(上海版)高三数学(第04期)名校试题分省分项汇编-专题05.数列、数学归纳法与极限-理(含解析)

一．基础题组

1. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，()n S n N *∈表示数列{}n a 的前n 项和，则2lim 1

n n S n →∞=- ．

2. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】如果函数x x f a log )(=的图像过点1,12P ?? ???，2lim()n

n a a a →∞+++???=________.

3. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】设数列{}n a ，以下说法正确的是（ ）

A ．若2=4n n a ，*n N ∈，则{}n a 为等比数列

B ．若221n n n a a a ++?=，*n N ∈，则{}n a 为等比数列

C ．若2m n m n a a +?=，*,m n N ∈，则{}n a 为等比数列

D ．若312n n n n a a a a +++?=?，*n N ∈，则{}n a 为等比数列

【答案】C

【解析】

4.【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】等差数列{}n a的

通项公式为28

n

a n

=-，下列四个命题．

1

α：数列{}n a是递增数列；2α：数列{}n na是

递增数列；

3

α：数列n

a

n

??

??

??

是递增数列；

4

α：数列{}2n

a是递增数列．其中真命题的

是．

5.【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】已知数列{}n a是

首项为

1

a，公差为(02)

d dπ

<<的等差数列，若数列{cos}

n

a是等比数列，则其公比为（）

.A1.B1-.C1±.D2

6. 【上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试题】已知等差数列{}*

(N)

n

a n∈

的公差为3，1

1

-

=

a，前n项和为

n

S，则

n

n

n S

na

∞

→

lim的数值是．

7. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】已知首项3

1

=

a的无穷等比数列{}n a)

(*

N

n∈的各项和等于4，则这个数列{}n a的公比是．

8. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】

2

135(21)

lim

331

n

n

n n

→∞

++++-

=

++

．

二．能力题组

1. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】定义函数

}}

{

{

)

(x

x

x

f?

=，其中}

{x表示不小于x的最小整数，如2

}4.1{=，2

}3.2

{-

=

-．当

]

,0(n

x∈（*

N

∈

n）时，函数)

(x

f的值域为

n

A，记集合

n

A中元素的个数为

n

a，则

=

??

?

?

?

?

+

+

+

∞

→

n

n a

a

a

1

1

1

lim

2

1

________________．

2. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】设函数)

(x

f

y=

的定义域为D，若对于任意1x、D

x∈

2

，当a

x

x2

2

1

=

+时，恒有b

x

f

x

f2

)

(

)

(

2

1

=

+，则称点)

,

(b

a为函数)

(x

f

y=图像的对称中心．研究函数3

sin

)

(-

+

=x

x

x

fπ的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到

?

?

?

?

?

+

?

?

?

?

?

+

+

?

?

?

?

?

+

?

?

?

?

?

2014

4027

2014

4026

2014

2

2014

1

f

f

f

f 的值为……………………（）

A．4027B．4027

-C．8054D．8054

-

3. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】已知二次函数

2

() ()

f x x ax a x R

=-+∈同时满足：①不等式()0

f x≤的解集有且只有一个元素；②在

定义域内存在

120x x <<，使得不等式12()()f x f x >成立．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()n S f n =．规定：各项均不为零的数列{}n b 中，所有满足10i i b b +?<的正整数i 的个数

称为这个数列{}n b 的变号数．若令1n n

a b a =-

（*n N ∈），则数列{}n b 的变号数等于 ． 4. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】以()m ,0间的整数()N m m ∈>,1为分子，以m 为分母组成分数集合1A ，其所有元素和为1a ；以()2,0m 间的整数()N m m ∈>,1为分子，以2

m 为分母组成不属于集合1A 的分数集合2A ，其所有元素和为2a ；……，依次类推以()n m ,0间的整数()N m m ∈>,1为分子，以n m 为分母组成不属于121,,,n A A A -???的分数集合n A ，其所有元素和为n a ；则12n a a a ???+++=________.

【答案】12

n m - 【解析】

试题分析：依题意可得112

m a -=.因为以2m 为分母组成属于集合1A 的元素为2222(1),,,m m m m m m m -???即12(1),,,m m m m

-???.所有这些元素的和为1a .所以221212(1)m a a m ++???+-=-.即212212(1)m a a m

++???+-=+同理3123312(1)m a a a m ++???+-=++.…. 12312(1)n n n

m a a a a m ++???+-=+++???+.所以可

得1

2n a a a ???+++=12

n m -. 考点：1.数列的求和.2.估算的思想.3.分类讨论的数学思想.

5. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足01

n a b 41-=（*N n ∈），则数列{}n b 的变号数为 .

6. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】 已知定义在[)+∞,0上的函数)(x f 满足)2(3)(+=x f x f .当[)2,0∈x 时x x x f 2)(2

+-=.设)(x f 在[)n n 2,22-上的最大值为n a ，且数列}{n a 的前n 项和为n S ，则=∞

→n n S lim . （其中*N n ∈）

考点：1.函数的性质.2.数列的通项.3.函数的最值.4.极限问题.

7. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】已知数列{}n a ，

对任意的*k ∈N ，当3n k =时，3

n n a a =；当3n k ≠时，n a n =，那么该数列中的第10个

2是该数列的第 项．

8. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】函数

2

1(2)

y x

=-+图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能

．．．成为公比的数是-------------------- （）

A．

2

3

B．

2

1

C．

3

3

D．3

三．拔高题组

1. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数5

n≥）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：()()()

2,11,11,2

f f f

=+；(),

f i j为数表中第i行的第j个数．

（1）求第2行和第3行的通项公式()

2,

f j和()

3,

f j；

（2）证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求(),1

f i关于i

（1,2,,

i n

=）的表达式；

（3）若()()()

,111

i

f i i a

=+-，

1

1

i

i i

b

a a

+

=，试求一个等比数列()()

1,2,,

g i i n

=，使

得()()()

12

1

12

3

n n

S b g b g b g n

=+++<，且对于任意的

11

,

43

m

??

∈ ?

??

，均存在实数λ，当nλ

>时，都有

n

S m

>．

()()

()()()()()

()()()

1,11,21,11,2,12,22,13,13,2,1f f f n f n f f f n f f n f n --- 试题解析：（1）()()()()()2,1,1,121,4841,2,,1f j f j f j f j j j n =++=+=+=-

()()()()()()3,2,2,122,8284816161,2,

,2f j f j f j f j j j j n =++=+=++=+=-．----（3分）

132113n m +?+>-23log 1113n m ???>-- ?-??

， 令λ=23log 113m ??- ?-??

，则当n λ>时，都有n S m >， ∴适合题设的一个等比数列为()2i g i =．------------------------------------（18分）

考点：（1）等差数列的通项公式；（2）由递推公式求通项公式；（3）数列的和与不等式综合

问题．

2. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】设数列}{n a ，}{n b ，}{n c ，已知41=a ，31=b ，51=c ，n n a a =+1，21n n n c a b +=

+，2

1n n n b a c +=+（*N ∈n ）．

（1）求数列}{n n b c -的通项公式；

（2）求证：对任意*N ∈n ，n n c b +为定值； （3）设n S 为数列}{n c 的前n 项和，若对任意*N ∈n ，都有]3,1[)4(∈-?n S p n ，求

实数p 的取值范围．

试题解析：（1）因为n n a a =+1，41=a ，所以4=n a （*N ∈n ）， …………………

（１分）

所以222421+=+=+=+n n n n n c c c a b ，22

21+=+=+n n n n b b a c ，

3. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】平面直角坐标

系xoy 中，已知点(,)n n a (*)n N ∈在函数(2,)x y a a a N =∈≥ 的图像上，点(,)n n b

(*)n N ∈在直线(1)y a x b =++ ()b R ∈上．

（1）若点1(1,)a 与点1(1,)b 重合，且22a b <，求数列{}n b 的通项公式；

（2）证明：当2a =时，数列{}n a 中任意三项都不能构成等差数列；

（3）当1b =时，记{}|,n A x x a n N *==∈ ，{}

|,n B x x b n N *==∈

，设C A B =，将集合C 的

元素按从小到大的顺序排列组成数列{}n c ，写出数列{}n c 的通项公式n c ．

【答案】（1）31n b n =-；（2）参考解析；（3）2(*)n n c a n N =∈ 【解析】

(3)当1b =时,设0m C ∈,则0m A ∈,且0m B ∈,设0()t m a t =∈*N ,0(1)1()m a s s =++∈*N ,

则(1)1t

a a s =++,所以11t a s a -=+, 因为,,a t s ∈*N ,且2a ≥,所以1t a -能被1a +整除.

○1当1t =时,

1

1a s a -=?+*N ； ○2当2()t n n =∈*N 时,222121[(1)1]1(1)(1)11n n n n a a a C a -=+--=++-++-, 所以t a b -能被1a +整除.

4.【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上

一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车

．．．的牌照的数量维持在这一年的水平不变．

（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{}n a，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{}n b，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；

（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张1

10

a=

2

9.5

a=

3

a=

4

a=…………

1

2

b=

2

b=3

3

b=

4

b=…………

【解析】

试题分析：（1）由题意，数列{}n a先按等差数列进行递减，直到为零为止，是一个分段函数. 数列{}n b先

-≈≤≤……………………13分

3431316.3021

n

∴到2029年累积发放汽车牌照超过200万张．…………………………14分

考点：求数列通项 5. 【上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试题】已知数列{}n a 满足n n n n n n a a a a a 3,)1(,12121221+=-+==+-(*N n ∈)．

(1)求753a a a 、、的值；

(2)求12-n a (用含n 的式子表示)；

(3) (理)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S (用含n 的式子表示)． 试题解析：(1) n n n n n n a a a a a 3,)1(,12121221+=-+==+-(*N n ∈)，

1211324325465376(1)0,

33,

14,

313,

112,

339.a a a a a a a a a a a a ∴=+-==+==+==+==-==+=

01当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++

++

1

2

2

(32)(32)(32)n =-+-++-

233

322n n =?--． 02当n 为奇数时，123421()()()n n n n S a a a a a a a --=++++

+++

111

2

2

1

2

2

3

(1)(32)(32)(3

2)12

n n n ++---=-+-+

+-+

-

112

2

3(1)3

22

n n n ++-=---

．

综上，有2

*1

12

2333,22(N )3(1)3.22

n n n n n n S n n n ++??--??

=∈??----

??为偶数为奇数 考点：（1）数列的项；（2）数列的通项公式；（3）数列的前n 项和与分组求和.

6. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】设各项都是正整数的无穷数列{}n a 满足：对任意*N n ∈，有1+

（1）若数列{}n a 是首项11a =，公比2=q 的等比数列，求数列{}n b 的通项公式；

（2）若n b n 3=，证明：21=a ；

（3）若数列{}n a 的首项11a =，1+=n a n a c ，

{}n c 是公差为1的等差数列．记n n n a d ?-=2，n n n d d d d S ++++=-121 ，问：使5021>?++n n n S 成立的最小正整数n 是否存在并说明理由．

试题解析：（1）1111a b a a ===，

2

42112211--====--n a n n n n a a b ；

7. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】已知曲线C 的方程为24y x =，过原点作斜率为1的直线和曲线C 相交，另一个交点记为1P ，过1P 作斜率为2的直线与曲线C 相交，另一个交点记为2P ，过2P 作斜率为4的直线与曲线C 相交，另一个交点记为3P ，……，如此下去，一般地，过点n P 作斜率为2n

的直线与曲线C 相交，

另一个交点记为1+n P ，设点),(n n n y x P （*n ∈N ）． （1）指出1y ，并求1n y +与n y 的关系式（*n ∈N ）；

（2）求{}21n y -（*n ∈N ）的通项公式，并指出点列1P ，3P ，…，12+n P ，… 向哪一点无限接近说明理由；

（3）令2121n n n a y y +-=-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，设1

314n n b S =+，求所有可能的乘

积(1)i j b b i j n ?≤≤≤的和． 试题解析：（1）14y =． …………………………………………………………（1分）

设(,)n n n P x y ，111(,)n n n P x y +++，由题意得 221111442n n n n n n n n n

y x y x y y x x ++++??=??=??-?=-??． …………（2分） 114()2

n n n y y +?+=? …………………（4分）

………

矩阵B 中第n 行的各数和1

124444(41)3

n n n n n n n s ++++=+++=-，………（15分）从而矩阵B 中的所有数之和为21216(41)9n n s s s +++=-. ………………（16分）所有可能的乘积(1)i j b b i j n ?≤≤≤的和

()()()22422421164144444429n n n s ??=--+++++++????

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5yuq.html