光学教程

参 考 答 案

光 学 教 程

（ 姚 启 钧 原 著 ）

1

目录

第一章 光的干涉.....................................3 第二章 光的衍射...................................15 第三章 几何光学的基本原理...............27 第四章 光学仪器的基本原理...............49 第五章 光的偏振...................................59 第六章 光的吸收、散射和色散...........70 第七章 光的量子性...............................73

2

第一章 光的干涉

500nm 的绿光投射在间距 0.022cm 的双缝上，在距离180cm 处的光屏 1. 波长为 d 为 700nm 的红光投射到此双缝上, 上形成干涉条纹，求两个亮条纹之间的距离.若改用波长为

2 级亮纹位置的距离. 两个亮条纹之间的距离又为多少?算出这两种光第

r 0

?y ? y j?1 ? y ? ??j

d 得 解：由条纹间距公式

r 0 180 ??y ? ? ?? 500 ?10 ?7 ? 0.409cm 1 1

d 0.022 r 0 180 ??y ? ? ?? 700 ?10 ?7 ? 0.573cm 2 2 d 0.022 r

y 21 ? j 2 0?1 ? 2 ? 0.409 ? 0.818cm

d r

y 22 ? j 2 0? 2 ? 2 ? 0.573 ? 1.146cm

d

?yj2 ? y 22 ? y 21 ? 1.146 ? 0.818 ? 0.328cm

640nm ,两狭缝间距为 0.4mm ,光屏离狭缝的距离为 2．在杨氏实验装置中,光源波长为

50cm .试求：(1)光屏上第1亮条纹和中央亮条纹之间的距离；（2）若 p 点离中央亮条纹为 0.1mm ，问两束光在 p 点的相位差是多少？（3）求 p 点的光强度和中央点的强度之比.

r?y ? 0 ??

d ?y ?

r 0 50

?? ? 6.4 ? 10 ?5 ? 8.0 ? 10 ?2 cm d = 0.4

解 ：（ 1）由公式

得

（2）由课本第 20 页图 1-2 的几何关系可知

y 0.01 ?5

r ? r ? dsin? ? d tan? ? d ? 0.04 ? 0.8 ?10cm 2 1

50 r0

3

?? ?

2 ? 2?? ??5 ??(r ? r) ?? 0.8 ?10? 2 1 ??4 6.4 ?10?5

??

?2 得

(3) 由公式

2 2

I ? A2 ?? ? 4A2 cos1 ? A2 ? 2AA 1 cos 2 1

? ?2 2 ??2 1 4A cos cos ? I 1 p A ? 2 2 4 ? cos 2 ?? 2 ? ? 2

8 I0 A 0 cos 0?? ??2 2 ?0

?4A cos 1

2

?1 ? cos ? ? 2 4 ? 2 ? 0.8536 ? 2 4

2 p

3 . 把折射率为 1.5 的玻璃片插入杨氏实验的一束光路中,光屏上原来第 5 级亮条纹所

在的位置为中央亮条纹,试求插入的玻璃片的厚度.已知光波长为 6×10-7m.

? ? ? r? SS P 点的光程差，由公式 2?? ? 可知为 解：未加玻璃片时， 1 、 2 到

Δr = 现在

r2 ? r1 ?

? 5 ? 2? ? 5??2?

??

S1 发出的光束途中插入玻璃片时， P 点的光程差为

?? ??? r2 ? ?r? h ? nh??? ?? ?? ? 0 ? 0 ?? ? ?1

2??2??

所以玻璃片的厚度为

h ?

r2 ? r1 5 ?

? ? 10? ? 6 ?10?4 cm n? 1 0.5

4. 波长为 500nm 的单色平行光射在间距为 0.2mm 的双狭缝上.通过其中一个缝的能量

为另一个的 2 倍,在离狭缝 50cm 的光屏上形成干涉图样.求干涉条纹间距和条纹的可见度.

r 500

?y ? 0 ? ? ? 500 ?10?6 ? 1.25

d 0.2 mm 解：

A 1

?? 2 A2

4

I1 ? 2I 2 2 A1 ? 2 A22

?V ??

A1 / A2 ? 2 ?

1 ? ? A1 / ? A 22

2 2 ? ? 0.9427 ? 0.94 1 ? 2

5. 波长为 700nm 的光源与菲涅耳双镜的相交棱之间距离为 20cm，棱到光屏间的距离L 为 180cm,若所得干涉条纹中相邻亮条纹的间隔为 1mm，求双镜平面之间的夹角θ。

(r? L)? (200 ? 1800) ? 700 ?10 ? ? sin? ? ?

2r ?y 2 ? 200 ?1 解：

?6

? 35 ?10?4

? 12??弧度

6. 在题 1.6 图所示的劳埃德镜实验中,光源 S 到观察屏的距离为 1.5m，到 劳

埃德镜面的垂直距离为 2mm。劳埃德镜长 40cm，置于光源和屏之间的中央.(1) 若光波波长λ=500nm,问条纹间距是多少?(2)确定屏上可以看见条纹的区域大 小,此区域内共有几条条纹?(提示:：产生干涉的区域 P1P2 可由图中的几何关系

求得.)

P2 P1 P0

题 1.6 图

r 1500 ?y ? 0 ? ? ? 500 ?10?6 ? 0.1875mm

d 4 解 ：（ 1）干涉条纹间距

（2）产生干涉区域 1

则干涉区域

PP2

由图中几何关系得：设 2 点为 2 位置、 1 点位置为 1

pyPyy ? y2 ? y1

1

d 1 1 2 y2 ? ?r0 ? r ?? tan? 2 ? ?r0 ? r ?? ??1 2 2

?r? r ???2 0 ??

d ? 400) 3800 ?r0 ? r ???2(1500

????? 3.455mm

2 ?r0 ? r ???1500 ? 400 1100

5

1 1 d (r0 ? r ?) 2 ??y ? (r ? r ) tan? ? (r ? r ) ? 1 0 1 0

1 ? 2 2 2 (r 0 ? r ) ?(r ? r ) 2 0

2(1500 ? 400) ? ? 1.16mm 1500 ? 400

1 d

y ? y2 ? y1 ? 3.46 ? 1.16 ? 2.30mm

?? y

（3）? 劳埃镜干涉存在半波损失现象 ? N 暗

?y

7. 试求能产生红光(λ=700nm)的二级反射干涉条纹的肥皂膜厚度.已知肥皂膜折射率 为 1.33,且平行光与发向成 30°角入射.

解：根据题意

2 ? 2d n 2 n 2 10) ? 2 2 ? 1 sin ? (2 j?

?d ??

(2 j? 1)??2 2 2 1 22 ? 2 n ? n sin ?? (2 ? 2 ? 1) ? 700 2 2 ??4 1.33? sin 30? 710nm

8. 透镜表面通常镀一层如 MgF2（n=1.38）一类的透明物质薄膜，目的是利用干涉来

降低玻璃表面的反射．为了使透镜在可见光谱的中心波长（550nm）处产生极小的反射,则镀 层必须有多厚?

解：可以认为光是沿垂直方向入射的。即i1 ? i2 ? 0??

由于上下表面的反射都由光密介质反射到光疏介质，所以无额外光程差。 因此光程差? ? 2nhcosi2 ? 2nh

?

?r ? (2 j ? 1) ?2 ，如果光程差等于半波长的奇数倍即公式 则满足反射相消的条件

?

2nh ? (2 j ? 1) ?2

(2 j ? 1)? h ? ( j ? 0,1,2?)

4n

?? 550 h ?? ??? 99.64nm ? 10 -5 cm min

4n 4 ? 1.38

因此有

所以

当 j ? 0 时厚度最小

9. 在两块玻璃片之间一边放一条厚纸,另一边相互压紧.玻璃片 l 长 10cm,纸厚为

0.05mm,从 60°的反射角进行观察,问在玻璃片单位长度内看到的干涉条纹数目是多少?设 单色光源波长为 500nm.

解：由课本 49 页公式（1-35）可知斜面上每一条纹的宽度所对应的空气尖劈的厚度的

6

?h ? h j? 1 ? h j ??

变化量为

??

2 2 2

2 n 2 ? n 1 sin i 1

??

??

2

? ??

?? 3 ??

???2 1 ? ?????? 2 ??

如果认为玻璃片的厚度可以忽略不记的情况下，则上式中n2 ? n2 ? 1,i1 ? 60? 。 而厚度 h 所对应的斜面上包含的条纹数为

N ??

h 0.05

? 100 ? ???7

?h ? 5000 ? 10

h

故玻璃片上单位长度的条纹数为

N 100 N? ? ? ? 10

l 10 条/厘米

10. 在上题装置中,沿垂直于玻璃片表面的方向看去,看到相邻两条暗纹间距为 1.4mm。

—已知玻璃片长 17.9cm,纸厚 0.036mm,求光波的波长。

d ? tan? ? i? 0, cos i2 ? 1.sin??L 解:依题意,相对于空气劈的入射角2

? ?L ??? ? ?

n2 ? 1.0

?? ? L ???? ?2n 2? cos i 2 2?? 2d

2 d?L 2 1.4 ? 0.036 ?

? ? 5.631284916 ? 10 ?4 mm ? 563.13nm L 179

? 760nm 11. 波长为 400 的可见光正射在一块厚度为 1.2×10-6m,折射率为 1.5 玻璃片

上,试问从玻璃片反射的光中哪些波长的光最强.

解：依题意，反射光最强即为增反膜的相长干涉，则有：

??

? ? 2n 2 d ? (2 j ? 1)

2

4n d ? ?? 2

2 j ? 1 故

?3

j ? 0 ? ? 4n d ? 4 ? 1.5 ? 1.2 ? 10 ? 7200nm 2 当 时，?3

4 ?1.5 ?1.2 ?10 ? ? ? 2400nm

j ? 1 3 当 时， ?3

4 ?1.5 ?1.2 ?10 ? ? ? 1440nm

j ? 2 5 当 时，

7

?3

4 ?1.5 ?1.2 ?10 ? ? ? 1070nm

j ? 3 7 当 时， ?3

4 ?1.5 ?1.2 ?10 ? ? ? 800nm

j ? 4 9 当 时， ?3

4 ?1.5 ?1.2 ?10 ? ? ? 654.5nm

j ? 5 11 当 时，?3

4 ?1.5 ?1.2 ?10 ? ? ? 553.8nm

j ? 6 13 当 时， ?3

4 ?1.5 ?1.2 ?10 ? ? ? 480nm

j ? 7 15 当 时，?3

4 ?1.5 ?1.2 ?10 ? ? ? 423.5nm

j ? 8 17 当 时， ?3

4 ?1.5 ?1.2 ?10 ? ? ? 378nm

j ? 9 19 当 时，

390 ~ 760nm 的可见光中，从玻璃片上反射最强的光波波长为 所以，在

423.5nm,480nm,553.8nm,654.5nm.

12. 迈克耳孙干涉仪的反射镜 M2 移动 0.25mm 时，看到条纹移过的数目为 909 个，设光

为垂直入射，求所用光源的波长。

解：根据课本 59 页公式可知，迈克耳孙干涉仪移动每一条条纹相当 h 的变化为：

?h ? h2 ? h1 ??

? j ? 1???

2 cos i2

?? j?? ??

??

2 cos i 2 cos i2 2

? ?h ? ?2 现因 i2 ? 0 ， 故

N ? 909 所对应的 h 为

N ??2

h ? N?h ?

故

? ?

2 h 2 ? 0.25 ? ? 5.5 ? 10 ? 4 mm ? 550nm N 909

13. 迈克耳孙干涉仪平面镜的面积为４×４cm2，观察到该镜上有 20 个条纹。当入射光

的波长为 589nm 时，两镜面之间的夹角为多大？

解： 因为 S ? 4 ? 4cm

8

2所以 L ? 4cm ? 40mm

所以

?L ?

L 40 ? ? 2mm N 20

??

又因为

?L ??

2??

589 ???? ? ?? ? 147.25 ? 10 ?6 ?rad? ? 30.37??6

2?L 2 ? 2 ? 10 所以

14. 调节一台迈克耳孙干涉仪，使其用波长为 500nm 的扩展光源照明时会出现同心圆

环条纹。若要使圆环中心处相继出现 1000 条圆环条纹，则必须将移动一臂多远的距离？若 中心是亮的，试计算第一暗环的角半径。（提示：圆环是等倾干涉图样。计算第一暗环角半 径是可利用θ≈sinθ及 cosθ≈1－θ2/2 的关系。）

解 ：（ 1）因为光程差δ每改变一个波长λ的距离，就有一亮条 A 纹移过。

所以 ?? ? N??

?? ? 2?d（Δd 又因为对于迈克耳孙干涉仪光程差的改变量 为反射镜移动

的距离）

所以 ?? ? N? ? 2?d

N1000

?d ? ? ? ? 500 ? 25 ? 10 4 nm ? 0.25mm

2 2 所以

（2）因为迈克耳孙干涉仪无附加光程差

i? i ? 0 并且 1 2

n1 ? n2 ? 1.0

它形成等倾干涉圆环条纹，假设反射面的相位不予考虑 所以光程差

? ? 2dcosi 2 ? 2d ? 2 l 2 ? l1

即两臂长度差的 2 倍 （1）

若中心是亮的，对中央亮纹有： 2d ? j??

对第一暗纹有：

2dcos i 2 ? ?2 j ? 1??

??

2

（2）

（2）-（1）得：

2 2 2d?1 ? cos i 2 ? ??

??

2

2

i i ???? i 2

2d2 sin ? 4dsin 2 2 ? 4d ? 2 ??? di 2 ? ?2 2 2 ??2 ??

9

所以

i 2 ??

1 ??

? 0.032rad ? 1.8????

2d 1000

这就是等倾干涉条纹的第一暗环的角半径，可见i 2 是相当小的。

15. 用单色光观察牛顿环，测得某一亮环的直径为 3mm，在它外边第 5 个亮环的直径为

4.6mm，所用平凸透镜的凸面曲率半径为 1.03m，求此单色光的波长。

??

r j ??(2 j? 1) R

2 （ j ? 0,1,2,3,??） 解：对于亮环，有

12

r j ? ( j ?? )R??

2 所以

1

r j2 ? ( j ? 5 ?? )R???5

2

2

所以

? ?

2 2 r ? r j?5 j

5R

2

4.6 ? 3.0 2 ? ??? 5.903 ?10 ?4 mm ? 590.3nm

4 ? 5 ? R 4 ? 5 ?1030

2 dj? 5 ? dj

16. 在反射光中观察某单色光所形成的牛顿环。其第 2 级亮环与第 3 级亮环间距为 1mm，

求第 19 和 20 级亮环之间的距离。

??

r j ? (2 j? 1) R

2 （ j ? 0,1,2,3,??） 解：对于亮环，有

1

r ? (1 ? )?R 1

2 所以

又根据题意可知

1

r ? (2 ? )?R 2

2

r ??2 ? r 1

两边平方得

5 3

?R ? ?R ? 1mm 2 2

5 3 5 3

?2 R2 ? 1 ?R? ?R? 2

2 2 2 2 1

?R ??

4 ? 15 所以

1 1 ???? ?? ??

r20 ? r19 ??? 20 ?? ??R ?? ?19 ?? ??R

2 ??2 ??????故

10

??

41 39 1 1

??????2 4 ? 15 2 4 ? 15

? 0.039cm

17 牛顿环可有两个曲率半径很大的平凸透镜之间的空气产生（图）。平凸透镜 A 和 B

的曲率半径分别为 A 和 B ，在波长为 600nm 的单射光垂直照射下观察到第 10 个暗环半径

RRr AB? 4mm。若另有曲率半径为 RC 的平凸透镜

C（图中未画出），并且 B、C 组合和 A、C

组合产生的第 10 个暗环半径分别为

rBC ? 4.5mm

和

rAC ? 5mm，试计算 A 、 B 和 C 。

RRR解：

? h??

r

2

2R

2

AB

?h AB ? h A ? h B ?

r r r 1 1

? ? AB ( ? ) 2R 2RB 2 R RB A A

2

AB 2

OA r11

同理, hBC ? BC ( ?? )

2 R RC B r AC 1 1

h ??? ( )AC

2 R A RC

? ? ?

h ? j?? ? 2h? ? (2 j? 1) ?

2 2 即 2 又对于暗环：

10? ? r AB ( RA RB

??

1 1

10? ? r BC 2 ( ??)

RB RC 1 1

10? ? r AC 2 ( ??)

RA RB

2

RA dAB 1

1 ??)

R B rAB (1)

(2) (3)

题 1.17 图

(1)(2)(3)联立并代入数据得： A =6.28m

RRB =4.64m

RC =12.4m

18 菲涅尔双棱镜实验装置尺寸如下：缝到棱镜的距离为 5cm，棱镜到屏的距离为 95cm，

? ? 17932 构成棱镜玻璃材料的折射率 n ? 1.5 ，采用的是单色光。当厚度均匀 棱镜角为

的肥皂膜横过双冷静的一半部分放置，该系统中心部分附近的条纹相对原先有 0.8mm 的位

?''

移。若肥皂膜的折射率为n? 1.35 , 试计算肥皂膜厚度的最小值为多少？

解：如图所示：光源和双棱镜系统的性质相当于相干光源 1 和 2 ，它们是虚光源。

ss

11

由近似条件 ? ? (n '

? 1) A ? ??( d ) 1 和

2 l d ? 2l? ? 2l (n '

得

? 1) A (1) A按双棱镜的几何关系得 2A?? ? ??

1 S1 θ n’ ? ?? d S A? ? 14' α 所以

2

(2) S 2 d

y ? j??l1 肥皂膜插入前，相长干涉的条件为 r0

(3)

(a) d y '

? (n? 1)t ? j??由于肥皂膜的插入，相长干涉的条件为 r0

(4)

t ??d ( y ' ? y ) 2 l (n '

?1)Ay ' ? y ) 由(3)和 (4)得

r0 (n?1) ??( r0 (n?1) 代入数据得 t ? 4.94 ?10?7

m

19 将焦距为 50cm 的会聚透镜中央部分 C 切去（见题图），余下的 A、B 两部分仍旧粘 起来，C 的宽度为 1cm。在对称轴线上距透镜 25cm 处置一点光源，发出波长为 692nm 的红

宝石激光，在对称轴线上透镜的另一侧 50cm 处置一光屏，平面垂直于轴线。试求： (1)干涉条纹的间距是多少？

(2)光屏上呈现的干涉图样是怎样的？ 解：

(1) 透镜由 A、B 两部分粘合而成，这两部分的主轴都不在该光学系统的中心 A 轴线上，A 部分的主轴在中心线上 0.5cm 处，B 部分的主轴在中心线下 0.5cm 处， 由于单色点光源 P 经凸透镜 A 和 B 所成的像是对称的，故仅需考虑 P 经 B 的成 像C

位置即可。

B

1 1 1 由

s' ? s ? f ' 得

s' ? ?50cm ? ? y ' ? s' y' ? s ' y ? 1由因为

y s s cm

所以 题 1.19 图

即所成的虚像在

B 的主轴下方 1cm 处，也就是在光学系统对称轴下方 0.5cm 处，同理，单

色光源经 A 所成的虚像在光学系统对称轴上方 0.5cm 处，两虚像构成相干光源，它们之间

?的距离为 1cm，所以

y ? r?? ?3

0 d ? 6.92 ?10 cm

(2)光屏上呈现的干涉条纹是一簇双曲线。

20 将焦距为 5cm 的薄透镜 L 沿直线方向剖开（见题图）分成两部分 A 和 B，并将 A

部分沿主轴右移至 2.5cm 处，这种类型的装置称为梅斯林对切透镜。若将波长为 632.8nm 的

12

题 1.18 图

点光源 P 置于主轴上离透镜 LB 距离为 10cm 处，试分析：(1) 成像情况如何？(2)若在 LB 右 边 10.5cm 处置一光屏，则在光屏上观察到的干涉图样如何？ 解 ：（ 1）如图（b）所示,该情况可以看作由两个挡掉一半的透镜 LA 和 LB 构成,其对称轴为 PO,但是主轴和光心却发生了平移.对于透镜 LA, 其光心移到 OA 处,而主轴上移 0.01cm 到 OAFA;对于透镜 LB,其光心移到 OB 处,而主轴下移 0.01cm 到 OBFB.点光源 P 恰恰在透镜的对称 轴上二倍焦距处.由于物距和透镜 LA、LB 的焦距都不变,故通过 LA 、LB 成像的像距也不变。

根据物像公式 LA 1 ? 1

? ?p ' p f '

1

'

f 将 p=-10cm 和 =5cm 代入上式，得

p =5cm

'

y ' p ? ?

y = p =-1

'

A

? P B

故

LB 题 1.20 图

由于 P 点位于透镜 LA 的光轴下方 0.01 cm,按透镜的成像规律可知,实像 PA 应在透镜 LA

主轴上方 0.01 cm 处;同理,P 点位于透镜 LB 主轴上方 0.01 cm 处, 实像 PB 应在主轴下方 0.01 cm 处.

两像点的距离为上方 0.01 cm 处.

'

y PAPB=d=2| |+ h

y ' =-0.01 cm

=0.04cm

(2)由于实像 PA 和 PB 构成了一对相干光源,而且相干光束在观察屏的区域上是相互交叠的, 故两束光叠加后将发生光的干涉现象,屏上呈现干涉花样.按杨氏干涉规律,两相邻亮条纹的 间距公式为

?y ? r0

?? d ?y =1.582mm 将数据代入得

21 如图所示，A 为平凸透镜，B 为平玻璃板，C 为金属柱，D 为框架，A、B 间有空

隙，图中绘出的是接触的情况，而 A 固结在框架的边缘上。温度变化时，C 发生伸缩，而

假设 A、B、D 都不发生伸缩。以波长 632.8nm 的激光垂直照射。试问： (1)在反射光中观察时，看到牛顿环条纹移向中央，这表示金属柱 C 的长度在增加还是减小？ (2)若观察到有 10 个亮条纹移向中央而消失，试问 C 的长度变化了对少毫米？ 解 ：（ 1）因为:在反射光中观察牛顿环的亮条纹，

2

??r

? ? 2h? ?/ 2 ? ? ? j? ( j ? 1, 2, 3,...)

R 2

及干涉级 j 随着厚度 h 的增加而增大，即随着薄 膜厚度的增加，任意一个指定的 j 级条纹将缩小

13

其半径，所以各条纹逐渐收缩而在中心处消失， 膜厚 h 增加就相当于金属的长度在缩短。 所以，看到牛顿环条纹移向中央时，表明 C 的长度在减少。

?h ? N?/ 2 ? (?j )?/ 2 （2）由

?h? 3164nm. 得

A B C D

题

图

14

第二章 光的衍射

1. 单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带。求第к个带的半径。若极点到 观察点的距离 r0 为 1m，单色光波长为 450nm，求此时第一半波带的半径。

2

2

2 0

r? ?k ? r解： k

?

rk ? r 0 ? k ?2 而

k ??2

? ?2 ? r? rk 0 0

2

k ??r ? r ? k 0

2

将上式两边平方，得

k ? ?2 2

?? r? r? kr ?0 ?

4

2 k

2 0

2 0

k2 ? 2 项，则 ? k ? kr0??略去

将

-8 k ? 1, r? 100cm, ? ? 4500 ? 10cm 0

带入上式，得

? ? 0.067cm

2. 平行单色光从左向右垂直射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像照相机光圈那样

改变大小。问：（1）小孔半径满足什么条件时，才能使得此小孔右侧轴线上距小空孔中心 4m 的 P 点的光强分别得到极大值和极小值；（2）P 点最亮时，小孔直径应为多大？设此时的 波长为 500nm。

解 ：（ 1）根据上题结论

? k ? kr0 ??

r? 400cm, ? ? 5 ? 10 -5 cm 0 将代入，得 ? 400 ? 5 ? 10 ?5 k ? 0.1414 kcm k ??

当 k 为奇数时，P 点为极大值；

k 为偶数时，P 点为极小值。 （2）P 点最亮时，小孔的直径为

2?1 ? 2 r0? ? 0.2828cm

3．波长为 500nm 的单色点光源离光阑 1m，光阑上有一个内外半径分别为 0.5mm 和 1mm 的透光圆环，接收点 P 离光阑 1m，求 P 点的光强 I 与没有光阑时的光强度 I0 之比。

解：根据题意

R ? 1m r0 ? 1m R hk 1 ? 0.5mm R hk 2 ? 1mm ? ? 500nm

2 2

RR h (R? r0 ) h ? ?1 1 ????k ?????? ?

R ???r R ?? ? r 0 0

有光阑时，由公式

15

得

2 2 R?? 1 hk1 ? 1 1 ?? 0.5 1 ??????k1 ?? ? ?????? ??1 ???? r0 R??500 ?10 ?6 ? 1000 1000 ??2 R?? 1 11 ?? 1 ?? 1 ???? ? ????k 2 ? ????? ? 4 ?6 ??? r R500 ?101000 1000 ? ??0 ??

2 hk2

按圆孔里面套一个小圆屏幕

1 1 1? 1 1 ??

a p ? ???a? 1 ? a 3 ? ?? a 1 ?? a 2 ???? a 2 ?? a 3 ? a 1

2 2 2 2 2???

没有光阑时

a

a 0 ? 1 2

?? a ?? I ? a p ??

? ????? ? 1 ??? 4 I0 ? a 0 ??? a1 / 2 ??

2

2

所以

4．波长为 632.8nm 的平行光射向直径为 2.76mm 的圆孔，与孔相距 1m 处放一屏。试问： （1）屏上正对圆孔中心的 P 点是亮点还是暗点？（2）要使 P 点变成与（1）相反的情况， 至少要把屏幕分别向前或向后移动多少？

P 点的亮暗取决于圆孔中包含的波代数是奇数还是偶数.当平行光如射时, 解 ：（ 1）

波带数为

d ?1.38 2 2 ??k ?? ??? 3 ?r0 ?r0 632.8 ? 10 ?6 ? 103

2

???

2

P点为亮点. 故

P点向前移向圆孔时,相应的波带数增加;波带数增大到 4 (2) 当 时, P 点变成

暗点,此时, P 点至圆孔的距离为

2 2

1.38 ? ?

r0 ? mm ? 750mm ??

k??4 ? 632.8 ?10 ?6

P点移动的距离为 则

?r ? r0 ? r ? ? 100cm - 75cm ? 25cm

P 点向后移离圆孔时,波带数减少,减少为 当 2 时, P 点也变成暗点。 P 到圆孔的距离为 与此对应的

16

2

1.38 2 ? ? ?

r mm ? 1500mm ??0 ? ?6

k??2 ? 632.8 ?10

P 点移动的距离为 则

??

?r ? r0 ? r0 ? 150cm - 100cm ? 50cm

５.一波带片由五个半波带组成.第一波带片为半径 r1 的不透明圆盘,第二半波带是半径 r1

至 r2 的透明圆环,第三半波带是 r2 至 r3 的不透明圆环,第四半波带是 r3 至 r4 的透明圆环,第五 半波带是 r4 至无穷大的不透明区域,已知 r1:r2：r3:r4=1: 2 : 3 : 4 ,用波长 500nm 的平行单色 光照明,最亮的像点在距波带片 1m 的轴上.试求:(1) r1; (2) 像点的光强; (3) 光强极大值出现 在轴上哪些位置上.

解 ： 因 为 5 个 半 波 带 组 成 的 半 波 带 片 上 , K1 ? 1,

光;

r1 不 透 光 ; K 2 ? 2, r1至r2 透

K3 ? 3, r2 r3

至

不透光;

K4 ? 4, r3 r4 K? 5, r4

至透光; 5 至无穷大不透光.

单色平行光? ? 500nm

r1 : r2 : r3 : rr ? 1 : 2 : 3 : 4

第一条最亮的像点在

2

h R0 ? ??

r0 ? 1m ? 1000mm

??3

? r? 10 mm f 0 1的轴上,即

2

rR 1

f ? ? r 0 ? ? k? 1? ??(1)

? r1 ?? r k? ? 103 ?1? 500 ?10?6 ?? 0

2 2 2 I ? A ? (a ? a ) ? 4aP P 2 4 (2) 像点的光强:

0.5 ? 0.707

所以

2

I p ? 4a? 16I

0

f ?

, , ?? 5 7 ) (3) 光强极大值出现在轴的位置是(即 3 ?

? f 1 ? r ? 1m ? 103 mm

? f ? 1 ? f ? 1 ? f 2 ??1? m f 3 ??1? m

3 3 5 5

??

? f 1 1 f 5 ?? ? m ???

7 7

f ? f ?

6. 波长 为 λ的点 光源经波带片成一个像点 , 该波 带片有 100 个透 明奇数半波带 (1,3,5,……)。另外 100 个不透明偶数半波带.比较用波带片和换上同样焦距和口径的透镜时

该像点的强度比 I:I0.

解: 100 个奇数半波带通光总振幅

A100 ? ? a ? 100a I ? (100a ) 2

1

100

同样焦距和口径的透镜可划分为 200 个半波带通光

17

总振幅为

I

2A200 ? ? a1 ? ? a1 ? 200a I? ?200a 2 ? 4(100a ) ? ?2 0 1

199 200

(100a ) 2 1

? ????I 0 4 ? (100a ) 2 4

7. 平面光的波长为 480nm,垂直照射到宽度为 0.4mm 的狭缝上,会聚透镜的焦距为 60cm. 分别计算当缝的两边到 P 点的相位为π/2 和π/6 时,P 点离焦点的距离.

解：设 P 点离焦点的距离为 y，透镜的焦距为 f 。缝宽为b，则位相差和光程差的关

?

?? ?

系式为

2 ? 2?2? 2? y

? ? bsin? ? btan? ? b ? ??????

f ??

故

?f ?

y ? ???

2?b

??

当缝的两边到 P 点的位相差为 2 时，P 点离焦点的距离为

?4

? ?4.8 f ?10 ? 600 ?

y ???? ? ? ?? 0.18mm

2 2?b 2? ? 0.4

??

当缝的两边到 P 点的位相差为 6 时，P 点离焦点的距离为

?4

? ?4.8 f ?10 ? 600 ?

y ? ????? ? ? ?? 0.06mm

2?b 2? ? 0.4 6

8. 白光形成的单缝衍射图样中,其中某一波长的第三个次最大值与波长为 600nm 的光

波的第二个次最大值重合.求该光波的波长.

解：由单缝衍射次最大值的位置公式可知

1 ????

bsin? ? ? k 0 ?? ???

2 ????

得

??1 ?? ??

bsin? ? ? 3 ?? ??? ? ? 2 ??

2 ??????

5

?? ? ? ? 428.6

7 nm

1 ??

???2 ??

所以

所以该光为紫色光.

9. 波长为 546.1nm 的平行光垂直地射在 1mm 宽的缝上,若将焦距为 100cm 的透镜紧贴 于缝的后面,并使光焦距到屏上,问衍射图样的中央到(1)第一最小值;(2)第一最大值;(3)第三 最小值的距离分别为多少?

18

解: 根据单缝衍射图样的最小值位置的公式可知:

?

y

bsin? ? btan? ? b ? k??

f ??

得第一、第三最小值的位置分别为

f ? 1000 ? 4

y ? ? ? ? 5.461? 10 ? 0.5461mm 1

b 1 f ?? y 3 ? 3 ? ? 1.638mm

b

由单缝衍射的其它最大值（即次最大）位置的近似式

y ??1 ??

bsin? k0 ? b ? ? k 0 ?? ???

f ????2 ??

3 3 1000 f ?

y ? ? ? ? ? ? 5.461?10 ? 4 ? 0.819mm 10

2 b 2 1 得

10. 钠光通过宽 0.2mm 的狭缝后,投射到与缝相距 300cm 的照相底片上.所得的第一最小

值与第二最小值间的距离为 0.885cm,问钠光的波长为多少?若改用 X 射线(λ=0.1nm)做此实 验,问底片上这两个最小值之间的距离是多少?

解：如果近似按夫琅和费单缝衍射处理，则根据公式 sin??k ? ? 得第二最小值与第一最小值之间的距离近似地为

21 ?? k0 ? 2 b

? ? ?

?y ? y 2 ? y 1 ? 2 f ? ? f ? ? f ? ?

b b b

? ?

那么

?b 0.02 y? ? 0.885 ? 590nm f ??300

如果改用? ? 0.1nm时

?9 300 ? 0.1?10 ?y ??? ? 1.5 ?10?6 m

b 0.02

f '?

12. 一束平行白光垂直入射在每毫米 50 条刻痕的光栅上，问第一级光谱的末端和第二

光谱的始端的衍射角θ之差为多少？(设可见光中最短的紫光波长为 400nm，最长的红光波

长为 760nm)

? ? j? 得 解：由光栅方程 dsin

?4

? 红 7.6 ?10

sin? 1 ????? 3.8 ?10 ? 2

d 0.02

所以

?1 ? 2.18??

19

?4

?4.0 紫 ?10 sin? 2 ? 2 ? 2 ? 4.0 ?10 ?2 d 0.02

所以

? 2 ? 2.29??

1 d ?? ? 0.02mm

50

式中 所以

?? ? ? 2 ? ? 1 ? 2.29? ? 2.18? ? 6?36? ? 2 ? 10 ?3 rad

13. 用可见光(760～400nm)照射光栅是，一级光谱和二级光谱是否重叠？二级和三级怎 样？若重叠，则重叠范围是多少？

解：根据光栅方程

dsin ? ? j??

?760nm ? 红 ? sin??1 ??

j ? 1, d d 得

??800nm 紫 sin? ? 2 ? 2 j ? 2 ， d d

因为 ? 2 >?1

所以 一级和二级不重叠.

? 红 1520nm ?

sin? 2 ? 2 d d 而 j ? 2,

??1200nm 紫 sin? ? 3 ? 3

j ? 3, d d

因为

? 3 ? 2

<所以二级和三级光谱部分交迭.

设第 3 级紫光和第 2 级波长的光重合

??? ? 紫12 ? 3 d 则 d

3 3 ?1 ? ? ? ? 400 ? 600nm 紫

2 2 所以

2 的光重合 设第 2 级红光和第 3 级波长为?

?? ? ?2

3 ? 2 红 d 则 d

20

2 2 ? ? ? ? ? 760 ? 506.7nm 2 红

3 3 所以

综上 , 一级光 谱与 二级 光谱 不重 叠 ; 二级光 谱的 600 ~ 700nm 与三级 光谱的

400 ~ 506.7nm 重叠.

14. 用波长为 589nm 的单色光照射一衍射光栅，其光谱的中央最大值和第二十级主最

大值之间的衍射角为 15°10'，求该光栅 1cm 内的缝数是多少？

解: ? dsin ? ? j?( j ? 0,1,2,?12）

1 1 sin? ? 15?10?

? ? ? ? ? ? ?? ? 222(条/cm） ?7

d j? j? 180 2 ? 589 ?10

15. 用每毫米内有 400 条刻痕的平面透射光栅观察波长为 589nm 的钠光谱。试问：(1)

30? 角入射时,最多能观察到几级光谱? 光垂直入射时，最多能观察到几级光谱？(2)光以

d

j ? sin??

? ? j? 得 ??解: (1) 根据光栅方程 dsin

sin? ? 1 的情况相对应( sin? 真正等于 可见 j的最大值与 1 时,光就不能到达屏上).

1 1

d ?? mm ??cm

sin ? ? 1, 则得 400 4000 ,并取 根据已知条件

1

j ? 4000 ?? 4.2 8

5890 ? 10

(此处 j只能取整数,分数无实际意义)

即能得到最大为第四级的光谱线. (2) 根据平行光倾斜入射时的光栅方程

d(sin ? sin? 0 ) ? j? ( j ? 0,?1,?2,?)

,可得

d(sin? ? sin? 0 )

j ?

??

sin ? ? 1, 得 同样,取

1

? (sin 30? ? 1) 4000 ? 6.4 j ???85890 ?10

即能得到最大为第六级的光谱线. 16. 白光垂直照射到一个每毫米 250 条刻痕的透射光栅上，试问在衍射角为 30°处会 出现哪些波长的光？其颜色如何？

21

解: 由题意可知 当? ? 760nm 时,

1

? 250 条 毫米

? ? 30??d

由公式dsin? ? j??

390nm ? ? ? 760nm

d 1

? 2.6 j ? sin 30? ???6

??250 ? 760 ? 10 ? 2 得

d 1

? 5.1 j ? sin 30? ???6

?? 250 ? 390 ? 10 ? 2这里 j可取 3, 4, 5

当? ? 390nm 时,

2.6 ? j ? 5.1 所以

当 j ? 3 时

? ?

1 d sin? ? ?? 667nm j 3 ? 250 ?10 ??6 ? 2 (为红色) d sin? ? 1 ?? 500nm ?6 j 4 ? 250 ? 10 ? 2(为绿色)

当 j ? 4 时

? ?

当 j ? 5 时

? ?

d sin? ? 1 ?? 400nm j 5 ? 250 ? 10 ?6 ? 2 (为紫色)

17. 用波长为 624nm 的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽 b 为 0.012mm，不透明

部分的宽度 a 为 0.029mm，缝数 N 为 103 条。求：(1)单缝衍射图样的中央角宽度；(2)单缝 衍射图样中央宽度内能看到多少级光谱？(3)谱线的半宽度为多少？ 解 ：（ 1）单缝衍射图样的中央角宽度

?5

2 ? 2 ? 6.240 ?10 ?? ? 2??1 ? ? ? 10.4 ?10 ?2 rad ?3

b 1.2 ?10

(2) 单缝衍射图样包络下的范围内共有光谱级数由下列式子确定

d 0.041

? ? 3.42b 0.012

式中d 为光栅的光栅常数.

所以看到的级数为 3.

?? ??

(3) 谱线的半角宽度的公式为: 令 cos? ? 1(即? ? 0）

??

Ndcos??

??＝ ??3 ? 1.52 ?10 ?5 rad

Nd 10? 0.0041

? 6.24 ?10

?5

22

18. NaCl 的晶体结构是简单的立方点阵，其分子量 M=58.5，密度ρ=2.17g/cm3，(1)试证 明相邻两离子间的平均距离为

3 M

? 0.2819 2NA??

nm

式中 NA=6.02×1023/mol 为阿伏加德罗常数；（2）用 X 射线照射晶面时，第二级光谱的最大 值在掠射角为 1°的方向上出现.试计算该 X 射线的波长.

d

d, 那么亮离子间的平均距离d 0为 。现先计算晶胞的

2 解: (1) 晶胞的棱边为 棱

边长 d,由于每个晶胞包含四个 NaCl 分子,那么密度ρ为

m 4m

? ? ? NaCl

3

V d

这里,NaCl 分子的质量由下式给出

Mm NaCl ? N

所以晶胞的棱边由上面两式联立解得

1 3

?

? 4 M ? ? ?d ? ???? N????

那么相邻两离子间的平均距离

d0 为

d M 58.5 3 3? 0.2819nm ? d ? ? 0 23 2 2N?? 2 ? 6.02 ? 10 ? 2.17 时

(2) 根据布喇格方程

2d 0 sin?0 ? j??

在 j ? 2 时

2d sin? 0

? 2.819 ? ? 0 sin1? ? 0.0049nm 2

19 波长为 0.00147nm 的平行 X 射线射在晶体界面上，晶体原子层的间距为 0.28nm 问光线 与界面成什么角度时，能观察到二级光谱。

解：??

2dsin ? 0 ? j??

j?

?10

2 ? 0.0147 ?10 ? sin? ? 0.00525 0 ???9

2d 2 ? 0.28 ?10??

??

? 0 ? 0.3 ? 18'

光线与界面成 18′的角度时，能观察到二级光谱。

23

20 如图所示有三条彼此平行的狭缝，宽度均为 b，缝距分别为 d 和 2d，试用振幅矢量叠加 法证明正入射时，夫琅禾费衍射强度公式为：

2 sin u

I ? I [3 ? 2(cos 2v? cos 4v? cos 6v )] ? 0 2

u

式中

u ?

? bsin? ?dsin ??, v ? ????

证明：设单缝衍射的振幅为

a?

A

,三缝衍射的总振幅为 ? ，则

+sin 3?? ）,

A?x ＝a? （１＋cos ?? +cos 3?? ）

A?y a?

??

＝

（１＋sin

2

2

A?y 2 a??I? A?2 A?x

= = + =

[（１＋cos ?? +cos 3?? ）2+（１＋sin ?? +sin 3?? ）2]

=

a??

2

[3+2 (cos ?? +cos2 ?? +cos 3?? )]

21 一宽度为 2cm 的衍射光栅上刻有 12000 条刻痕。如图所示，以波长? ? 500nm的单色光 垂直投射，将折射率为 1.5 的劈状玻璃片置于光栅前方，玻璃片的厚度从光栅的一端到另一 端由 1mm 均匀变薄到 0.5mm，试问第一辑主最大方向的改变了多少？ 1 ? 0.5

tan A? ? 0.025

20 解：首先求玻璃片的顶角 A, ? A ? 0.025rad ? 1.43?

单色平行光经劈后的偏向角为

?θ0 A ? 0 ? (n? 1) A? 0.0125rad

，

21 题图

故玻片未加前的光栅方程为 dsin? ? j??

?

sin? ? ? ?j ? ?1 时， d ，

??1 ? ? 500nm, d ? ? 104 nm ? ? arcsin(?? ) ? ?17.46??

6 d 将 代入上式，得

玻片加入后的光栅方程为

d(sin?'? sin? 0 ) ? ???

sin?' ? 0.2875或sin?' ? ?0.3125 代入数据得：

?

?即 ?' ? 16.71或?' ? ?18.21?

那么，第一级最大的方向改变为 ?? ? ?'?? ? ?45' 22 一平行单色光投射于衍射光栅上，其方向与光栅的法线成53°的方向上出现第一级谱线，且位于法线的两侧。 （1） 试求入射角

? 0

角，在和法线成 11°和

? 0 ；

24

（2） 试问为什么在法线两侧能观察到一级谱线，而在法线同侧则能观察到二级谱线？ 解 ：（ 1）如图(a)所示，若入射方向与衍射方向处于法线的同侧， 根据光程差的计算，

d(sin? ? sin? 0 ) ? ??

光栅方程为

(1)

d

θ0 110如图(b)所示，若入射方向与衍射方向处于法线的两侧，

根据光程差的计算， 光栅方程为：

dsin?'? sin? 0 ? ??

(2)

(a)

1

sin? 0 ? (sin?'? sin?)

2 (1)- (2)，得

? ?? ? 17.7??? ? 11,?' ? 53 代入(3)得 0 将

?(3)

? sin? ? sin? 0 ? j?d （2）当位于法线两侧时，满足 ?

sin 53? ? sin 17.7? ? ?d 一级谱线：

?

sin? ? sin? 0 ? 2 ?d 二级谱线：

将(4)代入(5)得

d

θ0 ? ? sin 53? ? sin 17.7??

d 故 (4)

(b)

(5)

sin? ? sin? 0 ? 2(sin?'? sin? 0 ) ? 1.29 ? 1

故当位于法线两侧时，第二级谱线无法观察到。 当位于法线同侧时，满足

dsin? ? j? ? dsin? 0 ，

??

j ? 2时，sin? ? 2 ? sin? 0

d （6）

sin? ? 0.6855 ? 1 故位于法线同侧时，第二级谱线也可观察到。 将(4)代入（6）得

23 波长为 600nm 的单色光正入射到一透射光栅上，有两个相邻的主最大分别出现在

sin?1 ? 0.2 和 sin? 2 ? 0.3 处，第四级为缺级。

（1）试求光栅常量；

（2）试求光栅的缝可能的最小宽度；

（3）在确定了光栅常量与缝宽之后，试列出在光屏上世纪呈现的全部级数。 解：(1)光栅方程为 dsin?1 ? j? dsin? 2 ? ( j? 1)??

sinj ? 1 0.3 ? 2

??? sin?1 j 0.2 故 ， j ? 2

25

j??2 ? 600

? ? 6000nm ? 6 ?10?3 mm d ?? sin?? 0.2 故

10 ?3 mm 即光栅常量为 6 ?

d

b ? ? 1.5 ?10?3 mm

4 (2) 由第四级缺级，得

?3 1.5 ? 10 mm 即光栅上缝的最小宽度为

?

sin? ? sin ?2 故最大的级次为 j ? 10 (3)

故 其 时 最 多 观 察 到 j ? ?9, 又 考 虑 到 缺 级 ? 4,?8 ， 所 以 能 呈 现 的 全 部 级 次 为

j ? 0,?1,?2,?3 ? 5,?6,?7,?9

26

第三章 几何光学的基本原理

1．证明反射定律符合费马原理。

证明：费马原理是光沿着光程为最小值、最大值或恒定值的路径传播。

B

? nds ? min . max 或恒值

A

，在介质 n 与n' 的界面上，入射光 A 遵守反射定律i1 ? i1

??

,

经 O 点到达 B 点，如果能证明从 A 点到 B 点的所有光程中 AOB 是最小光程，则说明反射定律

符合费马原理。

? ACB>光程 设 C 点为介质分界面上除 O 点以外的其他任意一点，连接 ACB 并说明光程 ? AOB

? ACB 与 ? AOB 在同一种介质里，所以比较两个光程的大小，实际上就是比较两 由于

个路程 ACB 与 AOB 的大小。

BO ? 至 B′，使O ?B ? ? O ?B，连接 OB ? ，根 从 B 点到分界面的垂线，垂足为o? ，并延长 ? ，又可证明∠ ? OB ? ，再结合i1 ? i1AOB ? ? 180 °，说明 AOB? 三点在 据几何关系知OB

AOB ?? AC ? CB ? 。 ? 组成Δ AOB? 与 ACB ? ，其中 一直线上， AC 和CB AOB ? ? AO ? OB ? ? AO ? OB ? AOB , CB ? ? CB 又∵

? AOB ? AC ? CB ? ACB

AOB是从 即符合反射定律的光程 A 点到 B 点的所有光程中的极小值，说明反射定律符合费

马原理。

B A i’ O C n

O‘ n’ B‘ 27

2、根据费马原理可以导出在近轴光线条件下，从物点发出并会聚到像点的所有光线的光程 都相等.由此导出薄透镜的物象公式。 证明：由 QBA～FBA 得：OF\\AQ=BO\\BQ=f\\s

s ? ,BO\\BA=f\\s 同理，得 OA\\BA= f \\

A? =NQQ ?由费马定理：NQA+NQ

?

?

?结合以上各式得：(OA+OB)\\BA=1 得证

3．眼睛 E 和物体 PQ 之间有一块折射率为 1.5 的玻璃平板(见题 3.3 图),平板的厚度 d 为 30cm. 求物 PQ 的像 与物体 PQ 之间的距离 为多少? 解：.由题意知光线经两次折射后发生的轴向位移为：

，即像与物的距离为

1 2 pp ? ? d(1 ? ) ? 30(1 ? ) ? 10cm n 3 n= E 题3.3图

4．玻璃棱镜的折射棱角 A 为 60 度,对某一波长的光其折射率为 1.6.计算(1)最小偏向角;(2) 此时的入射角;(3)能使光线从 A 角两侧透过棱镜的最小入射角.

A? 0 ? A

解：由最小偏向角定义得 n=sin 2 /sin 2 ,得?0 =46 ゜１６′

? 0 ? A

由几何关系知，此时的入射角为:i= 2 =５３゜８′

1

’= sin’=21 -1 1.6 =38 当在 C 处正好发生全反射时：i2 ゜ 41′,i2=A- i2 ゜ 19′

? i1= sin-1(1.6sin21 ゜ 19′)= 35 ゜ 34′

? ｉmin＝３５゜３4′

５．图示一种恒偏向棱角镜,它相当于一个 30 度-60-90 度棱镜与一个 45 度-45 度度棱镜按图 示方式组合在一起.白光沿 i 方向入射，我们旋转这个棱镜来改变?1 ，从而使任意一种波长

的光可以依次循着图示的路径传播，出射光线为 r.求证：如果 i 与 r 垂直（这就是恒偏向棱镜名字的由来）． 解：??sin ? 1 ? nsin i1

28

sin ?1 ??

n

2 则? 2 ? ?1 ，且光束

n 1

若 sin ? 1 = 2 , 则 sini1 = 2 , i1=30 。 则 i。2=30 ,

而 sin ??2 ? nsin i 2

? ? 1 ? ?2

? ? 1 ? ? 1 ? 90 。

，而? 1 ???2

? ?2 ? ? 1 ? 90 。，

? ? ? i 题 3.5 图 得证。 ６．高５cm 的物体距凹面镜的焦距顶点 12cm，凹面镜的焦距是１０cm,求像的位置及高度， 并作光路图．

1

解：∵ f ? ? ?10cm

, s ? ?12cm ? 1 ??1又

s s ? f ? ??? 1 ∴ 12

? 1 s ?? ? ? 110 ，即 s ? ? ?60cm， ? ? ?

y ? ? s ??y ? ? ? ys ?y s

∴

s ?=-25cm 即像在镜前 60cm 处，像高为 25cm

７．一个５cm 高的物体放在球面镜前１０cm 处成 1cm 高的虚像．求（１）此像的曲率半

径；（２）此镜是凸面镜还是凹面镜？ 解：由题知物体在球面镜前成虚象，则其为反射延长线的交点，

? ??

y

y ? ? ? s ?

∵

s

?

s ? ? ? y ?s 1 1 2

∴ y ? 2cm ? ， 又

s s ? ?? r ， ∴r ? 5cm ?0 ，所以此镜为凸面镜。

８．某观察者通过一块薄玻璃板去看凸面镜中他自己的像．他移动着玻璃板，使得在玻璃板

中与在凸面镜中所看到的他眼睛的像重合在一起，若凸面镜的焦距为１０cm ,眼睛距凸面镜 顶点的距离灵 40cm,问玻璃板观察者眼睛的距离为多少?

1

? 1 ? 1 ??1 ? 1 ? 1解：根据题意，由凸面镜成像公式得：

s ??s f ? s ? 40 10 ? s ? ? 8cm

29

? ? 48cm， ∴凸透镜物点与像点的距离d ? s? s

d

? 24cm

。 则玻璃距观察者的距离为 2

9.物体位于凹面镜轴线上焦点之外,在焦点与凹面镜之间放一个与轴线垂直的两表面互相平

行的玻璃板,其厚度为 d1,折射率为 n.试证明:放入该玻璃板后使像移动的距离与把凹面镜向 物体移动 d(n-1)/n 的一段距离的效果相同。

0 ＝ｄ（１－ 解：证明：将玻璃板置于凹面镜与焦点之间，玻璃折射成像，由三题结果得ｄ

１＼ｎ），即题中所求。

10.欲使由无穷远发出的近轴光线通过透明球体并成像在右半球面的顶点处,问这透明球体的 折射率为多少?

n' n n' ?n ? ?

s ? ,由物像公式: s' s r 解：设球面半径为 r，物距和相距分别为 s 和

? =2r,n=1,得 n' =2 S= ? , s

11.有一折射率为 1.5,半径为 4cm 的玻璃球,物体在距球表面 6cm 处,求(1)物所在的像到球心

之间的距离;(2)像的横向放大率.

? n ? ? nn n ? ? ? , n ? ? 1.5, n ? 1, r ? 4cm s r 解： s ??的玻璃球。

s ? ?6cm 对第一个球面，

1.5 1 1.5 ? 1 ? ? ?

? 6 s ??4 ，? s ? ? ?36cm

s ? ?36 ? 8 ? ?44cm 对第二个球面 2

1

∴ 2

s ??

??

1 ? 1.5 ? 44 ? 4

?

1.5

∴ 2

s ? ? 11

∴从物成的像到球心距离 ? 15cm ol ? s ?2? r

30

? ? ? 1?2 ??

ns ??

? 1.5 n ?s

12.一个折射率为 1.53,直径为 20cm 的玻璃球内有两个小气泡.看上去一个恰好在球心,另一个 从最近的方向看去,好像在表面与球心连线的中点.求两气泡的实际位置

? n nn ? ? n ? ?

s ? =日时，s= r, 气泡在球心。 r ，当 s ??s 解 ：由球面镜成像公式：

r

s ? = 2 时，s=6.05cm ，气泡在距球心 当 3.95 cm 处。

13.直径为 1m 的球形鱼缸的中心处有一条小鱼,若玻璃缸壁的影响可忽略不计,求缸外观察者 所看到的小鱼的表观位置和横向放大率.

? n nn ? ? n ? ? s s ? =r=15cm, 即鱼在原处。 r , 又 s=r， ∴ 解：由: s ??

y ' s' n

' =1.33 β= y = s n

14.玻璃棒一端成半球形,其曲率半径为 2cm.将它水平地浸入折射率为 1.33 的水中,沿着棒的

轴线离球面顶点 8cm 处的水中有一物体,利用计算和作图法求像的位置及横向放大率,并作光 路图.

? n ? ? nn n ? ? s r 解: s ??

1.5 1.33 1.5 ? 1.33 ? ? ? 8 s ??2

s ? ? ?18cm ∴

ns ? 1.33 ? (?18)

? ? ? ? 2

n ?s 1.5 ? (?8)

n ? ? n ? ?

r ∵

?r n n ? ? 1.5 ? 2 3 ? ? ?f ????? 17.65cm n ? ? n ? 1.5 ? 1.33 0.17 ? nr n 2.66 1.33 ? 2 f ?? ? ? ??? ? ?15.65cm

n ? ? n ? 1.5 ? 1.33 0.17

31

15.有两块玻璃薄透镜的两表面均各为凸球面及凹球面,其曲率半径为 10cm.一物点在主轴上 距离 20cm 处,若物和镜均浸在水中,分别用作图法和计算法求像点的位置.设玻璃的折射率为 1.5,水的折射率为 1.33.

' =-39.12 , 解：（！）对于凸透镜：由薄透镜焦距公式得： f ? ? f

' 由透镜成像公式： s

f ' ? f

?? 1s

s ? =-40.92 ，s=20cm, 得

（2）对于凹透镜：由薄透镜焦距公式得: f= - f ' =39.12

' 由透镜成像公式： s

（3）作图：

f ' ? f

?? 1s

s ? =-13.2 ，s=20cm, 得

S ‘ F O （1） F S O （2）

16.一凸透镜在空气中的焦距为 40cm,在水中时焦距为 136.8cm,问此透镜的折射率为多少(水

的折射率为 1.33)?若将此透镜置于 CS2 中(CS2 的折射率为 1.62),其焦距又为多少?

f ? ??

n1

解：由题意知凸透镜的焦距为：

n? n 1 n ? n

( ? 2 ) r1 r2

' 又∵在同一介质中n1 ? n2 ， f ? ? f

设

n1 ? n2 ? n??

n 1 1

? ?( ? 1)( ? )

n ??n r2 f ?∴ ?

1 1 1

? n r2 是一常数，

因为对同一凸透镜而言

32

n

?? ?( ? 1)t ?n? ? 1, f1 ? 40 ，在水中时 n?n ??2 ? 1.33, f 2? 136.8 设 f ?，当在空气中时 1

n 1 n ? ?( ? 1)t ? ( ? 1)t 40 1 136.8 1.33 ，

1

1

∴ 两式相比，可 n=1.54，将其代入上式得

1

1.54

??（ ? 1）? 0.0463 ? 1.62 t ? 0.0463 ∴在CS 2 中即n ? ? 1.62时 ， f ，

?

得 f ? ?437.4cm .即透镜的折射率为 1.54，在 CS 中的焦距为-437.4cm 2

17.两片极薄的表玻璃,曲率半径分别为 20cm 和 25cm.将两片的边缘粘起来,形成内含空气的 双凸透镜,把它置于水中,求其焦距为多少?

f ? ??

n1

解：由薄透镜焦距公式：

n? n 1 n ? n( ? 2 ) r1 r2

，

其中 n=1,n1=n2=1.33, r1=20cm,r2=25cm,得

f ? ? f ' =-44.8cm

18.会聚透镜和发散透镜的焦距都是１０cm,求(1)与主轴成 30 度的一束平行光入射到每个透 镜上,像点在何处?(2)在每个透镜左方的焦平面上离主轴 1cm 处各置一发光点,成像在何处? 作出光路图.

f '

' 解：(1)由 s

?? f

? 1 。 s s ??x= f ' ，s = ??, 对于会聚透镜： =10cm, s ??y= s ?? xtg30 =5.8cm 或者

。 y= s ?? xtg(-30 )=-5.8cms ??， 像点的坐标为(10,|5.8|) 同理，对于发散透镜：像点的坐标为(-

10,|5.8|)

' (2) 由 s

f ' ? f

?? 1s

s ? x= ? ，即经透镜后为一平行光束。 ，s =f , 对于会聚透镜： ? ?

y ' s 's ' ? y ' ? y y s ， s =0.5cm，

s ? x=-5cm，又 对于发散透镜：

考虑到物点的另一种放置，

y ' ?

s' y

s =-0.5cm，像点的坐标为(-5,|0.5|)

33

S，(10,5.8) F 30。 30。 O （a）

F O S(-10,- 5.8) (b)

18.会聚透镜和发散透镜的焦距都是１０cm,求(1)与主轴成 30 度的一束平行光入射到每个透

镜上,像点在何处?(2)在每个透镜左方的焦平面上离主轴 1cm 处各置一发光点,成像在何处? 作出光路图.

解：(1)由 ，s = , 对于会聚透镜： x= =10cm, y= xtg30。=5.8cm 或者 y= xtg(-30。)=-5.8cm， 像点的坐标为(10,|5.8|) 同理，对于发散透镜：像点的坐标为(-10,|5.8|) (2) 由 ，s =f , 对于会聚透镜： x= ，即经透镜后为一平行光束。 对于发散透镜： x=-5cm，又 ， =0.5cm，

考虑到物点的另一种放置， =-0.5cm，像点的坐标为(-5,|0.5|)

20.比累对切透镜是把一块凸透镜沿直径方向剖开成两半组成,两半块透镜垂直光轴拉开一点 距离,用挡光的光阑 K 挡住其间的空隙(见题 3.20 图),这时可在屏上观察到干涉条纹.已知点光

源 P 与透镜相距 300cm ,透镜的焦距 f’=50cm,两半透镜拉开的距离 t=1mm,光屏与透镜相距

l=450cm.用波长为 632.8nm 的氦氖激光作为光源,求干涉条纹的间距.

34

P1 P K P2 题 3.20 图

解 ： 分 成 两 半 透 镜 ， 对 称 轴 仍 是 PKO,P 1 ,P2 构 成 两 相 干 光 源 ， 相 距 为 d, , s ? = f · s\\( f +s)=60cm, r 0 =L- S? =390cm, 上半透镜相当于 L 的主轴与光心上移 0.5mm,

? ?

y +t=0.12cm. 下半透镜相当于 L 的主轴与光心下移 0.5mm,d=2

?

?y ? r0 ?

/d=2.056mm.

21.把焦距为 10cm 的会聚透镜的中央部分 C 切去,C 的宽度为 1cm,把余下的两部分粘起来(题

3.21 图).如在其对称轴上距透镜 5cm 处置一点光源，试求像的位置． 解：该透镜是由 A、B 两部分胶合而成，这两部分的主轴都不在光源的中心轴线上，A 部分 的主轴在系统中心线下方 0.5cm 处，B 部分的主轴系统中心线上方 0.5cm 处，

f ' f

? ? 1 s ? =-10cm ，经 B 成像的 s ? =-10cm，这两个像 s' s ，经 A 成像得 由透镜成像公式：

点在垂直于主轴的方向上的距离为 3cm.

A A C B 5 3 B

２２．一折射率为 1.5 的薄透镜,其凸面的曲率半径为 5cm,凹面的曲率半径为 15cm,且镀上银 (见题 3.22 图).试证明:当光从凸表面入射时,该透镜的作用相当于一个平面镜.(提示:物经过 凸面折射,凸面反射和凹面再次折射后,s’=-s,b=1.) 解：经第一界面折射成像：

n' n '?n n ? ? s ' s r 其中，n' =1.5 , n=1, r ? r1=5cm, s' ? s'1 ∵

1 1 1

? ?? s' 1.5 1.5s ∴

题 3.22 图

经第二界面（涂银面）反射成像：

1 1 2 ? ? s' ? s'2 ， s ? s'1 ， s ' s r ，其中， r ? r1=15cm ∵

2 1

?? ? ∴ s'2 15 s'

再经第一界面折射成像：

1

n' n n '?n ? ?

s ? s'2 s ' s r ， n' =1 , n=1.5,r ? r1=5cm, s' ? s'3 ， s'3 ? ?s ∴

1 1 s' 2 3 s's's'

? 1 = s1 = s ， ? 3 = s'2 ， ?2 = s'1 ，

? ? ? 1 ?2 ? 3 =1， 三次成像后的放大率：

所以当光从凸表面入射式，该透镜的作用相当于一个平面镜。

23. 题 3.23 图所示的是一个等边直角棱镜和两个透镜所组成的光学系统.棱镜折射率为 1.5, 凸透镜的焦距为 20cm,凹透镜的焦距离为 10cm,两透镜间距为 5cm, 凸透镜距棱镜边的距离 为 10cm.求图中长度为 1 cm 的物体所成像的位置和大小.(提示:物经棱镜成像在透镜轴上,相 当于经过一块厚 6cm 的平板玻璃,可利用例 3.1 的结果求棱镜所成像的位置.).

36

题 3.23 图

0420 ? 45 。所以，物体经球面上反射，为厚度为 解：因为 n=1.5,其全反射角为， 6cm 的透

? l=l(1-1\\n)凸透镜的物距为 s 1 =- 镜，物体将在厚透镜左侧成虚像，平行平板的轴向位移

? = ? 由物像公式知成像的位置及大小为 20,f 1 =-20.所以 s 2 = s 25 和-10。

24.显微镜由焦距为 1cm 的物镜和焦距=为 3cm 的目镜组成,物镜与物镜之间的距离为 20cm,

问物体放在何处时才能使最后的像成在距离眼睛 25cm 处?

1

解：在目镜下由物像公式得 2

s??

??

1

s 2

??

1

f2??

?1 1 1

? ? ? 25 s 2 3 即

75s 2 ? ? 22 cm ∴

365

? s ? 20 ? s ? cm 1 2

22

1 1 ? ?? s? s f 1??

在物镜下由高斯公式得 1

1

即物体在物镜下放 1.06cm 处。

24.显微镜由焦距为 1cm 的物镜和焦距=为 3cm 的目镜组成,物镜与物镜之间的距离为 20cm,

问物体放在何处时才能使最后的像成在距离眼睛 25cm 处?

1365

? ? 1 ? s ? ? cm 1

? s ?343 即 365

22

37

1

解：在目镜下由物像公式得 2

s??

??

1

s 2

??

1

f2??

?1 1 1

? ? ? 25 s 2 3 即

75s 2 ? ? 22 cm ∴

365

? s ? 20 ? s ? cm 1 2

22

1 1 ? ?? s? s f 1??

在物镜下由高斯公式得 1

1

1365

? ? 1 ? s ? ? cm 1 s ??343 即 365

22

即物体在物镜下放 1.06cm 处。

25．题 3.25 图中 L 为薄透镜,水平横线 MM‘为主轴。ABC 为已知的一条穿过这个透镜的路径 ，

用作图法求出任一条光线 DE 穿过透镜后的路径。

L C M' B A E E D 题 3.25 图

A B L C

F

E D 题 3.25

为 DE 的出射光 38

26．题 3.26 图中 MM‘是一厚透镜的主轴,H、H’是透镜的主平面，S1 是点光源，S1‘是点光源

’的位置的像。试用作图法求任一物点 S2 的像 S2 .

? ? ? ? ? ? 27．双凸透镜的折射率为 1.5，

题 3.26 图 │r1│=10cm，│r2 │=15cm，r的一面镀银，污点 P 2

在透镜的前主轴上 20cm 处，求最后像的位置并作出光路图。

n' n n '?n ? ?

s 1=-20cm r ，n' =1.5 , n=1,r ? r1=10cm, s ' s 解：经第一界面折射成像：

? ，即折射光为平行光束 所以 s' 1→

1 1 2

? ? s 2= s' 1→ s' 2=-7.5cm s ' s r ， ? ， r ? r2=-15cm ,所以 经第二界面反射成像：

n' n '?n n ? ? r s ' s 再经第一界面折射成像：

s 3= s' 2=-7.5cm r ? r1=10cm, ，n' =1 , n=1.5,

s' 3=-4cm ,即最后成像于第一界面左方 所以 4cm 处。

28．实物与光屏间的距离为 l，在中间某一位置放一凸透镜，可使实物的像清晰地投于屏上 ，

将移过距离 d 之后，屏上又出现一个清晰地像。（1)试计算两个像的大小；（2）证明透镜的

/4l ）;(3)l 焦距（l2 –d2 不能小于透镜焦距的 4 倍。

l ? (d ? x ) 1= s' 2= x ，则 s 解：(1)令

s 2= l ? x ，

，

39

1 1 1 ? ??' s f ' 第一次成像：??s

(d ? x)[l ? (d ? x)] l f ' = ∴ (1) 1 1 1

? ? s f ' 第二次成像：??s' (l ? x)x

l f ' = ∴

L1 L2 (2)

题 2.28

由(1) (2)得

x ?

l ? d 2 ， （3）

l l l l ? d ? d ? d ? d s 1= 2 ， s' 1= 2 ， s 2= 2 ， s' 2= 2 (4) 则

y'y'l ? ds' ? d s' 1 2 ? 1 l ? 2 ? s1 l ? d ? 1= y1? 2= y2 s2 l ? d ， =

2 ? 2 l ? d ( ) y = y = y ， ???1 = l ? d ，又 212 ? 2 l ? d

( ) ? 故两次成像大小之比为： 1 = l ? d

(5)

l 2 ? d

(2)将（3）代入（4）得 f ' = 4l

d ?? l(l ? 4f ' )

2

（6）

（3）由（6）得 （7）

l 不能小于透镜焦距的 所以 4 倍。

40

29．一厚透镜的焦距 f′为 60mm，其两焦点间的距离为 125mm,若（1）物点置于光轴上物方

mm 处 ；焦点左方 20 （ 2）物点置于光轴上物方焦点右方 20mm 处 ；（ 30)虚物落在光轴上像

方主点右方 20mm 处，文在这三种情况下像的位置各在何处？像的性质各如何？并作光路图。

1 1 1

? ? s ??s f ??解：⑴由厚透镜的物象公式的高斯公式

1 1 1

???? ? s ? ? 120mm (实像） ? 80 s ?? 60

得

1 1 1

? ? s ? ? ?120mm(虚） s ??s f ? 得 ⑵由

1 1 1

? ?? s ? s f ??

s ? 20mm ⑶

s ? ? 15mm ( 实像） ∴

30.一个会举薄透镜和一个发散薄透镜互相接触而成一复合光具组，当物距为－８０ｃｍ时， 实像距镜６０ｃｍ，若会聚透镜的焦距为１０ｃｍ，问发散透镜的焦距是多少？

1 1 1? ? ' s f' ， f ??f ' ， s ' ? 60mm， s ? ?80mm 解：?s

? 符合光学的焦距为 f ' = 34.29cm

1 1 1 d? ? ?? ? f ' f'1 f '2 f 1 f 2 ， 及 d=0，? f ' 2=-14.1cm

31 双凸透镜两个球面表面的曲率半径分别为１００ｍｍ和２００ｍｍ，沿轴厚度为１０ｍ ｍ， 玻 璃 的 折 射 率 为 １ ． ５ ， 试 求 其 焦 点 主 点 和 节 点 的 位 置 ， 并 会 图 表 示 之 。

P B F O1 K H B’

P’’ F’ K’ H’ O2 -f -x f’ x’ -s t 题 3.31

41 s’ 1 1 1 t(n 1) ? ? (n ? 1)[ ? ? ]n f ' r1 r2 r1 r2 ，代入数据得 f ' =134.86mm f ? ?f ' -134.86mm 解：

n = ? 1

1f '1 = r' ,得 f ' 1 =200mm

tf '

n = ? 1

1f '2 = r' ,得 f ' 2=-400mm

n f 2 =20247mm ? p =

tf ' p' ? ??n f '1 =-4.495mm

x = f ' =134.86mm , x ' = f =-134.86mm

32.两个焦距均为２ｃｍ的双凸透镜，其间距离为４／３ｃｍ，组成一个目镜，求其焦点 和节点的位置，如他们的焦距分别为６ｃｍ和２ｃｍ，间距为４ｃｍ，再求其焦点和节点的 位置。

? ? 20cm 1? ? f 2解： f

4

d ? cm

3

空气中 f2 ? ? f2?

?? f1?f 2 ? 2 ? (?2) 4

f? ?? ? ? 1.5??

48 f?2 ? 2 ? 1 ? f 2 ? d 3 3 ∴

4 1.5 ? ? fd

p ? ? ?? ? 3 ? 1cm

f2 ? 2 x ? f ? ? 1.5cm ，

f ? ? f ? ? ?1.5cm

3 4

? ? fd

p ? ? ? ?? ? 2 3 ? ?1cm

f 1??2

，

x ? ? f ? ?1.5cm

当 1

f? ? 6cm, f 2? ? 2cm, f 2 ? ?2cm, d ? 4cm

?6 ? 2 f 1f2

?? ? 3 f ? ? ??

f 1? ? f2 ? d 6 ? 2 ? 4

，

42

f ? ? f ? ? ?3cm

?fd 3 p ? ? ?? ?? 4 ? 6cm

f2 ? 2 ， ?3 ? 4 fd

p ? ? ? ?? ? ? ?2cm

f 1??6 ，

x ? f ? ? 3cm

x ? ? f ? ?3cm

33 一焦距为２０ｃｍ的薄凸透镜与一焦距为２０ｃｍ的薄凹透镜相距６ｃｍ，求：（１）复

合光具组焦点及主平面的位置。（２）当物体放在凸透镜前３０ｃｍ时像的位置和放大率。

解析： 1

f ? ? 20cm f 2? ? ?20cm

d ? 6cm

s1 ? ?30cm

f ? ? ? f 1 ? 20cm 空气中 1

f 2? ? ? f 2? ?20cm

⑴

f ?f 20 ? 20 f ? ? ?? 12? ??? 66.67cm

? f 1? f2 ? d 20 ? 20 ? 6

f ?f ? 20 ? (?20) 2

f ? ? ? 12? ? ? 6 3 ??

f ?d

p ? ?? 2??

??-0.2m

F?F? 6cm Δ= 12

p ? ?

f d 20 1? ? 6 ? ? ? ?20cm ? ?0.2m

6 ??

⑵

s1 ? ?30cm s ? s1 ? p ? ?30 ? (?20) ? ?10cm ? ?0.1m

2

? (?0.1)

?? fss ? ??? 3 ? ?0.117m

2 f ? ? s

? 0.1 3

s ? ? 0.117 ? ? ? ? 1.17

s ? 0.1

H? ，节平面Ｋ和 K? 和交平面Ｆ和 F? 位置如图所示，有一发光点 34 一薄透镜的主平面Ｈ和

Ｐ在物方主平面左边２０ＣＭ处，试作光路途并计算像的位置。

? F H K 43 K’ F’ ? , s ? ?20cm 解： f ? ?5cm, f ? 6cm

x ? s? f ? ?20 ? (?5) ? ?15cm_

xx ? ? ff ??∵

ff ? ? 5 ? 6

x? ?? ? ? 2cm

x ? 15 ∴

s ? ? f ? ? x ? ? 6 ? 2 ? 8cm ∴

35. 一条光线射到一折射率为ｎ的一球行水滴，求：（１）后表面的入射角ａ，问这条光线 将被全反射还是部分发射？（２）偏转角? ；（３）产生最小偏转角的入射角? 。 解 ：（ 1）由折射定律 nsin? =sin??

sin ??

∴? =sin-1( n )

1

又∵临界角? c= sin-1( n ), 即? < ??c ,

故是部分反射。

? （2）由图知：? =（? -? ）+?，即?=2? -? ，而? =? -2?，所以? =? -4? +2??

d ? 1 4d= ??? ? 2 d?? d? 2 ， （3）∵ =- dx =0， 即

sin 1 ??

3 (n2-1) 而? =sin-1( n )，∴cos2? =

36.将灯丝至于空心玻璃球的中心，玻璃球的内外直径分别为８ｃｍ和９ｃｍ．求：（１）从

球外观察到的灯丝像的位置（设玻璃折射率ｎ＝１．５）；（２）玻璃温度计管子的内外直径 分别为１ｍｍ 和３ｍｍ ，求从外侧观察到的直径数值；（３）统一温度计的竖直悬挂于 直径 100mm 得盛水玻璃烧杯的正中，从较远处通过烧杯壁观察时，温度计的内外直径为多

少？

44

n' n '?n n ? ?

r s ' s 解：∵

s' 1= 4cm 即在球心处 （1）①n' =1.5 , n=1，s1=r1=4cm , ∴

②n=1.5 , n=1，s2=4.5cm

s' 2= 4.5cm 即像仍在球心处 ∴

s' 1= 3.896cm （2）①n' =1.5 , n=1，r1=4cm ，s1=3.85cm ∴

②n=1.5 , n=1，s2=4.396cm d=0.304cm=3mm

s' 2= 4.348cm ∴

s' 1= 0.96mm (3) ①n' =1.33 , n=1.5，r1=1.5mm ,s=1mm ∴

s2=49.46mm ∴ s' 2= 4.348cm ∴d(内)=1.5mm

s' 2= 48.1mm ∴d(外)=4mm ②n' =1 , n=1.33，r1=50mm ,s=48.5mm ∴

O2 分 37 ． 如 题 所 示 为 梅 斯 林 分 波 面 干 涉 实 验 装 置 。 其 中 O1 、 别 为 两 块 半 透 镜 L1和L2的光心，S、O1、O2、S1、S 2 共轴，且S1S 2 ? l。（1） 试 证 来 自 L1和L2 两端的光束到达P点的光程差? ? l ?（S1P? S 2 P）；（2）定性讨论与轴线垂

直的光屏上接收到的干涉图样的特点。

证明：∵物象具有等光程性，

L1

? sl1ps1= ? so1o2s2s1

S O 2 O 1 P S1 S 2 ? sl1s2= ? so1o2s2

L2

题 3.37

45

? sl1p= ? sl1ps1- ? ps1= ? sl1ps1-ps1

? sl1s2p= ? sl1s2+ ? s2p=ps2

? so1o2s2s1- ? so1o2s2 = s1s2=l= ? sl1ps1- ? sl2s2 ? sl1p- ? sl1s2p=l-(ps1-ps2) ∴? = 38．把杂质扩散到玻璃中可以增大玻璃的折射率，这就有可能造出一个后度均匀的透镜。已 知圆板半径为 R，厚度为 d，如图所示，求沿半径变化的折射率 n（r），它会使从 A 点发出

的光线传播到 B 点。假定这是个薄透镜，d ?a，d?b。

r B A a b d 题 3.38 图

解：d<

圆板中心处的折射率为 n(0),半径 r 处的折射率为 n(r)，

光程：L= a? r??n(r)d + b? r

2

2

2

2

有费马定理得

? L

? 0 ?r 解得：

2 2 22

a ? b? a ? r ??b? r

d n(r)= n(0)+

1.5，在r2 的 39．一弯凸透镜的两个表面的半径r1和r2 分别为? 20cm和-15cm,折射率为

46

凸面镀银。在距r1 球面左侧 40cm 处的主轴上置一高为 1cm 的物，试求最后成像的位置和像 的性质。

解 ：（ 1）经第一界面折射成像

n' n '?n n ? ? s ' s r ∵ s' =-30cm ∴

r ? r1=-20cm ,s=-40cm 其中，n' =1.5 , n=1,

(2) 经第二界面（镀银面）反射成像

1 1 2 ? ? s ' s r ,其中，s=-30cm， r =-15cm

s' =-10cm ∴

（3）在经第一界面折射成像

n' n n '?n ? ? s ' s r s' =-8cm ∴

其中，n' =1 , n=1.5,r ? r1=-20cm ,s=-10cm

ns'2 1n s1 s '3 6

? 1= n' s1 =0.5 ， ? 2=- s2 =- ? 3= n' s 3 = 3 ， 5 放大率为：

? ? ? ? ??=-0.2 1 2 3最后像在透镜左方 8 cm 处，为一大小是原物 0.2 倍倒立缩小实像。

40．一折射率位 n，曲率半径为 R1 和 R2 的薄凸透镜放在折射率分别为 n1 和 n2 的两种介质之

f 1 s

? 间，s1 和 s2 分别为物距和像距，f1 和 f2 是物方和像方焦距。证明： 1 证明：因为任一光线由物点到像点的光程相等，所以

s 2

f2 ? 1

。

s ? n1l1 ? n(d ? AM ? AN ) ? n2l 2 n n 2 n ? n1 n ? n? 1 ? ? 2 r1 r2 s s1

∴ 2

ds

? 0 dn 又

①

47

n ? n1 n ? n? 2 r1 r2

1 ??∵物方焦距 f

f 2 ??

像方焦距

??

n

②

n 2

n 2 ? n ? n 1 n r1

?

r2

③

f

? 1 ? 1 s s1

. 由①②③得 2

f 2

48

第四章 光学仪器的基本原理

1．眼睛的构造简单地可用一折射球面来表示，其曲率半径为 5.55mm，内部为折射率等于 4 ／3 的液体，外部是空气，其折射率近似地等于 1。试计算眼球的两个焦距。用右眼观察月 球时月球对眼的张角为 1°，问视网膜上月球的像有多大？ 解；眼球物方焦距；当 s’=∞时，f=﹣5.55／﹙4／3﹣1﹚=﹣16．65 ㎜=﹣1．665 ㎝

4

? 5.55 3 ? 22.2mm 4

? 1

眼球的象方焦距：f＇=s＇= 3

当 u=1°时，由折射定律 n1sinu1=n2sinu2 U1=1°n1=1,n2=4∕3 像高 l＇=f＇tanu2=f＇sinu2=f＇×3∕4 sin1o

=22.2×3∕4×0.01746=0.29mm

2 ．把人眼的晶状体看成距视网膜 2 ㎝的一个简单透镜。有人能看清距离在 100 ㎝到 300 ㎝

间的物体。试问：⑴此人看清远点和近点时，眼睛透镜的焦距是多少？⑵为看清 25 ㎝远的 物体，需配戴怎样的眼镜？ 解：人眼 s＇=2cm. S1=100cm.s2=300cm

100 ? 2

近点时透镜焦距 f ' =

100 ? 2 =1.961 cm

300 ? 2

300 ? 2 远点时透镜焦距 f ＇=

=1.987 cm

s=﹣25 cm时 s ? =﹣100 cm﹦﹣1 m 当

1 1 1 1

? ?? ? ?? ?? ? ?1 ? 4 ? 3

? ?s s ? 1.00 ? 0.25 D ? 300 度

3．一照相机对准远物时，底片距物镜 18 ㎝，当镜头拉至最大长度时，底片与物镜相距 20

㎝，求目的物在镜前的最近距离？

?

解： f ? 0.18m.

s ? ? 0.20m

1 1 1

? ? s ??s f ??照相机成像公式：

1 1 1 1 1

?? ? ?0.556 ? ??? ? ??s f ? s ? 0.18 0.20

s ? ?1.8m

49

目的物在镜前的最近距离为1.8m

4．两星所成的视角为 8′，用望远镜物镜照相，所得两点相距 1 ㎜，问望远镜物镜的焦距 时多少？

? 4 ??

u ? 4? ? ?? ?? ? 0.0667??

? 60 ??解：已知

?

l ? ? 1mm ? 0.001m

l ?? ? 0.001 ??? 0.8594m f ? ??

tan u ? tan 0.667

5．一显微镜具有三个物镜和两个目镜。三个物镜的焦距分别为 16 ㎜、4 ㎜和⒈9 ㎜，两个 目镜的放大本领分别为 5 和 10 倍。设三个物镜造成的象都能落在象距为 160 ㎜处，问这显 微镜的最大和最小的放大的放大本领各为多少？

??? f f? 16mm 2 ? 4mm 解： 1

f 3 ??? 1.9mm s ? ? 160mm

M 1 ? 10 M2 ? 10 M ? ? 物 ? M 目 ? ?

因为放大本领

?? s f 物?

? M 目

f? ? 16mm M目 ? 5

分别计算： 1

f1? ? 16mm M目 ? 1 0

160

M ? ? ? 5 ? ?50

16

160

M ? ? ? 10 ? ?100

16

160

M ? ? ? 5 ? ?200

f 1? ? 4mm M目 ? 5 4

160

M ? ? 4 ?10 ? ?400 160 M ? ?? ? 5 ? ?421.01

1.9

f 1? ? 4mm M 目? 10 f ? ? 1.9mm M

目

? 5

?

f ? 1.9mm M 目?0 1

160

M ? ?? ? 10 ? ?842.10

1.9

Mmin ? ?50 ? 显微镜

Mmax ? ?842.10

6．一显微镜物镜焦距为 0.5 ㎝，目镜焦距为 2 ㎝，两镜间距为 22 ㎝。观察者看到的象在无

穷远处。试求物体到物镜的距离和显微镜的放大本领。 解：已知：显微镜 物?

f ?? 0.5cm.

? ? 2cm f目

L ? 22cm

50

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