间的所以答案是甲需要1＋2＝3变的部分，不管他的时间怎根据速度比＝时间的反比 反比 小时走完全程！ 么边速度比是不变的。 则V甲：V乙＝4 ：a 则 V甲：V乙＝a ：1 假设相遇时用了a小时 那么乙走了a小时的路程 即得到 4：a＝a:1 13. 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4八个数字做成的八位数，共可做成______个。 A 2940 B 3040 C 3142 D 3144 【天字一号解析】

这个题目 我在另外一个排列组合的帖子曾经讲过！

我们不妨先把这8个数字看作互不相同的数字，0暂时也不考虑是否能够放在最高位

那么这组数字的排列就是P(8,8)，但是，事实上里面有3个1，和2个2，我们知道3个1我们在P(8,8)中是把它作为不同的数字排列的，现在相同了，那我们就必须从P(8,8)中扣除3个1的全排列P（3，3）关键这里是怎么扣除呢？ 记住因为全排列是分步完成的，我们知道在排列组合中，分步相乘，分类相加。 可见必须通过除掉P（3，3）才能去掉这部分重复的数字形成的重复排列。 2个2当然也是如此

所以不考虑0作为首位的情况是 P88/(P33×P22)

现在我们再来单独考虑0作为最高位的情况有多少种：P77/(P33×P22) 最后结果就是：P88/(P33×P22)－P77/(P33×P22)＝2940

14. A、B、C三本书，至少读过其中一本的有20人，读过A书的有10人，读过B书的有12人，读过C书的有15人，读过A、B两书的有8人，读过B、C两书的有9人，读过A、C两书的有7人。三本书全读过的有多少人？（） A.5 B.7 C.9 D.无法计算

――――――――――――――――――― 【天字一号解析】

这个题目我是借鉴的“天使在唱歌”总结的公式组来解答。根据题目的不同可以挑选其中的任意2组或者3组公式答题。 先来介绍一下公式：

首先这里不考虑都不参与B＋3T＝至少包含2种的总看三本书全部读过的是多（3） 的元素 人数 少人？实际上是求T B＋3T＝8＋9＋7＝24 （1） 这里介绍一下A、B、T分别根据公式： （2）－（1）＝B＋2T＝17 A+B+T=总人数 是什么 （1） 结合（3） （2） 看图 A＝x＋y＋z； B＝aA＋B＋T＝20 得到T＝24－17＝7人 A＋2B＋3T＝至少包含1种＋b＋c；T＝三种都会或者（2） 的总人数 都参加的人数 A＋2B＋3T＝10＋12＋15＝（3） 看这个题目我们要求的是37 15. 一个9×11个小矩形组成的大矩形一共有多少个矩形？ A.2376 B.1188 C.2970 D.3200

―――――――――――――――――――――― 【天字一号解析】 这个题目其实很简单，主要是善于抓住题目的关键。这个题目我们看 问有多少个矩形。并不是我们认为的就是9×11＝99个。 事实上上上下下，左左右右可以由很多小的矩形组成新的大一点的矩形。所以。这个题目看上去比较棘手。那么我们为何不从矩形的概念入手呢。矩形是由横向2条平行线。纵向2条平行线相互垂直构成的。

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知道这个我们就发现了解题的方法了， 9×11的格子 说明是10×12条线。 所以我们任意在横向和纵向上各取2条线 就能构成一个矩形。 所以答案就是 C10取2×C12取2＝2970

16. 一个布袋中有35个大小相同的球，其中白、红、黄三中颜色的球各10个，另有篮、绿两种颜色的球分别是3个、2个，试问一次至少取出多少个球才能保证取出的球中至少有4个是同一颜色？ A、15 B、 16 C、17 D、14

――――――――――――――――― 【天字一号解析】

这个题目是抽屉原理题目，我们在解答抽屉原理题目的时候要学会先找到什么是抽屉。抽屉有几个？然后还得注意在给抽屉平均分配的时候，会不会出现抽屉个数减少等问题。

这个题目我们先找什么是抽屉。很明显 颜色就是抽屉。 共计5种颜色，我们就确定了5个抽屉。 每种颜色的抽屉容量是各不相同的，这就导致后面有可能出现抽屉减少的现象。 要求是至少保证取出的球是4个同一颜色的。 我们最接近的是给每个抽屉放3个。 3×5＝15

但是请注意，绿色的抽屉容量只有2，所以我们只能放15－1＝14个。再放就必然导致前面的3个抽屉的某一个达到4个同色了。 此题答案选A

17. 22头牛吃33公亩牧场的草，54天可以吃尽，17头牛吃同样牧场28公亩的草，84天可以吃尽。请问几头牛吃同样牧场40公亩的草，24天吃尽？（ ） A.50 B.46 C.38 D.35

――――――――――――――― 【天字一号解析】

“牛吃草”的问题 主要抓住草每天的增长速度这个变量。至于其原始草量有多少 ？不是我们关心的内容，为什么这么说，因为在我们计算的时候，实际上是根据差值求草长速度，那么原有的草量在2种情况中都是一样， 差值的时候被相减抵消了。有些题目可能面积不一样，但是每亩地的原始草量确实一样的。

再看这个有面积的题目，其实道理是一样的。我们只要将不同的转化为相同的， 面积不一样，但是没公亩的原有量和每天每亩草长的量是相同的。 根据这个 条件1：

(22×54)/33 这是每公亩的情况 条件2：

(17×84)/28 这是每公亩的情况

相减 (17×84)/28 －(22×54)/33＝（84－54）×a a表示每亩草长速度 解得a＝0.5 单位依旧是没头牛每公亩吃草的单位作为标准单位 最后我们假设x头牛24天可以吃完40公亩草 那么挑选上面的一个情况拿过来做对比： (22×54)/33－24x/40＝(54-24)×0.5 即可解得x＝35头

18. 甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离 A、2 B、3 C、4 D、5

―――――――――――――――― 【天字一号解析】

这个题目是关于多次相遇问题的类型。我先介绍一下多次相遇问题的模型。 例如：有这样一个多次相遇问题的模型图 S?????M????N??E

SE这段路程，甲从S出发，乙从E出发，甲乙两个人在M处第一次相遇了，相遇的时候我们知道 甲行驶了 SM的长度。甲乙路程之和是SE 一个完整的路程。

N点是第2次相遇的地点。我们发现 此时从第一次相遇的点M开始到第2次相遇的点N。 甲走了ME＋EN，而乙在跟甲相同的时间下走了MS＋SN

我们再次发现：甲乙两者路程之和是 ME＋EN＋MS＋SN＝2SE

是2倍的全程。 你可以继续研究第3次相遇的情况。或者更多次。我们发现：

第一次相遇时，甲的路程或者乙的路程是1份的话。第2次相遇时 甲或者乙又行驶了2倍的第一次的路程。

看上述题目：我们发现 第一次相遇距离A点4千米。那么我们知道 从A出发的甲是走了4千米， 相遇后2人继续行驶，在距离B点3千米处相遇。说明甲又走了2×4＝8千米 画个图： A．。。。。。。4.。。。。。3.。。。。。B

我们发现甲从开始到最后的总路程就是AB＋3 也就是3倍的第一次的距离。 所以AB＝3×4－3＝9千米

那么两个相遇点之间的距离就是 9－4－3＝2千米。 选A

19. 在一条马路上，小明骑车与小光同向而行，小明骑车速度是小光速度的3倍，每隔10分有一辆公共汽车超过小光，每隔20分有一辆公共汽车超过小明，如果公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车，那么相邻两车间隔多少分钟？ A.45 B50 C.60 D.80

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【天字一号解析】

我们知道 间隔一顶的时间就有一辆公交车超过小光或者小明。说明他们之间构成了追击问题。追击问题就是时间＝路程差/速度差。

再看，当汽车追上小光或者小明的时候，下一辆公交车在哪里呢就是公交车发车间隔时间的汽车距离。即发车间隔时间×汽车的速度。这就是汽车跟小光或者小明的路程差。 所以我们发现

小光被超过是10分钟，说明 V车－V小光＝1/10 （1）小明被超过是20分钟 说明 V车－V小明＝1/20

（2）我们要求间隔发车时间，只要知道汽车的速度就可以知道间隔发车时间了因为我们这里的汽车发车间隔距离都是单位1. 上面得到了（1），（2）两个推断。 同时我们知道小明的速度是小光的3倍 那么（1）×3－（2）＝2倍的汽车速度了 则汽车速度就是 (3/10-1/20)/2=1/8 则答案是 1/(1/8)=8分钟。

20. 一只船从甲码头到乙码头往返一次共用4小时，回来时顺水比去时每小时多行12千米，因此后2小时比前2小时多行18千米。那么甲乙两个码头距离是多少千米？ A、36 B、45 C、54 D、60

―――――――――――――――――――――― 【天字一号解析】

前2小时是逆水，后2小时是部分逆水＋顺水 如图： 0.。。。。。。。。。。。。。。。。逆水。。。。。。。。。。。。。。。。2（小时） 2.。。。逆水。。。X。。。。。。。。。。。顺水。。。。。。。。4（小时） 我们知道后2小时比前2小时多行18千米

我们看 ，把部分逆水的跟前2个小时相互抵消， 其实后2个小时就是顺水部分比逆水多出来的18，我们知道顺水速度每小时比逆水速度多12千米。那么18千米需要多少小时？

所以18/12=1.5小时 就是顺水时间。即X到4小时之间的时间间隔。 从而知道逆水时间是2.5小时。时间比是 3：5 可见速度比是 5：3 差2个比例点 对应12千米 则顺水速度是 12/2×5＝30 答案是30×1.5＝45

21. 某团体从甲地到乙地，甲、乙两地相距100千米，团体中一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，全部人员同时到达。已知步行速度为8千米/小时，汽车速度为40千米/小时。问使团体全部成员同时到达乙地需要多少时间？

A、5.5 小时 B、 5 小时 C、4.5小时 D、4 小时 ----------------------------------- 【天字一号解析】

这个题目已经成为典型的形成模型问题了，这个团的人分2部分步行, 要得同时到达 那么必然是步行的路程都相同，乘车的路程也相同。抓住这个我们就好办了！ 根据题目条件, 我先给大家画个图

甲...............P.............................Q...............乙 图中：P是汽车回来接先步甲～P＝Q～乙 是5份， 算时间是 75/40+25/8=5行的人的地点 在根据相同时间内 路程之已知，甲～p＝1份， Q～小时 Q是汽车把先乘车的人放下比=速度比=40:8=5:1 乙＝甲～P＝1份 【总结】这类汽车接送的问的地点。 假设先步行的人步行的举那么全程就是 甲乙路程题 主要是抓住速度之比转那么我们可以看出，甲～P例为1份， =(5+1+2)/2=4份 换成路程之比，进而将问题是先步行的人步行的举例。那么汽车的行驶距离就是5则总路程分成4个单位 大大简化。 Q～乙是先乘车的人步行的份，我们发现 汽车走得路每个单位是 100/4=25 举例 程是 甲～Q～P 这段距离则以先乘车的人为例 计下面提供3道练习题目！

例一：100名学生要到离校33千米处的少年宫活动．只有一辆能载25人的汽车，为了使全体学生尽快地到达目的地，他们决定采取步行与乘车相结合的办法．已知学生步行速度为每小时5千米，汽车速度为每小时55千米．要保证全体学生都尽快到达目的地，所需时间最少是?

例二：有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送。第一班的学生坐车从学校出发的同时，第二班学生开始步行；车到途中某处，让第一班学生下车步行，车立刻返回接第二班学生上车并直接开往少年宫，最终两个班的学生同时到达少年宫。已知学生步行速度为每小时4公里，载学生时车速每小时40公里，空车是50公里/小时，问第一班的学生步行了全程的几分之几？ A.1/7 B.1/6 C.3/4 D.2/5

例三：甲乙两班同时从学校去公园，甲步行每小时4千米，乙步行每小时3千米，学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好只能做一个班的学生，为了使这两个班学生在最短的时间内到达，那么甲与乙学生需要步行的距离之比是（）。 A、15：11B、17：22 C、19：24D、21：27

22. 从360到630的自然数中有奇数个约数的数有（）个？ A.25 B.23 C.17 D.7 ―――――――――――― 【天字一号解析】

这个题目我一般都是从问题提到的对象入手，自然数的约数？我们知道，求自然数约数无非就是将这个自然数分解因式然后看构成的数字形成多少个不同的乘积。

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那么这个自然数就可以表示为自然数＝A×B A和B都是这个自然数的因数，也就是约数。

很明显一般情况下自然数的约数都是成对出现的，如 12＝2×6，12＝3×4，12＝1×12，2和6是一对，3和4是一对，1和12是一对。既然是成对出现，那么这个自然数理论上说它的约数应该是偶数个才对。现在是奇数个。 什么样的情况会导致它是奇数个约数呢？

我们发现只有当这个自然数种一对约数相等的时候，就会少了1个约数，即A＝B， 那么我们就看出这个自然数是一个平方数！ 360～630 之间的平方数可以这样确定， 我们知道19的平方是361，25的平方是625，那么 这样的自然数就是 19～25 共计7个自然数的平方值。

23. 王师傅加工一批零件，每天加工20个，可以提前1天完成。工作4天后，由于技术改进，每天可多加工5个，结果提前3天完成，问，：这批零件有多少个？ A 300 B280 C360 D270

――――――――――――――――― 【天字一号解析】 情况（1）：每天加工20个 高了，所以那部分所用时间工作4天后，如果不提高效这个题目我们可以通过比提前1天 缩短了 率，还是每天20个，那么例法来解决。我们知道当A情况（2）：先工作4天（每根据4天后剩下的总工作需要10天时间 ＝m×n的时候 天20个），以后每天是加工量固定。 时间之比＝每日所以这个题目的总工作量当A固定，m和n就是成反25个，可以前3天 效率的反比＝20：25＝4：5 是20×（10＋4）＝280个 比， 我们发现两种情况对比 5－4＝1个比例点。即所提此题描述比较烦琐，但是比当m固定A和n就是成正实际上情况（2）比情况（1）前的时间2天 ，1个比例例法确实是一种快速解答比， 提前了3－1＝2天 点是2天。说明每日工作问题的方法，希望大家能够当n固定，A和m也成正比 这2天是怎么节约出来的20个所需时间是对应的5花点时间去研究一下。看这个题目，注意比较前后呢？ 很明显是因为后面有个比例点就是2×5＝102种情况， 部分工作每日工作效率提天， 意思就很清楚了，当

24. 某工作组有12名外国人,其中6人会说英语,5人会说法语,5人会说西班牙语;有3人即会说英又会说法,有2人既会说法又会说西;有2人既会说西又会说英;有1人这三种语言都会说.则只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多: A1 B2 C3 D5 ――――――――――――－－－－ 【天字一号解析】 的总人数 加的人数 （3）B＋3T＝3＋2＋2＝7 在前面的有道题目种我们（4）T是三者都会的 根据题目我们得到如下计（4）T＝1 总结了几个公式： 这里介绍一下A、B、T分别算： 我们可以很轻松的得到 B（1）A+B+T=总人数 是什么 （1）A＋B＋T＋P＝12 ＝4，A＝5 （2）A＋2B＋3T＝至少包含看图 A＝只会1种的总人（P表示一种都不会说的） T＝1 1种的总人数 数； B＝只会2种的总人（2）A＋2B＋3T＝6＋5＋5那么P＝2 （3）B＋3T＝至少包含2种数；T＝三种都会或者都参＝16 答案就是 A－P＝5－2＝3 25. 为了把2008年北京奥运会办成绿色奥运，全国各地都在加强环保，植树造林。某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路的(不相交)两旁栽上树，现运回一批树苗，已知一条路的长度是另一条路长度的两倍还多6000米，若每隔4米栽一棵，则少2754棵；若每隔5米栽一棵，则多396棵，则共有树苗：( ) A.8500棵 B.12500棵 C.12596棵 D.13000棵 ――――――――――――――――――――― 【天字一号解析】 则少2754棵 1棵树。 情况来分析，就选情况（2） 这个题目是2006年的一道情况（2）：每隔5米栽1棵，那么这2种情况相差多少每隔5米栽1棵，还多出国考试题，题目看上去非常则多396 棵 颗树 396棵，不考虑植树问题，的烦琐复杂，还加上了植树我们知道这2条马路的总就说明有多少个20米。 我们先理论的计算一下。 问题。其实这就考验我们如长度是固定不变的，我们可据题意得 63000/5＋396＝12996棵 何能够化繁为简的能力，甚以通过这2种情况先求出情况（1）跟情况（2）相差这个时候还需要小心我们至有些数字更本可以不用。 总长度。 2754＋396＝3150棵树 必须注意2条马路是4个我们先对题目进行分析。他4和5的最小公倍数是20说明总距离是 3150×20＝边 ，根据植树原理，每个提供给我们2种情况： 米 也就是说 每20米情况63000米 边要多出1棵 所以答案应情况（1）：每隔4米栽1棵，（1）就要比情况（2）多栽我们在回头拿出其中一种该是 12996＋4＝13000棵 26. 一辆车从甲地开往乙地，如果提速20％，可以比原定时间提前一小时到达。如果以原速走120千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到。那么甲、乙两地相距多少千米？ A、240 B、270 C、250 D、300 ―――――――――――――――― 【天字一号解析】这个题目所以可见原速度行驶的话点对应的就是40分钟 需要 6－10/3=8/3小时 依然可以采用比例法来计就是1×6＝6个小时了 （2/3小时） 这个时候我们再看：8/3 走算： 再看原速度走了120千米。 那么可以得到如果是原始120千米，6小时走多少千从第一句话我们看到提速剩下的路程 速度提高速度行驶 所需时间就是 5米呢 之后的速度比是 5：6 25％， 那么提高后的速度×2/3=10/3 小时。 8/3:120=6:x x=270 千那么时间比就是 6：5 比是4：5， 前面我们知道原始速度行米。 差1个比例点对应的是1小那么剩下部分路程所需时驶需要6小时。 后面部分时。 间之比是 5：4 差1个比例需要10/3小时 则120千米27. 有一个四位数，它的4个数字相乘的积是质数，这样的四位数有多少个? A 4个， B 8个 C 16个 D 32个 ―――――――――――――

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【天字一号解析】

这个题目主要是抓住数字的特殊性质 结合其概念来作出有利于解答的判断。

我们发现四个数字之和是质数，从质数的概念除法，质数的约数只有1和它本身

由此我们可以肯定这四个数字中只出现2个不同的数字 就是1和一个质数。就是乘积。 可见这四个数字中有3个1，另外一个是质数 个位数是质数的有，2，3，5，7这四个。 根据排列组合从四个质数里面选出1个， 放入四位数种的任意一个位置。 可见答案是 C4，1×C4，1＝16个

28. 一队法国旅客乘坐汽车去旅游中国长城，要求每辆汽车的旅客人数相等．起初每辆汽车乘了22人，结果剩下1人未上车；如果有一辆汽车空着开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上．已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有（）名旅客 A、507 B、497人 C、529人 D、485人

―――――――――――――――――――――――――― 【天字一号解析】

这个题目我觉得就是一个数字游戏，还是考察的质数概念问题。 还是看情况 情况（1）： 每辆车子22人，多出1人 情况（2）：开出1辆车子，刚好平均。

我们看 如果开出1辆车子 我们还是按照每辆车子22人 ，那么就多出22＋1＝23人 注意：23人是质数

不能分解因式，所以 所以23人如果要能被平均分配到剩下的车子上，说明每辆车子只能再添1人。不能添23人因为车子的最大容量是32人 如果再添23人那就是45人超出容量了。

好，分析到这里我们就知道 开走1辆车子 还剩下23辆 刚好每辆1人。 所以原来是24辆车子。 那么总人数就是22×24＋1＝529人

29. 如果2斤油可换5斤肉，7斤肉可换12斤鱼，10斤鱼可换21斤豆，那么27斤豆可换（ ）油。 A．3斤 B．4斤 C．5斤 D．6斤

―――――――――――――――――――――― 【天字一号解析】

这个题目看上去很好玩，就好像古代尚未有钱币的时候商品的流通就是通过这样的等价交换。 我们发现起始的油换肉。最重又回来了豆换油。形成了一个循环。

我们可以将兑换左边的物品放在一起，兑换右边的物品放在一起就构成了一个等式关系。 如： 2×7×10×27＝5×12×21×A，这样很容易解答出 A＝3 答案就是A了

30. 若干名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长和老师共有22人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有1名男老师，那么在这22人中，爸爸有多少人？ A. 3 B.4 C.5 D.6

――――――――――――――――――― 【天字一号解析】

这个题目除了总人数没有一个准确的数值，而问题确实要求一个确切的数值，由此我们可以肯定这是一个完全符合极限法的题目，所以的数值只能有一个数值满足。 那么我们就开始按照极限法来假设。 总人数22，

（1）家长比老师多，那么家长至少12人 老师最多10人 （2）妈妈比爸爸多，那么说明妈妈至少7人，爸爸最多5人

（3）女老师比妈妈多2人 那么女老师至少7＋2＝9人， 因为老师最多10人。说明男老师最多就是1人， （4）至少有1名男老师。 跟（3）得出的结论形成交集 就是男老师就是1名。 以上情况完全符合假设推断。 所以爸爸就是5人

31. 某路公共汽车,包括起点和终点共有15个车站,有一辆车除终点外,每一站上车的乘客中,恰好有一位乘客到以后的每一站下车,为了使每位乘客都有座位,问这辆公共汽车最少要有多少各座位? A53 B54 C55 D56

―――――――――――― 【天字一号解析】

这个题目实际上是寻找何时是峰值，我们按照题目的要求，所有的条件都是选择最小数字完成，那么就符合题目的要最少需要安排多少个座位。

题目要求： 汽车驶出起始站 在后面的每站都有人下车，一直到最后一直站。那说明起始站上车的最少人数应该是14人（确保每站都有一个人下车）

同理要的前面上车的人 后面每站都有1人下车，说明第1站上车的人 至少是13人。以此类推。第2站是需要12人 ，第3站需要11人。。。。

我们看车子上面什么时候人数最多。当上车人数>=下车人数的时候 车子上的人一直在增加。知道相等 达到饱和 。 我们看到上车的人数从起始站开始，下车的人数也是从起始站开始。列举一下 起始站（上车）：14，13，12，11，10，9，8，7，6，5，4，3，2，1，0 起始站（下车）：0 ，1， 2， 3， 4， 5，6，7，8，9，????.. 我们发现当上车人数＝7的时候下车人数也是7 达到最大值 所以答案是

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14＋（13－1）＋（12－2）＋（11－3）＋（10－4）＋（9－5）＋（8－6）＝56人 32. 自然数乘1999，末尾6位数都是9，是哪个数？（ ） A .2001 B.2011 C.2111 D.20001 ――――――――――――― 【天字一号解析】 我们知道这个数末尾6个我们根据平方差公示 这个只能是A－1＝1999 此题看上去貌似很复杂，其数字全是9 ，如果这个数数的开方应该是3个0 A＝2000 实还是我们常见的考察知字＋1，那么末尾6个数字A^2-1=(A+1)*(A-1) 那么另外一个数字就是A＋识点 应该都是0了 因为一个数字是1999 1＝2001 选A 33. 参加会议的人两两都彼此握手，有人统计共握手36次，到会共有（）人。 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【天字一号解析】

每个人握手的次数是N－1次，N人就握手了N×（N－1）次 但是每2个人之间按照上述方法计算重复了一次。 所以要除以2， 即公式是 N×（N－1）÷2＝36 这样N＝9 如果不理解。我们还可以这样考虑

假设这些人排成一排。 第一个人依次向排尾走去。一个一个的握手。第2个人跟着第一个人也是这样。第一个人是N－1次。第2个人是N－2次 第3个人是N－3次 、、、、、、最后第2人是1次，最后一个人不动，所以他主动握手的次数是0次。

这样我们就看出这些人握手的次数是一个线段法则规则 我在我的45题练习里面解析了关于线段法则的运用情况 即总握手次数就是 1＋2＋3＋4＋5＋、、、、、、＋N－1 计算公式 就是（首项＋尾项）×项数÷2

当然如果是这样的题目 你还可以通过排列组合计算 这么多人中 任意挑出2人即多少种就有多少次握手： Cn取2＝36 也就是 N×（N－1）÷2！＝36 解得 N＝9 这个只适用于比较简单的握手游戏 取2 如果C取值大于2 则就不要用排列组合了， 例如这样一道例题：

某个班的同学体育课上玩游戏，大家围成一个圈，每个人都不能跟相邻的2个人握手，整个游戏一共握手152次， 请问这个班的同学有（ ）人

A、16 B、17 C、18 D、19

【天使在唱歌解析】此题看上去是一个排列组合题，但是却是使用的对角线的原理在解决此题。按照排列组合假设总数为X人则Cx取3＝152 但是在计算X时却是相当的麻烦。 我们仔细来分析该题目。以某个人为研究对象。则这个人需要握x－3次手。每个人都是这样。则总共握了x×（x-3）次手。但是没2个人之间的握手都重复计算了1次。则实际的握手次数是x×（x-3）÷2＝152 计算的x＝19人

34. 商场的自动扶梯匀速自下而上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒向上行走2个阶梯，女孩每2秒向上走3个阶梯。如果男孩用40秒到达，女孩用50秒到达，则当电梯停止时，可看到的扶梯级有： A 80 B 100 C 120 D 140 ―――――――――――――― 【天字一号解析】

关于电梯问题实际上也是一种行程问题，而不是我们所理解的“牛吃草”问题：但跟行程问题却又很大的不同！下面就来说说其不同之处！

行程问题里面我们常见的有2种

一种是相遇问题：同时想向而行！ 何时相遇的行程问题。

一种是追击问题：是一个人在另外一个人的前面，两个人同方向走。后面的人速度快，前面人速度慢，什么时候能追上的问题。 我们先分析2种模型： （1）： 人的方向跟电梯方向同向

，当人在扶梯的底端开始往上走。而扶梯也是自动往上走，方向相同，我们发现虽然方向相同，但是扶梯是帮助人往同一个方向走的。并且共同走过了扶梯的总级数，

说明（人的速度＋扶梯的速度）×时间＝扶梯级数，这就好比行程问题里面的相遇问题。这不过这里的方向是同向。 （2）：人的方向跟电梯方向反向， 人本来是向上走的，但是扶梯的速度是向下的。行程了反向，人走的路程往往被扶梯同时间内出来的级数抵消一部分。所以人的速度一定要大于扶梯的速度才能到达顶部。当到达顶部的时候，我们不难发现。其实就是（人的速度－扶梯的速度）×时间＝扶梯级数。 这就好比行程问题里面的追击问题，只不过这里的方向是相反 ！ 我们再来分析例题：首先确定是同向。确定为相遇问题 速度和×时间＝电梯级数

对于男生： （2＋V电梯）×40 对于女生： （1.5＋V电梯）×50

建立等式关系： （2＋V电梯）×40＝（1.5＋V电梯）×50 解得V电梯＝0.5 则电梯级数＝2.5×40＝100或者 2×50＝100 例如我们在举例一个反向的例子： 【例题练习】：商场的自动扶梯匀速自上而下行驶，两个孩子从下往上走，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒向上行走2个阶梯，女孩每2秒向上走3个阶梯。如果男孩用50秒到达，女孩用40秒到达，则当电梯停止时，可看到的扶梯级有： A 80 B 100 C 120 D 140

35. 有甲乙两杯含盐率不同的盐水，甲杯盐水重１２０克，乙杯盐水重８０克．现在从两杯倒出等量的盐水，分别交换倒入两杯中．这样两杯新盐水的含盐率相同．从每杯中倒出的盐水是多少克？ A 24 B 48 C 32 D 16 ―――――――――――――――― 【天字一号解析】 mn/(m+n)=120*80/(120＋公式的由来是通过2个十你假设交换的部分是a克公式： 80)＝48 字交叉法得到的 盐水

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假设120克的盐水浓度是我们得到 （120－a）：a＝（P－P2） 们假设交换了a克 P1， 80克的盐水浓度是（P－P2）：（P1－P） 根据这2个比例的右边部a克相对于120克的溶液剩P2， 那么对于80克的盐水来讲分我们可以得到 下部分的比例也就是满足交换混合后相同的浓度是P 建立十字交叉法 （120－a）：a＝a：（80－a） 浓度之间的差值比例 那么对于120克的盐水来80－a（P2） 化简得到 a＝120×跟原始的参照质量也是同讲建立十字交叉法 P1－P 80/(120+80) 说明跟各自一比例。即 120－a（P1） 的浓度无关！ (120－a)/a=120/80 a=48P－P2 P 补充方法： 克 a（P1） 因为2种溶液的混合浓度或者 （80－a）/a=80/120 P P－P2 相等。其实可以看作是先将a=48克 a（P2） 我们得到 2种溶液直接混合，在按照P1－P （80－a）：a＝（P1－P）：比例分开成2部分。所以我

36. 甲乙两人各坐一游艇在湖中划行,甲摇浆10次时乙摇浆8次,而乙摇浆70次,所走的路程等于甲摇浆90次所走的路程,现甲先摇浆4次,则乙摇浆多少次才能追上? A. 14 B.16 C.112 D.124 ――――――――――――― 【天字一号解析】

这种类型的题目我们首先求出其速度！

甲摇浆10次时乙摇浆8次 知道甲乙频率之比=5：4

而乙摇浆70次,所走的路程等于甲摇浆90次所走的路程 则可以得到每浆得距离之比是甲：乙＝7：9 所以，我们来看 相同时间内甲乙得速度之比，5×7：4×9＝35：36 说明，乙比甲多出1个比例单位

现在甲先划桨4次， 每浆距离是7个单位，乙每浆就是9个单位， 所以甲领先乙是4×7＝28个单位 而事实上乙每4浆才能追上36－35＝1个单位，说明28个单位需要28×4＝112浆次追上！ 选C 37.

一个游泳者逆流游泳，在Ａ桥遗失一只空水壶，水壶浮在水面，随水漂流．游泳者继续逆游了１小时到达Ｄ桥，发觉水壶遗失，休息了１２分钟再游回去找寻水壶，又游了１.０５小时后，在Ｂ桥找到了水壶．求Ａ，Ｄ两桥的距离是Ａ，Ｂ两桥距离的几倍． A．1.5倍 B 4/3倍 C 2倍 D 2.5倍 ――――――――――― 【天字一号解析】 B。。。。。A。。。。。。。。。D

从A掉下是逆水行使到D 跟水壶的速度差都是静水速度。时间1小时，从D到B 是顺水行使，跟水壶的速度差也是静水速度。 所以追上水壶用时也应该是1小时。 但是因为中间休息了12分钟,水壶还在飘向B 所以才会延长了追上的时间延长了1.05-1=0.05小时 说明：

水壶速度：游泳者的静水速度＝时间的反比＝0.05小时：12分钟＝1：4 AD＝1小时的逆水＝（4－1）的水流速度

AB＝（1＋1.05＋0.2）小时的水流速度＝2.25 AD：AB＝3/2.25=4/3 38.

机场上停着10架飞机，第一架起飞后，每隔4分钟就有一架飞机接着起飞，而在第一架飞机起飞后2分钟，又有一架飞机在机场上降落，以后每隔6分钟就有一架飞机在机场上降落，降落在飞机场上的飞机，又依次隔4分钟在原10架之后起飞。那么，从第一架飞机起飞之后，经过多少分钟，机场上第一次没有飞机停留？ A 104 B 108 C 112 D 116

――――――――――――――――――― 【天字一号解析】

这个题目类似于“青蛙跳井”问题，我们不能直接求最终结果，否则我们会忽略在临界点状态的一些变化。 碰到这种问题 首先就是求临界点是在什么时候发生，发生时的状况怎么样。这样才好判断。

例如“青蛙跳井”问题， 10米深的井，青蛙每次跳5米 就会下滑4米。 问几次能够跳上来。这个题目的临界点就是当青蛙最后一次跳5米的时候刚好到井口！也就是说我们只需研究到青蛙跳到10－5＝5米的地方，这里都是常规计算 （10－5）/(5-4)=5次。最后一次的时候 我们就无需考虑下滑了 因为已经到顶了。

同样这个题目很多人做出116分钟，其原因就是犯了这个错误。 我们必须先求临界点。 所谓的临界点就是

当机场剩下1架飞机的时候 假设是N分钟剩下一架飞机！ N/4 +1= (N-2)/6 + 1 +（10-1）

为什么两边都＋1 那是因为这是植树问题。 从0分钟开始计算的 所以要多加1次 解得N＝104分钟

所以我们知道104分钟的时候是临界点 飞机场只有1架飞机没有起飞。

当108分钟的时候，飞机起飞了。 而下一架飞机到机场则是在110分钟的时候， 所以从108～110这段时间是机场首次出现没有飞机的现象！ 答案应该选B

39. 某校参加“祖冲之杯”数学邀请赛的选手平均分是75，其中男选手比女选手人数多百分之八十，而女选手比男选手的平均分高百分之二十，则女选手平均分是多少？

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A75 B 90 C70 D84 ――――――――――――――― 【天字一号解析】 方法一：

就这个题目你可以建立十字交叉法来解答 假设男生平均成绩是a,女生 就是1.2a

男生人数跟女生人数之比就是最终之比 1.8:1=9:5

男生: a 1.2a-75 (9) 全班平均成绩(75)

女生:1.2a 75-a (5) 根据交叉法得到的比例 (1.2a-75):(75-a)=9:5 解得a=70。女生就是1.2a=84 方法二：

根据十字交叉法的公式我们发现，0.2a 是多出来的平均值,这就是两者的差值.

根据我们上面衍生出来的公式 应该=最重比例之和9+5=14 再乘以系数M 0.2a=14M 得 a=70M

因为分数不可能超过100 所以M只能=1,即a=70,女生就是1.2a=84

40. 甲车以每小时160千米的速度，乙车以每小时20千米的速度，在长为210千米的环形公路上同时、同地、同向出发。每当甲车追上乙车一次，甲车减速1/3 ，而乙车则增速1/3 。问：在两车的速度刚好相等的时刻，它们共行驶了多少千米？（） A. 1250 B. 940 C. 760 D. 1310 ――――――――――――――――――――― 【天字一号解析】

像这样的行程问题，比例法是最佳的解答方法。 首先我们确定需要几次相遇速度相等 我们先来看 需要多少次相遇才能速度相等 160×（2/3）的N次方＝20×（4/3）的N次方

N代表了次数 解得N＝3 说明第三次相遇即达到速度相等 第一次相遇前：

开始时 速度是160：20＝8：1 用时都一样， 则路程之比＝速度之比 ＝8：1 所以8－1＝1圈对应的比例即210 所以2人路程之和是210÷7×（8＋1）＝270 第二次相遇前：

速度比是 甲：乙＝4：1 用时都一样， 则路程之比＝速度之比＝4：1

所以4－1＝3等于1圈的距离对应的比例 即210 所以 这个阶段2人路程之和是 210÷3×（4＋1）＝350 第三次相遇前：

速度比是 甲：乙＝2：1 用时都一样，则路程之比＝速度之比=2：1

所以2－1＝1对应的是1圈的比例 即210 所以第3阶段2人路程之和 是210÷1×（2＋1）＝630 则总路程是 270＋350＋630＝1250

41. 有一辆自行车，前轮和后轮都是新的，并且可以互换，轮胎在前轮位置可以行驶5000千米，在后轮位置可以行驶3000千米，问使用两个新轮胎，这辆自行车最多可以行多远？ A 4250 B 3000 C 4000 D 3750 ――――――――――――――――― 【天字一号解析】 这个题目主要是看单位内（1千米）的消耗率，前轮是1/5000, 后轮是1/3000 单位内消耗的总和是1/5000+1/3000＝4/7500, 因为两个轮子的消耗总量是1＋1＝2，所以可以行使2÷4/7500=3750千米

42. 有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字的和，直到不能写为止，如257，1459等等，这类数字有（）个

A、45，B、60，C120，D、无数

―――――――――――――――――――― 【天字一号解析】

此题主要把题目理解清楚，“直到不能为止” 这个是关键

例如： 123，1235，12358，这算一个数字，就是12358， ， 123和1235还能继续往下写 题目要求不能写为止，所以不符合题目要求，不过我们也发现 其实我们只要去看前2位就可以， 就能区别于其他数字 因为前2位决定后面的数字。 看看前2位的组合 10，11，12，13，。。。。。。17，18， 。。。。。。

60，61，62，63 70，71，72 80，81 90，

可见这是呈现一个等差数列规律 个数为 （1＋9）×9÷2＝45

43. 有一水池，单开A管10小时可注满，单开B管12小时可注满，开了两管5小时后，A管坏了，只有B管继续工作，则注满一池水共用了多少小时？（ ） A.8 B.9 C.6 D.10

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【天字一号解析】

这个题目我拿出来说，是要引起大家重视的，主要是学会识别题目设置的障眼法，

如果我们按部就班的来做，恐怕需要多费些时间。所以我们在看完题目可以迅速的做一个思考。 什么思考？

题目问：则注满一池的水共用多少小时？我们知道乙全程都在参与。所以实际上乙工作了多少小时，就是我们最终要求的结果。 从工作的情况看，A参与了5小时 则相当于 5/10=1/2 还剩下1/2 这部分都是乙做的。乙做1/2需要多少时间呢 12×1/2=6小时 答案就是6小时

44. 五个人的体重之和是423斤，他们的体重都是整数，并且各不相同。则体重最轻的人最重可能是（） A80 B82 C84 D86 【天字一号解析】

这个题目跟一道分花的题目是“姊妹”题型！我把这个题目作为例题给大家练习

就本题来看。题目要求最轻的人最重是多少？ 而且5个人的体重各不相同。也就是说，总体重一定的情况下。数字大的尽可能和数字小的靠近 那样数字小的才会相对最重。 只有连续自然数满足这个条件。

我们看，5个人的总重量是 423斤， 根据连续自然数的特征，423/5=中间数（平均数）＝84 余数是3

那么我们知道这5个自然数的序列是 82，83，84，85，86 还剩下3斤不可能分配给最小的几个人 否则他们就会跟后面的数字重复了 所以这3斤应该是分配给最重的几个人，对轻者无影响。答案就是82 选B

例题：现有鲜花21朵分给5人，若每个人分得的鲜花数目各不相同，则分得鲜花最多的人至少分得（）朵鲜花。 A.7 B.8 C、9 D.10

45. 有一项工程，甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好甲用整数天完成；如果按乙、丙、甲次序轮做，比原计划多用1/2天完成；如果按丙、甲、乙次序轮做，也比原计划多用1/2天完成。已知甲单独做用10天完成，且三个工程队的工作效率各不相同，那么这项工程由甲、乙、丙三对合作要多少天可以完成？ A.7 B.19/3 C.209/40 D.40/9 ――――――――――――――― 【天字一号解析】

我们先把题目告诉我们的条件分类

（1）甲，乙，丙 甲整数天 （注意，甲收尾 刚好完成）

（2）乙，丙，甲，多用0.5天 （剩余的部分给乙做，也是需要多做0.5天，即丙做.） （3）丙，甲，乙，多用0.5天。 （剩余的部分给丙做，也是需要多做0.5天，即甲做） 甲单独做10天完成，甲的工作效率是1/10

看（3） 甲的1/10 给丙做，丙需要1天 还得让甲做半天。 所以丙的效率是甲的一半。即为1/20 再看（2），1/10=乙＋1/20×0.5 得到乙的效率是 3/40 合作需要 1/(1/10+3/40+1/20)=40/9 选D

46. 某服装厂有甲、乙、丙、丁四个生产组， 甲组每天能缝制8件上衣或10条裤子； 乙组每天能缝制9件上衣或12条裤子； 丙组每天能缝制7件上衣或11条裤子；丁组每天能缝制6件上衣或7条裤子。现在上衣和裤子要配套缝制（每套为一件上衣和一条裤子），则7天内这四个组最多可以缝制衣服多少套） A 110 B 115 C 120 D125

―――――――――――――――――――― 【天字一号解析】 进行微调！ 6：7 大于综合系数 要一天12＋9套裤子才能主要我们采用的主要思路综合系数是（8＋9＋7＋6）：则 甲，丁做衣服。 丙做裤补上 9/(12-9)=3 需要是：让善于做裤子的人做裤（10＋12＋11＋7）＝ 3：4 子。 乙机动 各自3天的生产（3天衣服子，善于做上衣的人做上单独看4个人的系数是 7×（8＋6）＝98 ＋3天裤子）＋1天裤子 衣。这样才能发挥各自的长4：5 大于综合系数 11×7＝77 则答案是 衣服 98＋3×9处，保证最后的总数最大。3：4 等于综合系数 多出98－77＝21套衣服 ＝125 裤子是 77＋4×12相等的可以做机动的补差！7：11 小于综合系数 机动乙根据自己的情况 需＝125 47. 五个瓶子都贴了标签，全部贴错的可能性有多少种？

A6 B.12 C.26 D44 ―――――――――――――――――― 【天字一号解析】 4封： 贴错的情况是9种 成的数列进行归纳： 0，1，S2=2×S1+(-1)^2=1 首先我们从简单的1封信5封： 贴错的情况是44种 2，9，44 S3=3×S2+(-1)^3=2 开始 大家就像记住平方数一样得到了这样一个递归公式： S4=4×S3+(-1)^4=9 1封： 不可能贴错 0种 记住就可以了，一般如果考Sn＝n×S(n-1)＋(-1)^n S5=5×S4+(-1)^5=44 2封： 贴错的情况是相互试考到 也就是查不到在5Sn表示n个贴错的情况种交换 1种 以内的情况。 数 3封： 贴错的情况是2种 好 我们接着对这些数字形如S1＝0

48. 某书店得优惠政策,每次买书200元至499.99元优惠5％，每次买书500元以上（含500元)优惠10％，某顾客买了3次书，如果第一次于第二次合并买比分开买便宜13.5元，如果三次合并买比三次分开买便宜39.4。已知第一次付款是第三次付款得5/8，求第二次买了多少钱书？

A115 B120 C125 D130

――――――――――――――――――――― 【天字一号解析】 =39.4-270*10%=12.4 =270+124=394， 惠。 第一次与第二次购书的合如果第三次购书原价不符合题意 则第三次购书原价=12.4/价=13.5/5%=270 =12.4/10%=124 所以第三次购书款应该是（10%-5%）=248 第三次购书优惠则三次购书款200以上的，即已经享受优第一次书价=248*5/8=155

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第二次书价=270-155=115

49. 电车公司维修站有７辆电车需要进行维修．如果用一名工人维修着７辆车的修复时间分别为１２．１７．８．１８．２３．３０．１４分钟．每辆电车每停开一分钟经济损失为１１元．现在由３名工人效率相等的维修电车，各自独立工作。要使经济损失减少到最小程度，最少损失多少钱？

Ａ ２３２１ Ｂ ２１５６ Ｃ １９９１ Ｄ １８５９ ――――――――――――――――――――――――― 【天字一号解析】

这是一道统筹问题，抓住题目的关键 ：耗时多的放到最后 这样大家等待时间就少 A：8 17 30 耗时＝8×3＋17×2＋30＝88 B：12 18 耗时 12×2＋18＝42 C：14 23 耗时 14×2＋23＝51 总耗时＝88＋42＋51＝181 则费用是181×11＝1991

50. 1^2007+3^2007+5^2007+7^2007+9^2007的值的个位数是（） A、2 B、3 C、5 D、7

――――――――――――――― 【天字一号解析】

这里不再多说 给大家介绍一下我总结的规律

当某2个数的个位数之和是10的时候这2个数字的相同奇数次方的个位数和还是10，相同的偶数次方的个位数相同。 举例： 4^4跟6^4： 4＋6＝10 那么他们的偶数次方个位数相同 4^4=256 6^6=个位数也是6 4^5和6^5次方 其个位数之和是 4＋6＝10 此题我们先分组 （1，9）（3，7）（5） 根据上述规律

其次方数是2007 奇数次方。 那么其个位数之和是 10＋10＋5＝25 则答案是选C

51. 甲,乙,丙三个人共解出20道数学题,每人都解出了其中的12道题,每道题都有人解出.只有一人解出的题叫做难题, 只有两人解出的题叫做中等题,三人解出的题叫做容易题,难题比容易题多（ ）题? A、6 B、5 C、4 D、3

―――――――――――――――― 【天使在唱歌解析】

第三题需要结合文氏图来理解了，画图会很清楚的

第14题 我们设A表示难题，B表示中档题目，T表示简单题目 （1）：A＋B＋T＝20 （2）：A＋2B＋3T＝12×3 这个式子式文氏图中必须要记住和理解的 将 （1）×2－（2）＝A－T＝4

这就是我们要求的难题比简单题目多出4

可能很多人都说这个方法太耗时了，的确。在开始使用这样方法的时候费时不少。当你完全了解和熟练运用：A＋2B＋3T这个公式的时候，这个题目我在第一部分就有说明！

52. 甲夫妇邀请 乙丙两对夫妇来家做客，大家随意围坐在一个圆桌上用餐。请问每对夫妇相邻而坐的概率是多大？ A. 1/15 B.2/15 C1/5 D.4/15

――――――――――――――――――― 【天字一号解析】

这个题目我们必须先掌握一个基础知识

环形排列跟直线排列的区别。 我们知道直线排列 例如 5个人站成一排 有多少种方法 P55＝120，

但是如果问 5个人围成一圈有多少种方法呢？ 我们必须注意环形排列的特别之处， 环形的开始也就是结束。首尾相连的。 所以没有绝对位置之分，只有相对位置。 所以第一个人一般是作为参照物。不参与全排列。所以5个人围成一圈是P44＝24种方法 再看这个题目。

先看 三对夫妇六个人全排列应该是P55＝120种

满足条件的情况：我们我可以先将这三对夫妇捆绑 视为3个人 那么围成一桌的全排列是 P22＝2种，然后我们再对每对夫妇进行调换位置 那就是 2*2*2=2^3 所以满足情况的方法有2×8＝16种 答案是16/120=2/15

53. 一个袋里有四种不同颜色的小球，每次摸出两个，要保证有10次所摸的结果是一样的，至少要摸多少次? A 55 B 87 C 41 D 91

----------------------------- 【天字一号解析】 条件 对抽屉进行极限化分（组合）呢 种数就是6＋4＝10种 这个题目是一个典型的“抽配。 4种颜色的搭配应该是 分要的10次所摸的结果一屉原理”题目！ 什么是抽屉，题目中告诉我两种情况 样。最坏的情况就是每种组碰到抽屉原理类型的题目，们 四种不同颜色的小球任（1） 不同颜色的组合： C合都会摸到最大限度 我们首先需要去寻找什么意取2个小球组成的不同（4，2）＝6 最大限度就是10－1＝9种 是抽屉。其次是抽屉的个组合，这里就是指不同颜色（2） 相同颜色的组合： C所以答案是9×10＋1＝91 数。 当这些都确定以后。的搭配形成的组合 （4，1）＝4 选D 我们可以根据题目提供的那么我们看 有多少个抽屉很明显了 抽屉（组合）的54. 已知连续四个自然数的积是1680,这四个数的和是（ ） A、22 B、24 C、26 D、28

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【天字一号解析】

此题是个不错的题目，属于比较简单的题目。方法有3种。 方法一：分解因式法

1680＝2×2×2×5×6×7 一目了然 这四个数是5，6，7，8 和为26。这个方法对于比较小的数字适合。如果数字比较大的话。分解因式是个耗时的做法。另外当四个连续自然数全是合数的情况，那么分解因式来解决此类型题目就更加困难。 方法二：数字特性法

这里告诉大家一个数字规律常识：连续四个自然数的乘积必是一个数的平方－1

数字概念特性 N的平方＝（N＋1）×（N－1）＋1 也就是说 一个数的平方＝这个数的两边数字乘积＋1。根据这个我们可以确定1681是某个数字的平方＝41的平方 可以直接估算出来。根据上述特性 1680＝40×42 则结果出来了 42＝6×7 40＝5×8 方法三：排除法

根据选项我们发现最小的是22，最大的是28 连续四个自然数之和。大概是在4～9这个范围内的某四个连续自然数，稍微试一试就出来了

55. 甲乙丙三人共同进货回来，在平均分配的时候，甲比丙多了3吨，丙比乙少了3吨， 为了公平起见，甲乙各自给了丙12000元。 则每吨货值（ ）元

A、4000元 B、8000元 C、16000元 D、12000元 ―――――――――――――― 【天字一号解析】

此题非常的好，这是一个参照物选择的问题。从题目表面看似乎就是甲乙跟丙的比较。其实是三者跟平均数的比较。平均数才是这个题目的参照标准。如此题：

我们知道，甲乙比丙都多了3吨，则总共多了3×2＝6吨。平均分给3个人。则每个人是2吨。相比原先多出3吨的情况，甲乙其实都是只比平均数多了1吨。公平起见。每个人都应该分得平均数。现在甲乙都是多拿了1吨，则 每个人付出的12000元就是1吨货物的钱。此题选D

56.有8件产品，其中有3件是次品，能够恰好在第5次找出3件次品的概率是（） A 3/28 B 1/8 C 1/7 D 3/56 ---------------------------- 【天字一号解析】 再看恰好是第5次找到 注次品，所以是C（4，2）＝以确定剩下的3个都是次这个题目我们先看8件产意这句话的“恰好”这个词 6种 品。 品里面任意去3种次品的一般情况是 第5次肯定就注意，这里还隐藏了一种情则第5次能够恰好找到次情况是多少种 C（8，3）＝是最后第3个次品被找到 况，那就是前面5次都是好品的种数是 6＋1＝7种 56 前面4种情况就出现了2个成品，没有次品。那么就可则概率是 7/56=1/8

57.某食堂有大、中、小三种碗共计1060只、按照规定，2人一个小碗，3人2个中碗，5人3个大碗。某日中午该食堂开饭。所有碗都被用光。问此时来进餐的有（ ）人 A、480 B、600 C、640 D、720 ―――――――――――― 【天字一号解析】

这个题目相对比较简单，我们先来介绍基础的方法 解法一：

根据食堂规定：2人一个小碗，3人2个中碗，5人3个大碗 则表示1个人占用了1/2个小碗，2/3个中碗，3/5个大碗 则一个人需要（1/2+2/3+3/5）=53/30个碗。1060个碗中有1060÷53/30＝600个 说明就有600个人 解法二：

我们看2，3，5的最小公倍数是30 ，那么我们看30人需要30÷2＝15个小碗，30÷3×2＝20个中碗，30÷5×3＝18个大碗。则30个人总共需要15＋20＋18＝53个碗，1060中有多少53个碗 就有多少个30人，1060÷53＝20 则总人数是20×30＝600人 58－1. 某品牌啤酒可以用3个空瓶再换回1瓶啤酒，某人买回10瓶啤酒，则他最多可以喝到（）瓶啤酒？ A 13 B 14 C 15 D16 58－2. 5个空瓶可以换1瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水多少瓶？

――――――――――――― 【天字一号解析】 部兑换出去了 644/5=128.8 这里注意 因我们看看这161里面有多这2道题目是同属姐妹题。 所以我们实际上就是看10为存在借酒瓶的问题。所以少个 58－1这道题目 是通过3个空瓶可以换多少酒瓶里碰到小数不管是多少 直接161/6=26 余数是5 个空瓶去换1瓶啤酒。这里面的酒 10/2=5瓶 进一 所以答案是129 (26＋5)/6=5 余数是 1 需要了解的是 存在酒瓶相答案就是10＋5＝15 或者你可以采用“求余反(5＋1)/6=1 差1个的情况下可以借空再看58－2， 商”的方法 实际上就是多喝了 26＋5瓶的说法。 3空瓶＝1瓶酒 我们先知道了 总共喝了我们知道5个空瓶换一个。 ＋1＝32瓶 我们发现这换来的1瓶酒 161瓶。 还知道空瓶换酒那么实际上这个同学是喝原来购买的就是161－32＝也有一个酒瓶 实际上我们是 4个空瓶换1瓶酒。假掉了161个空瓶的汽水。 129瓶！ 发现是2个空瓶换了一瓶设原来是购买了a瓶酒。根应该说 5个空瓶跟换来的酒（不含瓶子） 而最重的据上述推理 我们可以得到 1瓶看作一组 就是5＋1＝结果也是不留任何空瓶全a＋a/(5-1)=161 解得 a＝6个瓶子。

59. 甲乙2人相约中午12点至1点钟见面，并约定“第一人到达后可以在等第二人15分钟后不见人来就可离去。”假设他们都以各自设想的时间来到见面地点，则他们2人能见上面的机率有多大？ A.1/16; B.1/4; C.3/8; D.以上三者均不对 ―――――――――――――――

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【天字一号解析】我们先看这个图形：

我们可以将概率问题转换为计算图形面积问题。 x，y坐标表示2个人等待的时间时刻。 中间部分构成的就是其相交的面积

真个面积 我们把一个单位看作15分钟， 那么整个面积就是4×4＝16个单位。 其中相交的部分就是中间斜着的部分 面积是1×1+根号2×3根号2＝1＋6＝7 所以 概率是 7/16

60. 将50个苹果分成相同的3堆，每堆至少1个，有多少种分法？ A 200 B 208 C 216 D 243 ---------------------- 【天字一号解析】

这个题目 我们可以先将其看作插孔法来研究

那么就是 C49取2＝1176 事实上插孔法是针对的不同组不同分类的情况来做的，这里是相同的堆。所以计算重复了我们按照三个堆各不相同为标准，如果三个各不相同，那么插孔法得到的结果就是P33＝6种，但是这个题目里面插孔法得到的情况有些不是6种的，下面我们就对这些不是6种的情况进行研究。 努力把这些情况恢复到6种， 事实上因为不去分组，所以的6种情况都是一样的，所以除以6就是我们需要的结果

1，1，48 50/2=25 所以一共少算了 24所以我们每组都需要2，2，46， 所以直到 ×3＝72 扣除6种情况变为13，3，44 24，24，2 按照标准情况来看应种 因为不区分组 4，4，42 这样的情况少算了 该是 1176＋72＝所以答案是 .。。。。。 P33-P33/P22=3次 1248种 1248/P33=208种

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