解题心路历程的反思质疑与心理揣摩

一道中考压轴题的解题反思与解题心理揣摩

重视“探索式求解”的过程反思 提升“启发式联想”的思维能力

呈现与反思一道中考题各种解法探索的心路历程

四川崇州：平生曜曜

本文关于解题反思的话题，旨在“让数学解题成为数学思维的自然流露”。 新课程标准既强调一个人的独立思考能力，更注重交流合作，共同解决一个问题。团队成员间交流合作、思维碰触，这是能顺利、出色地解决一个问题的高效手段，也是一个人的人格魅力所散发出来的高尚品质。但关于合作探究的话题，本文暂不探讨，请容笔者另文阐述。

实际上，不论是独立思考解决问题，还是合作探究解决问题，最后都应该进行解题反思，以便使自己以后解题时，思维能更加灵活、完备，思路能更加流畅、完善，解法能更加灵巧、完美，书写能更加灵活、适度，斩获满分。

对于一个独立思考的解题者而言，一道题的整个解题过程并非仅仅只是一个简单地运用知识、施展技能的过程，它同时更是一段人的心智与情感经历了探索发现、汇聚矛盾、转化矛盾，投石问路、微调修正、寻归正途的心路历程，这是一段何其微妙的心理过程，其间喜、怒、哀、乐的情感体验昭示了这是一个解题者的整个内心世界都参与进来的通透感官的鲜活过程，这是一个解题者的心智活动与情感体验都来源于他本人的内心世界同时又作用于他本人的认知系统的心智盛宴，其间的各种酸、甜、苦、辣，哽噎、通畅，什么“山重水复”啊！什么“柳暗花明”呐！无不在其眉宇间诉说着，嘴角间流露着。

在刘未鹏的Top Language上，关于解题的讨论曾经进行过一段时间，让参与者有很多收获。今天我们继续讨论这个主题的目的仍然并不在于愣要将题目

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解出来，而是在于要去反思解题过程中那些一般性的，跨问题的思维法则。简单地将题目解出来（或者解不出来，再去看答案，然后又“恍然大悟”），

只能得到最少的东西。解出来固然能够强化导致解出来的那个思维过程

和方法，但如果缺少反思的话便不能从中抽取出一般性的东西（如：思维的方式与策略，数学的思想与方法，更细微一点，还有代数的基本建模意识，几何的基本图形意识??）来供日后解决更多的问题服务。至于解不出来，看答案，然后“哦”的一声“我懂了！”，随之不加反思地抛于九霄云外，这更是等同

于没有收获。试问“你的这个懂了！”，究竟是指能读懂解题过程呢，还是

指能领受解法诱因呢？所以能“理解”和会“运用”二者之间相差的“鸿沟”远非十万八千里！这不是说“理解”不重要，更不是说“理解”没有用，而是想说会“运用”才是最终目的，客观而言“理解”是“运用”的前提，主观而言“理解”是“运用”的前奏。能读懂展示解题步骤的逻辑推理过程只是一种

表层的理解，能领受催化解法诞生的启发联想诱因才是一种深层的理解，

前者是对知识的理解，它只是解题之入门，后者是对思维的理解，它则是解

题之精进。显然，从解题入门到解题精进不可能一蹴而就，它必须要有一个历练的过程，正如解题大师罗增儒教授所述这个过程必须从“简单模仿”开始，

经历“变式训练”，逐渐形成“自发领悟”，最终养成“自觉分析”的习惯，而且这四个阶段中始终贯穿着不同层次的解题反思，可见这四个阶段孕育着一个通过已知学未知、通过反思“怎样解某一道题”来领悟“怎样学会解题”的有机、有序过程！

每个人都有过这样的经历：一道题目苦思冥想不得要领，但一经某人

指点其中的关键一步后，就顿时恍然大悟了。能够“恍然大悟”，这就是理解，但这种理解是依赖于别人已经将新的信息或做法，甚至仅仅是将一种念

头（即那个关键的一步）放到了你的脑子里，故而你才能理解的。若期盼自己会

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运用的话，则需要全靠自己本人独自去想出那个“关键的一步”。因此，

去揣测和总结别人的思维是如何触及到那个关键步骤，而你自己的思维

又为什么触及不到它，这才是很有意义和很有实效的。

我们很多时候都有感触，一道题目，费尽心机解不出来，最终在“提示”的帮助下面解出来之后，又会发现原来其中也并没有用到任何自己不知道的基础知识，那么不禁就要问，既然那些解题所需的基础知识同样在自己的脑子里是有的，但为什么自己当时愣是提取不出来呢？而为什么别人又能够提取出来呢？他又是依靠什么让他联想到“那个关键一步的”？而我以后又

怎么才能像他那样也能“触景生情”，顺利地联想到某些可行的做法和有效的念头，继而从自己的头脑中提取出能解决本题的基础知识和基本技能

呢？实际上，这涉及到了关于理解和记忆的最深刻的原理。（这是牛人刘未鹏对此的一点总结和猜测，但他本人自认为并不成熟。若有兴趣要亲自去考察的读者，他的建议是参考以下几本书：《追寻记忆的痕迹》，《找寻逝去的自我》，《Synaptic Self》，《Psychology of Problem Solving》。）

人类的一般性思维法则除了能起到辅助联想（即：在初探一道题的解法的过程中，审题而触景生情，念头则油然而生，让人突然地或隐约地联想到

某个或某些对解题“起关键作用的步骤”）的作用之外，另一个作用就是辅助演绎（这好比是助探，它让人投石问路，寻归正途）。刚开始学解题的时候，我们基本上只是先读懂题目的条件，然后尽量去做的一些显然的推理、

演绎（即进行一些明显的、习惯性的综合已知看可知），如果这样还没有推到答案的话，我们一般很少再联想到请“分析法”来充当我们的助探，使得探索活动能得以继续向前推进，相反，我们基本上就只能愣在那里，空等着

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“那个关键的步骤”能从自己的脑子里冒出来。一方面要知道，这种“空等”注定是竹篮打水一场空，这种“空等”注定是在不知不觉中遗失时间。一个解题者常常在悄无声息中身陷这种“空等”状态——如反复一个字、一个字地读题，表面上若有所思，其实头脑一片空白，因为“那种状态中的我们”并没有积极、主动去思考如何在“已知”与“待求”之间寻求联系，这种状态显然是相当危险的！另一方面更要知道解题探索中的某一念头岂能无缘无故地产生，它的产生来自于对过去解题经验的反思和总结（这些经验与反思让我们的成功解题在淡薄的偶然性中获取了更浓的必然性！），它的产生也来自于在临场中对

“已知”与“待求”所作的积极对比联想和尽量牵线塔桥（这些联想

与举措也让我们的成功解题在淡薄的偶然性中获取了更浓的必然性！）。其实，解题探索中的某一念头与所谓灵感的产生必然要遵循人脑思维的套路，而这个套路又何以言表呢？我看——或者是读懂已知，综合联想，重修旧灶、

故技重施；或者是归类分析，追溯需知，对比创造、应需构造；总

体感受是：由“道”导航，投石问路，微调修正，寻归正途??仿佛如是耳！然则此“道”又乃何意？我看它是高于解题所需的基础知识与基本技能之上的思维方法，这些方法对解题起着至关重要的作用，但令人遗憾的

是它往往被初学解题的人所忽略，这些思维方法有很多，且并非只限于单独

使用，如“触景生情”式启发性类比联想，“油然而生”式波动性直觉联想，“连续顺推”式综合法递进联想，“执果索因”式分析法追溯联想。

世人都普遍惯用一种“启发式联想”的思维方法，它就是在“一道题目苦思冥想不得要领”的这个“节骨眼”上可以派上用场的那些“一般性的”，

然而却又对所有题目都适用的探索手法，它可以帮助我们进一步去探索、挖掘问题中蕴含的次生信息，继而洞察出题目中的隐含条件或基本图形，

随之让人朦胧直觉或顺理联想到“已知”与“待求”之间的某种可能联

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系，当然这也会让人联想到过去与此相似的经验和做法，并从中筛选出一些较为合理、可行的措施，展开试探，从而增大了成功解题的可能性。

“启发式联想”这种思维方法的具体表现有很多，其中“从一般联想到特殊，再从特殊回到一般”最具有代表性，这在波利亚的《How to Solve It》中已经基本全部都介绍了，有兴趣的读者可以慢慢去品味。当然数学解题的“启发式联想”能力取决于一个人头脑知识仓库中有机贮存的“数学基础知识与基本技能”、 “基本图形以及对其条件和结论的联想”、“数学思想方法和重要经验、体验”??另外还有一些“启发式联想”的具体思维方式与策略（如前文中谈到的类比联想、直觉联想、综合联想、分析联想??，请恕笔者无力给予一一穷列），则需要自己在解题练习中去总结、抽象并加以整理和实践，以便让这些思维方法能够融会贯通、有机整合在自己的头脑中，并伴随解题实践过程，日臻完美，让人从反思解题中学会怎样解题，渐入“以不变应万变”之神行佳境！。

本文主旨之陈述即将结束之际，总结一下笔者欲表达之重点： (1)、只有经常反思题目的解法探索过程，才能领悟怎样学会解题； (2)、解题者应学会“启发式联想”这种思维方法，它能让我们学会解题； (3)、正如波利亚所说，数学解题要分为四个阶段：弄清题意、探索解法、书写解答、回顾反思；

(4)、平时做题，岂能白做？要通过解题反思，才能让一个人逐渐培养出“启发式联想”的思维能力；

(5)、本文谈到的解题反思，其重点是指反思问题的解法是怎样被探索出来的？这是培养一个人的解题能力和创造性的重要心理环节！

(6)、什么题最值得我们去反思？反思什么？

①、自己能够轻松解决的问题，没有太多的必要去反思；

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②、自己花了时间、花了心力才解决的问题，应该加以反思，反思“究

竟是什么方法？”、“究竟是什么信息？”、“究竟是什么刺激？”、“究竟是什么念头？”??让自己联想到了最终的这个解法的？

③、受了别人的启发、点拨后才恍然大悟的问题；

或者自己看了答案提示后才悟出解法的问题； 或者看完了别人的解法而产生认同感的问题；

（??还有你自认为有必要的问题），像这些情况下的问题更应该去加以反思，反思“究竟是什么方法？”、“究竟是什么信息？”、“究竟是什么刺激？”、“究竟是什么念头？”??能让他联想出最终的那个解法呢？

下面给初三学生提供一个数学思维训练题：

(2014年湖北咸宁)如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的

坐标为（﹣4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）． （1）∠PBD的度数为 ，点D的坐标为 （用t表示）； （2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？

（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．

请同学们认真探索、综合分析，尽力破题。在本文的下一篇幅笔者将为读者呈现本题的各种解法探索的心路历程。

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2015年10月

第一部分：甲同学的解法探索心路历程

〈甲同学把自己的思维用语言表述如下〉： 一、甲同学对第（1）小题的分析：

我的直观感受是∠PBD＝45°，但显然这种感觉不一定正确。为了证明∠PBD＝45°，因为已经有∠BPD＝90°，所以我该尝试去证明PB＝PD？

怎样证明PB＝PD呢？这是证明“两线段相等”的问题嘛！关于这个问题，我头脑中有哪些方法蓄势待发？对于“一”字长蛇型，可考虑作线段和差去证明；对于“V”字型，可考虑用等腰三角形的判定方法去证明；对于其他结构，可考虑用“特殊图形中的特殊线段相等”去证明，如平行四边形的对边相等，矩形的对角线相等??当然更多的情况下要考虑“全等法” 或“相似法”。

结合图形，我会优先尝试去证明△BAP≌△PQD？但全等的三个条件容易找到吗？当我把注意力集中到图上的△BAP和△PQD时，我突然看出了一个基本图形——弦图！或该称呼其为：三垂直组合图形！它凸显于我的眼前，如图（a），在我记忆的知识仓库中，关于“弦图”我有这样的联想：

首先这个图形的已知条件是两个垂直关系：BA⊥AQ于A，DQ⊥AQ于Q.可以得到的结论是：

第一：当△BPD是等腰直角三角

B 形时，我们容易证明到△BAP≌△PQD；

第二：当△BPD是直角三角形时，D 我们只能证明到△BAP∽△PQD；

第三：当△BAP≌△PQD时，我们容易证明出△BPD一定是等腰直角三角形； P A Q

第四：当△BAP∽△PQD时，我们只图（a） 能证明出△BPD是直角三角形；

在考场上，我当然不会如此细致地回忆以上结论，我的精力自然集中在我想完成的任务上。怎样去证明△BAP≌△PQD呢？现在已经有：∠BAP＝∠PQD＝90°，再加上“∠BPD＝90°”这个已知条件，容易得到：∠ABP＝∠QPD，接下来肯定要再去寻找一个“边相等”的条件来为证明全等服务。这个条件显然不能是：BP＝DP，而只能是：BA＝PQ或AP＝DQ，哪一个容易搞到手呢？显然我该回到已知条件中去重新捕捉信息了！

题目中说“点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．”

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所以，假设运动时间为t，则在图（1）中，动点P的运动路程：AP＝t，动点

Q的运动路程：OQ＝t，显然有PQ＝AO＝BA.这样一来，我就能成功证明出：△BAP≌△PQD了！

舔嘴微笑吧！根据全等三角形的对应边相等，可得：BP＝DP，于是∠PBD＝45°,哈哈！也可得： DQ＝AP＝t，于是点D的坐标是（t，t），第（1）题探索完毕！

甲同学自言自语：如果非要让我写出解题过程！那么请看： 二、甲同学第（1）小题的解题书写： 〈严格版〉：

解：（1）如图1，

由题可得：AP=OQ=1×t = t（秒） ∴AO=PQ．

∵四边形OABC是正方形， ∴AO=AB=BC=OC，

∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°． ∵DP⊥BP， ∴∠BPD=90°．

∴∠BPA=90°﹣∠DPQ=∠PDQ． ∴AP=DQ，BP=PD． ∵AO=PQ，AO=AB， ∵∠BPD=90°，BP=PD， ∴AB=PQ． ∴∠PBD=∠PDB=45°． 在△BAP和△PQD中， ∵AP=t.

∴DQ= t.

∴点D坐标为（t，t）

∴△BAP≌△PQD． 故答案为：45°，（t，t）．

〈灵活版〉：

解：AP＝t，OQ＝t，∴PQ＝BA，从而易证△BAP≌△PQD. ∴BP=PD，则∠PBD=∠PDB=45°

DQ= AP= t，则点D坐标为（t，t）．

〈反思与领悟〉：笔者认为解题书写怎样才算灵活适度的问题，实际上就是“怎样书写，才既简单，又能拿满分！”的问题。我想，这与该大题本身的难度有关，也与该大题在试卷中所处的位置有关。另外，还要揣摩命题人的意图，看他是重点想考查你的解答结果，还是重点想考查你的解题书写，这些与个人的感觉和平时的考试实践有关，当然还取决于平时善于把自己的解题书写与老师的解题书写进行对比。

三、甲同学对第（2）小题的分析： 当t为何值时，△PBE为等腰三角形？我觉得△PBE为等腰三角形可分为三种情况：

第一种：若PE为底边，则腰BP= BE； 第二种：若BE为底边，则腰BP= EP； 第三种：若BP为底边，则腰EP= BE；

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接下来，显然要逐一破之。在第一种情况中，怎样求t值呢？显然（笔者插进一句话：为什么是“显然”，而不是“可以”呢？可见甲同学在这里还没有意识到其它的东西！）要由“BP= BE”去建立一个含未知数t的方程，然后解方程就OK了！

〈反思与疑问〉：笔者也赞同这种思路，但笔者更懂得，这个即将被构造出来方程，如果是“一元一次方程”或“一元二次方程”尚好，但如果是“一元三次、四次方程”就麻烦了!并且如果真撞到了那个节骨眼上，考生又该怎样去应对？怎样去反思才好呢？笔者有一条建议是：思路过程感到难，别钻牛角死向前，评价思路早推断，前进倒车容易选！

甲同学的思维继续流淌：

第一种情况，怎样由BP= BE来建立关于t的方程呢？哦！对了，在Rt△BAP中，由AP2?AB2?BP2可得：BP?42?t2，同样可得：BE?BC2?CE2，但关键是不知道CE等于多少？所以接下来的任务是：求CE的长！CE与谁相等呢？不好说明！显然CE =CO－OE，但OE又不知道等于多少？所以要看看能否求出点E的坐标？

点E是怎样产生的呢？对了，它是直线BD与y轴的交点！那么不禁就要自问“直线BD的表达式，知道吗？”哇！已知点B坐标是（﹣4，4），已求点D坐标是（t，t），那么直线BD的表达式不就可以用“待定系数法”来获取了吗？ 于是，设直线BD表达式为：y?kx?b，把点B（﹣4，

4）代入表达式得：－4k?b?4?①，把点D（t，t）代入表达式得：tk?b?t?②，由①、②组成方程组解得：

t－48tk?，b?，终于求得直线BD表达式为：

t?4t?4t－48ty?x?，真是可恶，这个表达式怪吓人的！我

t?4t?4隐约地预感到前路阴云密布（这里笔者仿佛有话要说，但以后再议）。

8t知道了直线BD表达式后，立即可得点E坐标为：（0，），从而可得：

t?4OE?8t8t，∵t是正数，∴OE?，继而可得：CE =CO－OE=4－

t?4t?428t16－4t?16－4t??，凶啊！这样一来，BE?42???. t?4t?4t?4???16－4t?于是由BP= BE来建立的关于t的方程是：4?t?4???，我要自

?t?4?2222问，我的阶段小任务是什么？当然是求t，天啊！这究竟是什么解题思路啊？我居然造出了一个我们压根儿就没有学过的“无理方程”！怎么会如此倒霉啊？莫非是我前面的计算出错了？可我已经检查过，我确信计算没错！难道是我的解题

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思路有问题？可是我又实在看不出有什么问题啊！岂不是命题人疏远教材，使试题超出了教材的知识点范围？不会吧！怎么可能呢！中考试题的命制，那可是经过层层把关的呀！如此看来我不知所措，只能硬着头皮往下解了！

我想，一个无理方程的主要矛盾是未知数出现在“根号”里面，如果没有根号就好办了，那么怎样才能依据“恒等变化”来消去“根号”呢？对了，可以在方程两边同时平方啊！例如：已知x2－3x?2，求x的值.

解：两边平方得：x2－3x?4，即：x2－3x－4?0，解得：x1?4，x2?－1. 当x1?4时，被开放数：x2－3x?42－3?4?4＞0，合题. 当x2?－1时，被开放数：x2－3x??－1?－3??－1??4＞0，合题.

2∴x1?4，x2?－1

x2－3x＜0的x都应该被淘汰！甲同学心理想：我当然会注意到凡是使被开放数： ?16－4t?言归正传，怎样解方程：42?t2?42???？

t?4??22????16－4t16－4t两边平方得：16?t2?16?，即：t2?2?t?4??t?4?22??式

甲同学心里盘算，汇聚一下此处的矛盾有二：一是分式方程，二是高次方程！怎样转化这两个矛盾呢？一是去分母，二是降次！预感到把?式化简后，次数依然会很高，甲同学感到前路昏暗无望，但他还是机械地硬着头皮往下解： 在?式两边同乘以：?t?4?得：t2t2?8t?16??16－4t?

22??－128t?16t2 即：t4?8t3?16t2?256化简得：t4?8t3?128t－256?0???式

瞧瞧吧！这是一个多么高傲的的方程啊！可是甲同学仍准备“降次”破之，

迷途不返，决心要硬着头皮，视死冲破牛角！（笔者插一嘴，你有一种“困于无法求有法”的解题精神，精神可嘉！但又何苦呢？这是考试，又不是平时练兵！有必要死缠烂打吗？）

〈反思与评价〉：在解题的过程中，如果自己推演出了形如“??式”这样的“怪物”，那么应该推断此怪之成因，要么是因为自己的运算出错所致，要么是因为自己的思路没有进入康道所致，一般情况下，绝不会是因为命题超出教材知识点所致。如欲强行破之，则往往得不偿失，需知此等怪物如嗜血猛虎，它会在不知不觉中吞噬你的时间和心力。这种时候，需要一个人自己去左右权衡，作出

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最为明智之决策。笔者认为，这个时候，你应该直接放弃这道题，而把时间和精力用于斩获其它更容易得分的题，此为最明智之举措！若不然，就算你精于思维之术，最终能把这道题的分数拿满，也将被判为隐形失分，除非你攻克此题后，你随之获得了全卷的满分，那样的话，我为你欢呼！真心佩服！You are perfect！

其实，如果你真的自信其它题目都已经稳操胜券、十拿九稳了，那么我还是坚持前面那一条建议：思路过程感到难，别钻牛角死向前，评价思路早推断，前进倒车容易选！所以，你先不要“硬着头皮，视死要冲破怪物之牛角”，你应该在确定怪物之出现并非运算出错所致之后，更多地去想一下此题还可以从哪些角度重新去考虑？毕竟试着改变一下旧的思维方式，有助于消减“定势思维”对“创新性方法”的阻碍作用，从而才能离命题者的意图更近一点。毕竟抛弃邪路，才能寻归正途，即是“改邪归正”，佛不是早教我们“苦海无边，回头是岸”吗？我为什么坚信改邪一定能归正呢？因为中考试卷的命题人坚守的命题原则是：不论任何题目，如果有恰当的破题思路，那么在解题路上绝不会无端生出耗人时间和心力“嗜血猛虎”来吓唬和迷惑我们的心智，也绝不会无故冒出超越教材知识点的“牛角怪兽”来阻挡我们向彼岸迈进的步伐！

接下来，笔者怎样将本文继续写下去呢？为满足本文精神主旨之需，笔者有意将甲同学理想化，将旧版甲升级为新版甲！并设想甲同学是在平时做作业的场合下，怀着“困于无法求有法”的数学精神，继续对本题的解法展开探索。

怎样求方程：“t4?8t3?128t－256?0???式”的解呢？甲同学心里盘算着，若遇次数太高，则考虑降次，这是连续化简的需要。那怎样才能得到降次的目的呢？啊！对了，降次的手段不是有“换元法”和“因式分解法”吗？我觉得这个“??式”方程不适合用换元法去降次，我应该更多地考虑一下因式分解法。当我审视“??式”时，我知道它不能直接提取公因式，也不能直接运用公式法来分解，但我产生了一种“把t4、－256分成一组”的直觉，因为最起码可以先用上“平方差公式”来迈出尝试的第一步，但最终能否成功，有待于试错、微调！

（t4－256）?（8t3?128t）?0 分析：∵

即：t2?16t2－16?8tt2?16?0

???????t2?16t2－16?8t?0

???16?0?????式 ∴t2?16?0，或t2?8t－其中第一个方程无实数解，第二个方程的解为：t?－4?42 又∵本题的运动时间t满足：0?t?4

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∴t?42－1

即：当t?42－1时，△PBE为等腰三角形的第一种情况探索完毕！

〈反思与评价〉：甲同学对高次方程：t4?8t3?128t－256?0???式的“降次”化解过程既精彩、又通用！这真的很好。实际上，我们也可以从另外一个角

2??16－4t度来审视：t2??t?4?2????，并将注意??式，如果你能看出它形如“a2?b2”

力专注于此，那么你会产生什么念头呢？你能联想到其它的解题探索思路吗？

a2?b2?a?b或a?－b，甲同学产生了念头：随之联想到了新的解法探索思路：

2??16－4t∵t2??t?4?2??式

∴t?16－4t4t－16?①；t??② t?4t?42216?0，由②得：t?16?0，?? 由①得：t?8t－当然甲同学也可以产生这样的念头：a2?b2?a2－b2?0??a?b??a－b??0， 随之联想到下面的解法探索思路： 由t22?16－4t???t?4?2?16－4t??16－4t???式可得：?t???t－??0????式

?ｔ＋4??ｔ＋4?∴t?16－4t16－4t?0或t－?0，??

ｔ＋4ｔ＋422?16－4t???t?4?2〈解题反思〉：从“t28t－256到“t4?8t3?1??式”

?0???式”

16?0?????式”再到“t2?16?0，或t2?8t－，其中的思路是：先考虑化简，再考虑降次，此第一种思路。 而从“t22?16－4t???t?4?2?16－4t??16－4t???式”到“?t???t－??0????式” 再

?ｔ＋4??ｔ＋4?16?0?????式”到“t2?16?0，或t2?8t－，其中的思路是：先考虑降次，再考虑化简，此第二种思路。

相比较而言，第二种思路，运算量轻，且此思路更易被人发现。

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〈反思与领悟〉：关于“降次”的问题，我们应该倾向于先考虑降次，再考虑化简，这样一来运算量会变轻一点。对于解题者，如果注意力专注的地方不同，那么在头脑中产生的念头也不同，从而他所尝试的解题探索思路就有所不同，因而最终找到的题目解法就可能有所不同了，这因人、因事、因时而异！定势与创新皆在一念之间！这些念头使解题的创新性、甚至成功性皆粘上来更多的偶然性。

甲同学的思维继续流淌：

第二种情况，怎样由BP= EP来建立关于t的方程呢？容易想到：

由BP?EP，得BP2?EP2，即：AB2?AP2?PO2?OE2

8t8t），从而可得： OE? t?4t?4又∵AB=4，AP=t，OP=4－t

∵已求得点E坐标为：（0，

∴4?t??4－t?222?8t?即：8t??t?4?22?8t???? ?t?4?2?8tt2?8t?16?64t2?

???8t3?128t?0?8tt2?16?0?8t?0或t2?16?0

t?0不合题！解之得：t?0，但当t?0时，?BPE不存在！所以

??第三种情况，怎样由EP= BE来建立关于t的方程呢？容易得到：

?16－4t??8t?2BC2?CE2?PO2?OE2?42?????4－t????

?t?4??t?4?22?16－4t?－?8t???t?4?222?t2－8t??16－4t?－?8t?＝?t?4?t2－8t?t4?256

222???t2??16?t??4，显然取t?4

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可以感受当t?4时，动点P与点O重合，动点Q则刚好与点A关于y轴对称，此时的点D与点B也刚好关于y轴对称，再连接B、D，交y轴于点E，我们会发现此时的点E与点C重合，显然符合?BPE为等腰三角形这一要求！如图（b）：

Y B C (E) L D X A O (P) (Q) 图（b）

综合以上三种情况可知：当t?4?2－1?t或t?0时，?BPE是等腰三角形。

四、甲同学对第（2）小题的解答书写：（注意书写的灵活、适度！） 解：点B（﹣4，4）和点D（t，t）可求得直线BD表达式为：

8tt－48ty?x?，从而知点E坐标为：（0，）

t?4t?4t?416－4t8t∴OE?， CE = ，另外AP?t，OP?4－t

t?4t?4?BPE是等腰三角形，可分三类情况讨论：

（Ⅰ）、若BP= BE，则：AB?AP?BC?CE

2222∴16?t22?16－4t? ?16?2?t?4?解得实数解为：t?－4?42

又∵本题的运动时间t满足：0?t?4 ∴t?42－1.

（Ⅱ）、若BP= EP，则：4?t??4－t?222???8t???? ?t?4?22解得实数解为：t?0，不合题，舍去.

?16－4t??8t?2（Ⅲ）、若EP= BE，则：42?????4－t????

t?4t?4????解得实数解为：t?4，经检验合题.

2综合以上三种情况可知：当t?42－1t或t?4时，?BPE是等腰三角形。

??五、甲同学对第（3）小题的分析：

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（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．

怎样求△POE的周长呢？

8t已经有：OP?4－t，OE?，PE?t?4?4－t?2?8t????

t?4??28t?∴?POE的周长?4－t?t?4?4－t?2?8t???? ?t?4?2－t2?8t?16?这个周长充其量化简为：

t?4?4－t?2?8t??????式

t?4??2甲同学心想：随着时间t的变化，这个“?式”的值是否为定值，有谁看的出来呢？难道要去把“被开放数”强行从根号里“拉出来”，再行定夺吗？这样

的运算量太恐怖了！且这样的运算肯定“超出了”教材知识点的范围！啊！对了，我突然记起了老师过去给我们的一条建议：“思路过程感到难，别钻牛角死向前，评价思路早推断，前进倒车容易选！”

在这里，我不妨也评价一下自己的思路：首先我的运算没有出错，但是我用自己的思路来探索解法时，却“自造”了一个“怪兽?式”，它在运算量上的难度让人恐怖，它在知识点上的高度超越了教材，造成如此结局的原因不可能是命题本身的问题，而多半都是自己的思路没有进入康道所致。在这个节骨眼上，我该怎么选择呢？第一种选择是立即放弃这道题，把时间和精力用来解答其它更容易得分的题，此为最明智之举措！但实际上我已经检查并确定了全卷其它题的正确性。所以现在我“有资格”进行第二种选择，即试着改变一下旧的思维方式，这有助于消减“定势思维”对“康道、便道”的阻碍作用，从而才能离命题者的意图更近一点。但是说句真话，我真的没有其它更好的念头（嘘！小声点！其实我很可能会有其它念头产生，只是这可恶的笔者禁止当下的我产生新的念头，那人满肚坏水，他胁迫我去钻牛角，这分明就是“赶鸭子上架”嘛！）产生，哎哟！妈妈，您不要为我生气！当下的我也就只能硬着头皮走走瞧瞧了！

－t2?8t?16?t?4?4－t?2?8t??????式，这是定值吗？一般情况下，像这类试?t?4?2题结局都是定值，知道这个“公开的秘密”，对解题思路会有一点启发。但要对“?式”进行强行化简，难度较高，且前途渺茫，非常可能白忙一场。但是我可以试着借用“从特殊联想到一般”的思想来充当我的“指南针”，投石问路。 根据0?t?4来试探以下特殊情况：

－12?8?1?16?式??（Ⅰ）、当t?1时，1?4 ?

8?1??4－1?????

?1?4?2223289 ?52515

?8（果然是定值，但尚待进一步验证！）

－22?8?2?16?式??（Ⅱ）、当t?2时，2?4 ?8?2??4－2?2????

2?4??228400 ?636 ?8（哇！还是8，心好跳！但万一仍是一种巧合呢？）

－32?8?3?16?式??（Ⅲ）、当t?3时，3?4 ?8?3??4－3?????

3?4??2231625 ?749 ?8（嗯！仍是8，心已冷静！若你此时告诉我这仍是巧合，

你认为我会相信吗？我的心已经被它勾走了！）

了吧！（Ⅳ）、当t?4时，我想已经没有必要

甲同学想，接下来我要做的事情应该是满怀信心地对

－t2?8t?16?“

t?4?4－t?2?8t???，展开恒等化简，尽管这个“怪兽???式”?t?4?2?式” 在“知识点”上超越了教材的范围，但从“数学思维”上来讲，还是有

些“合情理”的。我们可以试着利用公式“a2?a?？” 来探索根号的化简。

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－t2?8t?16?t?4－t2?8t?16??t?4－t2?8t?16??t?4－t2?8t?16??t?4?4－t?2?8t??????式t?4??2??4－t??t?4??2?64t2?t?4?2?t?4?2?256?t－32t??64t422?t?4?2?t2?16?2?t?4?2－t2?8t?16t2?16??t?4t?4－t2?8t?16t2?16t2?16??，（因为t大于0，所以大于0）t?4t?4t?48t?32?t?4

?8??解毕!〈反思、评价、感悟〉：到此，甲同学已经胜利解完本题。但读者要理解并记住：尽管甲同学斩获了本题的满分，但如果他全卷总分没有在135分以上，那么他将被判为“隐形失分”！也就是说：甲同学在明知自己的思路没有走上“康道、便道”的情况下，尤其在其它更简单的问题还没有解决的情况下，为这道题“死磕”是不明智的！是愚蠢的！什么叫“舍得”？有舍，方才有得。考试不是在比拼看谁把难题做对，而是比看谁拿到的分数多。所以，在考场上分数才是为人之王道！而在平时的厉兵中难题方显秣马之正道，但要理解真正的“难题”并非难在计算上，而是难在思维上，即你要能想的到那个点子（念头）上才行！如果你没有成功破题，那么在事后的解题反思中，你要尽量去揣摩其中的技巧，说服自己理解之、内化之，好让那个“点子”成为你以后解题思维自然流露的一部分。在这里笔者要郑重地说：数学解题纵然需要、也肯定需要有一种“困于无法求有法”的精神，但更需要有一种“莫止有法探通法”的习惯，尤其需要有一种“不满通法寻易法”的心眼，这样方能“操持易法化技艺，优术熟技深谋略”。解题思维的自然流露要倾向于秉持正道、康道，扬弃畸形之道、回避崎岖之道。

第二部分：乙同学的解法探索心路历程

〈乙同学把自己的思维用语言表述如下〉：

一、乙同学对第（1）小题的分析及解题书写： 嘻嘻！我的心路历程与甲同学相同。 哈哈！我的解题书写与甲同学相同。

二、乙同学对第（2）小题的分析及解题书写： 当t为何值时，△PBE为等腰三角形？ 解：△PBE为等腰三角形可分为三种情况：

第一种：若PE为底边，则腰BP= BE；

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第二种：若BE为底边，则腰BP= EP； 第三种：若BP为底边，则腰EP= BE；

（Ⅰ）、当BP= BE时：?BAP≌?BCE?CE?AP，∴OE?OP

再由点B（﹣4，4）和点D（t，t）可求得直线BD表达式为：

8tt－48tx?，从而知点E坐标为：（0，）

t?4t?4t?48t∴OE?，AP?t，OP = 4－t

t?48t?4－t?t2?8t－16?0?t?－4?42 ∴

t?4y?又∵0?t?4，∴t?42－（合题）； 4（Ⅱ）、当BP= EP时：容易得到：EP=BP= DP，如此可得：点B、E、D三点在以点P为圆心的圆上，显然不合题； （Ⅲ）、当EP= BE时：点E必在线段BP的中垂线上，又∵DP⊥BP， ∴BP的中垂线必平行于DP，于是可推断此时的点E必为BD的中点，

－4?t4?t又由点B（﹣4，4）和点D（t，t）易求得BD中点坐标为（，）

22－4?t?0?t?4； 又由点E在y轴上可知：

2综合以上三种情况可知：当t?42－1t或t?4时，?BPE是等腰三角形。

三、乙同学对第（3）小题的分析：

??（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．

怎样求△POE的周长呢？乙同学的思维开始流淌：

8t已经有：OP?4－t，OE?，PE?t?4?4－t?2?8t????

t?4??2又已知：0?t?4，但其中OP?OE?PE的结果是定值吗？

哦！对了，在整个运动过程中，t?4的这一瞬间是一个特殊情况，可否抓

出来研究一下呢？也许对探索活动

有所启发呐！

让我先把这一瞬间的照片画L Y 在草稿纸上，若图（b）：

B C (E) D 这简直太直观了，一看就知道

8. 此时?POE的周长无限接近于也就是说，

?POE的周长貌似为定值8，

A O (P) (Q) X 图（b）

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这增强了我的信心。 但我能否将：

8t4－t??t?4?4－t?2?8t????

t?4??22－t2?8t?16?即：

t?4?4－t??8t??????式，进行强行化简呢？ ?t?4?2乙同学心里想：要强行化简“?式”，这显然超越了教材的知识点范围，所以我推断若继续走下去，前面一定是一段崎岖之路。我还记得：思路过程感到难，别钻牛角死向前，评价思路早推断，前进倒车容易选！看来在这个节骨眼上，我应该迷途知返，放下当前的思路，试着从其它的角度来考虑一下。

像这类“是否为定值”的问题，其结局一般来说都是定值，所以我姑且承认：

?POE的周长为定值8，但怎样去证明呢？

乙同学，一边想，一边念，从图（b）来看：

如果正方形ABCO的边长为4，那么?POE的周长就无限接近8， 如果正方形ABCO的边长为5，那么?POE的周长就无限接近10，

显然图（b）能直观地反映出：?POE的周长就无限接近??正方形ABCO的边长的2倍。

那么，我能否直接去证明或计算出：在点P到达O点之前，?POE的周长恒为8呢？

然而，点P到达O点之前的情景，其图形该怎样来画呢？显然可以就用图1：

欲证明?POE的周长等于正方形ABCO的边长的2倍，

即需证PE等于AP与CE之和； 欲证明PE?AP?CE，

这显然是一个线段和差问题，可以尝试截长补短法！

于是我想到延长PA到F，使FA?CE，然后尝试去证明PF?PE即可！

作如图2，哦！对了，我知道怎样去证明：PF?PE了！

三、乙同学对第（3）小题的解答书写：

8，理由如下： 解：我认为在运动过程中，?POE的周长始终为定值

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延长OA到点F，使得AF=CE，连接BF 在△FAB和△ECB中，

∴△FAB≌△ECB．（SAS） ∴FB=EB，∠FBA=∠EBC． ∵∠EBP=45°，∠ABC=90°， ∴∠ABP+∠EBC=45°．

∴∠FBP=∠FBA+∠ABP=∠EBC+∠ABP=45°=∠EBP． 在△FBP和△EBP中，

∴△FBP≌△EBP．（SAS） ∴FP=EP．

PO?PE?OE ∴?POE的周长为：?PO?PF?OE

?PO?(AP?AF)?OE ?（PO?AP）?（AF?OE） ?OA?OC ?8

〈反思与评价〉：以第（3）小题的探索过程而言，甲、乙两位同学的心路历程非常精彩，其思维具有相当的典型性和实用性。表现在以下方面：

－t2?8t?16?（一）、由于考虑到对“

t?4?4－t?2?8t??????式”的强行?t?4?2化简，已经超越了教材知识点的范围，乙同学果断放弃了对“?式”化简的尝试，这是一种“改邪归正、弃暗投明”的思路，为促使解题思路进入“正道、康道”创造了心理前提。尽管笔者深信乙同学完全有能力通过“a2?a?？”来强行将“?式”化简为定值8，但是笔者仍倾向于赞同乙同学的“弃暗投明”。可见，乙同学对自我解题思路的评价过程既有典型代表性，又有普遍实用性。

?POE的周长究竟为何定值时？（二）、乙同学在思考用到了一种很好的思维

策略?“特殊化法”或说成“特殊情景法，特殊状态法”。对于一个会运动变化的图形，其中的某一种特殊状态，或许更易自然呈现出、或许更易让人洞察出问题的本质性的东西，从而为我们研究一般性状态提供直觉和念头。在前文中，乙同学借助“极限法”的思想在“特殊状态” ?图（b）中洞见出?POE的周长等

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于2倍正方形ABCO的边长，从而产生了在“一般性状态” ?图1中去证明“PE?AP?CE” 的念头，紧接着他把破题思路归结到“线段和差问题”的证明上，经过尝试，他果然幸运的发现了问题的解法，我想这应该就是命题人的意图吧！

读者若还要追问乙同学是怎样想到这种解法的？笔者也会再复述一遍：题目的解法来自思维的自然探索，探索的起点往往从某一念头开始，而解题念头可能是一读题就有（如前文所谈：审题而触景生情，念头则油然而生，让人突然地或隐

约地联想到某个或某些对解题“起关键作用的步骤”），也可能是得益于诸如“特殊

化法”这样的解题策略。解题策略（如前文所述：这好比是助探，它让人投石问

路，寻归正途）是一种“辅助演绎”，它是我们破题的助探。

－t2?8t?16?（三）、甲同学在研究“

t?4?4－t?2?8t??????式”的化简t?4??2时，它也预感到了接下来的道路超越了教材知识点的范围，于此而言，本该放弃

旧有的思路，“弃暗投明”，但他身处“骑虎难下”的环境。为什么这样说呢？因为甲同学已经拿下了全卷的其它试题，当下他正在为此题鏖战，并且他暂时还没有其它的探索念头可尝试，所以当下的他只能“困于无法求有法”。接下来甲同学也没有直接对“?式”进行化简，因为他有“前途无望”的顾虑，更怕白忙一场。再接下来，他的做法就具有典型代表性和普遍实用性了，为什么？因为他由“一般”联想到了“特殊”，分别考略了“t?1、t?2、t?3”的特殊情况，然

?式?8，后再由“特殊”来猜想“一般”，即无论t在0?t?4范围内取何值时，总有由此他获得了一种“前途有望”的信心，不担心会白忙一场（这是非智力因素对智力因素的促进作用，也是元认知力量对推理过程的导航作用）。最后甲同学越过教材知识范围的“界限”，披荆斩棘，成功破题。在这里，什么东西具有典型代表性？什么东西具有普遍实用性？就是那种“从一般联想到特殊，再由特殊回到一般”的启发式联想的思维策略，它是我们进行“归纳、推证”的助探。

（四）、关于文中那条建议：思路过程感到难，别钻牛角死向前，评价思路早推断，前进倒车容易选！我们应该怎样看待呢？解题探索中，如果我们的思路受阻于“大运算量的怪物”，或受阻于“超越教材知识范围的计算方式”，那么要知道这些都是因为我们的运算错误所致，或是因为思路没有走上“康道”所致。此时最明智的决策就是“直接放弃”或“弃暗投明”，不宜“死磕”。什么人可以去“死磕”呢？一个教师可以去死磕，一个解题研究者可以去死磕，一个不用参加考试的解题爱好者可以去死磕。他们做一道题，可以做上两小时，可以做上两天，可以做上两个月，甚至可以做上两年。试问，一个身处考场的你，能和他比吗？你的时间是分数，他的时间是享受；你的放弃是明智，他的放弃是失智；你之舍，利于得，他之舍，损于德。

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第三部分：丙同学的解法探索心路历程

〈丙同学把自己的思维用语言表述如下〉：

一、丙同学对第（1）小题的分析及解题书写： 嘻嘻！我的心路历程与二位英雄相同。 哈哈！我的解题书写还是与他们相同。

二、丙同学对第（2）、（3）小题的解题书写： 丙同学说，如果一开始我是“早期的乙同学”，那么后来我自然容易成为“后期的乙同学”；但如果一开始我就是“后期的乙同学”，那么后来我自然容易成为“新版的乙同学”。这回，老天终于让我的假设梦想成真，而今我已成了乙同学的升级版，请读者走进我的思路： 解：（2）、△PBE为等腰三角形可分为三种情况：

第一种：若PE为底边，则腰BP= BE； 第二种：若BE为底边，则腰BP= EP； 第三种：若BP为底边，则腰EP= BE；

①若BP=BE，则易证： Rt△BAP≌Rt△BCE（HL）． ∴CE=AP= t． ∴PO=EO=4－t． ∴PE=PO2?EO2=

（4－t）．

∴∠FBP=∠EBC+∠ABP

=∠EBC+∠ABP =45°．

即：∠FBP=∠EBP． 在△FBP和△EBP中，

∴△FBP≌△EBP．（SAS） ∴EP=FP=FA+AP=CE+AP． 则EP=t+t=2t．

于是：（4－t）=2t． 解得：t=4－4

延长OA到点F，使得AF=CE， 连接BF，如图2所示． 易证△FAB≌△ECB．（SAS） ∴FB=EB，∠FBA=∠EBC． ∵∠EBP=45°，∠ABC=90°， ∴∠ABP+∠EBC=45°． ∴∠FBP=∠FBA+∠ABP

②若BP=EP，又∵PB=PD 则必有：PB=PE=PD

显然点B、E、D三点共圆， 这与点E在直线BD上相矛盾， ∴这种情况不合题．

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③若EP=BE，

则∠BPE=∠PBE=45°，从而∠BEP=90°． ∴∠PEO=90°－∠BEC=∠EBC． 从而易证：△POE≌△ECB．（AAS） ∴OE=BC= OC?点E与点C重合，则EC?0． ∴PO=EC=0?点P与点O重合． ∴此时运动时间t=4秒．

综合以上三种情况可知：当t?42－1t或t?4时，?BPE是等腰三角形。

8，理由如下： （3）、我认为在运动过程中，?POE的周长始终为定值??由（2）小题已作：AF=CE，已证：EP=FP．

PO?PE?OE ∴?POE的周长为：?PO?PF?OE

?PO?(AP?AF)?OE ?（PO?AP）?（AF?OE）

?OA?OC ?8

第四部分：最后一波反思与疑问

（一）、对第（1）小题的解答，三个同学都是一致的，他们都从直观的图形中获取了大胆、合理的猜想：?∠BPD=45°，而后执果索因，逐渐追溯需知，随即印证了猜想之正确。但对于第（2）小题的解答而言，丙同学的思路可谓简洁、明快，貌似有为第（3）题作铺垫的统筹全局的打算。

（二）、对于第（2）小题的第①种情况，甲同学的解法，能给人什么印象？答：此方法虽容易想到，但计算繁难，且在解题路上“自造”了超越教材知识范围的“怪兽”，虽能秉持“降次思想”、 “去分母思想”来披荆斩棘、耐心破之，但终归不能推荐给学生使用。对教师而言，可以让学生知道有“这一条”思路，但不宜让学生遵循“此道”去“杀出一条血路”。甲同学的解题风格，可以用“纯代数运算方式”来概括，其特点往往是“易想难算”（但不能排除也有“易想易算”的情况）。笔者认为，如果某一问题的“纯代数运算方式”在算法上的难易程度，学生可以接受，容易结果，那么把这种方法推给学生，理所应当，但如果某一方法的“算理”超越了教材的知识范围，尤其是超越了学生的认知范围，或者哪怕它并没有超越二者，但因其计算量大，不易突破，那么这种方法就不能推荐给学生。

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比较甲、丙二位同学的解法，能让我们领悟到，一个解题者对问题的探索思路，起源于不同的解题念头，尤其受制于不同的解题理念，其中的“某些解题念头和某类解题理念”都可能形成解题者的“思维定势”。 思维定势乃一把双刃之剑，舞剑者，若能顺乎自然之道，则正反攻守，游刃有余，进退取舍，从心所欲，倘若武断有余而果断不足，则攻不能出新招，守不可得有法。思维定势的优点是能快速与过去的经验取得联系，能快速联想到一条解题思路（毋庸置疑，这肯定是优点），但其缺点会在何时、何地表现出来呢？当我们基于某些“连自己本人都没有察觉”的诱因联想到（这就是思维定势）题目的某一解法后，我们自然开始尝试，但在思路推进的过程中，当我们没有得到明显进展的时候，我们仍旧“乐于”陷在某个漩涡中，难以自拔，或者当我们遭遇到“大运算量的怪兽”时，我们依旧武断地“自我迷恋”，再坚持一下吧！那个怪兽的血就要“见底了”！挥刀砍吧，曙光就在前头！又或者当我们隐约觉得本题需要用到“超越教材知识范围的运算方式”时，我们还洋洋得意，感叹自己的见识比一般人广，碰巧能够用上那个“别人不知，惟吾独晓”的技能来解此题，若果真能够快速解题，这何尝不是一件好事！但若因此而“滑入漩涡，或自造怪兽”，却又不懂得“直接放弃或弃暗投明”的“自然之道”，那就凸显出了该“思维定势”的缺点。

甲同学的解法之所以走上了“遇到怪兽”的“畸形之路”，那是因为他“知迷不返”，心存一种有能力“披荆斩棘”的侥幸心理。怎样消减“定势思维”的缺点？我觉得，要放弃对旧有思维的“执著、迷信、迷恋”，试着换个角度“重新思考、脱胎换骨”。如果甲同学留心、有心、用心去实践那样一条建议：“思路过程感到难，别钻牛角死向前，评价思路早推断，前进倒车容易选”，那么他非常可能发现新的思路，从而可回避“怪兽”，迅速破题。你试想一下，甲同学遭遇怪兽后，他理智地沿着原思路：

“BP?PE?BP2?PE2?AB2?AP2?BC2?CE2（这是解题者的“代数运算”理念所催生的思路）”往后倒退，当他退到“BP=BE”这一主干后，他抛开了先前的代数运算理念，专注于图上的“图形结构”，少顷，他洞见到主干“BP=BE”有另一条支流：BP?PE??BAP≌

?BCE?AP?CE?OP?OE?PE?2?4－t??未知领域。这样一来，我们

可以想像，如果甲同学的思路流淌滞留于“AP?CE或OP?OE”这一结点，那么甲就不再是以前的甲，他会精进为以后的乙；另外，如果甲同学的思路流淌滞留于“PE?2?4－t?”这一结点，那么甲就不再是以前的甲，他会蜕变成以后的丙；

（三）、对于第（2）小题的第③种情况，甲同学的“代数运算”方法，我们刚才已经讨论了它的好与歹，这里着重反思、揣摩一下乙同学对这一情况的思路。

情况：EP?EB?点E一定在BP的中垂线上，他由?PBE为等腰三角形的第三种又因为凑巧这条中垂线刚好与PD平行，所以?点E必为BD的中点（在这里，如果说用到了“三角形中位线定理的推论”，那么“这步推理”确实超越了教材

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知识点的范围；但如果说可以用“相似三角形中的A型图”来进行推导，那么它显然没有超越教材范围）。但接下来，如何获取线段BD的中点坐标？这一步就有所争议了！乙同学的解题叙述是：?由点B（﹣4，4）和点D（t，t）易求

－4?t4?t得BD中点坐标为（，），其中“易求”是什么意思？是直接用“中

22点坐标公式”来求吗？还是在真心不知这一公式的情况下，在求获E点坐标的过程中，也在无意识中，相当于将“中点坐标公式”给推证了一次呢？在这里，读者可能会问：细究这个有啥子噱头？人家乙同学能很快就求得点E的坐标就够了噻！你还紧倒追究他的原因想做啥子嘛？其实，笔者无非是想借此引出两个话题，一个是“飞升技能”的问题，另一个是“反思异物”的问题。

关于“飞升技能”的说法，纯粹是笔者矫情臆造，因为我还没有找到更好的词语来概括它，读者姑且就只当它是一个符号而已，只要笔者能用它来表达清楚意思就行。笔者想用“飞升技能”来代表那些教材上没有明确给出（不要求学生直接掌握），但在习题中可以提炼出来的具有“一般代表性”的有趣结论，如：两点之间的距离公式、中点坐标公式、关于象限的角平分线对称的点的坐标特征、十字相乘法、内心角公式、射影定理、相交弦定理??这些结论很可能成为学生解题思维的跳板，对解题思维的产出具有润滑作用，但这类“小技、小巧”该不该给学生提炼总结呢？真是两难选择啊！一方面“小技、小巧”会加重学生的记忆负担，另一方面“小技、小巧”又会加快学生的解题思路；一方人说“小技、小巧”乃如雕虫小技，不值得去提倡、摆弄，而“至理大道”类如雄才大略，推行起来轻快、自然，另一方人又说“小技、小巧”，恰逢时，偶得便捷，而“至理大道”，路漫漫，其修远兮。我认为，如果鱼和熊掌不可兼得，那么就在其间寻求平衡。对于教材习题中蕴含的重要而有趣的结论，教师恰当总结、提炼，重结果、更重过程，让学生在理解推导过程的基础上，针对自身情况稍加记忆，如果幸运，他日考场相见时能对破题思维有所启发，再作出灵活、适度的解题书写。所以，关于“飞升技能”，笔者的倾向是要让考生知道：用的住就尝试用，但切不可一见到它的身影，就想方设法愣要用，那种“别人不知，惟吾独晓”的心态，如果太固执的话，只会葬送考试时间，反而遭遇“思维定势”之不利时态那一面，如此庸人自扰、那又何必当初？故考生应切记“飞升技能”的使用精神是：用之方便则用，用之不便则弃！

关于“反思异物”的说法，笔者是想描绘它们有别于前文中谈到的“怪物或怪兽”，怪物或怪兽在本文中是指“大运算量的计算对象”或“超越教材知识范围的运算方式”，在解题路上若遭遇它们，笔者的建议是避而远之，不宜死磕，应该倒车绕行，沿着原思路往后退，看看在哪一个结点处有未被关注的支流，也许那恰是一条主流渠道，能带领我们绕过“障碍”，直达胜利的彼岸！在定势思维陷入困境时，自救的方法正是这“倒车绕行、弃暗投明”之术。那“异物”与“怪兽”又有何不同？这不太好形容，我认为对于一个解题者，“异物”是指在解题过程中遇到的那些让人“感觉怪怪”的推理依据，这些怪怪的依据可能就是刚才提到的各种“飞升技能”。在解决问题的某一条思路上，如果要用到某个或某些“飞升技能”，那么解题者应该怎样来反思和评价这条思路呢？我认为，若身处考场，则无需反思，理应抓紧时间去斩获新的分数（分数就是王道），毕竟对于一个解题者而言，他自己能够轻松应对的方法就是“最好”的方法。但如果

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处身平时，尤其是对于一个优生（渴望高效解题的人）来说，特别是对于一个教师（有心澄清认知的人）来说，至于对一个解题研究者（有意描绘心思的人）而言就更不别说，他们都应该静下心来，理智地反思“异物”。在解题路上，虽然解题者有时能轻驾“异物”作“跳板”，从而顺利、快速破题，但大凡“异物”之萌生皆由本心（定势思维）所造，究其缘由大多是思路没有步入“正道、康道”所致。未涉入光明、康健之路，感染异物，遭遇怪兽，皆乃咎由自取。这话说得怪吓人的，但实话实说，考场上就是不缺死钻牛角，不愿倒车的“倔强蛮牛”，考场外就是不乏死磕怪兽，决意厮杀的“绝地武士”。殊不知，退一步海阔天空，尽管“条条道路通罗马”，但那“畸形之路”、“崎岖之路”怎比美这至理大道所照耀的“光明之路”、“康庄之路”呢？但如果有读者感叹曰“体验畸路可正心，偶走崎岖见险峰”，那么，那就是另一番学问了！

（四）、有一种“回心转意”的乙，会蜕变成“数形贯通”的丙。回顾一下

情况：EP?EB?点E一定在乙同学的思路：由?PBE为等腰三角形的第三种BP的中垂线上，又因为凑巧这条中垂线刚好与PD平行，所以?点E必为BD的中点。由于乙同学偶然性地恰好精于“飞升技能”——中点坐标公式，因此他顺势、顺利破题。但如果乙同学压根就不知道世界上有中点坐标公式，那么他又该怎样去求点E的坐标呢？如果他精于思维之术，他去构造了一个以BD为“斜腰”的直角梯形，而后他利用“三角形的中位线定理”求得了中点E的坐标，胜得出路！但这种“精”是一个“优生”才能爆发出来的素质，一般人等只能“望尘莫及”，就连吾等教师也不敢自夸能“全心驾驭”，因此这种“异物”给我们的启示是：感觉怪怪的，这会是命题者的意图吗？如果这真是命题者的意图，那么这道题未免也太节外生枝了！如果命题者单独命这样一道题：在平面直角坐标系中，已知点B坐标为（﹣4，4），点D坐标为（t，t），试求BD中点E的坐标？那么像这样一道题，我们尚且可以接受，并按照构造“直角梯形”的思路去投石问路。但命题者如果有意在一道大题中安插这样一个涉及“飞升技能”的小插曲，那么如此“满肚坏水”、刁难考生，未免也就太不文雅，定遭唾沫。通过如此一番反思“异物”，解题者更情愿相信自身的思维没有进入“康道”。

让我们来试想一下，乙同学反思“异物”后，他理智地沿着原思路： “EP?EB?点E一定在BP的中垂线上?可证：点E是BD的中点?我有办法快速求获点E的坐标（这是解题者基于他的“飞升技能”所催生的思路）”往后倒退，当他退到“EP?EB”这一结点后，他有意留心图上的“图形结构”，哦！既然已证：∠BPE=45°，?那么，此刻的∠EPB也应该等于45°，?从而

Rt?，?于是可证：?POE≌?ECB，经∠BEP=90°?于是?EBP会成为一个等腰继续思量，他的脸上露出了诡异的微笑。实践证明：丙同学经“倒车搜捕”，在

“EP?EB”这个结点处发现了先前未被关注的支流，没有料到这恰恰是一条主流渠道。可见，树立“几何直观”的意识，更多地关注图上的“几何结构”能让人透过抽象之“数”，洞见生动之“形”，我看这更接近命题者的意图吧！倘若你会说：去去去！只要考生能顺利、快速把分数拿到手，我还管他什么意图不意图？

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那么我也就只能答：哎！其实我也与你一样。但作为教育者，我只想弱弱地叫一声：揣摩命题者那些“令人敬畏”的命题意图，能让我们感受出数学教育的方向！

（五）、关于甲、乙二位同学对于第（2）小题的第③种情况的解法来看，甲同学的“执迷不悟” 显然是笔者有意安排的，但乙同学的解法却是普遍地真实存在的“实战解法”。可怜甲同学，被笔者强行“升级”，他固执而艰辛地走完了自己的“崎岖之道”，此种解题精神可敬仰却不可效仿，所以甲同学如此解题稍显愚钝，全在他一心只关注于“数”，而没有留意到“形”，从而才无缘得见“丙氏”巧法。乙同学的解法较为顺手，这得益于他本人的恰巧能派上用场的某一“飞升技能”，其间多少含有点运气的因素。所以我们应该推崇“丙氏”巧法，树立“数形结合”的意识，培养“数形渗透”的理念，此乃至理大“道”中的“正道、康道”。华罗庚说“数缺形，少直观，形无数，难入微”。可见，数与形，宜相互渗透，尤其在平面直角坐标系中，解题者若能留心撮合二者，则易瞧见比翼之美，睹尽翩翩舞姿。

（六）、从甲、乙二位同学的探索思路来看，第（3）小题无疑是难题，但若从丙同学的探索思路来看，第（3）小题陡然化难为易，成为小事儿一桩，或者说此时的丙同学压根儿就没有经历过一个“化”难为易的过程，他不费心机就自然、轻快地联想到了第（3）小题的解法，为什么呢？因为他的思路进入了“康道”（更确切地说是进入了康道中的便道）。我们容易感受到，在丙同学的解法中，最关键的一步是“对第（2）小题的第①种情况的构思”，这种构思对整个后续解题起到了功不可没的推进作用。

（七）、作为一个想从这道中考题的身上“榨取油水”的解题者来讲，作为一个经常怀揣“做题，不可白做”之心思的同学来讲，作为一个希望从一道典型题的身上获取“解题经验和思维体验”的同学来讲，作为一个相信能通过解题来“不断丰富和重组自我认知结构”的解题者来讲，作为一个倾向于“坚信任何人都可以通过不断学习来成长”的成长型思维之个体来讲，他们都不禁要问一句话，题目中的那个“关键的一步”，我是怎样想到的？如果我没有想到，那么他又是怎么想到的？如果他本人又不在我身边，那么我只能试着去揣摩他的心思，把那个“关键的一步”进行合理化，尽量说服自己，将那个“心思”内化、重组到自我的认知结构中，让它成为“新我”的解题思维自然流露的一部分。

（八）、丙同学的那个“关键的一步”是什么？答：是延长OA到点F，使得AF=CE，连接BF。当然这样的“辅线操作”只是这个“关键”的表象，而其实质则是要通过构造“△FAB≌△ECB”来得到“△FBP≌△EBP”的思维需求！丙同学又是怎样想到这个“关键的一步”呢？答：是思维的偶然性与必然性的交合！

何以能出“偶然”之言呢？

△PBE为等腰三角形，第一种情况是：BP=BE，三位同学对这一出发点的后续联想的“停顿之处”就体现了“各自的偶然性”，不妨直接用“甲、乙、丙”来分别表示三位同学“当时”的想法，而且实际上，这三个同学“各自的偶然想法”随时都会变成另一同学在“其它时段、其它情况下解本题时”的偶发性联想，

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即可以用“甲?甲、”这样来符号，甲?乙、甲?丙；乙?甲、乙?乙、乙?丙；丙?甲、丙?乙、丙?丙；来分别表示这三位同学在“新环境中”解题的联想偶然性，其中“甲?甲”表示：甲同学在新环境中解题时仍然沿袭了他本人旧有的思路； “甲?乙” 表示：甲同学在新环境中解题时偶然联想到了乙先前用过的思路；其它符号同理释之。

现在不妨来揣摩一下三位同学的心思： 甲同学一边念着“BP=BE”，一边看着图形，他的注意力“停顿在勾股定理上”，他由BP?PE? BP2?PE2，然后他又联想到：AB2?AP2?BC2?CE2 ，在这里，甲同学看到了“求出点E的坐标” 是一个关键的步骤，他觉得自己能够用待定系数法求获点E的坐标，于是他的脸上露出了诡异的微笑（笔者也同意自己的思路可能与他相合！），接着便发生了后面应该发生的事。

乙同学看着：BP=BE，他联想到可以证明：△BAP≌△BCE，而后其注意力“停顿在AP=CE或OP=OE上”，接着便看出“求点E的坐标”是一个“关键的步骤”，当时的他知道自己能够胜任用“待定系数法”去捕捉点E的坐标（相信此思路也容易引发读者的共鸣吧！），从而思路洞开，于是才有了后面的话题。

丙同学由“△BAP≌△BCE”看出AP=CE，而后联想到：OP=OE，然后其注意力“停留在PE=（4－t）上”，接着其思维貌似受阻，“多半”会停顿一番??在这个节骨眼上，他若往后退，则很可能进入乙同学的思路，但显然这里丙同学的思维还在继续向前流淌。

此情此景中的“OP=OE”对于乙、丙两位同学而言，它是解题思路的“分水岭”，它引发了解题者后续思路的不同走向的“偶然性”。你看，乙同学的念头是：通过捕捉点E的坐标来构建t的方程，从而揪出t的值，所以“如何去捕捉点E的坐标”成为乙同学后续思维的“关键步骤”。你再看，丙同学的念头是：由OP=OE先得到PE=（4－t），然后自然产生了（还需要用“含t的另外一个代数式”来把PE表示出来的）思维需求，所以“如何去俘获PE的另一种表示式”成为丙同学后续思维的“关键步骤”。

可见，解题思路中的“某些关键步骤”的产生具有偶然性，它们缘起于不同的解题念头，受制于不同的解题理念，这些念头和理念会在“不知不觉”中把一个解题者的思路引领到不同的岔道上，是故解题思维颇具“偶然性”。

那又何出“必然”之言呢？

丙同学又是怎样想到?要通过构造“△FAB≌△ECB”来得到

“△FBP≌△EBP”之思维需求的？答：既然已经点明它是一种思维需求，那么它就是一种可以真切感受到的心理需求，这种心理需求一旦被丙同学感受到了，甚至被它强烈地感受到了，那么对他本人而言，他像那样去进行“辅线设计”，当然就具有其中的“必然性”。那么，不禁又要追问，丙同学又是靠什么让他感

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受到那种心理需求的？是什么东西在怂恿他产生“如此辅线设计”的冲动？答：这个，我就不好揣摩了！嘿嘿！是必然性！哎??还是必然性！麻油！究竟是啥子必然性？卖你个球关子啊！（诸公！我没有卖关子，我也没有笑，压根儿就笑不起来，我在思考，我在思索，我在费心驾驭那狂蹦乱跳的野马，等它安静，我在内视那漫天飞舞的思绪，等它沉淀，我在倾听那浑浊荡漾的念头，等它澄清??）对了，也许是一种精于思维之术而铸就的必然性，亦或（我更倾向于揣摩），那是一种熟于经验之技而催生的必然性。

如果说是“精于思维之术”，那么，我们不得不假设丙同学是第一次做这道题，甚至要假设他在此之前没有体验过与此“相同的”的辅线设计。在这样的陌生环境中，容我来糊乱地揣摩一番：丙同学想，目前已经有：PE=（4－t），另外，PE具体等于多少？或说PE又可以用什么t来表示？我又实在看不出来。在这个节骨眼上，我应该在图中去“寻找”一条与PE相等的线段，然后看它等于多少？或者看它可以如何用含t的代数式来表示，然而我也没有发现这样的“中介线段”。接下来，我可以试着在图中去“构造”一条与PE相等的线段，而后看看它等于什么？

有了这种要构造“新线段”的思维需求后，各种尝试便相继展开，能否尝试成功，要讲运气，这就太具有偶然性了。但辅助线的尝试显然不是糊乱地随机拼凑，全靠运气来取得成功，倘若真靠随机尝试，那考场上的120分钟够你挥霍吗？倘若辅线设计真的是随机拼凑，那么何以去培养学生“由心而发”的创造性？那么何以去佐证辅线设计乃“由境、应需构造”一说？

丙同学凝视着图1，念着∠EBP=45°，他知道∠ABP+∠EBC=45°=∠EBP，在这里，突然（这真的太有偶然性了）他想到了将∠ABP和∠EBC拼到一起的念头，随之一个直观的但还未画出的图形在他的脑海中掠过，他朦胧地直觉到其中好像有新的“全等三角形”要诞生，而这些三角似乎与PE有关！接着，丙同学拿着铅笔在正方形ABCO外，勾画了∠FAB，使它等于∠EBC，而点F则矗立在PA的延长线上，他稍作思量，哇！成功了！我成功了！我真的成功了！眼眶泛着泪光??天??啊！我的PF啊！我苦苦追寻的“梦想”，你原来就倚靠 在这灯火阑珊的地方，显得如此璀璨夺目，与身旁那“渐远渐近”的PE交相辉映。PF！你是吾之所爱，你存在，我深深的脑海里，在我梦里，在我心里，在我纷飞的思绪和偶发的念头里。哭吧，泪水已模糊我的双眼，哽咽了，热泪盈眶，这是一个人由心而发的创造性。生命中，能有幸体验到这种创造力，这是老天对一个追梦人的最佳馈赠，他让你体验一段无以复加的幸福！他让你感受一段与美同在的时光！这是由心创造与偶发念头的交合，一种交相辉映的相互渗透，创造性伴随偶发念头由心而发，但其间难道就没有任何必然性吗？非也，倘若

∠ABP+∠EBC≠∠EBP，谁会无聊得将它们进行拼合？笔者认为，解题者的注意力如果停留到“∠ABP+∠EBC=∠EBP”这个“潜在的关键点”上，那么“图2”的辅线设计便具有了合乎情理的“必然性”，由此印证了辅线设计乃“由境、应需构造”一说。

笔者深深地感受到这种精于思维之术而铸就的必然性，它太让人深受震撼，它唤起了我们的数学创造，但它也太让人深感惧怕，它令我们总担心自己望尘莫

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及。这种精于思维之术而铸就的“必然性”在那水天相接的心灵远方渗透着妙不可言的“偶然性”，宛若“落霞与孤鹜齐飞”，俨然“秋水共长天一色”。是的，心灵总在远方，在那伸手遥不可及，举目不容明视的地方，但那却是，我们骑乘天马可以企及的地方，那是我们思绪荡漾如落霞，念头纷飞如孤鹜的地方，“水天相接，共着一色”，我想这恰是我们的教育理想。“天”是思维之道，为人之道，自然之道，“水”是人心，天道罩人心，心中自有天道之影，天降落霞渗于水，水升孤鹜心向天。偶然中见时常，时常表于偶然，反思解题领悟思维之道是一种必然，而题目探索心路历程中的点点偶然色彩，宛如“落霞”与“孤鹜”，赋予了这种必然性更浓的神秘光泽。笔者真心忏悔，实无能力全心驾驭这种“精于思维之术而铸就的必然性”。

所以我宁愿把“丙同学的辅线设计”权当作是一种熟于经验之技而催生的必然性，这样一来，我便不再惧怕自己不能由心修补、应需构造。现在，让我们大胆设想，在解本题之前，丙同学曾经体验过类似的“利用旋转来构造全等三角形”而后成功破题的经历，并且对于这个“旋转45°角的基本模型”（即：一个45°的角，它的顶点与某个直角的顶点始终重合，然后让它在这个直角的内部旋转，你能发现什么？这里又如何可以去实现“化分散为聚拢”？）有着深刻的印象不说，甚至早已把它内化、交织到了自己的知识仓库中。在解题探索中，丙同学已经在第一波联想中捕捉到“PE=（4－t）”，当时的他急需再去俘获另外一个“含t的PE之表示式”，在这个节骨眼上，他凝视图1中的“∠EBP=45°，∠ABC=90°”，他一眼就看穿了“点P、点E位置的变化”等效于“45°角在90°角的内部，绕着它的顶点旋转”，哦！这难道不是记忆中的“一只孤鹜”吗？俺早就弄清它的“底细”了，到此，丙同学的脸上露出了诡异的微笑，于是“图2”的构造与尝试，成为他本人因熟于经验之技而催生的必然性，这种必然性显而易见为一种“响当当”的毋庸置疑的“必然性”。

怪不得，笔者要说：丙同学的那个“关键的一步”是思维的偶然性与必然性的交合！解题中，漂浮不定的偶然因素是不好驾驭的，那么就让我们尽量去掌握那些“有板有眼”的必然因素吧！这些有板有眼的“必然因素”又是什么模样呢？请读者通过阅读下面的文字去体会。

我们要知道解题探索中的某一念头不会无缘无故地产生，它的产生来自于对过去解题经验的反思和总结（这些经验与反思让我们的成功解题在淡薄的偶然性中获取了更浓的必然性！），它的产生也来自于在临场中对“已知”与“待求”所作的积极对比联想和尽量牵线塔桥（这些联想与举措也让我们的成功解题在淡薄的偶然性中获取了更浓的必然性！）。其实，解题探索中的某一念头与所谓灵感的产生必然要遵循人脑思维的套路，而这个套路又何以言表呢？我看——或者是读懂已知，综合联想，重修旧灶、故技重施；或者是归类分析，追溯需知，对比创造、应需构造；总体感受是：由“道”导航，投石问路，微调修正，寻归正途??仿佛如是耳！然则此“道”又乃何意？我看它是高于解题所需的基础知识与基本技能之上的思维方法，这些方法对解题起着至关重要的作用，但令人遗憾的是它往往被初学解题的人所忽略，这些思维方法有很多，且并非只限于单独使

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用，如“触景生情”式启发性类比联想，“油然而生”式波动性直觉联想，“连续顺推”式综合法递进联想，“执果索因”式分析法追溯联想。

平面几何着重培养我们的逻辑思维和形象思维，其中渗透着几何直观和几何直觉。怎样让学生学好平面几何，笔者总结了八个步骤，编成口诀如下：

学好几何有八点，一点一阶迈向前： 1、背记定理与概念，图形结论记心间； 2、书写详略别随便，格式逻辑都关键； 3、题型方法多总结，识别出来好下笔； 4、基本图形要熟练，提取识别多胜算； 5、分析综合兼顾选，困难再多也会减；

6、思路过程感到难，别钻牛角死向前，评估思路作推断，前进倒车容易选； 7、真心体悟辅助线，几何精神现其间；

8、辅线设定有意图，若遇推证路难走，对调设定与意图，思路微调易结果。 世人都普遍惯用一种“启发式联想”的思维方法，它就是在“一道题目苦思冥想不得要领”的这个“节骨眼”上可以派上用场的那些“一般性的”，然而却又对所有题目都适用的探索手法，它可以帮助我们进一步去探索、挖掘问题中蕴含的次生信息，继而洞察出题目中的隐含条件或基本图形，随之让人朦胧直觉或顺势联想到“已知”与“待求”之间的某种可能联系，当然这也会让人联想到过去与此相似的经验和做法，并从中筛选出一些较为合理、可行的措施，展开试探，从而增大成功解题的可能性。

（九）、对于第（2）小题的第①种情况，在乙、丙两位同学的心路历程中可能飞出一个“丁同学”来，但随着后续解题，这个“丁同学”又会湮灭，化作或甲，或乙，或丙，或某。这是何意？最后再来回味一番，丁同学想：

?PBE为等腰三角形的第一种情况：BP?BE??ABP≌?BCE?

1?∠ABP=∠CBE = （90°－45°）=22.5°，在这里丁同学突发奇想，如果连接

2BO，则BP一定平分∠ABO，再作PF⊥BO于点F，则?FPO必为等腰Rt?，所

以，FO=FP=AP=4－t，于是得：t2＋t2＝?4－t?，或直接得：4－t＝2t也可！

2简捷吗？然而是什么心理因素在支撑丁同学尝试这样的辅线设计呢？这留给读者去揣摩??

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如果第（2）小题的第①种情况，像“丁同学”这样来处理，那么第（3）小题又该咋个办呢？回归甲的方法吗？回归乙的方法吗？回归丙的方法吗？不知前面还有多少空间，留给读者去探索??

但凡解决一个数学问题，最终可能有不同的方法，但每一种方法诞生之前，都貌似有一个探索式求解的过程，这个过程包含着“试错、微调、修正、定论”的基本步骤，它是思维程序的“智能选择”运行过程。这个过程中的每一个举措都有人的认知心理因素在使作，这些因素包括了每一个人所知晓的思维方式与策略，数学思想与方法，以及他蓄势脑海的各种经验和感受条件刺激后荡漾心田的各种念头。尤其是如果头脑知识仓库中缺失了有机组织在一起的稳固经验，那么便不会有感受条件刺激后应运而生的活跃念头，从而便无从有解题探索的出发点，而破题方法的诞生更会成为一种无稽之谈。

先于探索式求解之前的初始念头，以及探索式求解之中的次生念头，一方面犹如题干的各种信息刺激我们头脑的知识仓库后，在心田击起的水纹涟漪，宛若平静的湖面上，偶一“孤鹜” 心系长空，拍水飞身而去，只留下湖面微波还在荡漾不休，湖底鱼虾还在窜动不已。这些初始念头与次生念头，另一方面也如头脑知识仓库中的旧模式，运用到题目新环境的一瞬间，在脑海中摩擦出的电光火花，仿佛五彩“落霞”笼罩心田，倒映其中，水中似有鱼虾弄影，云影天光，与共徘徊，它们实而飘渺，转瞬即逝。初始、次生之念头，如此这番，且动且静，虚实恍惚，但从我们捕捉到它的那一刹那开始，一条忽明忽暗的光线便在向我们投射，寻着它，走走瞧瞧，一方终将澄清的天空便在为我们洞开。

解题成败，解法是非，总在一念之间。必然时有飘渺，偶然偶无虚幻，一个念头，一朵花，一朵花开，一方天，一寸方天，一世界；一个念头，一埃尘，一埃尘落，一出路，一条出路，一心境。渐知，人生路恰似解题路，出入明暗，皆乃一念之间，顿觉，一沙一世界，一花一天堂，无限掌中置，刹那成永恒。

2015年12月

提供一道变式题：

如图3，将边长为m的正方形ABCD进F A D 行折叠，使点D落在AB边中点E处，折痕

为FH，点C落在点K处，EK与BC交于点G，连接DE、DG，则下列说法中，哪些是正确的？

E ①、BG?CG；

②、?EBG的周长是2m； ③、tan∠EDG＝1； ④、DF＝3GH；

⑤、S?DAE+ S?DCG=S?DEG； ⑥、S?EBG︰S?EGD=2︰5；

B G K 图3 H C 32

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