2010年高考数学计算试题分类汇编 - 圆锥曲线 - 图文

2010年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线

（2010上海文数）23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 已知椭圆?的方程为

xa22?yb22?1(a?b?0)，A(0,b)、B(0,?b)和Q(a,0)为?的三个顶点.

?????1????????（1）若点M满足AM?(AQ?AB)，求点M的坐标；

2（2）设直线l1:y?k1x?p交椭圆?于C、D两点，交直线l2:y?k2x于点E.若

ba22k1?k2??，证明：E为CD的中点；

（3）设点P在椭圆?内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆?的????????????????????????两个交点P1、P2满足PP1?PP2?PQPP1?PP2?PQ？令a?10，b?5，点P的坐标是????????????（-8，-1），若椭圆?上的点P1、P2满足PP1?PP2?PQ，求点P1、P2的坐标.

解析：(1) M(,?)；

22ab?y?k1x?p?(2) 由方程组?x2y2，消y得方程(a2k12?b2)x2?2a2k1px?a2(p2?b2)?0，

?2?2?1b?a因为直线l1:y?k1x?p交椭圆?于C、D两点， 所以?>0，即a2k12?b2?p2?0，

设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，

2?x1?x2ak1p??22?x0?22ak1?b?则?， 2bp?y?kx?p?10222?0ak1?b?由方程组??y?k1x?p?y?k2x，消y得方程(k2?k1)x?p，

2?ak1pp??22?x0?x?22k2?k1ak1?bb?又因为k2??2，所以?， 2ak1bp?y?kx??y02222?ak?b?1

故E为CD的中点；

(3) 因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k2，

????????????由PP1?PP2?PQb22知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率k1??ak2，从而得直线l的

方程．

F(1,?12)，直线OF的斜率k2??12，直线l的斜率k1??b22ak2?12，

1?y?x?1??2解方程组?22?x?y?1??10025，消y：x?2x?48?0，解得P1(?6,?4)、P2(8,3)．

2

（2010湖南文数）19.（本小题满分13分）

为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km的A、B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图4）。考察范围到A、B两点的距离之和不超过10Km的区域。 （I） （II）

求考察区域边界曲线的方程：

如图4所示，设线段P1P2 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍。问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？

（2010浙江理数）(21) （本题满分15分）已知m＞1，直线l:x?my?m22?0，椭圆

C:xm22?y?1，F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点.

2（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A,B两点，VAF1F2，VBF1F2的重心分别为G,H.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.

解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。 （Ⅰ）解：因为直线l:x?my?m?2，

2m22?0经过F2(m?1,0)，所以

2m?1?2m22,得

又因为m?1，所以m?2， 故直线l的方程为x?2y?222?0。

（Ⅱ）解：设A(x1,y1),B(x2,y2)。

2?m?x?my??2 由?2，消去x得

?x?y2?12??m2y?my?2m422?1?0

则由??m?8(m2m24?1)??m?8?0，知m?8，

22且有y1?y2??,y1?y2?m82?12。

由于F1(?c,0),F2(c,0),， 故O为F1F2的中点，

????????????????由AG?2GO,BH?2HO，

可知G(2x13,y13),h(2x23,y13),

2GH?(x1?x2)9?(y1?y2)9

y1?y26设M是GH的中点，则M(由题意可知2MO?GH,

x1?x26y1?y26x1?x26,)，

即4[()?(2)]?2(x1?x2)92?(y1?y2)92

即x1x2?y1y2?0

m2而x1x2?y1y2?(my1?2)(my2?m22)?y1y2

m1 ?(m?1 )）(?8222所以

m82?12?0

即m2?4

又因为m?1且??0 所以1?m?2。

所以m的取值范围是(1,2)。

（2010全国卷2理数）（21）（本小题满分12分） 己知斜率为1的直线l与双曲线C：的中点为M?1,3?． （Ⅰ）求C的离心率；

（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，DF?BF?17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．

【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质，考查直线与圆的关系，既考查考生的基础知识掌握情况，又可以考查综合推理的能力.

【参考答案】

xa22?yb22?1?a＞0，b＞0?相交于B、D两点，且BD

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