四川省成都市石室中学2017届高三数学：函数与方程 专题复习 教学设计

函数的零点与方程的根

成都石室中学

【教学内容分析】

本节内容是人教A版高中数学必修1第三章“函数与方程”的第一节. 方程的根与函数零点的关系研究，在内容上承上于基本初等函数和函数性质的学习，启下于“用二分法求方程的近似解”的学习；在思想上，揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系正是中学数学重要思想方法——“函数与方程思想”的理论基础．可见，本节在中学数学中具有重要地位.

【学生学情分析】

知识层面：学生已经基本理解了函数零点和方程根的关系.

能力层面：已初步掌握函数与方程的转化思想，具有一定的数形结合能力． 学之难：对含绝对值函数、分段函数的零点个数的求解有困难． 难之所在：其一、如何处理局部与整体的关系；

其二、转化之技巧与转化之本质. 【教学目标分析】

1、理解函数的零点的概念；

2、掌握判定函数零点个数的方法；

3、渗透分类讨论，数形结合，转化与化归的数学思想. 【教学重难点分析】

重点：通过函数图象判定函数的零点的个数；

难点：通过引导，让学生能从感性认知跃迁到理性的认识，体会数形结合的数学思想. 【教学过程设计】 一、 考点评估

从近两年高考来看，该专题2017年高考命题热点考向为：

考什么 怎么考 题型和难度 题型：选填题 难度：中档题 题型：选填题或解答题 难度：压轴题 函数的零点的确定及应用 1.求函数零点所在区间 （有8个省市在此知识点命选填题； 2.判断函数零点个数 有4个省市在此知识点命解答题） 3.由函数零点问题求参数范围 同时，分段函数是高考频点，这两年，有11个省市在此知识点命题. 二、 知识回顾 问题1. 函数f?x??x?6的零点为（ ）

2A.(6,0)B.(?6,0)C.?6D.6

问题2. 什么是函数的零点？

对于函数y?f(x)，使f(x)?0的实数x叫做函数y?f(x)的零点. 问题3. 你能求出函数f?x??lnx?x?6的零点吗？

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问题4. 函数f?x??lnx?x?6有零点吗？

2问题5. 函数零点存在性定理的内容是什么？

如果函数y?f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数y?f(x)在(a,b)内有零点，即存在c?(a,b)，使得f(c)?0，f(a)f(b)?0这个c也就是方程f(x)?0的根.

【设计意图】

（1）回顾本节知识重点，注意区分零点不是点； （2）得出函数的零点的转化关系，即：

函数y?f(x)的零点?方程f(x)?0的实数根?函数y?f(x)的图象与x轴的交点横坐标，为后面的零点存在性定理的应用打下基础.

【感 悟】函数零点存在性定理只是判断函数零点是否存在的一种方式. 三、典例分析

题型一：已知函数求零点个数

例1. 函数f(x)?lnx?x2?6的零点个数为_________.

【设计意图】

例1是教材例题变式，得出判定函数零点个数的主要方法.

【小结】判断函数零点个数的方法：

方法一：直接解方程f(x)?0，得根的个数；

方法二：利用函数的性质（单调性等）和函数零点存在性定理； 方法三：数形结合，转化为函数图象间的交点个数.

变式. 已知函数f(x)?lnx，g(x)??为 .

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?0,0?x?1,则方程f(x)?g(x)?1实根的个数2x?6,x?1,?【设计意图】

在例1的基础上变形，引入近年的热点考查对象——分段函数，旨在考查学生分类讨论，数形结合的数学思想. 而在讲解时，还可顺势在作如下变形：

① 求函数y?f(x)?g(x)?1的零点个数；

② 讨论方程f(x)?g(x)?k,k?R的实根的个数. 为例2的解答打下基础.

题型二：已知函数零点个数求参数取值范围

?x2?(4a?3)x?3a,x?0,a?0a?1例2. 已知函数f(x)??（且）在R上单调递减，

x?0,?loga(x?1)?1,且关于x的方程|f(x)|?2?x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是__________.

【设计意图】

此问是2016年天津高考题，是例1的补充. 此题综合性较强，无论横向知识的广度还是纵向知识的深度都对学生的能力提出了较高的要求，难度较大，但这对学生建构分类讨论、数形结合的数学思想是大有裨益的.

四、课堂小结

这节课你有什么收获？

1. 知识层面：

2. 数学思想层面：

五、作业设计

??0,0?x?1,1. 已知函数f(x)?lnx，g(x)??2求方程f(x)?g(x)?1实根的个数.

??x?4?2,x?1,

??1?x?1,2. 已知函数f?x???2??x?4x?2,

x?1,x?1， 求函数g?x??2f?x??2的零点个数．

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??2?x,x?2,3. 已知函数f?x??? 函数g?x??b?f?2?x? ，其中b?R，若函数2???x?2?,x?2,y?f?x??g?x? 恰有4个零点，求b的取值范围？

【设计意图】

第1题是例1的进一步变式，也是加深对例1及变式理解的作业题. 第2题充分展现了函数的零点的几个转化，是对例1变式后的总结的应用. 第3题是对例2 的复习和补充.

课后作业的函数模型主要是二次函数、绝对值函数和对数函数，便于学生构建模型，所有作业都在分段函数的背景下探讨，意在培养学生分类讨论、转化与化归、数形结合的数学思想.

六、教学设计感悟

函数y?f?x?的零点是中学数学的一个重要的概念，从函数值与自变量对应的角度看，就是函数值为0的实数x；从方程的角度看，是相应方程f?x??0的实数根；从函数的图形表示看，是函数y?f?x?与x轴交点的横坐标. 函数是中学数学的核心概念，根本原因之一是因其与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中一个关联点，它从不同的角度，将数与形、函数与方程有机的联系在一起.

函数与方程比较，一个“动”，一个“静”；一个“整体”，一个“局部”.用函数的观点研究方程，本质就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，为今后进一步学习函数与不等式等知识奠定基础.

函数与方程历来都是高考考查的重点内容，已成为高考永恒的热点.这部分试题呈现出设计新颖、思维力度大，常考常新的特点. 纵观近三年高考试题，通常以小题的形式来考查函数的性质、函数与方程思想的应用等. 函数的零点个数判定又是函数与方程思想很好的考查典型，是函数与方程的纽带，而函数的零点问题其实质就是两函数图象间的位置关系，又可充分考查转化与化归、数形结合的数学思想. 近年，分段函数成为考查的热点，所以本节课选用了两个分段函数的例子，渗透分类讨论的思想.

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