2014年高考理科数学试题分类汇编 圆锥曲线与方程 word版含答案

2014年高考数学试题汇编 圆锥曲线

一．选择题

1. （2014大纲）已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、

2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）

A ．14

B ．13

C ．4

D 3

【答案】A ．

2. （2014大纲）已知椭圆C ：22

221x y a b

+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为

3

，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ?的周长为C 的方程为 （ ）

A ．22132x y +=

B ．2213x y +=

C ．221128x y +=

D ．22

1124

x y += 【答案】A ．

3（2014福建）设Q P ,分别为()262

2=-+y x 和椭圆11022

=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（ ） A.25 B.246+ C.27+ D.26

D

4、(2014四川)已知F 为抛物线2

y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ?=（其中O 为坐标原点），则ABO ?与AFO ?面积之和的最小值是（ ）

A 、2

B 、3

C 、

8 D 【答案】B

【解析】

B y y y y y y y S S y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y OB OA OB OA S y S y y y y y y y y y y OB OA y y y y B y y A F x y AOB AOF AOB AOF 选，即））（设.32892≥289282244444θtan ∴511

1

)1)(1(222||||θcos θtan θtan 21θsin 21,4121∴2

-01-(2∴2,θ,0,0),,(),,(),0,4

1(∴1

111111ΔΔ1112112

141121412221222122212221222122422141Δ1Δ212121212221212221212=?+=++=++=+=++=++=++=++=+++=++=++=

=??=???=??=

==+=+=>=<<>= 5(2014重庆)设21F F ，分别为双曲线)0,0(122

22>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在

一点P 使得

,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =?=+则该双曲线的离心率为（ ） A.34 B.35 C.49

D.3

【答案】B

【解析】

.,35,5,4,3,34∴,2-,49,3,,,22221B a c c b a b a b a c a n m ab mn b n m n m PF n PF m 选令解得则且设====∴=+===

=+>==

6(2014新课标I).已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为

A

. B .3 C

D .3m

【答案】：A

【解析】：由C ：223(0)x my m m -=>，得22

133x y m -=

，233,c m c =+=

设)F

，一条渐近线y x =

，即0x =，则点F 到C 的一条渐近线

的距离d =

A. . 7(2014新课标I).已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =

A .72

B .52

C .3

D .2 【答案】：C

【解析】：过Q 作Q M ⊥直线L 于M ，∵4FP FQ = ∴34

PQ PF =，又344QM PQ PF ==，∴3QM =，由抛物线定义知3QF QM == 选C

8. （2014辽宁）已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，学 科网过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ）

A ．12

B ．23

C ．34

D ．43

【答案】D

【解析】

..3416-82-8),0,2(∴8,016-6m -163)-8(m 28

3-m 4∴.,0),8

(.4,82,8,)3,2-(222222

2

D m m m m k F m m m m m k k m m m B y k y y x y A BF AB 选解得，则，设即求导得：所以在准线上=====+=+==>==′?= 9. (2014新课标II)设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）

A. B.

C. 6332

D. 94 【答案】 D

..4

9)(4321.6),3-2(2

3),32(233-4322,343222,2ΔOAB D n m S n m n m n n m m n BF m AF B A 故选，解得直角三角形知识可得，

，则由抛物线的定义和，分别在第一和第四象限、设点=+??=∴=+∴=+=?=+?===10(2014天津)已知双曲线22

221x y a b

-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）

（A ）22

1520

x y -= （B ）221205x y -= （C ）2233125100x y -= （D ）22

33110025

x y -= 【答案】A

【解析】

依题意得22225b a c c a b

ì?=???=í???=+??，所以25a =，220b =，双曲线的方程为221520x y -=. 11. (2014广东)若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k

-=-与曲线22

1259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等

09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+答案:D

提示:从而两曲线均为双曲线,

又25故两双曲线的焦距相等,选D.

12(2014山东)已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22

221x y a b

-=，1C 与2C

2C 的渐近线方程为 （A

）0x =（B

）0y ±=（C ）20x y ±=（D ）20x y ±=

【考点】椭圆、双曲线的几何性质.

13. (2014湖北)已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=

,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）

A.

B

二．填空题

1(2014湖南).如图4，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为(),a b a b <，原点O 为

AD 的中点，抛物线)0(22>=p px y 经过F C ,两点，则_____=a b .

2 (2014上海)若抛物线y 2

=2px 的焦点与椭圆1592

2=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.

【答案】 x=-2 【解析】2

-2-)0,2(2)0,2(15

922

2==∴=∴=+x x px y y x 所以，是其准线方程为焦点为右焦点为 3（2014浙江）设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线122

22=-b

y a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________

4(2014北京)设双曲线C 经过点()2,2，且与2

214

y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.

5(2014安徽)若F 1，F 2分别是椭圆E ：122

2

=+b y x （0＜b ＜1）的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若B F AF 113=，x AF ⊥2轴，

则椭圆E 的方程为 . 14．12

322=+y x

6. (2014江西)过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b

+=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为

【解析】

()()

()()()(

)1122221122222222

12

121212222222

,,1101222022

A x y

B x y x y a b

x y a b x x x x y y y y a b

a b

a b e +=+=-+-+∴+=-?∴+=∴=∴=设则 7. （2014辽宁）已知椭圆C ：22

194

x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .

【答案】12

【解析】 12

122222)052(),0,5-2(,),0,0(.),05(),05-(2121=+∴=?=+=+BN AN a Q F Q F BN AN B A MN Q M F F ，，则的中点是线段令用特值法，，如图，焦点三.解答题

1. (2014广东)（14分）已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>

的一个焦点为，离心率

为 （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.

222

22

00

22

00

22

:(1)3,954,

1.

94

(2),,4

(3,2),(3,2).

(),

(),1

94

(94)18(

c

c e a b a c

a

x y

C

x y

y y k x x

x y

y k x x y

k x k y

====∴==-=-=

∴+=

-±±

-=-

=-++=

++

解

椭圆的标准方程为:

若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P共个,

它们的坐标分别为

若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为

即将之代入椭圆方程中并整理得:

2

0000

222222

000000

2

2220

0000122

22

00

)9()40,,0,

(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,

4

(9)240,,1,:1,

9

13,(3,2),(3,2)

kx x y kx

k y kx y kx k y kx k

y

x k x y k y k k

x

x y

??

-+--=?=

??

??

----+=--+=

??

-∴--+-=∴=-=-

-∴+=-±±

依题意

即:即

两切线相互垂直即

显然这四点也满足以上方

22

,

13.

P x y

∴+=

程

点的轨迹方程为

2. (2014江苏) (本小题满分14分)

如图,在平面直角坐标系xOy中,

2

1

,F

F分别是椭圆)0

(1

2

3

2

2

>

>

=

+b

a

b

y

a

x

的左、右焦点，顶点B的坐标为)

,0(b，连结

2

BF并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结C

F

1

.

(1)若点C的坐标为)

3

1

,

3

4

(,且2

2

=

BF,求椭圆的方程；

(2)若,

1

AB

C

F⊥求椭圆离心率e的值.

3(2014陕西)（本小题满分13分） 如图，曲线C 由上半椭圆22122:1(0,0)y x C a b y a b +=>>≥和部分抛物线

22:1(0)

C y x y =-+≤连接而成，12,C C 的公共点为,A B ，其中1C 的离心率为2（1）求,a b 的值；

（2）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ），若AP AQ ⊥，求直线l 的方程.

【答案】 （1） a=2,b=1 （2） )

1-(38

-x y =

【解析】 （1）

1

4

,3,1,2∴,23.1∴)0,1(),0,1-(1-2222

22

2=+===+===+=x y

c b a c b a a c b x y 椭圆方程为联立解得又，交于点抛物线 （2）

)

1-(3

8

-.

3

8

-,0)2(4-)2,1)(4-,(,

0)2k -k - -k,()4

k 8- 1,44-(,0∴⊥),0,1-()2k --k ,1--k (,2k --k )1-(,1--k 0,

1-k -:1-)

4

k

8-,44-(,4k 8-)1-(,44-04-2-)4(,44)12x -(14

),,(),,(),1-()0,1(22222222222222211221222222222

2211x y k k k k k k k k AQ AP AQ AP A Q x k y x kx x x y k k k P k x k y k k x k x k x k x x k x y y x Q y x P x k y B ===+=+=?+++=?====++=+++==+==++=++=+=所以，所求直线方程为解得即即即由韦达定理得联立得与即由韦达定理得，

即联立得

与的直线方程为设过

4. (2014新课标II)（本小题满分12分）

设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b

+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N. （Ⅰ）若直线MN 的斜率为

34

，求C 的离心率；

（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .

【答案】 (1) 21

（2）72,7==b a

（1） .2

1∴.2102-32.,4

321∴4322222211的离心率为解得，联立整理得：且由题知，C e e e c b a c a b F F MF ==++==?=

（2） 7

2,7.

72,7.,,1:4:)23-(,:.2

3-,,.4,.4222221111112

2====+===+=+====?=b a b a c b a a

c e NF MF c e a NF ec a MF c c N M m MF m N F a

b MF 所以，联立解得，且由焦半径公式可得两点横坐标分别为可得

由两直角三角形相似，由题可知设，即知，由三角形中位线知识可

5(2014安徽)（本小题满分 13 分）

如图，已知两条抛物线1E ：x p y 122=（01>p ）和2E ：x p y 222=（02>p ），过原点O 的两条直线1l 和2l ，1l 与1E ，2E 分别交于1A ，2A 两点，2l 与1E ，2E 分别交于1B ，2B 两点．

（I ）证明：11B A ∥22B A ；

（Ⅱ）过O 作直线l （异于1l ，2l ）与1E ，2E 分别交于1C ，2C 两点．记111C B A ?与222C B A ?

的面积分别为1S 与2S ，求2

1S S 的值． （Ⅰ）证：设直线1l ，2l 的方程分别为x k y 1=，x k y 2=（1k ，2k ≠0），则

由???==,2,121x p y x k y 得 )2,2(1

12111k p k p A ， 由???==,2,221x p y x k y 得)2,2(1221

22k p k p A ， 同理可得)2,2(212211k p k p B ，)2,2(2

22222k p k p B ． 所以)11,11(2)22,22(

1221221112121122111k k k k p k p k p k p k p B A --=--=， )11,11(2)22,22(1

221222122221222222k k k k p k p k p k p k p B A --=--=． 故222111B A p p B A =

，所以11B A ∥22B A （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知11B A ∥22B A ，同理可得11C B ∥22C B ，11A C ∥22A C ，

所以111C B A ?∽222C B A ?，

因此2

21=S S ． 又由（Ⅰ）中的222111B A p p B A =

21p p =， 故22

2121p p S S =． 6(2014江西)（本小题满分13分） 如图，已知双曲线)0(1222

>=-a y a

x C n 的右焦点F ,点B A ,分别在C 的两条渐近线上，x AF ⊥轴，BF OB AB ,⊥∥OA (O 为坐标原点）.

（1）求双曲线C 的方程；

（2）过C 上一点)0)((00,0≠y y x P 的直线1:

020=-y y a x x l 与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明点P 在C 上移动时，NF

MF 恒为定值，并求此定值 【答案】（1）1322=-y x （2）3

32 【解析】(1)A(a

c c ,),B(a t t -,) 11-=-?-+∴a t c a t c 且t

c a t

a -=1，即2c t =，3=a …………………………… 4分 即13

22

=-y x …………………………………………………………………… 6分 （2）A(2，3

32)，13:00=-y y x x l ，F （2,0）， M(2，00332y x -)，N(23，0

022y x -)………………………………………………… 9分 ()3323

|32||32|32)2(133|32|2)2(3|32|242413|32|00202002020020200

0=--?=-+--=-+-=-+-=∴x x x x x x y x y x y x NF MF ……………………………………………………………………… 13分

7. (2014新课标I) (本小题满分12分) 已知点A （0，-2），椭圆E ：22

221(0)x y a b a b

+=

>>F 是椭圆的焦点，直线

AF ，O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程；

（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ?的面积最大时，求l 的方程.

【解析】：(Ⅰ) 设(),0F c

，由条件知2

c =c =

又c a =，

所以a=2，222

1b a c =-= ,故E 的方程2

214x y +=. ……….6分 （Ⅱ）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y

将2y kx =-代入2

214

x y +=，得()221416120k x kx +-+=，

当216(43)0k ?=->，即2

34k >时，1,2x =

从而212143k PQ x -=-=

又点O 到直线PQ 的距离

d =?OPQ 的面积

21214OPQ S d PQ k ?==+ ，

设t =，则0t >，244144OPQ t S t t t ?=

=≤++，

当且仅当2t =，k =等号成立，且满足0?>，所以当?OPQ 的面积最大时，l 的方

程为：2y x =- 或2y x =-. …………………………12分 8(2014天津)（本小题满分13分）

设椭圆22

221x y a b

+=（0a b >>）的左、右焦点为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B .已知

12AB F =. （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，

经过原点的直线l 与该圆相切. 求直线的斜率.

【答案】 （1） 22

（2） 154±

（18）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识. 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质. 考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分13分.

（Ⅰ）解：设椭圆的右焦点2F 的坐标为(),0c .

由12AB F =，可得2223a b c +=，又222

b a

c =-，则2212c a =.

所以，椭圆的离心率2

e =

. ，所以22223a c c -=

，解得a =

，2

e =. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知222a c =，22

b c =.故椭圆方程为22

2212x y c c +=. 设()00,P x y .由()1,0F c -，()0,B c ，有()100,F P x c y =+，()1,F B c c =.

由已知，有110FP FB ?，即()000x c c y c ++=.又0c 1，故有

000x y c ++=. ①

又因为点P 在椭圆上，故

22002212x y c c

+=. ② 由①和②可得200340x cx +=.而点P 不是椭圆的顶点，故043c x =-

，代入①得03c y =，即点P 的坐标为4,33c c 骣÷?-÷?÷

?桫. 设圆的圆心为()11,T x y ，则1402323c x c -+==-，12323

c c y c +==，进而圆的半径

r =. 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y kx =.

由l

r =

3=， 整理得2810k k -+=

，解得4k = 所以，直线l

的斜率为4+

4-

9. (2014湖南)如图7,O 为坐标原点,椭圆1:C ()22

2210x y a b a b

+=>>的左右焦点分别为12,F F ,离心率为1e ;双曲线2:C 22

221x y a b -=的左右焦点分别为34,F F ,离心率为2e ,

已知12e e =

且241F F =. (1)求12,C C 的方程;

(2)过1F 点作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,当直线

OM 与2C 交于,P Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值

.

10、(2014四川) (本小题满分13分)

已知椭圆C：

22

22

1

x y

a b

+=（0

a b

>>）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个

端点构成正三角形。

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设F为椭圆C的左焦点，T为直线3

x=-上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C与点P，Q。

（ⅰ）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；

（ⅱ）当||

||

TF

PQ

最小时，求点T的坐标。

【答案】（Ⅰ）

1

2

6

2

2

=

+

y

x

（Ⅱ）

)1-,3-(

),1,3-(T

T或

【解析】（Ⅰ）

1

2

6

2

,6

,4

∴

,

3

,4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=

+

=

=

=

+

=

=

=

y

x

b

a

c

c

b

a

b

a

c

所以，椭圆方程为解得

（Ⅱ-1）

.

,2

36-x ?)2(30?)2(13-)2(13-3

12-∴0.6-1212)3(1244637378059220140614126),(),,(),2(1∴-.

0≠.0).0,2-(),,3-(21222212222222

22211PQ OT PQ x x m x x m x m

x m x m y PQ x m y OT m x x m x x m m x x x qq y x y x Q y x P x m

y FT F m k m PQ OT m F m T TF 平分线段所以线段中点横坐标即交点横坐标，解得方程与直线方程联立，即联立得完成时间与椭圆方程的直线方程为且垂直设过时下面证明平分线段时，当设=+=+=++=+=+==+=+=+++=+++=++===

（Ⅱ-2）

)1-,3-(),1,3-(,12.3226262262,113162131

62∴13

162)32-1(62)312-(3662)(6

262)()(2222

22222222121T T PQ TF m PQ TF TF PQ t t

t t t TF PQ m t m m m m m TF PQ m TF m m m m x x x a c a x a c a QF PF PQ 或取最小值时，点当所以为最小值，这时取最大值，即时，当则，令由上得，±==∴=≤+=+=>+=++?=+++?=+=++?=++=++=++=+++

=+=

11(2014山东)（本小题满分14分）

已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时，ADF ?为正三角形.

（Ⅰ）求C 的方程；

（Ⅱ）若直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E ，

（ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；

（ⅱ）ABE ?的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

12. (2014湖北)（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1. 记点M 的轨迹为C.

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