焊接应力和变形的数值模拟研究

本文由fan_zou贡献

pdf文档可能在WAP端浏览体验不佳。建议您优先选择TXT，或下载源文件到本机查看。 焊接应力和变形的数值模拟研究 武汉理工大学 摘

要

焊接是一个牵涉到电弧物理、传热、冶金和力学的复杂过程。焊接现象包括焊接时的电 磁、传热过程、金属的熔化和凝固、冷却时的相变、焊接应力与变形等等。要得到一个高质 量的焊接结构必须控制这些因素。 一旦各种焊接现象能够实现计算机模拟， 我们就可以通过 计算机系统来确定焊接各种结构和材料时的最佳设计、 最佳工艺方法和焊接参数。 本文从这 一点出发，在总结前人的工作基础上结合数值计算的方法，对焊接过程产生的温度场、应力 场、变形以及焊后的残余应力和变形进行了三维实时动态模拟的研究，提出了基于ANSYS软 件的焊接温度场、应力和变形的模拟分析方法，并针对平板堆焊问题进行了实例计算，而且 计算结果与传统的分析结果和理论值相吻合。 由于焊接是一个局部快速加热到高温，并随后快速冷却的过程。随着热源移动，整个焊 件的温度随时间和空间急剧变化， 材料的物理性能参数也随温度剧烈变化， 同时还存在熔化 和相变时的潜热现象。因此，焊接温度场的分析属于典型的非线性瞬态热传导问题.因为焊 接温度场分布十分不均匀， 在焊接过程中和焊后将产生相当大的焊接应力和变形。 焊接应力 和变形的计算中既有大应变、大变形等几何非线性问题又有弹塑性变形等材料非线性问题。 虽然 焊 接 温度场与应力应变场是双向祸合的，由于应力应变场对温度场的影响非常 小，加上计算条件的限制，所以本文只考虑温度场对应力应变场的影响这一单向藕合。在模 拟计算时，采用ANSYS软件的热一结构藕合功能，利用间接法，先计算焊接温度场，温度场 模拟准确之后保存其结果，再进行焊接应力和变形的计算。 模拟计算中一个最大的问题就是计算时间过长，分析其原因主要有三点： (1 ) 严重的材料和几何非线性导致求解过程收敛困难; (2 ) 三维模型中自由度数目庞大; (3 ) 因热源移动需采用多步载荷进行计算。 为了解决这一问题并提高计算精度， 本文对高温时材料的物理性能参数进行了适当的选 取和处理;采用过渡网格划分形式划分网格以保证焊缝处网格足够细小;选取高斯函数分布 的热源模型，利用 ANSYS 软件的 APDL(ANSYS Parametric Design Language)语言编写程序 实现移动热源的加载，选取适当的的计算时间步长;采用“生死单元”法模拟熔池金属的熔 化和凝固。 通过研究和算例验证， 本文建立了可行的三维焊接温度场、 应力和变形的动态模拟分析 方法，为复杂焊接结构进行三维焊接温度场、应力和变形的分析提供了理论依据和指导，促 进了有限元分析技术在焊接力学分析以及工程中的应用。

关键词：焊接 有限元 数值模拟 温度场 应力变形。 Abstract

Welding is a complicated physicochemical process which involves in electromagnetism, heat transferring, metal melting and freezing, phase-change, welding stress and deformation and so on. In order to get high quality welding structure, we have to control these factors. If welding process can be simulated with computer, we will easily determine the best design, procedure method and optimum welding parameter. Based on summing up others' experience, employing numerical calculation method, this paper researches how to realize the 3D dynamic simulation of welding temperature field, stress field and welding deformation when weldment is been welding and welding residual stress and residual deformation when weldment is cooled, then uses the research result to simulate the welding process of board

surfacing. At the same time, the calculation result accords with traditional analysis results and theory results. Welding process is that parts of an area is quickly heated to high temperature and then rapidly cooled. With the heat source moving, the whole weldment's temperature sharply changes, and the material's physical property parameters also sharply change. At the same time, there is latent heat of melt and phase-change. Therefore, the analysis of welding temperature field is a typical nonlinear transient heat conduction problem. Because of non-uniform temperature distribution, at the course of welding and postweld, weldment takes on serious welding stress and deformation. Calculation of welding stress and deformation includes geometrical nonlinear problem and material nonlinear problem. Although welding temperature field and stress, strain field are bi-directional couple, because stress and strain field have little influence on temperature field, this paper only considers the single couple which temperature field effects on stress and strain field. When calculating, through ANSYS' thermal-structure couple function, firstly calculate welding temperature field and save the result, then use the temperature result as load to calculate welding stress and deformation. The most important problem, we have to face when calculating, is that the counting time is too long. There are three reasons: 1) Serious material and geometrical nonlinear result in difficult solving convergence. 2) 3D model has enormous degree of freedom. 3) Have to employ multi-step load for moving heat source. In order to solve the problem and improve solution accuracy, this paper chooses suitable material property parameter, uses transition mesh, chooses Gauss function heat source model, uses ANSYS' APDL (ANSYS Parametric Design Language) to compile program to apply load of moving heat source, chooses suitable time step, uses the method of \and death\method to simulate the weld pool's melting and freezing Through research and practical verify, this paper establishes a feasible dynamic simulation method on 3D welding temperature field, stress and deformation, which provides theory foundation and instruction, promotes the application of FEM (Finite Element Method) on welding mechanics analysis and engineering. Keywords:? welding, finite element, numerical simulation, temperature field, stress and deformation. 武汉理工大学硕士学位论文 第１ 章 引 言

１１ ． 课题意义

我国的焊接技术在工业中应用的历史虽然不长， 但却发展非常迅速。 由 于焊接方法经济、 灵活； 采用焊接结构与铆接结构相比， 能简化结构的构造 细节，节约材料，提高生产效率，改善工人劳动条件。因此，目 前，船舶、 机车、车辆、桥梁、锅炉等工业产品，以及能源工程、海洋工程、航空航天 工程、石油化工工程、大型厂房、 高层建筑等重要结构，无一不采用焊接结 构。 焊接结构有自己的特点， 只有正确地认识切实地掌握它的特点， 才能设

计制造出性能 良好、 经济指标高的焊接结构。 历史上许多焊接结构失效的事 例追其根源， 多数与未考虑焊接结构的 特点有关１ １ １

焊接结构一个很明显的特点是有较大的焊接应力和变形。 由于焊接生产 中， 绝大部分焊接方法都采用局部加热， 以不可避免地将产生焊接应力和 所 变形。 焊接应力和变形不但可能引起热裂纹、 冷裂纹、 脆性断裂等工艺缺陷， 而且在一定条件下将影响结

构的承载能力，如强度，刚度和受压稳定性。除

此以外还将影响到结构的加工精度和尺寸稳定性。 因此， 在设计和施工时充 分考虑焊接应力和变形这一特点是十分重要的 １ 可见，对焊接应力和变 【２ １。 １ 形进行计算和分析有很重要的现实意义。而焊接过程中局部集中的热输入， 使焊件形成非常不均匀、 不稳定温度场。 温度场不仅直接通过热应变， 而且 还间接通过显微组织变化引起相变应变决定焊接残余应力。 因此， 温度场的 分 是 接 和 形 前 ［ 析 焊 应力 变 分析 提３ １

以往， 对焊接温度场、 应力和变形的分析都是通过实验的方法测量并采 集数据， 进行定量的分析。由于受实验各方面的限制， 所得数据的精确度并 不高而且浪费大量的人力、物力和时间。虽然这类 问题可通过解析方法， 解 某些特定的微分方程组来进行定量计算， 然而， 只有在十分简单的情况下并 且作许多简化的假设， 才有可能求得这些方程闭和的解析解。 而实际的焊接 问题多种多样， 边界条件十分复杂， 用解析方法来求解这类微分方程是十分 困难的。在高速电子计算机发展的今天，大多采用数值模拟的方法［ ［ ３ １

武汉理工大学硕士学位论文 第１ 章 引 言

１１ ． 课题意义

我国的焊接技术在工业中应用的历史虽然不长， 但却发展非常迅速。 由 于焊接方法经济、 灵活； 采用焊接结构与铆接结构相比， 能简化结构的构造 细节，节约材料，提高生产效率，改善工人劳动条件。因此，目 前，船舶、 机车、车辆、桥梁、锅炉等工业产品，以及能源工程、海洋工程、航空航天 工程、石油化工工程、大型厂房、 高层建筑等重要结构，无一不采用焊接结 构。 焊接结构有自己的特点， 只有正确地认识切实地掌握它的特点， 才能设

计制造出性能 良好、 经济指标高的焊接结构。 历史上许多焊接结构失效的事 例追其根源， 多数与未考虑焊接结构的 特点有关１ １ １

焊接结构一个很明显的特点是有较大的焊接应力和变形。 由于焊接生产 中， 绝大部分焊接方法都采用局部加热， 以不可避免地将产生焊接应力和 所 变形。 焊接应力和变形不但可能引起热裂纹、 冷裂纹、 脆性断裂等工艺缺陷， 而且在一定条件下将影响结构的承载能力，如强度，刚度和受压稳定性。除

此以外还将影响到结构的加工精度和尺寸稳定性。 因此， 在设计和施工时充

分考虑焊接应力和变形这一特点是十分重要的 １ 可见，对焊接应力和变 【２ １。 １ 形进行计算和分析有很重要的现实意义。而焊接过程中局部集中的热输入， 使焊件形成非常不均匀、 不稳定温度场。 温度场不仅直接通过热应变， 而且 还间接通过显微组织变化引起相变应变决定焊接残余应力。 因此， 温度场的

分 是 接 和 形 前 ［ 析 焊 应力 变 分析 提３ １

以往， 对焊接温度场、 应力和变形的分析都是通过实验的方法测量并采 集数据， 进行定量的分析。由于受实验各方面的限制， 所得数据的精确度并 不高而且浪费大量的人力、物力和时间。虽然这类 问题可通过解析方法， 解 某些特定的微分方程组来进行定量计算， 然而， 只有在十分简单的情况下并 且作许多简化的假设， 才有可能求得这些方程闭和的解析解。 而实际的焊接 问题多种多样， 边界条件十分复杂， 用解析方法来求解这类微分方程是十分 困难的。在高速电子计算机发展的今天，大多采用数值模拟的方法［ ［ ３ １

武汉理工大学硕士学位论文

数值模拟的方法有很多种，如差分法、有限元法、数值积分法、蒙特卡 洛法

等。 特别是有限元法， 己广泛的用于焊接热传导、 现 焊接热弹塑性应力 和变形分析的研究。 但是以前， 用有限元的方法进行数值模拟， 都是 自己编 写计算机程序。 虽然对于某一特定问题进行编程计算时， 各种问题可以进行 灵活处理， 不受任何限制，但工作人员的大部分时间都浪费在编写程序，以 及采用各种方法尽量加快程序计算的速度上。随着计算机软、硬件的发展，

计算机的速度、 容量的大大提高， 现在已有了许多性能较好， 使用性广泛的 有限元程序软件如：Ａ Ｓ Ｓ Ｍ Ｒ ， ＩＡ等等，这为研究人员提供了 Ｎ Ｙ ， Ｃ Ａ Ｎ Ａ Ｄ 很好的模拟计算工具。 本文就是利用大型通用的有限元软件 Ａ Ｓ Ｓ Ｎ Ｙ 对焊接温度场、 应力场和 变形进行了计算机的三维实时动态数值模拟， 得到任何时刻、 任何点的焊接 应力、变形的具体计算数值，这无论是对焊接设计还是工艺都很有价值。 １２ ． 本课题的国内外动态 １２１ ．． 焊接热分析的研究进展

焊接温度场的准确计算或测量， 是焊接冶金分析和焊接应力、 应变热弹 塑性动态分析的前提。关于焊接热过程的分析，苏联科学院的Ｒｋｌ 院士 ｙａｎ ｉ 对焊接过程传热问题进行了系统的研究， 建立了焊接传热学的理论基础。 为 了求热传导的微分方程的解， 他把焊接热源简化为点、 线、面三种形式的理 想热源，且不考虑材料热物理性质随温度的变化 以及有限尺寸对解的影响。 实际上焊接过程中除了包含由于温度变化和高温引起的材料热物理性能和

变化而导致传热过程严重的非线性外 ， 还涉及到金属的熔化、 凝固以及液固 相传热等复杂现象，因此是非常复杂的。由于这些假定不符合焊接的实际情 况， 因此所得的解与实际测定有一定的偏差， 尤其是在焊接熔池附近的区域，

误 很 ， 这 又 恰 研 者 为 心 部 ［ ］６１ 差 大 而 里 恰 是 究 最 关 的 位ｔ［］ ］５［ ［］７ ４［

Ａａ ｓ ｄｍｅ、木原博和稻埂道夫等人根据热传导微分方程 ，以大量的实验

为基础， 积累了不同材质、不同厚度、不同焊接线能量以及不同预热温度等 测量数据，然后从传热理论的有关规律出发，经过整理、归纳和验证，最后 建立 了不同情况下的焊接传热公式 。这种方法 比前者采用数学解析法要准 武汉理工大学硕士学位论文

确， 但实验的工作量很大， 有确定的应用条件和范围， 且可靠性取决于测试 手 的 度４ 段 精 １ ］

１６ 年 Ｗｉｏ 和 ｉ ｌ ｌ ｎ Ｎｃｅ 首次把有限元法用于固体热传导的分析计算 ９６ ｓ ｋｌ

中。 到了二十世纪 ７ 年代， ０ 有限元法才逐渐在焊接温度场的分析计算中使 用。１７ 年。加拿大的Ｐｌ 和Ｈｂｅ 在发表的文章中， ９５ ｏｙ ｉ ｒ ｅ ｂｔ 介绍了 利用有限

元法研究焊接温度场的工作，编制了可以分析非矩形截面以及常见的单层、 双层 Ｕ， Ｖ型坡 口的焊接温度场的计算程序， 证实了有限元法研究焊接温度 场的可行性。 之后国内外众多学者进行了这方面的研究工作。Ｋ ｕ 在 １７ ｒ ｚ ９６ ｔ 年的博士论文中专门研究了利用焊接温度场预测接头强度问题， 其中分析了 非线性温度场，在二维分析模型中，假定电弧运动速度比材料热扩散率高，

因而传到电弧前面的热量输出量相对比较小， 从而忽略了在电弧运动方向的

传热， 这实际 上与Ｒｋ ｉ高 ｙａｎ 速移动 ｌ 热源公 式的处 理方法是 一致的４１ ［７ １ ［

西安交通大学的唐慕尧等人于 １８ 年编制了有限元热传导分析程序， ９１ 进行了薄板焊接准稳态温度场的线性计算， 其结果与实验值吻合。 随后上海 交通大学的陈楚等人对非线性的热传导问题进行了有限元分析， 建立了焊接 温度场的计算模型， 编制了相应的程序， 程序中考虑了材料热物理性能参数 随温度的变化以及表面散热的情况， 能进行固定热源或移动热源、 薄板或厚 板、准稳态或非准稳态二维温度场的有限元分析。并在脉冲 ＴＧ 焊接温度 Ｉ 场以及局部干法水下焊接温度场等方面进行了实例分析［９１。 ［ １ １ 对于三维问 ８［ １ ０ ［ 题，国内外也是近十年来才刚开始研究。其原因是焊接过程温度梯度很大， 在空间域内， 大的温度梯度导致严重材料非线性， 产生求解过程的收敛困难 和解的不稳定性； 在时间域内， 大的温度梯度决定了必须在瞬态分析时在时 间 域内的离散度加大，导致求解时间步的 增加［ 。国内 １ ｌ ］ 上海交通大学汪建 华Ｘ［等人和日 ３３ ７８ ］１ 本大阪大学合作对三维 焊接温度场问 题进行了 一系列的有

限元研究， 探讨了焊接温度场的特点和提高精度的若千途径， 并对几个实际 焊接问 题进行了三维焊接热传导的有限 元分析 ［ ［［ １ １１ ２３４ ］ ］１蔡洪能等人在建立

了运动电弧作用下的表面双椭圆分布模型基础上研制了三维瞬态非线性热 传导问题的有限元程序， 程序中利用分析节点热烩的方法对低碳钢 Ｃ 钢 ） Ａ ３

板 焊 温度 行了 算， 算 和实 值吻 得很 ［７１ 的 接 场进 计 计 结果 验 合 好４］ ］［ ［９ 武汉理工大学硕士学位论文

１ ．焊 应 和 形的 究 展３１ ． ２ 接 力 变 研 进 ‘１ ２ １ （１ ４ ７ 焊接过程中应力和变形的研究工作始于二十世纪三十年代， 但是研究工 作只能是定性的和实测性的。 二十世纪五十年代， 前苏联学者奥凯尔布洛母 等人在考虑材料机械性能与温度之间的相互依赖关系的情况下， 用图解的形 式分析了焊接过程的热弹塑性性质及其动态过程， 并分析了一维条件下对焊 接应力和变形的影响。 六十年代，由于计算机的推广应用， 对焊接应力和变 形的数值模拟才发展起来。 ９１ Ｔｌ １６ 年， ａ 等人首先利用计算机对焊接热应力 ｌ 进行计算，编制了一套沿板条中线进行堆焊的热应力一维分析程序。１７ ９１ 年，Ｉａｉ ｗ ｋ 编制了可用于分析板平面堆焊热应力的二维有限元程序，后来

Ｍ ｒｉ ｕ ｋ 对它做了重大改进，扩大了这个二维程序的功能，使之可用于对接 ａ 焊和平板堆焊过程的热应力分析。 日本的上田幸雄等人以有限元为基础， 应 用材料性能与温度相关的热弹塑性理论， 导出了分析焊接热应力所需的各表 达式。此后美国的Ｈ Ｄ Ｈｂｅ ， Ｆ Ｒｂｃｉ Ｙ Ｉａ ｕ ． ｉ ｒ Ｅ ． ｌｋ， ｗ ｍ ｋ以及美国 ． ｂ ｔ ． ｙ ｉ ． Ｍ Ｔ的 Ｍａ ｂｃｉ Ｉ ｓ ｕｈ 等在焊接残余应力和变形的预测和控制方面进行了许多 ｕ 研究工作【 Ｑ ｄｒ ｎ分析了 １ ｎｅ ｏ ５Ａ ｓ ］ 平板埋弧焊时的热应力， 并考虑了 相变的 影 响。 进入二十世纪八十年代， 有限元技术日 益成熟， 人们对焊接应力和变形 过程及残余应力的分布规律的认识不断深入。１８ 年 Ｊｓ ｓｎ等人通过大 ９５ ｏｅ ｏ ｆ

量的数值计算， 进一步提高了预测焊缝周围残余应力分布的精度， 同时考虑

了定位焊对残余应力分布的影响。 ｏｅ ｏ 对薄壁管件焊接残余应力以及回 Ｊｓ ｓｎ ｆ

火去应力过程的应力分布情况进行了研究， 并探讨了一些调整焊接残余应力

的措施【 。 １ 进入九十年代，随着计算机性能的进一步提高，对焊接应力和 ６ ］ 变形的研究更深入。 ９ １ Ｍａｉ等人在研究中考虑了藕合的热应力问题， １９ 年 ｈ

３３２ ． 有限元基本方程【３３ ． ３２３ １１１ ［（

焊接是一个局部快速加热到高温， 并随后快速冷却的过程。 随着热源的 移动， 整个焊件的温度随时间和空间急剧变化， 材料的热物理性能也随温度 剧烈变化，同时还存在熔化和相变时的潜热现象。因此， 焊接温度场分析属 于典型的非线性瞬态热传导问题。 非线性瞬态热传导问题的控制方程为：

ｃ — ｐ

ａ ａ ． Ｔ ａ ， ａ ， ， ａ ， 、 Ｔ ａ ， ． Ｔ ａ ． Ｔ ａ ａ ａ ’ ａ ｔ ｘ’ ｘ ｙ’即 ’ ａ ａ ’ 一 ｚ’ ｚ

＝— ｔ 凡— ） 十— 兀 凡— ） 十— 《 凡－ １ ＋Ｖ

（一） ３１

式中： 。 为材料比 热容；Ｐ 为材料密度；Ａ 为导热系数； Ｔ 为温度场 分布函数；Ｑ 为内热源； 为传热时间。 ｔ 这些参数中Ａ ｐ 。 ， 都随温度变化。 ， 焊接温度场的计算通常用到以下两类边界条件： １ ）己知边界上的热流密度分布

Ａｘ ， － Ａ ｎ ｘ ＋

－ ， ＋ ａ ． ｓ ， 几ｚ （， ｔ ｎ ４ Ｘｙｚ） （－ ３２）

２ ）己知边界上的物体与周围介质间的热交换

兄 ｎａ ｎＡ ” ａ｀， ， ａ ＋ Ｙ －一 ｘ ａ＋ ｘ ｙ 弦。

／Ｔ一 ３ Ｔ） （

（－ ３ ３）

式中： Ｒ为单位面积上的外部输入热源；Ｐ ， 为表面换热系数；Ｔ 为周 围 质 度；兀 知 界 温 ｎ 为边界外法线的方向余 介 温 为已 边 上的 度， ｘ ｎ 、ｙｎ ，二

３３３ ． 非线性瞬态热传导的有限元分析〔４８ ． ３１］ １［ ［２ 由于焊接温度场的分析是典型的非线性瞬态热传导问题， 而这类问题的 求解特点是在空间域内用有限单元网格划分， 而在时间域内则用有限差分网 格划分。

． 空间域的离散

在采用有 限元法求解焊接热传导 问题时， 常把 一个求解微分方程 问题 通 武汉理工大学硕士学位论文

转化为求解泛涵极值的变分问题， 然后对物体进行有限元分割， 把变分问题 近似地表达成线性方程组， 求解该方程组便可得到热传导问题 的解。 但是对 于非线性问题有时很难找到相应的泛涵， 此时可采用加权残数法。 加权残数 法的基本思想是构造插值函数， 使得所要求解的微分方程的残余量在加权积 分意义下达到最小。 首 对 域 散， 形函 为卜 ， 元节 温 为｛ｅ 则 元内 先 空间 离 记 数 ｌ 单 点 度 Ｔ ， 单 ｝ 温度可表示为

采用加列金的加权残数法可求得如下方程 ：

Ｔ ［］｝ 一 ｛｀ Ｎ Ｔ （４ ３） － ［］］ ｝） Ｋ ＋景 一 Ｒ［ ｛｛ ＴＣ ＴＰ （－ ３ ５）

式 ［＝ ｀ ） 中 Ｋ Ｅ ． ｌ ］ ］［｀ 卜 ＋ ； Ｋ ｚ

［ 一 ［｀ Ｃ Ｙ］ ］－ ； ｃ

｛一（］ ｛｀Ｉｅ Ｐ Ｙ ｀Ｐ ＋３； ｝－ ＋２ ｌ ｛ Ｐ ｌ Ｐ） 区 飞 Ｊ

一（ Ｔ 「［ ＮＩ ａ ｂｌ ｘ ＂ ａ 飞 ．Ｊ

元 一盔． 巴十 ￣ ‘ ［ｌ ａ ］， ［］ ａ Ｎ ［Ｔ ａ Ｎ Ｎ －二－－已＋ 元一 即 ｏ ｌ ｙ

ａ］ａ］ ［ ，Ｎ Ｎ ｝ｚ ＂ Ｔ ［ ａ ｚ ａ 风

＝闪／］ Ｌ刃 ｄ ｆ ［Ｓ Ｎ； 工］［Ｖ ｖ ］； ［｝ ｄ ＮＰ Ｔ Ｎ ［ ， ｄ ； Ｐ 呵Ｑ 卜工 Ｖ

［ 一呵９ ； Ｐ 上 ｓ ２ ｄ ｌ ｀ Ｓ 目“Ｌ ］ Ｓ ｄ 一 ［／ ； Ｎ３ Ｔ Ｔ

式（５ 系 矩 ｌ导 矩 ， 称 温 刚 矩 。仁是 － 中 数 阵区为 热 阵 也 为 度 度 阵 ｝ 未 （ ） ３ 知 度 向 ［称 热 量 阵 护称 热 向 这 的 」 ［－ 温 值 量，Ｃ 为 容 矩 ， ｝ 为 流 量。 里 区 、Ｃ ］ ］ 武汉理工大学硕士学位论文

回都 温度Ｔ 关， 为 包 与 有 因 其中 括了． Ｐ 。 刀 不 常 而 温 １ ， 、 都 是 数， 是 度 ，

的函数，因而公式 （－）是一个非线性的微分方程组。 ３５ ． 时间域的离散

由 式 （ ５ 中 Ｋ ］ ｛ 是 知 的 数， 们 时 ） 的［ ， ， 都 未 量Ｔ 函 它 也随 间 于 ３ － ］ ［ Ｐ Ｃ ｝

而变化 （ 因温度Ｔ随时间变化） 这里采用加权差分法来对时间域进行离散。 ， 在每个时间步长 △ 内，对 （ ＋ ｔ ｔ ｔ Ａ ）点建立差分格式，Ｂ 是加权系数 （ ＜ ＿ ） Ｂ＜１ 。 ０ ＿

由泰勒级数展 开式可得

Ｉ（＇ Ｂ ｝０ （ ＢＴ ） ｔ Ｔ１） ｛＂｀ １ ）｝＋（＇ ｌ Ｔ ＇ ＋ 一 ｛＂ ０ ） ，＝ ｅ ， ４

旦“ ） ＆ ＋ ＂ ｝ Ｔ ｛ 亩 （｝ｅ一 ｝） ｔ ｛＂＇ ｛ ＂＋ ＇ Ｔ Ｔ ｏ ） ＋ ， （ ｅ

将 述 式 式（５ 对｛ 同 展 ， 得 ，△） 刻 入 ３ ） 并 Ｐ作 样 开 可 用 （＋， 时 上 二 代 －， ｝ 的 程 示的 ｛（ 定｛ ＋的 阵 程。 方 表 由Ｔ１ Ｔ ｅ 矩 方 ｝ ｒ ＇ ） 决 ） 。［１ ［Ｊ、｝＇（［Ｉ 一）ｅＴ， ｆ ＋＋一）｝ 上Ｃ＋“ ＢＴ＋一 “ Ｂ 。 ｈ｝ 。Ｖ＇（。 （ ｅＢ ｝ ＂，’ Ｃ一 ［ ｛ 十ｐ ｎ １ ｛！ Ｋｆ ｅ 上 （ Ｋ ＂ １ ） 尸， 、

ｔ Ｊ ４ “ 夕

式中，上角标。 表示矩阵［Ｂ， Ｂ是根据ｔ Ｏ ［］［］ Ｃ Ｋ 十Ｗ时刻的 温度Ｔ ） （ 代 ＂ ｔ ｆ

入而计算出来的， 经过以上步骤， 就将一个非线性微分方程组化为非线性的 代数方程组 。

（－ ３６）

在式 （－ ）中Ｂ ３ ６ 取不同的值，可得不同的差分格式： Ｂ１ ＝ 向后差分格式

Ｂ １ ｏ ｏ 格式 ＝／ ２ Ｃａｋ ｉ ｌ ｎ ｒ － ｃｓ ｎＮ

Ｂ２ ＝／ ３ 加列金格式 通常向后差分格式稳定而且不振荡， 计算时步长可取得较大， 但计算精 度稍差。 －Ｎ格式虽然是稳定的， Ｃ 计算精度也比较高， 但要求△值取得比 ｔ 较小， 否则容易出现衰减振荡。 加列金格式界于两者之间， 也是常用的差分 格式之一 。

式 （－）可简写为 ３６

［ ｛］｛） Ｈ］ ＝ Ｆ Ｔ （－） ３ ７

式中，［ ］ ｛｝ Ｈ ， 为温度Ｔ Ｆ 的函数。 武汉理工大学硕士学位论文 ． 非线性热传导方程 的解法

求解上述非线性方程组有许多方法，如直接迭代法、牛顿一拉普森法、 增量法、 极小化法 以及变步长外推法等。由于牛顿一拉普森法具有较好的收 敛性和较高的收敛率，使它成为求解各种类型非线性问题的重要近似方法。 在 Ａ Ｓ Ｓ中求解非线性问题时大多也选用这种方法。 ＮＹ 它的基本思想是用分段的线性代替非线性。

ｆ（） ［ （）Ｔ （（）＝ ｖＴ卜 Ｈ Ｔ］ ＦＴ） ｛卜 ０ （－） ３ ８ 点作一阶泰勒级数展开 将｛（） ， ｖＴ｝ 在Ｔ １ 气 ） ＝毛 左，圣 下二ｔ １ 少 少 ＝Ｕ 梦 Ｉ 少 少 １ ）＋二二 梦Ｌ）＇ 全 Ａ ｛

＿ 、 ， ＿、 ， 、 、 ａ ， ，、 ． ＿ 、， （－ ３ ９） ０ １全 １ 这样， 非线性方程在Ｔ附近变成近似的线性方程。 ， 最后可得 厂 △ 兀

＋ 一ｌ 叫 Ｌ

ａＴ ｛］

Ａ＿ ＝ ， Ｔ Ｔ， Ｔ 一 ，

｛，（ ／」Ｔ （一） ：’） ）ｗ ｝ ｛ 由式 （－）可得 ３８ （ － ０） ３１

０ Ｉ全 悦

二 二戈 Ｍ ｝ 二 丁Ｖ 叫仪 卜 水 出 ｔ Ｙ ａ ， ＿ 、 、＿ 二 、 ， 、 ＿ Ｌ 、 ，． （（） ｛｝ 〔 （ ） ｄＨ］ ｝ ｄＦ ｇＴ） Ｔ 二Ｈ］ Ｔ ＋ ［ ｛ 一 ｛ ｝ ｒ ｄ ｄ Ｔ

（ －１ ３１ ）

如果Ｒ 、Ｐ 、 ａ 、ｃ 都是温度Ｔ 的直接函数，则

ｄＨ］ ＝ ｄ ［ ｛ Ｈ） ］｛） ［ Ｔ Ａ ｄＦ ＝ Ｄ ｄＴ ｛ ］ ］｛］ ［ 这样可得到

（ － ２） ３１

ｆ （）二 Ｈ］ ［］ ［ ］ ｗＴ｝ ［ 斗Ａ 一Ｄ （ 一 ３） ３１

迭代过程如下：如果已 知第； 次近似值｛ ｝ 式 （－ ） （－） 界 ，由 ３ ２， ８ 分别 １ ３

算出ｆ（）， ］ ［， Ｈ ， 式 （－ ） （－ ） 未知向 ｗＴ ［ ， ］ ， 再由 ３ ３． １ 算出 ｌ ． Ｄ 和［ Ａ １ ３０ 量的 第： １ 值｛． ＝界 十Ａ， ，多次迭代直至收敛。 十次 界｝ ｛ ｝ ｛Ｔ， ｝ ， ｝

３４ ． 焊接应力和变形的分析理论［４８０ ３３ ３ ） ［ ［２３ ［ ） 由于高度集中的瞬时热输入， 在焊接过程中和焊后将产生相当大的焊接

一 一 一一 一一 一 丝 Ｔ 学 幸 位 文 一 － 一一 一茎 丝－ ａ学 论 水 应力和变形。 焊接应力和变形计算是以焊接温度场的分析为基础， 同时考虑 焊接区组织转变对应力应变场带来的影响。目前， 研究焊接应力和变形的理 论很多，如热弹塑性分析、固有应变法、 粘弹塑性分析、 考虑相变与热应力 藕合效应等。 热弹塑性分析是在焊接热循环过程中通过一步步跟踪热应变行 为来计算热应力和应变的。该方法需要采用有限元计算方法在计算机上实 现。 采用这种方法可以详尽地掌握焊接应力和变形的产生及发展过程。 随着 大型有限元软件的开发并取得了良 好的效果， 这种方法被越来越多的学者采 用。 本文也是基于此理论， 借助于有限元软件在计算机上实现对焊接应力和 变形的模拟研究的． ３４１ ．． 热弹塑性分析的特点和假定

热弹塑性问题是一个热力学问题。 作为热力学系统的焊接材料， 其自由 能密度不仅与应变有关， 而且还与温度有关。 也就是说， 力学平衡方程中有 与温度有关的项。从能量上看，输入的热能在使焊接材料温度上升的同时， 还由于结构的膨胀变形做功而消耗一部分。 这时， 在热传导平衡方程中， 要 增加与应力有关的项。因此， 严格的说， 温度场与应力场是相互祸合的。 这 从图３１ －和图３ 一能很清楚的看到。不过这种藕合效果除个别特殊情况外， 一般都很小， 而且焊缝附近的温度变化很大， 材料的各种物理性能也相应变 化很大， 这种影响与上述祸合效应相比要大得多。 所以就焊接的热弹塑性而 言，取非藕合的应力场和温度场是合适的。 在热弹塑性分析时有如下一些假定： （ ）材料的屈服服从米赛斯 （ｏ Ｍｉ ｓ １ Ｖ ｎ ｅ）屈服准则； ｓ ｔ）塑性区内的行为服从塑性流动准则和强化准则； ２ ｛）弹性应变、塑性应变与温度应变是不可分的： ３ ｛） ４ 与温度有关的力学性能、 应力应变在微小的时间增量内线性变化。 ３４２ ．． 塑性理论

． 屈服准则 在简单拉伸时， 可以通过比较轴向应力与材料的屈服应力来解决是否有 塑性变形发生， 然而， 对于复杂的应力状态， 是否达到屈服点并不是明显的。

武汉理工大学硕士学位论文

屈服准则是一个可以用来与单轴测试的屈服应力相比较的应力状态的

标量表示。因此 ，知道 了应力状态和屈服准则，计算时就能够确定是否有塑 性应变产生

屈服准则的值有时也叫等效应力 一个通用的屈服准则是米赛斯 （ｏ Ｖｎ Ｍｉ ｓ ｓ ）屈服准则。在三维主应力空间 其定义的等效应力为 ｅ ６

＿ — 扼 ＝

， Ｊ ，６） （ 一 ３ ＋６一 、 （ 一 ２ ６ ６ Ｚ ３ ａ） ６ ２ ２ ｝ （ ＋ ２

（ 一４） ３１

其中。、６ ．。 为三个正交方向的主应力。当等效应力 ６超过材料的 ， ｉ ， 屈服极限。时， 二 将会发生塑性变形。

与等效应力对应 ，定义等效应变为

、典－。。－一２ 一’ 二 ｝一Ｚ ｀（ ， 二 （ ｝（。＋ Ｆ 。 Ｅ ２ 乙 １ Ｌ ＋ 召）

（ 一５） ３１

其中‘ １ 、几、Ｅ为三个正交方向 主应变，ｐ ｓ 的 为泊松比。

． 流动准则 材料屈服以后， 在加载条件下会引起塑性流动 。 流动准则描述了发生屈 服时， 塑性应变的方向， 即流动准则定义了单个塑性应变分量随着屈服是怎 样发展的。塑性应变增量与应力状态有如下流动准则 ｉ ａｅ｝ ，＝ 右－

。Ｍ （ 一６ ３１ ）

一ｌ ａ６｝

其‘ ”因， ｝量“ 向｛偏” 个 几 中 一量子ａ） 函厅 量｝导? 准 是 ａ｝ “ ６ “ 则 ｛“ ｓ ６ 的 何上可解释为塑性应变增量向量的方向与屈服曲面的法向一致， 因此也称为 法向流动准则。 ． 强化准则

强化准则描述了初始屈服准则随着塑性应变的增加是怎样发展的。 一般 来说， 屈服面的变化是以前应变的函数。 通常使用的强化准则有两种： 等向 强化准则和随动强化准则。

等向强化是指屈服面以材料中所作塑性功的大小为基础在尺寸上扩张。 对米赛斯屈服准则来说，屈服面在所有方向均匀扩张。见图 ３３ －所示。由于 等向强化，受压的屈服应力等于受拉过程中所达到的最高应力。 武汉理工大学硕士学位论文

随动强化假设屈服面的大小保持不变而仅在屈服的方向上移动， 当某个 方向的屈服应力升高时，其相反方向的屈服应力应该降低，见图 ３４ －。在随 动强化中，由于拉伸方向屈服应力的增加导致压缩方向屈服应力的降低， 所

以 对 两 服 之间 存 一 ０的 值， 始 同 材 在 在 应的 个屈 应力 总 在 个２， 差 初 各向 性 料 －

屈服后将不再是各向同性的。 初始屈服面 初始 屈服 面

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5yrv.html