角动量

第11讲

刚体和角动量

导读

考纲中刚体的要求中掌握刚体定轴转动。其实对于平面平行运动，换一个参照系，就变成了定轴转动。所以考纲神马的可以参考一下… 例题精讲

虽然转动惯量的计算是不要求的，但是不掌握总还是缺了些什么…. 【例1】利用量纲分析估算一下问题。

a) 某天地球能量不够用了，大家决定把地球按比例缩小0.1%（保持质量和角动量守恒），问这

样能放出多少能量？

b) 田亮同学可以在10米跳台项目中可以完成动作107C即“向前飞身翻腾三周半抱膝”。现在我们想

完成动作109C即“向前飞身翻腾四周半抱膝”。能做的事情是把田亮同学按比例缩小（密度不变，身体结构不变，肌肉强度正比于横截面，离台过程视为质心的匀加速过程）。问题：需要把他缩小到多少比例才可以完成这个动作？

【例2】计算以下物体绕轴的转动惯量。

(1) 均质杆，质量为m，长度为l，绕着垂直于杆所在平面并通过质心的轴旋转。

a) 直接积分计算

b) 把一个根杆视为两个半截杆相加的结果，利用平行轴定理求解。

(2) 匀质正三角板，质量为m，边长为l，绕着垂直于板平面并通过质心的轴旋转。

a) 直接积分计算

b) 把一个正三角板视为4个小正三角板之和，利用平行轴定理求解。

(3) 模仿前两问做法，匀质立方体，质量为m，边长为l，绕着通过面心和质心的轴旋转。

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【例3】一根轻杆，长度为l，其中点固连在一个套筒上，套筒能绕固定的竖直轴以恒定的角速度?旋转。在两杆的两个端点各镶一个质量为m的质点。不记重力。求竖直轴给套筒的力矩。

c) 方法一：分别对两个球写牛顿第二定律。

d) 方法二：对整体写方程。体会角动量的方向可以和角速度的方向不一致。

m

?? l/2 ml/2

【例4】一个质量为m，半径为R，转动惯量为I的圆筒在地上做纯滚动。圆筒上有一个半径为r的轴，轴上绕有不可伸长的轻绳。如图用恒力F向右拉动绳子，求圆筒质心的加速度大小。体会写角动量定理+牛顿第二定律，和写能量再求导两种做法。

F【例5】生鸡蛋和熟鸡蛋从斜坡上滚下来，哪个会比较快？

e) 分析能量

f) 分析蛋壳的受力情况以及摩擦力大小

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进动

【例6】如图，一个转动惯量为I，质量为m的圆盘，绕着对称轴以恒定角速度?自转。转轴长为l，一段铰接固定的竖直杆上。转轴保持在水平面内。求转轴绕着竖直轴旋转的角速度?。

?l

?mg

【例7】汽车在转弯的时候，内侧轮的压力会比外侧小，从而可能引起侧翻事故。为了解决这个问题，某人提议，在汽车上固定一个转动惯量为I的圆盘，并保持圆盘的角速度与汽车行驶速度之间有关系??kv。设汽车重心高度为h，质量为m。结果汽车转弯的时候内外侧车轮压力变成一样了。求圆盘的安装方向以及k的大小。 碰撞

【例8】重做第8讲的两道题。比较使用角动量的做法。

g) 一个哑铃（两端视为等质量质点，中间是为轻的刚性杆）如图撞向光滑弹性墙面，质心初速

度为v0，垂直于墙面，角速度为?0，求碰撞之后的速度和角速度。使用角动量守恒。思考：为什么角动量守恒的方程，和之前对每个球写的动量定理方程不独立？

?0 v0 ?

h) 接上一题，把哑铃的形状改成这个样子，三个质点之间不能相对运动，初态角速为0，求碰撞

之后的质心速度和角速度。是用角动量守恒。思考：为什么现在用角动量守恒会比原方案简单得多？ v0 ?

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【例9】在一个倾角为??30?的粗糙斜面上，放一支截面为正六边形的匀质铅笔，边长为r，铅笔的轴向沿着水平面方向。铅笔稳定的滚下斜坡，接触点不滑动，每次都是铅笔一条棱与斜面发成完全非弹性碰撞。稳定之后每次碰撞前铅笔的角速度都一样，求出稳定之后，每次碰撞前铅笔的角速度。

(铅笔绕轴的转动惯量为)

?

【例10】光子沿着其动量方向的角动量分量只能为?。一堆角动量分量为的频率为?的光子沿着一个薄壁圆筒的轴向射向圆筒，并被蒙在圆筒的黑纸吸收。圆筒半径为R，静止释放，不受到其他力作用，求圆筒边缘一个点的轨迹。

奇文共欣赏

神人泡利

1．这位先生是上个世纪少有的天才之一，Pauli出生于维也纳一个研究胶体化学的教授的家中，他的教父是著名的马赫先生。马赫先生被爱因斯坦称为相对论的先驱，虽然马赫先生并不给爱因斯坦这个面子，声称他对于相对论的相信程度，像他对分子论的相信程度一样。而众所周知，马赫先生极端反对分子论，而这种反对是使那个统计物理的天才波尔兹曼最终绝望而自杀的原因之一。在Pauli 21岁的时候，他为德国的《数学科学百科全书》写了一篇长达237页的关于狭义和广义相对论的词条，该文，到今天仍然是该领域的经典文献之一，爱因斯坦曾经评价说，“任何该领域的专家都不会相信，该文出自一个仅21岁的青年之手，作者在文中显示出来的对这个领域的理解力，熟练的数学推导能力，对物理深刻的洞察力，使问题明晰的能力，系统的表述，对语言的把握，对该问题的完整处理，和对其评价，是任何一个人都会感到羡慕。”

2．少数年轻人大约以为这个物理学的王子的名字只是与不相容原理联系在一起，甚至他们以为这个原理只是量子力学的一个推论。实际上，这个原理的提出是在1925年，甚至早于海森堡提出量子力学，Pauli是用他天才的洞察力从浩如烟海的光谱数据中得出的不相容原理，其难度甚至远大过开普勒整理行星轨道的数据。Pauli的贡献遍及当时物理学的各个领域，他参与了量子力学的基础建设，量子场论的基础建设，相对论……Pauli似乎在物理学领域是一个征服者而不是一个殖民者，他大量的工作没有发表，而是遗留在私人信件里。今天能查到的信件中，我们发现大量这样的例子，他的关于矩阵力学和波动力学的等价性证明是写在给Jordan的信件里，测不准原理首先出现在他给海森堡的信件里，Dirac的泊松括号量子化被Hendrik Kramers 独立发现，而他指出，Pauli早就指出了这种对易关系的表示方法。或许有些天才的生命是注定短暂的，Pauli生于1900年，于1958年去世，仅比他心中帝王晚去世3年，（爱因斯坦1879-1955），他唯一的遗憾就是一生中觉得没有做出像爱因斯坦一样伟大的工作。

3．Pauli作为一个物理学家，眼光是相当锐利的。比如Feynman说的那个故事，Pauli预言惠勒永远做不出那个什么超前推迟势的量子力学推广(果然他没作出)，Feynman事后着实被Pauli的眼光震惊了。不过Pauli一生最遗憾，他是那个时代公认最聪明的物理学家，却没有做一个划时代的发现。他一

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生喜欢评论别人的东西，经常是一针见血，不过很可惜，他一生反对错了最重要的两件事情，一个电子自旋，一个宇称不守恒。可能一个人过于敏锐了，对于一些违反常规的想法有一种本能的抵制。 4．Pauli的刻薄在圈内无人能敌。做Pauli 学生太可怜了，他曾经批评学生的论文，“连错误都算不上。”他对一篇文章最好的评价就是：“这章几乎没有错。”Kronig，最早提出电子自旋的概念，可是拿着论文去找泡利。被骂了一顿，因为 Pauli指出计算不符合相对论。于是他们没敢发这篇文章。海森堡得了Nobel奖以后经常还被他骂的狗血喷头。不过Pauli有一点比较好。他对所有人都很刻薄，不会因人而异。有次爱因斯坦作报告，做完了，Pauli起立来了句，“看来爱因斯坦不是很蠢。”后来有人这样说：“Pauli死后，来到天堂见到上帝。上帝把他关于宇宙的设计给Pauli看。Pauli看了一会，开始点头，后来又摇了摇头，说：“居然找不到什么错。”

5．Pauli大概天生不适合作实验。据说他出现在哪里，那里的实验室仪器就会有故障。有次，某人的实验室仪器突然失灵。他们就开玩笑说，今儿Pauli没来这地方啊。后来过了不久，Pauli告诉他们，那天他乘坐的火车在那个时刻在他们的城市短暂停留了一下。有一次他在一个车站停半小时，就想顺便参观下附近的一个物理实验室。实验室领导迫于他的声望，阻止不及，只好任他在实验室里捣鼓。果然，等他半小时后回到车厢，那实验室已经是硝烟滚滚了。

6．关于Pauli和爱因斯坦的地位：对于所有人来说，爱因斯坦在上一世纪简直就是God。波恩曾经认为，Pauli也许是比爱因斯坦还天才的科学家，不过他又补充说，Pauli完全是另一类人，“在我看来，他不可能像爱因斯坦一样伟大。”那么Pauli是怎么看爱因斯坦的呢？在1945年，Pauli终于拿到了那个他觉得自己20年前就应该拿到的Nobel后，普林斯顿高等研究院为Pauli开了庆祝会，爱因斯坦为此在会上演讲表示祝贺。Pauli后来写信给波恩回忆这一段，说“当时的情景就像物理学的王传位于他的继承者。”Pauli倒是一点都不客气，认为自己就是继承者了。

7．一次Pauli外出，事先向一个同事探路。第二天那同事问他路途是否顺利，他答，嗯，在不讨论物理的时候，你的脑子是清楚的。 Pauli一个朋友在论文中犯了一个错误，白纸黑字欲改不能，于是痛不欲生。Pauli前去安慰，说没关系，不可能每个人都像我一样，写论文滴水不漏。

8．另外，泡利讲课也非常棒。他给学生上课时，常常讲着讲着就忘了自己是在上课，自顾自地在课堂上推导起公式来，把学生扔在一边。而且他的板书也很糟，从一个角斜到另一个角，字越写越小，底下学生糊里糊涂的。但他讲课时这种投入的精神也恰恰能培养出特别出色的学生。

9．泡利由于过去曾翻译过一本德文谈《易经》的书，并因此和吴健雄认识。他对吴健雄评价很高，并且后来也一直和吴健雄有着很亲近的情谊，在我所见到过的泡利的照片中，他和吴健雄合影的那张最精神，吴健雄也神采奕奕。

10．现代物理学中有一个很神秘的无量纲常数，叫作精细结构常数，大小等于1/137。很多年来，物理

学家们想对这个常数进行解释，至今未果。泡利为此也曾花了大量的精力，后来他在苏黎世红十字医院住院，某次他搬到的了一个标号为137的房间，然后他死了…

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