高三复习第二讲 证明不等式的基本方法

选修4－5 不等式选讲

第二讲 证明不等式的基本方法

【考纲速读吧】

1．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．

综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合

点必会技巧

1．利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．

2．常用的初等变形有均匀裂项、增减项、配系数等．利用基本不等式还可以证明条件不等式，关键是恰当地利用条件，构造基本不等式所需要的形式．

项必须注意

1．作差比较法适用的主要题型是多项式、分式、对数式、三角式，作商比较法适用的主要题型是高次幂乘积结构．

2．放缩法的依据是不等式的传递性，运用放缩法证明不等式时，要注意放缩适度，“放”和“缩”的量的大小是由题目分析，多次尝试得出．放得过大或过小都不能达到证明目的．

3．利用柯西不等式求最值，实质上就是利用柯西不等式进行放缩，放缩不当则等号可能不成立，因此，要切记检验等号成立的条件．

【课前自主导学】01

1．三个正数的算术—几何平均不等式

a＋b＋c（1）定理：如果a，b，c均为正数，那么

________ abc，当且仅当________时，等号成立，即

3

三个正数的算术平均数________它们的几何平均数． （2）基本不等式的推广

a1＋a2＋…＋an

对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均数________它们的几何平均数，即

n

a1a2n，当且仅当________时，等号成立．

21

（1）已知x>0，则y＝x2＋________．（2）已知x>0，则y＝x的最小值为________．

xx

2．柯西不等式

（1）设a，b，c，d均为实数，则（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd）2，当且仅当ad＝bc时等号成立． bbb222（2）若ai，bi（i∈N*）为实数，则（∑a）（∑b）≥（∑ab），当且仅当＝＝…＝ai＝0时，iiii

a1a2ani＝1i＝1i＝1

约定bi＝0，i＝1,2，…，n）时等号成立．

（3）柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α、β共线时等号成立．

n

n

n

（1）若x＋2y＋4z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是________． （2）x，y∈R，且x2＋y2＝10，则2x－y的取值范围为________． 3． 证明不等式的方法

（1）比较法 ①求差比较法 由a>b a－b>0，a<b a－b<0，因此要证明a>b，只要证明________即可，这种方法称为求差比较法． ②求商比较法

a

由a>b>0>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时要证明a>b，只要证明________即可，这种方法称为求商

b

比较法

（2）分析法

从所要________入手向使它成立的充分条件反推直至达到已知条件为止，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法． （3）综合法

从已知条件出发，利用不等式的性质（或已知证明过的不等式），推出所要证明的结论，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法． （4）反证法的证明步骤

第一步：作出与所证不等式________的假设；

第二步：从________出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立． （5）放缩法

所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地________，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不

在证明不等式时综合法与分析法有怎样的关系？

（1）要证明29＋31<25，可选择的方法最合理的是________．

a3＋a6

（2）等比数列{an}各项为正数，且q≠1，若PQ＝a4a5，则P与Q的大小关系________．

2

【自我校对】

1． ≥ a＝b＝c 不小于 不小于 ≥ a1＝a2＝…＝an

31

填一填：（1）3 （2）34

11

2．填一填：（1提示：∵1＝x＋2y＋4z≤x＋y＋z1＋4＋16，∴x2＋y2＋z2≥x2＋y2＋z2的最

2121

1

小值为．

21

（2）[－2，2] 提示：∵（x2＋y2）[22＋（－1）2]≥（2x－y）2，∴－2≤2x－y≤52．

a

3． a－b>0 证明的结论 相反 条件和假设 放大或缩小

b

想一想：提示：综合法：由条件出发推导出所要证明的不等式成立．分析法：从结论出发寻找使结论成立的充分条件，综合法与分析法是对立统一的两种方法．在实际解题时，常常用分析法探求解题思路，用综合法表达． 填一填：（1）分析法 （2）P≥Q 提示：∵a3·a6＝a4·a5，∴a3＋a6≥23·a6＝2a4·a5，∴P≥Q．

【核心要点研究】02

【考点一】比较法证明不等式

例1 [2013·广州模拟]已知a>0，b>0，求证：（a）3＋b3≥ab＋ab2．

【审题视点】

本题主要考查不等式证明的方法，考查运算求解能力及等价转化思想，可用作差比较法证明． [证明] （a）3＋b3－（ab＋ab2）＝[（a）3－ab]＋[b3－ab2]＝a（a－b）－b2（a－b） ＝（a－b）（a－b2a－b）[（a）2－b2]＝（a－b）2（a＋b）． 因为a>0，b>0，所以a＋b>0，又（a－b）2≥0，

所以（a－b）2a＋b）≥0a）3＋b3－（ab＋ab2）≥0，即（a）3＋b3≥ab＋2．

【师说点拨】

此题用的是作差比较法，其步骤：作差、变形、判断差的符号、结论．其中判断差的符号为目的，变形是关键．常用的变形技巧有因式分解、配方、拆项、拼项等方法．

【变式探究】

求证：a2＋b2≥ab＋a＋b－1

1

证明：∵（a2＋b2）－（ab＋a＋b－1）＝a2＋b2－ab－a－b＋1＝2a2＋2b2－2ab－2a－2b＋2）

2

11

＝（a2－2ab＋b2）＋（a2－2a＋1）＋（b2－2b＋1）]（a－b）2＋（a－1）2＋（b－1）2]≥0， 22∴a2＋b2≥ab＋a＋b－1．

【考点二】用分析法或综合法证明不等式

1112例2 已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋ abc3，并确定a，b，c为何值时，等号成立．

【审题视点】

3

因为a，b，c均为正数，且a＋b＋c≥ 3abc，故可利用三个正数的算术——几何平均不等式证明．

2

[证明] 因为a，b，c均为正数，所以a2＋b2＋c2≥3（abc）， ①

3

111211112

＋≥9（abc）－． ② ＋≥3（abc abcabc33

111222＋≥3（abc）＋9（abc 故a2＋b2＋c2＋ abc3322

又3（abc）＋9（abc）－≥2＝6， ③ 所以原不等式成立．

33

当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．

221

当且仅当3（abc9（abc）－时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝3

334

111

奇思妙想：例题中，不等式变为“abc3”，其余不变，该如何解答？

abc111331113

证明：∵a，b，c＋＋abc≥＋abc3， abcabcabcabcabc

31

∴原不等式成立，当a＝b＝c且abc时等号同时成立，即a＝b＝c＝3

abc6

【师说点拨】

1．分析法要注意叙述的形式：“要证A，只要证B”，这里B应是A成立的充分条件．

2．综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”．它们是两种思路截然相反的证明方法．分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述，因此要注意两种方法在解题中的综合运用．

【变式探究】

设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.

证明：证法一 （综合法）

∵a≥b>0，∴a2≥b2，则3a2≥2b2，则3a2－2b2≥0. 又a－b≥0，∴(a－b)(3a2－2b2)≥0， 即3a3－2ab2－3a2b＋2b3≥0，则3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2 ．故原不等式成立． 证法二 （分析法）

要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，只需证3a3＋2b3－3a2b－2ab2≥0，即3a2(a－b)＋2b2(b－a)≥0， 也即(a－b)(3a2－2b2)≥0，(*) ∵a≥b>0，∴a－b≥0.

又a2≥b2，则3a2≥2b2，∴3a2－2b2≥0. (*)式显然成立，故原不等式成立.

【考点三】用柯西不等式证明不等式

例3 [2012·福建高考]已知函数f（x）＝m－|x－2|，m∈R，且f（x＋2）≥0的解集为[－1,1]．

111

（1）求m的值；（2）若a，b，c∈R＋，且＋＋m，求证：a＋2b＋3c≥9．

a2b3c

【审题视点】

（1）根据式子的特点，利用公式进行转化，根据集合相等确定m的值；

（2）结合已知条件构造两个适当的数组，变形为柯西不等式的形式． [解] （1）因为（fx＋2）＝m－|x|，（fx＋2）≥0等价于|x|≤m，由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}． 又f（x＋2）≥0的解集为[－1,1]，故m＝1．

111＋

（2）由（1）知＝1，又a，b，c∈R，由柯西不等式得

a2b3c

111111

a＋2b＋3c＝（a＋2b＋3c）（）≥（a＋2b3c2＝9．所以不等式得证．

a2b3ca2b3c

【师说点拨】

22222

柯西不等式的一般结构为（a2（b21＋a2＋…＋an）1＋b2＋…＋bn）≥（a1b1＋a2b2＋…＋anbn），在使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子，为方便使用柯西不等式，有时常将a变形为1×a的形式．

【变式探究】

abcbca 用柯西不等式证明：若a，b，c均为正数，＋）（）≥9．

bcaabc

abcbca证明：∵（＋（＋）≥（2＝9，

bcaabcbacbacabcbca∴（）＋）≥9．

bcaabc

【经典演练提能】04

1．已知a1≤a2，b1≤b2，则P＝a1b1＋a2b2，Q＝a1b2＋a2b1的大小关系是( ) A．P≤Q B．P<Q C．P≥Q D．P>Q 答案：C

解析：∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(b1－b2)·(a1－a2) ∵a1≤a2，b1≤b2 ∴(b1－b2)·(a1－a2)≥0 ∴a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1．

111

2．已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1＋＋的最小值为（ ）

abc

A．3 B．6 C．9 D．12 答案：C

a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c111bacacb

解析：把a＋b＋c＝1代入＋得到＝3＋（＋＋（＋（＋）≥3

abcabcabacbc

＋2＋2＋2＝9，故选C．

3. 若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 2

解析：abc）2＝（a＋b＋c）2≤（12＋12＋12）（a＋b＋c）＝3．

1

当且仅当a＝b＝c＝abc）2≤3．故＋＋的最大值为．

3

x＋yxy

4．设x>0，y>0，M＝N＝M、N的大小关系为________．

2＋x＋y2＋x2＋y

答案：M<N

x＋yxyxy

解析：N＝＋>M．

2＋x2＋y2＋x＋y2＋x＋y2＋x＋y

5．若a，b∈R，且a≠b，M答案：M>N

＋

ab

＋，N＝a＋b，则M、N的大小关系为________． ba

abab

解析：∵a≠bba，ab， baa＋b．

baba

（时间：45分钟 分值：100分）

一、选择题

1．若|a－c|<|b|，则下列不等式中正确的是（ ）

A．a<b＋c B．a>c－b C．|a|>|b|－|c| D．|a|<|b|＋|c| 答案：D

解析：|a|－|c|≤|a－c|<|b|，即|a|<|b|＋|c|．故选D．

11

2．[2013·鸡西模拟]若实数x、y＋＝1，则x2＋2y2有（ ）

xy

A．最大值3＋22 B．最小值3＋2 C．最大值6 D．最小值6 答案：B

112y2x22222

解析：由题意知，x＋2y＝（x＋2y）·（＋）＝3＋＋22，

xyxy

22x2y

＝时，等号成立，故选B．

yx

111

3．[2013·广东调研]已知a，b为实数，且a>0，b>0．则（a＋b＋（a2＋ ）

aba

A．7 B．8 C．9 D．10 答案：C

13解析：因为a>0，b>0，所以a＋b＋≥3a×b＝3b>0， ①

aa113同理可证：a＋＋≥3． ②

bab

2

3111321由①②及不等式的性质得（a＋b＋）（a≥3b×9．

abab

2

4．[2013·柳州模拟]已知关于x的不等式2x在x∈（a，＋∞）上恒成立，则实数a的最小值为（ ）

x－a

13

A． B．1 C D．2

22答案：C

2223

解析：2x＋2（x－a）＋2a≥22 x－a 2a＝2a＋4≥7，∴a

2x－ax－ax－a

＋

5．[2013·金版原创]若q>0且q≠1，m，n∈N，则1＋qmn与qm＋qn的大小关系是（ ）

＋＋ ＋

A．1＋qmn>qm＋qn B．1＋qmn<qm＋qnC．1＋qmn＝qm＋qn D．不能确定 答案：A

＋

解析：1＋qmn－qm－qn＝qm（qn－1）－（qn－1）＝（qn－1）（qm－1）， ①当0<q<1时，qn<1，qm<1． ②当q>1时，qn>1，qm>1．

＋

∴（qn－1）（qm－1）>0，∴1＋qmn>qm＋qn，故选A． 6．[2012·湖北高考]设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则a＋b＋c

＝（ ）

x＋y＋z

1113A． B． C． D．

4324答案：C

解析：由柯西不等式得（a2＋b2＋c2）（x2＋y2＋z2）≥（ax＋by＋cz）2，而由已知有

abc

（a2＋b2＋c2）（x2＋y2＋z2）＝10×40＝202＝（ax＋by＋cz）2，故＝＝k，代入得

xyz

a＋b＋c11

a2＋b2＋c2＝k2（x2＋y2＋z2）＝40k2＝10，解得k＝k＝．故选C．

22x＋y＋z

二、填空题

7．函数y＝21－x＋2x＋1的最大值为________． 答案：3

解析：y22－2x＋2x＋1）2≤[（）2＋12][2－2x）22x＋1）2]＝3×3，∴y≤3． 8．[2013·许昌模拟]对于任意实数a、b，若|a－b|≤1，|2a－1|≤1，则|4a－3b＋2|的最大值为________． 答案：6

11

解析：因为|a－b|≤1，|2a－1|≤1，所以|3a－3b|≤3，|a

22

151515

|4a－3b＋2|＝|（3a－3b）＋（a－|≤|3a－3b|＋|a－|＋≤3＋＋6，即|4a－3b＋2|的最大值为6．

222222111

9．已知x，y，z为正实数，且＋＝1，则x＋4y＋9z的最小值为________．

xyz

答案：36

解析：解法一：由柯西不等式，得

111

x＋4y＋9z＝[x）2＋（y）2＋（3z）2]·[（）2＋（22]≥

xyz

111

（x＋y3z）2＝36．

xyz

当且仅当x＝2y＝3z时等号成立，此时x＝6，y＝3，z＝2． 所以当x＝6，y＝3，z＝2时，x＋4y＋9z取得最小值36．

111111

解法二：∵＋＝1，∴x＋4y＋9z＝（x＋4y＋9z）（＋），

xyzxyz

4y9zx9zx4y4yx9zx9z4y

即x＋4y＋9z＝14＋＋＋≥14＋＋22＝36．

xxyyzzxyxzyz

（当且仅当x＝2y＝3z时取“＝”）， 即x＝6，y＝3，z＝2时，（x＋4y＋9z）min＝36．故填36． 三、解答题

1

10．已知a>0，证明：a2＋2≥a2．

aa

1111

解：要证 a22≥a＋－2，只要证 a2＋2≥a＋＋2，因为a>0，所以只要证

aaaa1111

（ a2＋2）2≥（a＋2）2，即证a2＋4＋a2a2＋4＋2（a＋，故只需证

aaaaaa111111

2 a2＋≥a＋，即证a2＋，而由基本不等式可知a2＋成立．故 a2－2≥a＋2．

aaaaaa

2

11．[2013·正定模拟]设正有理数x是的一个近似值，令y＝1

．

1＋x

（1）若x>3，求证：y3； （2）求证：y比x3．

33＋x3x－3x－32

证明：（1）y－3＝1＋3＝＝，

1＋x1＋x1＋x

∵x>3，∴x3>0，而13<0，∴y<3．

3－13－2－x 3x－（2）∵|y－3|－|x3|＝ －|x－3|＝|x－3|（－1）＝|x－3|（， 1＋x1＋x 1＋x ∵x>03－2<0，|x－3|>0，∴|y3|－|x3|<0，即|y－3|<|x3|．∴y比x更接近于3． 12．[2013·南昌调研]已知x＋y>0，且xy≠0．

xym11

（1）求证：x3＋y3≥x2y＋y2x； （2）如果＋（＋m的取值范围或值．

yx2xy

解：（1）∵x3＋y3－（x2y＋y2x）＝x2（x－y）－y2（x－y）＝（x＋y）（x－y）2，且x＋y>0，（x－y）2≥0， ∴x3＋y3－（x2y＋y2x）≥0．∴x3＋y3≥x2y＋y2x．

33

x2－xy＋y2xym11mx＋y

（2）（ⅰ）若xy<0，则＋）等价于＝，

yx2xy2xy x＋y xy

x2－xy＋y2 x＋y 2－3xy－3xyx3＋y3

又∵＝<3， 即<－3，∴m>－6；

xyxyxyxyx＋y

3322

xym11mx＋yx－xy＋y

（ⅱ）若xy>0，则≥（＋≤＝，

yx2xy2xyx＋yxy

x2－xy＋y22xy－xyx3＋y3

又∵≥1，即，∴m≤2．

xyxyxyx＋y

综上所述，实数m的取值范围是（－6,2]．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5xxe.html