高二数学苏教版选修2-1精编讲义：第1部分 第2章 2.5 圆锥曲线的统一定义 Word版含解析

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1 _2.5圆锥曲线的统一定义

[对应学生用书P35]

抛物线可以看成平面内的到定点(焦点)F 的距离与到定直线(准线)l 的距离的比值等于

1(离心率)的动点的轨迹．在坐标平面内有一定点F (c,0)，定直线x ＝a 2

c

(a >0，c >0)．动点P (x ，y )到定点F (c,0)的距离与到定直线x ＝a 2c 的距离的比为c a

. 问题1：求动点P (x ，y )的轨迹方程．

提示：由(x －c )2＋y 2|a 2c

－x |＝c a ， 化简得：(a 2－c 2)x 2＋a 2y 2＝a 2(a 2－c 2)．

问题2：当a >c ，即0<c a

<1时，轨迹是什么？

提示：椭圆．

问题3：当a <c ，即c a

>1时，轨迹是什么？ 提示：双曲线．

圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．

当0＜e ＜1时，它表示椭圆，

当e ＞1时，它表示双曲线， 当e ＝1时，它表示抛物线．

其中e 是离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线.

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2

从抛物线的定义知，抛物线只有一个焦点和一条准线，那么椭圆、双曲线有几个焦点，几条准线？

提示：椭圆、双曲线分别有两个焦点，两条准线．

椭圆、双曲线和抛物线的准线方程

圆锥曲线的第一定义与第二定义的区别

椭圆、双曲线的第一定义突出了动点与两定点的距离关系，第二定义主要表现了动点与一定点和一条定直线的距离之比的关系，所以在选用两种定义时可根据题目条件的不同适当选择．利用第一定义可以把到一个定点的距离转化为到另一点的距离，利用第二定义可以把到定点与到定直线的距离互相转化，对于抛物线，第一定义与第二定义是一致的．

[对应学生用书P 36]

[例1] 过圆锥曲线C 的一个焦点F 的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆与F 相应的准线相交，则曲线C 为________．

[思路点拨] 利用圆锥曲线第二定义进行转化，由圆心到直线的距离和半径的大小关系，建立不等式求e 的范围即可判断．

[精解详析] 设圆锥曲线的离心率为e ，M 为AB 的中点，A ，B 和M 到准线的距离分别为d 1，d 2和d ，圆的半径为R ，d ＝d 1＋d 22，R ＝AB 2＝F A ＋FB 2＝e (d 1＋d 2)

2.由题意知R ＞d ，

则e ＞1，圆锥曲线为双曲线．

[答案] 双曲线

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3 [一点通] 解答这种类型的问题时，巧妙应用圆锥曲线的统一定义进行转化，即e ＝PF 1d 1

＝PF 2d 2

.有时会应用到数形结合的思想方法，这种类型多为客观题，以考查统一定义的应用为主．

1．方程 (1＋x )2＋y 2＝|x ＋y －1|对应点P(x ，y )的轨迹为________．

解析：由(1＋x )2＋y 2＝|x ＋y －1| 得[x －(－1)]2＋y 2

|x ＋y －1|

2＝ 2. 可看作动点P (x ，y )到定点(－1,0)的距离与到定直线x ＋y －1＝0的距离比为2>1的轨迹方程，由圆锥曲线统一定义可知，轨迹为双曲线．

答案：双曲线

2．若将例1中“相交”二字改为“相离”，判断曲线的形状；把“相交”二字改为“相切”，再判断曲线的形状．

解：设圆锥曲线的离心率为e ，M 是AB 中点，A ，B 和M 到准线的距离分别为d 1，d 2和d ，圆的半径为R ， 则d ＝d 1＋d 22

， R ＝AB 2＝F A ＋FB 2＝e (d 1＋d 2)2

. 当圆与准线相离时，R ＜d ，

即e (d 1＋d 2)2＜d 1＋d 22， ∴0＜e ＜1，圆锥曲线为椭圆．

当圆与准线相切时，R ＝d ，

∴e ＝1

，圆锥曲线为抛物线.

[例2] 已知动点P (x ，y )到点A (0,3)与到定直线y ＝9的距离之比为

33，求动点P 的轨迹．

[思路点拨] 此题解法有两种一是定义法，二是直译法．

[精解详析] 法一：由圆锥曲线的统一定义知：P 点的轨迹是一椭圆，c ＝3，a 2

c

＝9，则

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4 a 2＝27，a ＝33，

∴e ＝333＝33

，与已知条件相符． ∴椭圆中心在原点，焦点为(0，±3)，准线y ＝±9.

b 2＝18，其方程为y 227＋x 2

18＝1. 法二：由题意得x 2＋(y －3)2|9－y |＝33. 整理得y 227＋x 2

18

＝1. P 点的轨迹是以(0，±3)

为焦点，以y ＝±9为准线的椭圆．

[一点通] 解决此类题目有两种方法：①是直接列方程，代入后化简整理即得方程．②是根据定义判断轨迹是什么曲线，然后确定其几何性质，从而得出方程．

3．平面内的动点P (x ，y )(y >0)到点F (0,2)的距离与到x 轴的距离之差为2，求动点P 的轨迹．

解： 如图：作PM ⊥x 轴于M ，延长PM 交直线y ＝－2于点

N .

∵PF －PM ＝2，

∴PF ＝PM ＋2.

又∵PN ＝PM ＋2，∴PF ＝PN .

∴P 到定点F 与到定直线y ＝

－2的距离相等．

由抛物线的定义知，P 的轨迹是以F 为焦点，以y ＝－2为准线的抛物线，顶点在原点，p ＝4.

∴抛物线方程为x 2＝8y (y >0)．

∴动点P 的轨迹是抛物线．

4．在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1(－4,0)，直线l ：x ＝－2，动点M 到F 1的距离是它到定直线l 距离d 的2倍．设动点M 的轨迹曲线为E .

(1)求曲线E 的轨迹方程；

(2)设点F 2(4,0)，若直线m 为曲线E 的任意一条切线，且点F 1，F 2到m 的距离分别为d 1，d 2，试判断d 1d 2是否为常数，并说明理由．

解：(1)由题意，设点M (x ，y )，

则有MF 1＝(x ＋4)2＋y 2，

点M (x ，y )到直线l 的距离d ＝|x －(－2)|＝|x ＋2|，

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……………………………………………………………名校名师推荐………………………………………………… 5 故(x ＋4)2＋y 2＝2|x ＋2|，

化简得x 2－y 2＝8.

故动点M 的轨迹方程为x 2－y 2＝8.

(2)d 1d 2是常数，证明如下：

若切线m 斜率不存在，则切线方程为x ＝±22，

此时d 1d 2＝(c ＋a )·(c －a )＝b 2＝8.

当切线m 斜率存在时，设切线m ：y ＝kx ＋t ，

代入x 2－y 2＝8，整理得：x 2－(kx ＋t )2＝8，

即(1－k 2)x 2－2tkx －(t 2＋8)＝0.

Δ＝(－2tk )2＋4(1－k 2)(t 2＋8)＝0，

化简得t 2＝8k 2－8.

又由kx －y ＋t ＝0，d 1＝|－4k ＋t |k 2＋1，d 2＝|4k ＋t |k 2＋1

， d 1d 2＝|16k 2－t 2|k 2＋1＝|16k 2－(8k 2－8)|k 2＋1＝8,8为常数． 综上，对任意切线m ，d 1d 2是常数.

[例3] 已知定点A (－2，3)，点F 为椭圆x 216＋y 2

12

＝1的右焦点，点M 在椭圆上运动，求AM ＋2MF 的最小值，并求此时点M 的坐标．

[思路点拨] 利用统一定义把MF 转化为点M 到相应准线的距离，数形结合便可迎刃而解． [精解详析] ∵a ＝4，b ＝23，∴c ＝a 2－b 2＝2.

∴离心率e ＝12.A 点在椭圆内，设M 到右准线的距离为d ，则MF d ＝e ，即MF ＝ed ＝12

d ，右准线l ：x ＝8.

∴AM ＋2MF ＝AM ＋d .

∵A 点在椭圆内，

∴过A 作AK ⊥l (l 为右准线)于K ，交椭圆于点M 0.

则A 、M 、K 三点共线，即M 与M 0重合时，AM ＋d 最小为AK ，其值为8－(－2)＝10. 故AM ＋2MF 的最小值为10，此时M 点坐标为(23， 3)．

[一点通] 圆锥曲线的统一定义通常用来解决一些与距离有关的最值问题，利用定义，实现曲线上的点到焦点的距离与到相应准线的距离间的互化，互化时应注意焦点与准线的对

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