债券交易价格波动研究的数学问题

债券交易价格波动研究的数学问题

债券交易价格波动富含许多经济信息，对于价格的数据进行处理以获取经济信息是经济理论的常用的手段。本题拟完成以下几个任务：

1. 依据提供几种债券交易价格历年（日或月）的价格数据；获取描述其变

化规律的数学模型。 2. 获取价格波动的原因。

3. 获取国民经济的运行情况和债券交易价格的关系信息。

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6.4 时间序列模型

时间序列模型是应用十分广泛的数学模型，其内容十分丰富。时间序列是按时间次序排

列的随机变量序列，任何时间序列经过合理的函数变换后都可以被认为是由三个部分叠加而成。这三个部分是趋势项部分，周期部分和随机噪声部分。从时间序列中把这三个部分分解出来是时间序列分析的首要任务。本节主要介绍时间序列的分解方法，时间序列和随机过程的关系，时间数列的构成要素与一些简单基本模型。

6.4.1 时间序列的基本概念和现代时间序列分析

1. 基本概念

定义6.6 按时间次序排列的随机变量序列

X1,X2,?,Xn,? （6.4.1） 称为时间序列。如果用

x1,x2,...,xN （6.4.2）

分别表示随机变量X1,X2,...XN的观测值，就称式（6.4.2）是时间序列式（6.4.1）的N个观测样本，这里N是观测样本的个数。如果用

(x1,x2,?,xN) （6.4.3）

表示X1,X2,?,XN的依次观测值，就称式（6.4.3）是式（6.4.1）的一次实现或一条轨道。

在实际问题中所能得到的数据只是时间序列的有限观测样本。时间序列分析的主要任务就是根据观测数据的特点为数据建立尽可能合理的统计模型，然后利用模型的统计特性去解释数据的统计规律，以期达到控制或预报的目的。

为了表达方便我们用?Xt?表示时间序列式（6.4.1），用?xt?表示观测样本式（6.4.2）或式（6.4.3），为了表达简单，有时还用X?t?表示Xt，用x?t?表示xt。

例6.11 某地区历史上自然灾害频繁发生，在各种自然灾害中，水旱灾害发生的机遇最多，危害最大，表6-4-1给出了该地区1949至1964年的洪涝灾害面积的数据（单位：万亩）。

表6-4-1 某地区洪涝灾害数据

年份 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 受灾面积（万亩） 331.12 380.44 59.63 37.89 103.66 316.67 208.72 288.79 25.00 84.72 260.89 27.18 20.74 52.99 99.25 成灾面积（万亩） 243.96 293.90 59.63 18.09 72.92 244.57 155.77 255.22 0.50 48.59 202.96 15.02 17.09 14.66 45.61 1964 16 55.36 41.90

现在考虑受灾面积，用X1表示第1年（1949）的受灾面积，X2表示第2 年（1950）的受灾面积等第。X1,X2,..，是一列按时间次序排列的随机变量，因此是一个时间序列。用x1,x2,...,x16分别表示第1年，第2年?，第16年的实际受灾面积，则

x1?331.12,x2?380.44,...,x16?55.36

是时间序列?Xt?的观测样本，样本量N?16。它是时间序列?Xt?的一次实现的一部分。

如果用Y1,Y2,...Y16表示第1，2，?，16年的成灾面积，则

y1?243.96,y2?293.90,...,y16?41.90

是时间序列?Yt?的16个观测样本，时间序列的观测样本可以用数据图6-4-1表出。

400350300250200150100500年年年955年957年959年961年963年19491951195311111

图6-4-1 某地区洪涝灾害数据图，虚线是成灾面积

由于?Xt?，?Yt?之间存在着相关关系，所以还需要研究向量值的时间序列

?t??Xt,Yt?,t?1,2,...,

T向量值的时间序列又称为多维时间序列。

类似地，时间序列可以表示：某地区的月降水量；某航空公司的逐日客流量；北京地区每月的煤炭消耗量；某渔业公司的逐月水产品的产量；某国家的逐月失业率等等。

2．时间序列的第一类分解

上述例子中，时间指标都是等间隔排列的。为了叙述方便，如果没有特殊说明，本书中的时间序列时间指标都是等间隔排列的。时间序列分析的主要任务是对时间序列的观测样本建立尽可能合适的统计模型。合理的模型会对所关心的时间序列的预测、控制和诊断提供帮助。大量时间序列的观测样本都表现出趋势性、季节性和随机性或者只表现出三者中的其二或其一。这样，可以认为每个时间序列，或经过适当的函数变换的时间序列，都可以分解成三个部分的叠加。

,tt?1,2?, , Xt?Tt?St?R(6.4.4)

其中?St?是趋势项， ?St?是季节项， {Rt}是随机项。时间序列?Xt?是这三项的叠加，便于与后面的分解区别，在此称它为时间序列的第一类分解。

通常认为趋势项?Tt???T?t??是时间t的实值函数，它是非随机的。相应于时间序列，观测样本?xt?也有相应的分解。为研究问题的方便，在不引起混淆?Xt?的分解式（6.4.4）

的情况下，我们往往不对?xt?和?Xt?进行严格区分。在研究和关心数据的统计性质的时候用大写的Xt，在用于数据的计算时常用小写xt。

时间序列分析的首要任务是通过观测样本式（6.4.2）的观察分析，把时间序列的趋势项、季节项和随机项分解出来，这项工作被称为时间序列的分解.在模型式（6.4.4）中，如果季节项?St?只存在一个周期s，则

S?t?s??S?t?,t?1,2,...

于是，?St?在任何一个周期内的平均是常数

1S?t?j??c ?sj?1s把模型式（6.4.4）改写成

Xt??Tt?c???St?c??Rt,t?1,2,...

就得到新的季节项?St?c?，它仍有周期s且在任何一个周期内的和是零，于是，在模型式（6.4.4）中可以要求

?S?t?j??0,t?1,2,... （6.4.5）

j?1s同理，可以要求随机项的数学期望等于零，即

ERt?0,t?1,2,... （6.4.6） 例6.12 表6-4-2中的数据是某城市1991～1996年中每个季度用煤消耗量（单位：吨）。数据图形由图6-4-2出。

表6-4-2 某城市居民季度用煤消耗量

年份 1991 1992 1993 1994 1995 1996 季平均 1季度 6878.4 6815.4 6634.4 7130.2 7413.5 7476.5 7058.1 2季度 5343.7 5532.6 5658.5 5532.6 5863.1 5965.5 5649.3 3季度 4847.9 4745.6 4674.8 4989.6 4997.4 5202.1 4909.6 4季度 6421.9 6406.2 6645.5 6642.3 6776.1 6894.1 6597.7 年平均 5873.0 5875.0 5853.3 6073.7 6262.6 6384.5 7500700065006000550050004500159131721图6-4-2 例6.12的数据图和分段趋势

下面通过对例6.12中的数据分析，介绍几种常用的分解时间序列的方法. 方法1 分段趋势

从数据图6.4.2可以看出，数据随着季节的变化有明显的周期s?4。从年平均看出，数据有缓慢的逐年上升趋势。最直接和最简单的方法是把趋势项?Tt?定义成年平均值，例如?,T?,T?,T?是1991年的数据平均（见图6-4-2）对，T1,T2,T3,T4的趋势项T，这样得到： 1234??T1???T4?5873.0,??T5???T8?5875.0,...............??

T21???T24?6384.5利用原始数据?xt?减去趋势项的估计?Tt?得到的数据基本只含有季节的估计。如果用xj,k?????和Tj,k分别表示第j年第k个季度的数据和趋势项，则时刻?j,k?的时间次序指标k?4?j?1?。

?1??S?k????xj,k?Tj,k? ?6j?1?6??16???x?T??k?4jk?4j?,

?j?0?5(6.4.7)

经计算：

S?1??1004.4， S?2???404.3 S?3???1144.1， S?4??544.0

????????Sj?0??这时，?。最后，利用原始数据xt减去趋势项的估计?Tt?和季节的估计?St?得

????j?14?????到的数据就是随机项的估计（见图6-4-3）：

???Rt?xt?Tt?St, 1?t?24

图6-4-3 季节项和随机项

方法2 回归直线趋势

由于数据有缓慢的上升趋势，可以试用回归直线表示趋势项，这时认为?x,t?满足一元线性回归模型

xt?a?bt??t, t?1,2,.. .定义

X??x1,x2,...,x24?1Y???112......?T,1? ?24??a,b?T的最小二乘估计由公式

?????a,b??YY??T?T??1YX

决定，经过计算得到

??a?5780.1， b?21.9

回归方程为：

xt?5780.1?21.9t

这时，趋势项?Tt?的估计值是回归直线（见图6.4.4）。

?Tt?5780.1?21.9t (6.4.8)

图6-4-4 数据和直线趋势项

???利用原始数据?xt?减去趋势项的估计?Tt?后得到的数据基本只含有季节项和随机项，仍可

??以用第k季度的平均值作为季节项S?k?的估计。利用方法1中的公式（6.4.7）计算出

S?1??1037.2，S?2???393.4，S?3???1155.0，S?4??511.2.

????这时，?S?j??0。

j?14???????最后，利用原始数据?xt?减去趋势项的估计?Tt?和季节项的估计?St?后得到的数据就

???????是随机项的估计Rt?xt?Tt?St,1?t?24，见图6-4-5。

图6-4-5 季节项和随机项

为得到1997年的预报值，可以利用公式

X?24?k|24??T?24?k??S?k?, k?1,2,3,4. (6.4.9) 这里， X?24?k|24?是用例6.12中的24个观测数据对第24?k个数据的预测值。经过计算得到1997年的预测值为：

0预测值 7364.4 5955.7 5215.9 6904.

????真 值 7720.5 5973.3 5304.4 7075. 1.0434 ?17.6334 ?88.4634 ?171.0984 预测误差 ?356方法3 二次曲线趋势

我们还可以用二次曲线来拟合例6.12中数据的趋势项，这时认为?xt,t?满足二元线性回归模型：

xt?a?bt?ct??t,t?1,2,...

2定义

?1T?X??x1,x2,...,x24?,Y?1???11222.........1??24 ?224???a,b,c?T?????的最小二乘估计由公式?a,b,c??YY??T?T??1YX

???决定，经计算得到a?5948.5, b??17.0, c?16.0

这时，趋势项?Tt?的估计值是二次曲线（见图6-4-6）Tt?5948.5?17.0t?16t。

2?

图6-4-6 数据和二次趋势项

???利用原始数据?xt?减去趋势项的估计?Tt?，得到的数据基本只含有季节项和随机项，

??再用第k项季度的平均值作为季节项S?k?的估计，利用公式(6.4.7)计算出

S?1??1035.7，S?2???391.18，S?3???1153.5，S?4??509.6

????季节项的估计数据见图6-4-7。

4这时，

?j?1??????从原始数据?xt?减去趋势项的估计?Tt?和季节项的估计?St?S?j??0.62，

????后得到的数据就是随机项的估计

???Rt?xt?Tt?St， 1?t?24

最后利用公式(6.4.9)计算出1997年的预测值如下：

6 1 66. 1 5 4 6 9. 8 7 2 0 1. 4预测值 7531. 3真值 7720.5 5973.3 5304.4 7075. 1预测误差 ?189.2 192.7 165.4 126.3

图6-4-7 季节项和随机项

可以看出，利用二次曲线的方法3得出的1997年的预测值在总体上好于方法2得到的预测值.对更复杂的数据还可以用更高阶多项式或其他曲线拟合趋势项.

方法4 逐步平均法

拟合趋势项还有常用的逐步运动平均法，回忆样本数据的季节项有明显的周期s?4。对观测样本做逐步平均如下：

U2.5?143?xj?01?j， U3.5?143?xj?02?j，…，U22.5?143?xj?021?j

其中U的下标是相应的求和项中x的下标的平均。这个数据是趋势项的拟合。但是时间的指标不在整数位上，为克服这个不足，可以再取

?T3?12?U2.5?U?T22.5，4??12?U3.5?U4.5?，T22??12?U21.5?U22.5?

注6.1 当数据季节项的周期是奇数时，时间指标在整数位上，上述步骤就没有必要了。 这种方法的缺点是，在t?1,2和t?23,24处无法拟合出趋势项。

???利用原始数据?xt?减去趋势项的估计?Tt?得到的数据基本只含有季节项和随机项。仍

??然用第k季度的平均值作为季节项S?k?的估计。但是由于缺少t?1,2和t?23,24处的趋势

项值，只能用公式

???1S?k????xj,k?Tj,k??5j?2??5??16?????xk?4j?Tk?4j?

?j?1??????xk?4j?Tk?4j?,

?j?0?45???1和 S?k????xj,k?Tj,k??5j?1??515进行计算，经计算得到：

S?1??1036.7，S?2???367.5，S?3???1151.4，S?4??505.5

????这时?S?j??23.3。

j?14???????最后，从数据?xt?减去趋势项的估计?Tt?和季节项的估计?St?后得到的数据就是随机

????项的估计。为得到1997年的预测值，还需要对趋势项进行直线拟合，得到趋势项的回归直线

?Tt?5665.3?30.2t.

于是，由

X?24?k24??T?24?k??S?k?， k?1,2,3,4

???计算得到1997年的预测值为：

5 3 2 9. 1 7 0 1 6. 1预测值 7456.8 6082. 8预测误差 ?263.6975 109.4307 24.7217 ?59.0035

注6.2在以上的四种方法中，为了得到更好的趋势项，还可以利用数据重新估计趋势项

Tt，得到趋势项的新估计Tt，最后得到随机项。

? 方法5 回归方法

??对于时间序列观测样本Rt?xt?St?Tt，如果只为了预测的目的还可以用多元回归的方法。假设例1.2中的数据满足多元线性回归模型：

xt?b?b0t?b1d1,t?b2d2,t?b3d3,t?b4d4,t??t, t?1,2,...,24, (6.4.10)

?其中b,b0,b1,...,b4是待估计的常数， dk,t是哑元，满足

?1,t?k?4?j?1?是第k季度时间指标dk,t??其他?0，,1?j?6

模型式(6.4.10)的设计使得第k季度的数据有相同的斜率bk。由于模型式(6.4.10)中的参数过多，使得设计矩阵不满秩，为了克服这个问题，取b?0，得到下面的模型

. (6.4.11) xt?b0t?b1d1,t?b2d2,t?b3d3,t?b4d4,t??t,t?1,2,...

定义

?1?1?Y??0?0???020100300104000151000...............23001024??0?0? 0??1??则?b0,b1,...,b4?的最小二乘估计为

T??????b0,b1,...,b4??YY??T?T??1YX

经计算得到回归方程：

xt?28.1t?6748.4d1,t?5311.6d2,t?4543.6d3,t?6203.6d4,t

于是可以计算1997年的预测值为：

预测值 7452.2 6043.4 5247.4 6907. 3预测误差 ?268.3014 70.1086 ?57.0200 ?167.8043

在实际问题中，有时需要对时间序列的数据先进行适当的函数变换，根据数据图选定一个已知的函数g?x?，然后对变换后的数据yt?g?xt?,t?1,2,...,N进行时间序列的分解。采用这种方法有时会得到很好的效果。常用的函数有对数函数lnx，指数函数exp?ax?，倒数函数ax 等。

6.4.2 时间序列第二类分解及长期趋势分析预测模型

1. 时间序列第二类分解和时间数列的构成分析

事物的发展变化同时要受多种因素的影响，在诸多影响因素中，有些对事物的发展起着长期的、决定性的作用，致使事物的发展呈现出某种趋势和一定的规律性；有些则对事物的发展起着短期的、非决定性的作用，致使事物的发展呈现出某种不规则性。作为事物发展数量表现的时间序列，其各个观察值?Yi?正是这些因素共同作用结果的综合体现。

影响时间序列的因素大体上可以分为四种，即长期趋势(T)、季节变动(S)、循环波动

(C)和不规则波动(I)。把这些影响因素同时间序列的关系用一定的数学关系式表达出来，

就构成了时间序列的分解模型。将各影响因素分别从时间序列中分离出去并加以测定的过程，称为时间序列的构成分析。

按四种因素对时间序列的不同影响方式，时间序列可以分为多种模型，如乘法模型、加法模型(第一类分解)、混合模型等。其中最常用的是乘法模型，其表现形式为：

Yi?Ti?Si?Ci?Ii （6.4.12） 乘法模型的基本假设是：四个因素相互之间存在一定的关系，即它们对事物的影响是相互的，并假设这些因素是由不同的原因形成的，但其作用却是相互的。因此，时间序列中各观察值表现为各种因素的乘积。利用乘法模型可以将四个因素很容易地从时间序列中分离出来，因而乘法模型在时间序列分析中被广泛应用，称时间序列第二类分解。

这里主要讨论基于时间序列第二类分解长期趋势的分析方法(其它趋势分析类似)。长期趋势是时间数列的主要构成要素，它是指现象在较长时期内持续发展变化的一种趋向或者状态。通过对时间序列长期趋势的分析，可以掌握现象活动的规律性，并对其未来的发展趋势

作出判断或者预测。此外，研究长期趋势的目的之一，也是为了将其从时间序列中予以剔除，以便观察和分析其他各影响因素。

现象发展的长期趋势根据其表现形态的不同，有线性趋势和非线性趋势。下面分别介绍关于这两类趋势的一些重要的分析方法。

2. 线性趋势

线性趋势是指现象随着时间的推移而呈现出稳定增长或下降的线性变化规律。线性趋势的分析方法有很多，这里只介绍几种常用的方法。

（1）移动平均法

移动平均法是趋势变动分析的一种较简单的常用方法。当时间数列的变化趋势为线性状态时，可采用移动平均法进行描述和分析。该方法的基本思想和原理是：通过扩大原时间数列的时间间隔，并按一定的间隔长度逐期移动，分别计算出一系列移动平均数，由这些平均数形成的新的时间数列对原时间数列的波动起到一定的修匀发展的变动趋势。

设移动间隔长度为K，则移动平均数序列可以写为： Yi?Yi?Yi?1???YK?i?1K （6.4.13）

式中：Yi为移动平均趋势值，K为大于1小于n的正整数。

例6.13 尽管受存款利息降低的影响，但某商业银行由于提高自身的管理和服务水平，近年存款额一直保持增长势头，表6-4-3是该银行1988～1998年存款余额。分别计算三年和五年移动平均趋势值。

表6-4-3 某商业银行1988～1998年存款余额 年份 存款余额（亿元） 年份 存款余额（亿元） 152 189 184 190 212 1988 75 1994 1989 113 1995 1990 128 1996 1991 121 1997 1992 136 1998 1993 156 解 根据式（6.4.14）式得移动平均趋势值如表6-4-4. 年份 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 存款余额（亿元） 75 113 128 121 136 156 152 189 184 190 表6-4-4 存款余额移动平均趋势值

移动平均趋势值 K?3 K?5 — 105.3 120.7 128.3 137.7 148.0 165.7 175.0 187.7 195.3 — — 114.6 130.8 138.6 150.8 163.4 174.2 185.4 — 1998 212 — —

利用移动平均法分析趋势变动时，应注意以下几个问题：

首先，移动平均后的趋势值应放在各移动项的中间位置。比如三项移动平均的趋势值应放在第二项对应的位置上，五项移动平均的趋势值应放在第三项对应的位置上，其余类推。若移动间隔长度K为奇数时，一次移动即得趋势值；若K为偶数时，需将第一次得到的移动平均值再作一次二项移动平均，才能得到最后的趋势值。

其次，移动平均的目的在于消除原数列中的短期波动，因此移动间隔的长度应长短适中。移动间隔越长，所得趋势值越少，个别观察值的影响作用越弱，移动平均序列所表现的趋势越明显，但移动间隔越长，有时会脱离现象发展的真实趋势；若移动间隔越短，个别观察值的影响作用就越大，有时由于不能完全消除数列中短期偶然因素的影响，从而看不出现象发展的变动趋势。一般来说，如果现象的发展具有一定的周期性，应以周期长度作为移动间隔的长度；若时间数列是季度资料，应采用4项移动平均，若为月份资料，应采用12项移动平均。这样移动的结果才能真实表现时间数列的趋势变动。

（2）线性模型法

当现象的发展按线性趋势变化时，还可以用下列线性模型来描述：

? Yt?a?bt （6.4.14）

?式(6.4.15)又称为直线趋势方程。其中： Yt代表时间数列Yt的趋势值; t代表时间标号。

趋势方程中的两个未知常数a和b通常按最小二乘法求得。该方法是根据回归分析中的最小二乘法原理，对时间数列配合一条趋势线，使之满足条件：实际观察值?Yi?与趋势值

???2?Yt?的离差平方和最小，即?(Yi?Yt)?最小值。然后根据所确定的趋势线计算出各个???时期的趋势值，从而观察和描述现象发展的变动趋势，并对未来的趋势值进行预测。最小二乘法既可以配合趋势直线，也可以用于配合趋势曲线。

根据最小二乘法的要求，可以得到趋势线总未知常数a和b的标准求解方程：

???Yt?na?b?t （6.4.15） ?2???tYt?a?t?b?t解得：

?n?tYt??t?Ytb??22nt?(t) （6.4.16） ?????a?Y?bt上述方程中的变量t可以取时间数列中的任何时期为原点。为简便起见，可以取时间数列的中间时期为原点，此时有?t?0，式（6.4.16）可以化简为：

???Yt?na （6.4.17） ?2???tYt?b?t解得：

?a?Y?tYt （6.4.18） ???b?2t??利用表6-4-3中的数据，根据最小二乘法确定存款余额的直线趋势方程，并计算出1988——1998年各年存款余额的趋势值，有关计算见表6-4-5。

表6-4-5 存款余额趋势直线计算表

年份 时间标号t 存款余额（亿元）Yt 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 合计 根据式（6.4.17）得： b?11?11249?66?165611?506?(66)2t?Yt t 2?趋势值Yt 90.9 102.8 114.7 126.7 138.6 150.5 162.5 174.4 186.4 198.3 210.2 1656.0 66111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 66 75 113 128 121 136 156 152 189 184 190 212 1656 75 226 384 484 680 936 1064 1512 1656 1900 2332 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 11249 506 165611?11.9364a??11.9364??78.927

?存款余额的直线趋势方程为：Yt?78.927?11.9364t。将t?1,2,?,11代入上述方程，即得1988——1998年存款余额的趋势值，见表6-4-5。将存款余额及其趋势值绘成图6-4-8。将t?13代入方程得2000年存款余额的预测值为：

?Y2000?78.927?11.9364?13?234.1（亿元）

250存款余额(亿元)2001501005001989年1990年1991年1992年1993年1994年1995年1996年1997年1998年存款余额线性 (存款余额)(年份)

图6-4-8 存款余额直线趋势图

3. 非线性趋势

现象发展的长期趋势，通常可以认为是由于某种固定的因素作用同一方向所形成的。若这些因素随着时间的推移按线性变化，就可以对时间数列配合趋势直线；若呈现出某种非线性形态，则需要配合适当的趋势曲线。下面介绍几种常用的趋势曲线。

（1）二次曲线

当现象发展的趋势为抛物线形态时，可配合二次曲线。其一般方程为：

Yt?a?bt?ct2 （6.4.19） 曲线中的三个未知常数a,b,c的标准求解方程如下：

2??Yt?na?b?t?c?t? ??tYt?a?t?b?t2?c?t3 （6.4.20）

2234?tY?at?bt?ct????t??当取时间数列的中间时期为原点时，有?t?0，式（6.4.20）可化简为：

??Y?na?2 ? （6.4.21） ?t?b?t224???tY?a?tc?t例6.15 由于近年银行存款利息的降低，居民存款额有所下降。表6.4.6是某地区1990～1998年各年的存款数据。试配合二次曲线，计算1990～1998年存款额的趋势值，并预测1999年的存款额，作图与原数列比较。

表6-4-6 某地区1990～1998年存款额

年份 存款余额（亿元） 年份 存款余额（亿元） 1990 1991 1992 1993 1994 105 152 228 255 315 1995 1996 1997 1998 354 351 319 284 解 有关计算过程见表6-4-7。 表6-4-7 存款二次曲线计算表

年份 时间标号t 存款余额（亿元）Yt 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 合计 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 102 152 228 255 315 354 351 319 284 2360 -408 -456 -456 -255 0 354 702 957 1136 1574 16 9 4 1 0 1 4 9 16 60 1632 1368 912 255 0 354 1404 256 81 16 1 0 1 16 84.8 165.4 230.5 280.0 314.0 332.5 335.4 322.8 294.6 2360.0 t?Yt 2t 2tY 4t ?趋势值Yt 2871 81 4544 256 13340 708

根据式(6.4.21）式得：

2360?9a?60c1574?60b13340?60a?708c

解得：a?314.026,b?26.233,c??7.7706。

?存款额的二次曲线方程为：Yt?314.026?26.233t?7.7706t，

将t代入上式得各年的趋势值见表8.12。将t?5代入方程得1999年的存款额为：

Y1999?314.026?26.233?5?7.7706???5??250.9（亿元）

22将各年存款及其趋势值绘成图6-4-9。

（2）增长曲线

大多数事物在其发展过程中都呈现出以不同的速度率增长或下降，或者由逐渐增长到逐渐衰退等各种不同形态。用于描述这类增长过程的曲线称为增长曲线。由于不同事物的增长形态各异，因而需要不同类型的增长曲线来描述。下面介绍几种常用的增长曲线。

400350300250存款额200150100500存款额多项式 (存款额)1990年1992年1994年1996年1998年(年份)

图6-4-9 居民存款额二次曲线趋势

?①指数曲线。指数曲线用于描述以几何级数递增或递减的现象，即时间数列的观察值Y长及大多数经济数列都属于此类。指数曲线的一般形式为：

t按指数规律变化，或者说时间数列的逐期观察值按一定的百分比增长或衰减。一般的自然增

? Yt?abt （6.4.22） 式中：a,b为未知常数。

若a?1，增长率随着时间t的增加而增加；若a?1，增长率随着时间t的增加而降低；

?若a?0,b?1，趋势值Yt逐渐降低到以0为极限。为确定指数曲线中的常数a和b，可采取“线性化”手段将其化为对数直线形式，即两端取对数直线形式，即两端取对数得：

? logYt?loga?tlogb （6.4.23） 然后根据最小二乘法原理，按直线形式的常数确定方法，得到求解的标准方程如下：

2???logY?nloga?logb?t ? （6.4.24）

tlogY?logat?logbt?????当取时间数列的中间时期为原点时，?t?0，（6.4.24）式可化简为：

??logY?nloga ? （6.4.25） 2tlogY?logbt???求出loga和logb后，再取其反对数，即得常数a和b。

例6.16根据表6-4-3中的资料，确定1988～1998年某商业银行存款额的指数曲线方程，求出各年存款的趋势值，并预测1999年的存款额，作图与原数列比较。

解 有关计算过程见表6-4-8。 根据式（6.4.24）得：

23.773012?11loga?66logb146.705621?66loga?506logb

解得：a?86.959,b?1.08887

表6-4-8 某存款额指数曲线计算表

年份 时间标号t 存款额（亿元）Yt logY t1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 合计 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 66 75 113 128 121 136 156 152 189 184 190 212 1656 ?t?logYt 2t ?趋势值Yt 94.7 103.1 112.3 122.2 133.1 144.9 157.8 171.8 187.1 203.7 221.8 1652.7 1.875061 4.106157 6.321630 8.331141 10.667695 13.158748 15.272905 18.211694 20.383360 22.787536 25.589694 1.875061 4.106157 6.321630 8.331141 10.667695 13.158748 15.272905 18.211694 20.383360 22.787536 25.589694 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 146.705621 146.705621 506 存款额的指数曲线方程为：logYt?86.959?1.08887将t代入上述方程，即得1988～1998?t。

年存款额的趋势值，见表6-4.8。将存款额及趋势值绘成图6-4-10。将t?12代入方程得1999年的存款额为：Y1999?86.959?1.08887250??12。 ?241.57（亿元）

200存款额(亿元)15010050存款额指数 (存款额)019881990年1992年1994年1996年1998年(年份)

图6-4-10 存款额指数曲线趋势

指数曲线比一般的趋势直线有着更广泛的应用。因为它可以反映出现象的相对发展变化程度，因而对不同数列的指数曲线可以进行比较，以分析各自的相对增长程度。在例6.16合的存款额指数曲线中，a?86.959，表示t?0时存款额的趋势值，b?1.08887表示1988～1998年存款的平均发展速。若将其改为Yt?86.959?1.08887该商业银行存款额的年平均增长速度为8.887%。

②修正指数曲线。在一般指数曲线的基础上增加一个常数K，即为修正指数曲线。其一般形式为：

???t，可以清楚地看出，

Yt?K?ab （6.4.27） 式中：K,a,b为未知常数。K?0,a?0,0?b?1。

修正指数曲线用于描述这样一类现象：初期增长迅速增长迅速，随后增长率逐渐降低，

t?最终则以K为增长极限。即当K?0,a?0,0?b?1时，t??,Yt?K。例如，某种刚刚问世的新产品，初期销售量增长可能很快，当社会拥有量接近饱和时，销售量逐渐趋于某一稳定的水平上。现实生活中有许多事物的发展过程符合修正指数曲线形式。

修正指数曲线中的未知常数可以采用不同方法来求解，如最小二乘法、选点法、三和法等。当极限值K可以预先确定时，可采用最小二乘法；若无法确定时，可采用三和法或选点法。现以三和法为例说明未知常数的求解方法。

三和法是确定修正指数曲线中未知常数的常用方法。其基本思想是：将时间数列观察值

??等分为三个部分，每部分有m个时期，从而根据趋势值?Yt???的三个局部总和分别等于原数?列观察值?Yt?的三个局部总和来确定三个常数。

设观察值的三个局部总和分别为S1,S2,S3，，即

mmt3mt S1??Y,

t?1S1??Y,

t?1S3??Yt?2m?1t （6.4.27）

根据三和法的要求有：

?S1?mK?ab?ab2???abm?mK?ab1?b?b2???bm?1m?1?2m?1 ?S2?mK?abm?1???ab2m?mK?ab （6.4.28） 1?b?b???b?S?mK?ab2m?1???ab3m?mK?ab2m?11?b?b2???bm?1?3??????将上式右端括号内分别乘以??b?1??得： ?b?1???bm?1???S1?mK?ab??b?1????m?m?1?b?1?? ?S2?mK?ab??b?1? （6.4.29）

???m??1?2m?1?b??S?mK?ab?3?b?1????由式（6.4.29）解得：

1??S3?S2?M??b???S?S??1??2?b?1? ?a??S2?S1? （6.4.30） 2mbb?1?m?1?abb?1??S1???K??m?b?1???????? 例6.17某企业1990～1998年电脑产量数据如表6-4-9，试确定修正指数曲线方程，并求出各年电脑产量的趋势值，并预测2000年的电脑产量，作图与原数列比较。

表6-4-9 某企业电脑产量数据

年份 电脑产量（万台） 年份 电脑产量（万台） 1990 1991 1992 1993 1994 13 18 29 48 52 1995 1996 1997 1998 70 74 78 78 解 有关计算过程见表6-4-10。

表6-4-10 表6-4-9脑产量修正指数曲线计算表

年份 1990 1991 1992 S1 t 产量（Yt） 13 18 29 60 48 52 70 170 74 78 78 230 ?趋势值（Yt） 3.3 21.1 35.6 60.0 47.5 57.5 65.2 170.0 71.7 77.0 81.3 230.0 1 2 3 — 4 5 6 — 7 8 9 — 1993 1994 1995 S2 1996 1997 1998 S3 根据式（6.4.30）得： 1?230?170?3b????0.81706?170?60?a??170?60??0.81706?10.81706?0.81706?3?1?2??119.20673

1??119.2067?0.817060.81706K??60?3?0.81706?1??1???100.67??电脑产量的修正指数曲线方程为：Yt?100.67?119.2067?0.81706入方程得2000年的电脑产量。

Yt?100.67?119.2067?0.81706???t。将t代入上述方程

即得电脑产量的趋势值，见表6-4-10。电脑产量与其趋势值的图形见图6-4-11。将t?11代

?11?87.76（亿元）

这一方程说明，从1990～1998年这一时期的统计数据来看，该企业电脑的年产量最终将以100.67万台作为增长极限，根据方程推算，从98年开始大约再经过10年即可达到这一增长上限。

图6-4-11 电脑产量修正指数曲线趋势

c. Gompertz曲线。该曲线是以英国统计学家和数学家B.Gompertz而命名的。曲线方程为：

?Yt?Kabt （6.4.31）

式中：K,a,b为未知常数，K?0,0?a?1,0?b?1。

Gompertz曲线所描述的现象的特点是：初期增长缓慢，以后逐渐加快，当达到一定程度后，增长率又逐渐下降，最后接近一条水平线。该曲线通常用于描述事物的发展由萌芽、成长到饱和的周期过程。现实中有许多现象符合Gompertz曲线，如工业生产的增长、产品的寿命周期、一定时期内的人口增长等，因而该曲线被广泛应用于现象的趋势变动研究。

为确定曲线中的未知常数，可将其改为对数形式：

logYt?logK??loga?b （6.4.32）

t?然后仿照修正指数曲线的常数确定方法，求出loga,logK,b，取loga和logK的反对数求得a和K。令

m2mt3mtS1??logYt?1， S2??logYt?m?1， S3??logYt?2m?1t

（6.4.33）

则有：

1?S3?S2b???S?S1?2?m???b?1b?bm loga??S2?S1??1?2 （6.4.34）

m?1?b?b?1??S1??logK??loga??m?b?1?d. Logistic曲线所描述的现象的特征与Gompertz曲线类似，其曲线方程为：

? logYt?1K?abt （6.4.35）

式中：K,a,b为未知常数，K?0,a?0,0?b?1。

曲线中未知常数的确定方法与修正指数曲线类似，只是以观察值Yt的倒数作为计算基础。当Yt?1为小数时，可乘以10的适当乘方，以便于计算。令

m2m?1t3m?1tS1??Yt?1, S2??Yt?m?1, S3??Yt?2m?1?1t

则有：

1??S3?S2?M??b???S?S??1??2?b?1? （6.4.36） ??a?S?S?212mbb?1?m?1?abb?1??S1???K??m?b?1????????

4. 趋势线的选择

上面我们讨论了对时间数列配合趋势线的一般方法。但在实际应用中，对于一个给定的具体时间数列，我们应如何选择所要配合的趋势线的类型呢？趋势线的选择是实际应用中十分重要的一个问题，它直接关系到我们对现象的描述及其规律性认识的结论。趋势线选择得不适当，不仅不能正确描述出现象的数量规律性，有时还会得出与事实相反的结论。困难的是，在许多情况下，我们并不能直接根据时间数列的观察值本身判断出现象的发展形态或趋势。下面我们给出选择趋势线的一些参考依据。

首先，应弄清楚所观察变量的实际意义及其相关的理论知识，根据观察值的变化规律及其散点图的形态确定适当的趋势线类型。这在一定程度上取决于研究者本人的经验及理论知识水平。

其次，可根据所观察的数据本身，按以下标准选择趋势线：若观察值的一次差（逐期增长量）大体相同，可配合直线；若二次差大体相同，可配合二次曲线；若各观察值对数的一次差大体相同，可配合修正指数曲线；若各观察值对数一次差的环比大体相同，可配合Gompertz曲线；若各观察值倒数一次差的环比值大体相同，可配合Logistic曲线。

最后，如果对同一时间数列有几种趋势线可供选择，以估计标准误差最小者为宜。估计标准误差?Sy?的计算公式为：

? Sy??????Yt?Yt??? （6.4.37）

n?m2式中：Yt为实际观察值；Yt为趋势值；n为观察值个数；m为趋势方程中未知常数的个数。

d. Logistic曲线所描述的现象的特征与Gompertz曲线类似，其曲线方程为：

? logYt?1K?abt （6.4.35）

式中：K,a,b为未知常数，K?0,a?0,0?b?1。

曲线中未知常数的确定方法与修正指数曲线类似，只是以观察值Yt的倒数作为计算基础。当Yt?1为小数时，可乘以10的适当乘方，以便于计算。令

m2m?1t3m?1tS1??Yt?1, S2??Yt?m?1, S3??Yt?2m?1?1t

则有：

1??S3?S2?M??b???S?S??1??2?b?1? （6.4.36） ??a?S?S?212mbb?1?m?1?abb?1??S1???K??m?b?1????????

4. 趋势线的选择

上面我们讨论了对时间数列配合趋势线的一般方法。但在实际应用中，对于一个给定的具体时间数列，我们应如何选择所要配合的趋势线的类型呢？趋势线的选择是实际应用中十分重要的一个问题，它直接关系到我们对现象的描述及其规律性认识的结论。趋势线选择得不适当，不仅不能正确描述出现象的数量规律性，有时还会得出与事实相反的结论。困难的是，在许多情况下，我们并不能直接根据时间数列的观察值本身判断出现象的发展形态或趋势。下面我们给出选择趋势线的一些参考依据。

首先，应弄清楚所观察变量的实际意义及其相关的理论知识，根据观察值的变化规律及其散点图的形态确定适当的趋势线类型。这在一定程度上取决于研究者本人的经验及理论知识水平。

其次，可根据所观察的数据本身，按以下标准选择趋势线：若观察值的一次差（逐期增长量）大体相同，可配合直线；若二次差大体相同，可配合二次曲线；若各观察值对数的一次差大体相同，可配合修正指数曲线；若各观察值对数一次差的环比大体相同，可配合Gompertz曲线；若各观察值倒数一次差的环比值大体相同，可配合Logistic曲线。

最后，如果对同一时间数列有几种趋势线可供选择，以估计标准误差最小者为宜。估计标准误差?Sy?的计算公式为：

? Sy??????Yt?Yt??? （6.4.37）

n?m2式中：Yt为实际观察值；Yt为趋势值；n为观察值个数；m为趋势方程中未知常数的个数。

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