2017届重庆市第一中学高三上学期期中数学（文）试卷

2017届重庆市第一中学高三上学期期中数学(文)试卷

考试时间：100分钟；命题人：xxx

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 1．已知

z?2?i，则复数z?（ ） 1?iA.?1?3i B.1?3i C.?1?3i D.1?3i

2．设全集I是实数集R，M?xx?3与N?x(x?3)(x?1)?0?都是I的子集（如

???图所示）， 则阴影部分所表示的集合为（ ）

A.x1?x?3C.x1?x?3??? B.?x1?x?3? ? D.?x1?x?3?

??3．已知直线方程为cos300x?sin300y?3,则直线的倾斜角为（ ） A.60 B.60或300 C.30 D.30或330 4．函数f(x)?x?xsinx的图象关于 （ ） A.坐标原点对称 B.直线y??x对称 C.y轴对称 D.直线y?x对称

5．点(?1,?2)关于直线x?y?1对称的点坐标是（ ） A.(3,2) B.(?3,?2) C.(?1,?2) D.(2,3)

6．已知某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（ ）

2??????

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A.2?5 B.3?x55 C.2? D.3?5

227．已知函数f(x)?3?x,g(x)?log3x?x,h(x)?log3x?3的零点依次为a,b,c，则

A.c?b?a B.a?b?c C.c?a?b D. b?a?c 8．重庆市乘坐出租车的收费办法如下：

⑴不超过3千米的里程收费10元; ⑵超过3千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0．5千米则不收费，若其大于或等于0．5千米则按1千米收费）； 当车程超过3千米时，另收燃油附加费1元．

相应系统收费的程序框图如图所示，其中x（单位：千米）为行驶里程，y（单位：元）为所收费用，用?x?表示不大于x的最大整数，则图中①处应填（ ）

1?1???y?2?x???4 B.y?2?x???5

2?2???A.

C.y?2?x???4 D.y?2?x???5 22??1????1??x?1??y?39．若不等式组?表示的平面区域经过所有四个象限，则实数?的取

?2x?y???2?0?值范围是 （ ）

A.???,4? B.?1,2? C.?2,4? D.(2,??)

10．已知在?ABC中，?ACB?90，BC?6,AC?8，P是线段AB上的点，则P到AC,BC的距离的乘积的最大值为（ ） A.12 B.8 C.83 D.36

11．当曲线y??4?x2与直线kx?y?2k?4?0有两个相异的交点时，实数k的取值

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?范围是（ ）

53,] 12433C.(,1] D.(,??)

44A.(0,) B.(212．已知函数f(x)??3lnx?ax?bx(a?0,b?R)，若对任意x?0都有

34f(x)?f(3)成立，则（ ）

A.lna??b?1 B.lna??b?1 C.lna??b?1 D.lna??b?1

13．已知某长方体的长宽高分别为2,1,2，则该长方体外接球的体积为 14．若函数y?(log1a)x在R上是减函数，则实数a取值集合是 215．圆锥的侧面积与过轴的截面积之比为2?,则母线与轴的夹角大小为

?2(1?x),0?x?1*16．已知函数f(x)??，如果对任意的n?N，定义

?x?1,1?x?2fn(x)?f{f[f?f(x)]，例如：}f2(x)?f(f(x)),那么f2016(2)的值为

???????n个f

17．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1?2，a2为整数，且a3?[3,5]. （1）求{an}的通项公式； （2）设bn?1，求数列{bn}的前n项和Tn

.anan?2中，三个内角

A,B,C18．在?ABC的对边分别为

a,b,c，

cosA?510,asinA?bsinB?csinC?asinB. 55（1）求B的值；

（2）设b?10，求?ABC的面积S. 19．如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，

?CMD?90?，平面CMD?平面BCD，AB?平面BCD，点O为CD的中点,连

接OM.

试卷第3页，总4页

AMBCO

D(1)求证：OM∥平面ABD；

(2)若AB?BC?4，求三棱锥A?BDM的体积.

x2y2620．已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，以M(1,0)为圆心，椭圆的

ab3短半轴长为半径的圆与直线x?y?2?1?0相切. （1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知点N(3,2)，和平面内一点P(m,n)(m?3)，过点M任作直线l与椭圆C相交于A,B两点，设直线AN,NP,BN的斜率分别为k1,k2,k3，k1?k3?3k2，试求m,n满足的关系式.

21．已知y?4x?3tx?6tx?t?1,x?R,t?R．

322?3?（1）当x为常数，且t在区间?0,?变化时，求y的最小值?(x)；

6??（2）证明：对任意的t?(0,??)，总存在x?(0,1)，使得y?0 ． 22．选修4—4：坐标系与参数方程.

?x?3?5cos?已知曲线C的参数方程为?(?为参数)，以直角坐标系原点为极点，x?y?1?5sin?轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C的极坐标方程；

（2）若直线的极坐标方程为sin??cos??23．选修4-5：不等式选讲

已知关于x的不等式x?2?x?3?m对x?R恒成立． （1）求实数m的最大值；

（2）若a,b,c为正实数，k为实数m的最大值，且求证：a?2b?3c?9．

1?，求直线被曲线C截得的弦长.

111???k， a2b3c试卷第4页，总4页

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参考答案

1．B 【解析】 试题分析：由

z?2?i?z?(1?i)(2?i)?2?3i?i2?1+3i 1?i

由共轭复数定义得z?1?3i故答案选B

考点： 复数的运算；共轭复数. 2．B 【解析】

试题分析：因为(x?3)(x?1)?0?1?x?3，所以N?{x|1?x?3} 又因为M?{x|x?3}，所以M?N?{x|x?3} 所以阴影部分为CN(M?N)?{x|1?x?3} 故答案选B

考点：集合的表示；集合间的运算. 3．C 【解析】

试题分析：由直线方程为cos300x?sin300y?3,

??cos300?cos(360??60?)cos(?60?)cos60?3k?????????????sin300sin(360?60)sin(?60)sin603 所以直线的斜率为

??[0,180) 因为直线倾斜角的范围

所以倾斜角为30

故答案为C

考点：直线的斜率；直线的倾斜角. 4．C 【解析】

22f(?x)?(?x)?(?x)sin(?x)?x?xsinx?f(x) 试题分析：因为

?所以f(x)是偶函数 故答案选C

考点：函数的奇偶性 5．A 【解析】

试题分析：设点(?1,?2)关于直线x?y?1对称的点坐标是(m,n)

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??1?m?2?n?2?2?1?m?3所以? ???1?m?n?2??(?1)??1??2?n故答案选A

考点：两点关于一直线对称. 6．D 【解析】

试题分析：由三视图知，该棱锥如图所示，OC?平面ABCD，ABCD是边长为1的正方形

，

OC?2，

SABCD?1?1?1，

S?OBC?S?OCD?1?1?2?12，

1555S?OAD?S?OAB??1?5???3?5 ，所以该棱锥的表面积为1?1?1?2222故答案选D

考点：三视图；空间几何体的表面积.

7．B 【解析】

xxx试题分析：令f(x)?3?x?0，则3??x，所以y?3与y??x交点的横坐标为a

同理得，y?log3x与y??x交点的横坐标为b，y?log3x与y?3交点的横坐标为c，

如图所示，易知a?b?c 故答案选B

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考点：函数与方程. 8．B 【解析】

试题分析：因为超过3千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0．5千米则不收费，若其大于或等于0．5千米则按1千米收费）；当车程超过3千米时，另收燃油附加费1元．

所以，当x?3时，所收费用y?10?[x?3?]?2?1?2[x?]?5 故答案选B

考点：程序框图；分段函数；函数模型的应用. 9．D 【解析】

1212x?1??y?3试题分析：因为不等式组?表示的平面区域经过所有四个象限

?2x?y???2?0?所以原点(0,0)在该区域内

所以?-2?0，即??2 故答案选D

考点：二元一次不等式组表示的平面区域；线性规划. 10．A 【解析】

试题分析：因为在?ABC中，?ACB?90，BC?6,AC?8，

?6384?，sinB?? 1051050?x?10，则PB?10?x 设AP?x，所以AB?10，sinA?所

以

则

P到

AC,BC的距离的乘积为

3412(AP?sinA)?(BP?sinB)??x??(10?x)?x(10?x)

552512?5?(10?5)?12 当x?5时，上式取得最大值为25故答案选A

考点：解三角形；二次函数的实际应用. 11．C 【解析】

试题分析：曲线y??4?x2表示圆x?y?4的下半圆，直线kx?y?2k?4?0过定点

22（?2，?4）

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35x?与圆x2?y2?4的下半圆相切 42?4?0（?2，?4）?1 过点与点的直线斜率为（2,0）?2?2如图所示，直线y?曲线y??4?x2与直线kx?y?2k?4?0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是

3（，1] 4故答案选C

考点：函数与方程.

【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路:

1．直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； 2．分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

3．数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解. 12．D 【解析】

试题分析：因为对任意x?0都有f(x)?f(3)成立 所以f(x)的最小值为f(3)

因为函数f(x)??3lnx?ax?bx(a?0,b?R)

2?32ax2?bx?3?2ax?b?所以f?(x)? xx因为a?0

答案第4页，总13页

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2所以方程2ax?bx?3?0在x?0范围内只有一根x?3

所以18a?3b?1?0?b?1?6a 所以lna?b?1?lna?6a?2 设g(x)?lnx?6x?2

11?6x?6? xx11（0，）（，??）所以g(x)在单调递增，在单调递减

6611所以g(x)max?g()?ln?1?1?ln6?0

66即lna?b?1?0?lna??b?1 故答案选D g?(x)?考点：函数的恒成立；构造函数.

（0，??）【名师点睛】本题函数的定义域为，且由题目条件任意x?0都有f(x)?f(3)成

立，可以确定f(x)的最小值为f(3)，继而得知x?3为函数f(x)的一个极小值点，可得

b?1?6a的关系式，所以本题即可转化为求lna?b?1?lna?6a?2的最大值或最小值问

题. 13．

9? 2【解析】

22?12?223试题分析：长方体的长宽高分别为2,1,2的外接球的半径为?

22由球的体积公式得：该长方体外接球的体积为V?考点：长方体的外接球.

4339??（）? 322（，1）14．

【解析】

试题分析：因为函数y?(log1a)x在R上是减函数

212所以0?log1a?1?log11?log1a?log1222211??a?1 22考点：指数函数的单调性；对数函数的单调性. 15．

?3

【解析】

试题分析：设圆锥的母线长l，半径为r,高为h

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1?2?r?l??rl 21过轴截面面积为?2r?h?rh

2?rlh1?2??? 所以rhl2圆锥的侧面积为

所以母线与轴的夹角大小为考点：圆锥的结构特征. 16．2 【解析】

试题分析：由题目条件得f(2)?2?1?1?f2(2)?f(f(2))?f(1)?2(1?1)?0

?3

?f3(x)?f(f2(x))?f(0)?2?f4(x)?f(f3(x))?f(2)?2?1?1

故fn(x)的周期为3

f2016(2)?f672?3(2)?f3(2)?2

故答案为2

考点：函数求值；分段函数；函数的周期性.

【名师点睛】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量x的取值对应着哪一段区间，就使用哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式. 17．（1）an?n?1；（2）【解析】

试题分析：（1）因为等差数列{an}的a1?2，a2为整数，所以公差为整数，设公差为d，则a3?a1?2d?[3,5] ，即可求得d的值；

（2）因为数列{an}是等差数列，所以bn?的前n项和Tn

.

试题解析：（1）设等差数列{an}的公差为d 因为a1?2，a2为整数 所以公差d为整数

答案第6页，总13页

52n?5? 122(n?2)(n?3)111(?)，利用裂项求和即可求得数列{bn}2danan?2

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由等差数列的通项公式得a3?a1?2d?[3,5]，即得所以d?1

13?d? 22所以数列{an}的通项公式为an?2?(n?1)?1?n?1 （2）因为数列{an}是等差数列， 所以bn?111111(?)?（?) 2danan?22n?1n?3所以Tn?b1?b2?b3?b4?????bn?1?bn

1111111111111?（[?）?（?）?（?）?（?）?????（?）?（?）] 224354657nn?2n?1n?311111?[???] 223n?2n?3?52n?5? 122(n?2)(n?3)考点：等差数列；裂项求和. 18．（1）

?4；（2）60

【解析】

试题分析：（1）利用正弦定理把asinA?bsinB?csinC?10asinB化成5a2?b2?c2?10ab， 5再利用余弦定理即可求得角C；又因为在三角形中，有cosB??cos(A?C)，利用三角函数的和差公差展开即可求得cosB的值，继而求得B的值； （2）利用正弦定理求得a的值，由面积公式S?1absinC即可求得?ABC的面积. 2试题解析：（1）因为asinA?bsinB?csinC?10asinB 5由正弦定理得a?b?c?22210ab 5a2?b2?c2又因为cosC?

2ab答案第7页，总13页

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所以cosC?10， 10310 10由同角三角函数得sinC?因为cosA?525，所以sinA? 55因为在三角形中cosB??cos(A?C)

所以cosB??(cosAcosC?sinAsinC)??(所以在?ABC中B?510253102???)? 5105102?4

（2）由正弦定理得a?bsinA?sinB10?255?410 22所以S?ABC?11310absinC??410?10??60 2210考点：正弦定理；余弦定理；三角形面积. 19．（1）证明略；（2）

83 3【解析】 试题分析：（1）因为△CMD是等腰直角三角形，点O为CD的中点，所以OM?CD，因为平面CMD?平面BCD，由面面垂直的性质定理得OM?平面BCD，故得OM∥

AB，由线面平行的判定定理即得OM∥平面ABD；

（2）由（1）知OM∥平面ABD，所以VA?BDM?VM?ABD?VO?ABD?VA?BDO. 试题解析： (1)证明：

∵ △CMD是等腰直角三角形，?CMD?90,点O为CD的中点， ∴ OM?CD.

∵ 平面CMD?平面BCD，平面CMD?平面BCD?CD，

OM?面BCD∴ OM?平面BCD ∵ AB?平面BCD,

答案第8页，总13页

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∴ OM∥AB

∵ AB?平面ABD,OM?平面ABD, ∴ OM∥平面ABD

(2):由(Ⅰ)知OM∥平面ABD,

∴ 点M到平面ABD的距离等于点O到平面ABD的距离. ∵ AB?BC?4，△BCD是等边三角形， ∴ BD?4,OD?2，.

连接OB, 则OB?CD, OB?23.

VA?BDM?VM?ABD?VO?ABD?VA?BDO=

∴ 三棱锥A?BDM的体积为83 383 . 3考点：线面平行的判定；面面垂直的性质；体积.

x2?y2?1；20．（1）（2）3n?2m 3【解析】

试题分析：（1）因为离心率e?c66?a，又以M(1,0)为圆心，椭圆的短，所以c?a331?0?2?11?(?1)22半轴长为半径的圆与直线x?y?2?1?0相切，所以?b，再结合

a2?b2?c2，求得a?3，b?1，即求得椭圆C标准方程；

（2）①当直线斜率不存在时，直线l:x?1，直线l与椭圆C的交点A(1,所以k1?k3?2，又k1?k3?3k266)，B(1,?)，33所以k2?，所以m,n的关系式为3n?2m.②当直线

，32的斜率存在时，设点A(x1,y1),B(x2,y2)，设直线l:y?k(x?1)，联立椭圆整理得：

(3k2?1)x2?6k2x?3k2?3?0，根系关系略，所以k1?k3?2?y12?y2?化简得3?x13?x2k1?k2?2kx1x2?(4k?2)(x1?x2)?6k?122，结合韦达定理得k1?k3?2，所以k2?，

3x1x2?3(x1?x2)?9所以m,n的关系式为3n?2m.

答案第9页，总13页

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试题解析：（1）因为离心率e?c66?a， ，所以c?a33又因为以M(1,0)为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x?y?2?1?0相切， 所以

1?0?2?11?(?1)2222?b，即b?1

因为a?b?c， 所以a?1?(22262a)?a?3 3x2?y2?1 所以椭圆C标准方程；3?x?166?（2）①当直线斜率不存在时，由?x2，解得x?1,y??，不妨设A(1,)，233??y?1?3B(1,?6)， 32，所以m,n的关系式为3n?2m. 3因为k1?k3?2，所以k2?②当直线的斜率存在时，设点A(x1,y1),B(x2,y2)，设直线l:y?k(x?1)，联立椭圆整理得：(3k?1)x?6kx?3k?3?0，根系关系略，所以

2222k1?k3?2?y12?y2[2?k(x1?1)](3?x2)?[2?k(x2?1)](3?x1) ??3?x13?x2(3?x1)(3?x2)?2kx1x2?(4k?2)(x1?x2)?6k?12

x1x2?3(x1?x2)?92(12k2?6)??2

12k2?6所以k2?2，所以m,n的关系式为3n?2m. 3考点：椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系.

【名师点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法：根据条件确定关于a，b，c的方程

22

组，解出a，b，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，

答案第10页，总13页

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解决相关问题．涉及设直线方程问题，一定要注意直线的斜率是否存在，往往会漏解． 21．（1）?(x)?4x?1；（2）证明略. 【解析】

3?3?试题分析：（1）当x为常数时，则函数即为关于t的函数，求出此函数在区间?0,?的单

6??调性，即可求得函数y的最小值?(x)；

（2）设g(x)?4x?3tx?6tx?t?1，先求函数的单调性，再结合零点存在性定理，即可证明.

试题解析：（1）当x为常数时，

322f?t??4x3?3tx2?6t2x?t?1??6xt2??3x2?1?t?4x3?1，

f??t???12xt??3x2?1?

f'(t)??12xt?3x2?1?3(x?2t)2?12t2?1，

??3?3?'3t?0,t?0,当??，f(t)?0,f(t)在??上递增，其最小值?(x)?f(0)?4x?1 ?6??6?（2）令g(x)?4x?3tx?6tx?t?1,g(x)?12x?6tx?6t?6(2x?t)(x?t) 由t?(0,??),当x在区间（ 0，??)内变化时，g(x)与g(x)变化情况如下表：'322'22

①当

t?1,，即t?2,时，g(x)在区间(0,1)内单调递减， 2，

g?0??t?1?0,g?1???6t2?4t?3??2t?3t?2??3??4?6?2??3?0所以对任意t??2,???,g?x?在区间?0,1?内均存在零点，即存在x??0,1?，使得g?x??0． ②当0?t?t??t??1，即0?t?2时，g(x)在?0,?内单调递减，在?,1?内单调递增， 2?2??2?所以x?t73时，函数g?x?取最小值?t?t?1， 24答案第11页，总13页

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又g?0??t?1，

7?1?11若t??0,1?，则g?1???6t2?4t?3??6?t????0，?t3??t?1??0，

43?3?所以g?x?在?2?t?,1?内存在零点； 2??74?73??t?t?t??1?0，所以g?x?在?0,?内?4??2?若t??1,2?，则g?0??t?1?0,?t3?t?1???存在零点，

所以，对任意t??0,2?,g?x?在区间?0,1?内均存在零点，即存在x??0,1?，使得g?x??0． 结合①②，对任意的t??0,???，总存在x??0,1?，使得y?0． 考点：导函数的应用；函数的零点.

【名师点睛】此题是一道多元变量问题，在第一问中已知变量t的范围，求最小值?(x)，实际上就是把t作为自变量，此时这个函数是关于t的函数，求导求得单调性即可得得最小

值；对于第二问题，可以利用导函数求得单调性，然后求得极值和端点值，再利用零点存在性定理即可判定函数零点的存在.本题属于中等题，主要考查学生应用函数性质解决有关函数应用的能力，考查学生对数形结合数学、分类讨论思想以及函数与方程思想的应用能力，考查学生基本的运算能力.

22．（1） ??6?cos??2?sin??5?0（2）2 【解析】

试题分析：（1） 利用sin??cos??1，即可把参数方程转化为平面直角坐标系方程，然后在利用x??cos?,y??sin?就可以把方程化成极坐标方程；

（2）由（1）知曲线C的平面直角坐标系方程为圆的方程，直线的极坐标方程为

222sin??cos??1?为直线y?x?1，然后利用弦长公式就可求解.

试题解析：（1）∵曲线C的参数方程为?2?x?3?5cos??y?1?5sin?2 (?为参数)

∴曲线C的普通方程为(x?3)?(y?1)?5 曲线C 表示以?3,1? 为圆心，5 为半径的圆。 将??x??cos?2 代入并化简： ??6?cos??2?sin??5?0

?y??sin?答案第12页，总13页

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即曲线C的极坐标方程为??6?cos??2?sin??5?0 . （2）∵的直角坐标方程为y?x?1

2∴圆心C到直线的距离为d?32 2∴弦长为2 .

考点：参数方程；极坐标方程；弦长公式. 23．（1）1；（2）证明略，详见解析. 【解析】

试题分析：（1）原不等式等价于x?2?x?3??min?m，由绝对不等式的性质

|x?a|?|x?b|?|(x?a)?(x?b)|，即可求得|x?2|?|x-3|的最小值；

（2）由（1）k?1，即证明.

试题解析：（1）由|x?1|?|x?2|?|(x?1)?(x?2)|?1 ∵|x?1|?|x?2|?m对x?R恒成立．m?1， ∴m最大值为1

（2）由（Ⅰ）知k?1，即

111???1，再利用“1”的代换，然后使用基本不等式就可a2b3c111???1 a2b3c111a?2b?3c?(a?2b?3c)(??)a2b3c

aa2b2b3c3ca2ba3c2b3c?3???????3?2??2??2??92b3ca3ca2b2ba3ca3c2b当且公当a?2b?3c时等号成立 ∴a?2b?3c?9

考点：绝对值不等式；基本不等式.

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