概念教学要铺垫 能力提高要训练(邵光华)

概念教学要铺垫 理解深化要训练

——基于特级教师陶维林老师的一堂概念课

邵光华 （宁波大学教师教育学院） 陈学梅 （河北师范大学数信学院）

2008年10月18日，风和日丽，在世界著名数学大家陈省身先生的母校浙江嘉兴秀州中学“未来厅”聆听了著名特级教师陶维林老师的一堂精彩的“任意角的三角函数”概念课。深有感触，让我们体会到了新课程背景下如何突出中学数学核心概念、思想方法的教学。 一、合理进行教学设计——突出正弦，类比其他

三角函数是数学核心概念，它不仅是三角函数内容的根本，几乎三角函数的性质都可以从这个概念导出，而且还是诸多概念的基础，如解三角形的正余弦定理、面积公式、向量的内积等，都涉及到三角函数的概念。核心概念的教学与一般概念的教学的就不同在于要舍得花时间在这些概念上，因为这些概念不仅是基础，而且就概念教学本身而言也蕴涵着丰富的数学思想方法内容，而一般概念可能只是为了好表达而给个名称，主要作为一个数学名词，不具有基础性。

任意角三角函数包括正弦、余弦和正切三类函数，这三类函数在统一环境下被定义，区别只是定义式或函数对应方式的不同，而这在形成任意角三角函数概念的学习中不是关键，关键是如何引导学生从过去的三角形定义自然过渡到坐标系定义，让学生从中感受到一些数学活动经验。陶老师正是根据三角函数内容的这一特点分析，对三类函数不采取齐头并进的教学安排方式，而是突出正弦函数概念的分析，采用先解剖“麻雀”而后合情类比定义的方式，将重心放在正弦函数的探讨上，这样的设计是科学而合理的。这样做，教师就可以将教学的着力点放在如何由锐角三角函数过渡到任意角三角函数以及如何引导到坐标系中由坐标表示三角函数上来。事实上，根据高一学生的认知水平，如果能以正弦为主线，将问题分析清楚，其他两种函数完全可以采用合情推理的方式平行迁移过去。所以，这种设计思路线条清晰，可行。

二、课堂教学片段描述及特色分析

1．合理铺垫，抓住了知识的固着点

根据学生已有知识结构情况，任意角三角函数学习属于概念同化学习，而同化的基础就是初中阶段学习的锐角三角函数，所以，锐角三角函数是任意角三角函数学习的固着点，概念同化的基础，进一步建构知识的生长点。考虑到要理解任意角三角函数首先要理解锐角三角函数．陶老师首先设计了一个唤起学生回忆的

问题1：同学们在初中学习过锐角三角函数，现在，我任意画了一个锐角α（用几何画板展示一个锐角α，如图1），要求出sinα，cosα，tanα的近似值，我们该怎么做？（愿意说的请举手）

图1 图2

活动过程描述：教师让学生动手，要求学生在练习本上任意画一个锐角α，借助三角板，

找出sinα的近似值．教师下去巡视、指导，并提示大家，求出或知道怎样求的而又愿意说的请举手，说说你是怎样求的，交流想法。学生利用手中的三角板在练习本上开始画角、画直角三角形，度量边长，计算比值．由于学生举手的不多，教师采用“坐标提名”的方式选人回答[这是坐标思想的实际应用，教师寓坐标思想于课堂提问上]，选择（4，0）讲，要求她大声对学生说出自己是怎样求的：先画一个锐角，??做垂线，??（师：慢慢说），量出值，做商。该生全部用自然语言将自己的画法和求法进行了详细而又略显冗余不甚条理地描述了出来。在听完这个同学的陈述之后，教师另让一个同学看能否用精练的语言表达？该生表达几句后自我感到不能用普通口语清晰地表达，就主动要求“我是否可以上去画个图说明？”（师：可以）[这个同学在表达不下去时能够主动要求借助图说，反映了学生灵活选择合适的数学语言进行表达的能力]。学生上黑板画出图2并借助它进行了清晰地说明。在边AC上任意画一点P，过P作边AB的垂线，垂足为M，度量MP，OM，AP的长，计算 sinMPAMMP

α=，cosα=，tanα=．师：她讲的好吗？生众：好！师：怎么不鼓掌呢？全班响APAPAM起了欢快的掌声。课堂进入到了一个和谐的气氛。

教师又结合几何画板课件变化点P的位置展示三个三角函数值的不变性，让学生直观认识到：（1）正弦函数与点的位置的选取无关；（2）正弦函数是三角形中线段长度的比值对边（）． 斜边

特色分析：培养学生应用数学的能力，其中之一应该包括运用数学语言表达事物或关系的能力，数学语言是丰富的，有自然语言、符号语言和图表语言等，选择何种语言表达本身就是学生语言能力的一种体现。教师不直接要求怎样去表达，而是让学生自己去设法将自己的想法表达清楚，表面上仅是把自主权给了学生，而实际上是训练了学生合理选择运用数学语言的能力，这个手法是非常高明的。

2．注重“考问”启发，暴露学生思维过程 通过上述问题的铺垫，教师进一步提出下面的

问题2：sinα是直角三角形中角α的对边长与斜边长的比值．根据相似三角形性质，这个比值与所画点的位置无关．那么“有人想过没有，不用求比值了，量下就可以了？”也就是能否把某条线段画成单位长，有些三角函数值不用计算就可以得到？

活动过程描述：学生积极思考，通过思考，一生举手说“取单位长”。师：你认为，哪条边画成单位长方便呢？生：斜边画成单位长，对边长的数值就是sinα，邻边长的数值就是cosα．[这样，让学生认识到，把斜边画成单位长，对边的长度值就可以作为sinα了．这为过渡到后续任意角三角函数的“单位圆定义法”做了进一步的铺垫准备．]

教学进行到这里，关于锐角三角函数的关系结构或对应法则已经清晰，进一步，从通常看待函数的三要素观点，教师自然提出

问题3：“锐角三角函数sinα作为一个函数，自变量以及与之对应的函数值分别是什么？”

活动过程描述：学生回答“角的度数，比值”。为了将学生从初中的锐角（角度制）引π

导到弧度制，也就是（0，）这个区间内的实数，教师提出一个过渡性问题：“上节课学的

2什么？” 生众：任意角，弧度制。教师借助多媒体展示“弧度值与实数一一对应??”说明都是实数。教师利用几何画板，在原来呈现的几何角的基础上加上坐标系，把角α的顶点定义为原点，一边与x轴的正半轴重合，转动另一条边，表现任意角．在教师的引导下，让学生认识到：锐角三角函数sinα作为一个函数，自变量是锐角．由于角的弧度值与实数可

π

以一一对应，所以，α是（0，）上的实数．而与之对应的函数值sinα是线段长度的比值，

2这个比值的取值范围是区间（0，1）上的实数．

特色分析：问题3对学生来说可能过于抽象，虽然学生一直是按三角函数来学习sinα的，但函数特征并没有多强调，在学生头脑里sinα的概念可能更大成分上是操作性的——它就是对边比斜边，而还没有形成为一个特殊的函数对象——自变量、因变量、对应关系、取值范围（定义域、值域）的复合体，而这步工作非做不可，否则，学生很难从一般角度看待任意角三角函数。教师通过精细的分析逾越了这个鸿沟。

思考：在这里，如果问题问成“分别取什么样的值？”可能会更好些。事实上，在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中，关于锐角三角函数也没有要求到抽象理解的程度，只是要求：“通过实例认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角。”以及“运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。”

3．注重数学内在本质的揭示，让学生参与概念的定义

通过上面环节的复习温故，学生对原有认知结构中的锐角三角函数有了清晰的回忆，而且还有了更深刻地理解，能从抽象函数的角度看待sinα了。教师开始进入新知识的教学环节，进一步提出

问题4：[多媒体展现]现在，角的范围扩大了，由锐角扩展到了0°~360°内的角，又扩展到了任意角，并且在直角坐标系中，使得角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合．在这样的环境中，你认为，对于任意角α，sinα怎样定义好呢？

活动过程描述：通过一阵启发和思考，一个学生想到了：“在我看来，不能再用角了，该用弧度制了”。教师不是这个意思，让同学们讨论，教师要求“再把我的要求看一看，这样的环境里，什么环境里？多了坐标系！”又耐心地把问题展示一遍。另一个学生发言说出了“用坐标定义”的思想。师：如何定义？该生难以纯粹地用语言表达，提出要老师把图再投影出来，利用图说明。教师投影出图，学生结合图说明了自己的定义方式（让学生选择表达的方式，而不是教师画好图，学生自己决定使用不同的语言表达你的思想，这有助于数学语言的运用）。教师反问：“为什么想到用坐标呢？”通过与这个学生的平等对话交流，让全体学生明白了用坐标定义的合理性，将学生的意思在几何画板上进一步具体说明，“他的意思??”，并进而给出三角函数的单位圆定义，并简单地在黑板的一角边（因为黑板正中一大块被投影屏幕遮住了）板书出：sinα=y,cosα=x,tanα=

y。 x特色分析：这个问题将学生由初中阶段的几何图形中的定义引导到坐标系环境下，打破了学生原有认知结构的平衡，让学生感受到了原来定义方式的局限性，以及学习新知识的必要性．事实上，角的范围扩大了，自然想到与之有关的概念的推广的必要性，这是数学科学内部发展的一个重要特征——数学外推。在外推的过程中，一个重要的问题是注意因袭，即外推的东西与原来的概念或原理的一致性问题。教师在这里很好地把握了这个问题。在这里，教师让学生探索合理的定义方式[与原来定义不矛盾、协调]，不是直接给出定义，而是把定义的主动权交给学生，引导学生参与定义过程，发展思维．

思考：如果先将锐角三角函数的定义移植到坐标系中来，把锐角三角函数做足，然后再推广到任意角，是否更好些。

4．灵活调整预设，注重生成利用

在这里，教师备课时其实是做了两种预设的：

可能一：在角α的终边上任意画一点P（x，y），|OP|＝r．

yxy

sinα＝，cosα＝，sinα＝．

rrx

可能二：取r为单位长，角α终边与单位圆的交点为P（x，y）。

y

sinα＝y，cosα＝x，tanα＝．

x

如果出现可能一，则再问都是这样的吗？我有另一种定义方法，你同意吗？哪种好呢？确认两种定义方法的一致性．

出现两种可能，则问：哪种好，好处在哪里？你赞成哪一种？

你为什么认为这样定义好？我这样定义行不行？那你的定义好在哪里呢？ 在上述单位圆定义方式产生后，教师进一步提出问题：“我任意取，用比值是否可以？”生众：“可以”。师：“那么，我想问你，两种定义喜欢哪一种？”生众：“第一种”。师：“为什么？”生众：“简单”。

特色分析：了解学生的情感，拉近与学生的距离。 5．通过应用深化概念理解，注重揭示学生思维过程

教师让学生计算一些特殊角的三角函数值，以加深对概念的理解，训练学生概念的运用能力。而每当一个问题计算出来后教师都问“你是怎么算的？”（找交点，定坐标），以揭示学生思维过程，发现学生在概念理解和应用中的问题。果不其然，其中，在计算cosπ时，教师提一个学生回答结果，说0.998。教师问你是怎样计算的？生说“用计算器算的”。这个学生是没有关注到新概念的学习，继续在原来的思维水平基础上认为三角函数都可以使用计算器进行计算，还是关注到了新概念的学习，而不知道练习是应用概念进行计算的？不论哪种情况，都应该引起我们的思考。

特色分析：核心概念的学习是离不开概念的例释（正例和反例）的，它们是一体的。通过“你是怎么算的”来暴露学生答案背后的思维分析过程是有效的，也是必要的。

反思：学生出现这类直接用计算器而不运用刚学习过的概念分析的问题，可能与教师在板书定义式时不是太正规、有点轻描淡写、也没有进一步从操作意义上解释这个概念有关，或许在给出定义后让学生分析一下这个概念，让学生将这个陈述性的概念转换为程序性的知识，可能对后继的概念应用有好的影响。另外，在听课过程中，我们发现许多学生在操作计算器进行计算。这引起我们的思考：学校数学教育，过分使用计算器会不会影响学生对概念的理解和应用？直接将概念的应用都变成计算器操作了？学生一听到计算，马上就想到使用计算器？同时，我们也反思，概念教学的理解和应用，不仅要建立清晰明确的概念模式，而且还要通过应用多次重复概念蕴涵的过程，使概念算法化、程序化，促进学生对概念进行过程和对象两方面的理解。如果学生动不动就用计算器计算，是否会降低学生的思维水平？这是新时代教育值得我们关注思考的问题。

6．开放小结，不拘泥形式 课堂小结以问题的形式进行：等会儿就下课了，你走出教室，有人问你：“过去你就知道了锐角三角函数，今天又学习了任意角的三角函数，它们的差别在哪里呢？你怎么回答他？”

通过这样的思考问题，让学生提炼本节内容的本质性的东西：任意角的三角函数是直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标，或者是坐标的比值；而锐角三角函数是三角形中边长的比值。掌握这个内容和不同就是本节课的核心收获．

适当使用开放式的、让学生回答问题式的小结在一些概念教学中会更有效。 三、教学分析与思考

1．教学设计框架分析

通过上面教学过程的简单描述可以看出，陶老师这节课主要教学设计思想及教学过程框架可用框图表示如下：

寻找新知固着把定义权给学形成新定义，加深理解，做 点，做好铺垫 生，做好同化 把握其内涵 好应用训练

平等对话、合作交流理念 问题驱动式教学模式

暴露分析思维过程，揭示现象背后问题

教学中，陶老师突出了“概念教学要铺垫，理解深化要训练”的概念教学的基本思想，将非常多的时间放在复习锐角三角函数概念为新概念教学铺垫上，同时这是新知识的生长点，在这个复习过程中，也让学生感受到了推广新概念的必要性，我们认为这是值得的。在概念引出中，陶老师让学生参与概念的定义，让学生探求在新环境下概念的合理定义，这样把概念定义的主动权给了学生，让学生在合理定义概念的过程中感受到了数学研究的方法。在整个教学过程中，陶老师既体现了问题驱动教学模式，又体现了平等对话、合作交流的教学理念，而这些又都建立在这样的一种教学思想之上，那就是数学教学是思维活动的教学，必须暴露学生的思维过程，只有暴露学生的思维过程，才能找到学生思维的障碍或潜在于现象背后的本质，才能了解学生的思维活动，把握学生的认知进程，引导教学活动的开展，有针对性地弥补或释疑，使学生学习得更有效。

2．教学方式的变革

本堂课彰显了“平等对话、思想交流、想法暴露”的教学理念，教师注重“考问”，让学生思考。关注了结果背后的思维活动，关注了解决问题背后的思维过程，正是这样，使教学“顺应了学生的认知规律”，自然流畅了起来。给了学生更多的机会去体现，在考问下，与学生平等对话、思想交流，更多的话语权给了学生，正如黄岩中学金克勤校长所说：“上课讲课累得满头大汗的老师不是一个优秀的老师！”“我们为什么不少讲5分钟呢？”我们应该把更多的时间给学生。陶老师作出了表率。

习惯上，让学生举手发言，如果有一个举手的，教师也会将他或她叫起来说，而陶老师一般不是这样，他让有了想法的同学举手，而并不是举手就让回答，放下，通过举手来获得学生思考的反馈信息，而等举过手的比较多了[教师判断]再挑学生发言，这与一般观摩课或公开课的教师作秀的讲究师生配合做法是不同的，那里如果有一个学生举手教师就像抓住了一根救命稻草似的去互动，而不能更多地了解整个班级的理解、掌握情况。

陶老师是几何画板的顶级专家，这堂课恰当合理地运用了信息技术。利用几何画板软件，通过动态改变角的终边位置从而改变角的终边上点的坐标大小的特点，使学生直观认识任意角的位置的改变引起其所对应的三角函数值也改变的特点，让学生体验了运动、变化、对应的思想，加深了对任意角三角函数概念的理解，有效增强了教学效果．

3．内容分析透彻

陶老师对内容分析得非常到位，从知识的来龙去脉，到其中蕴涵的思想方法，都清清楚楚，正如他所分析的那样：

（1）新知识的生长点在哪里——从哪里开始走

任意角三角函数是锐角三角函数这一“嫩芽”上生长出的“新枝”，因此，锐角三角函数是教学的出发点——从那里走起。

（2）新概念的关键点在哪里——到哪里去

新概念的关键是任意角三角函数与锐角三角函数的差别，一个是线段长度的比值，一个是坐标。认识它们之间的差别十分重要。学习过任意角三角函数的定义后，学生的知识结构发生改变，需要实现新的平衡，需要让学生多体验概念的关键点，加深对新概念的理解，把握其内涵。

（3）概念教学中蕴涵了哪些数学思想方法

合情类比迁移：任意角三角函数的概念可以与锐角三角函数的定义相类比。

解析化思想：把原先锐角三角形中的问题放置在直角坐标系中来研究，用坐标法（代数方法）来研究几何问题。建立坐标系，用坐标来表示任意角的三角函数。

对应的思想：角与实数的对应，函数与自变量的对应。 数形结合：运动，变化，等。 4．一点思考

（1）适度使用学具。计算cosπ，学生使用了计算器，一个方面反映了计算器的普遍使用，另一个方面是否过于依赖，这是否会导致学生数学思维的懒惰？数学教学忽视方法的明确揭示和提炼和概念的细致分析，学生可能难以对概念“算法化”，难以运用和深刻理解。

（2）尊重学生的认知过程，注意预设和生成的关系。要想尊重学生的认知过程，应该沿着学生的思维路线进行，而可能不是教师的预设路线。只有尊重学生的认知过程，才能让学生的思维火花迸发。尊重学生的认知过程有两个方面的含义，一是备课备学生，根据学生认知的特点想象到预设到学生可能出现的各种情况，做好应对的准备，一是课堂上顺着学生的思维路线走，充分暴露学生的思维过程。如果沿着学生的思维路线走向了成功，学生就会有成功感，能有效地激发学习的热情。

（3）提问问题要明确。有效教学中，提问有效性的一个重要标识是问题明确性，如果问题不明，学生思维就没有目标。目前我们的课堂显现的还是提问、思考、表达、交流，以教师为主导的提问和对话，这也许是学校教育中对话教学的主流形式，这要求提问问题明确。

（4）对学生基础的了解很重要。初中阶段锐角三角函数内容课程安排虽然是在学习函数概念之后，但是，对锐角三角函数的“函数”特征分析却很淡，对学生来说，还不能真正从函数的本质特征来认识三角函数。如果教师教学设计是建立在学生已经认识锐角三角函数的函数特征基础上，预设就会出问题。目前，义务教育阶段的数学教科书有多个版本，教师对初中教学内容、教学要求了解不够、对教材研究不足、对学生认知能力估计过高，将直接影响个人的教学设计和教学实施。高中教师应该通读义务教育阶段数学课程标准和至少其中一套教科书，使自己清楚学生在高中前已学习过什么、学习到什么程度，以便有的放矢地进行教学设计。

（5）数学教师专业知识发展需要提高相关的认识水平，这些认识包括对数学内容的本质的认识、对数学学习的本质的认识及对数学教学的本质的认识。陶老师他自己在这些方面认识是非常深刻的。如他认为，学习是一种体验，多让学生去体验（概念的内涵，数学思想、方法），建立起自己对数学的理解。让结论来源于学生自我体验后的概括，决不能把结论“塞”给学生。同时，数学学习是一种思维活动，要启发思维，关注结论背后的思维活动，多问“为什么？”“你凭什么这么说？”“你是怎么想的？”“还有别的方法吗？”等等，与学生共同研究、共同探讨。数学教学不仅关注结果，更关注结果发生的过程，光提出问题、解决问题还不够，增加一个“关注解决问题背后的思维过程”，你的课可能就有点“味道”了。数学教学是学生在学习数学！必须引导学生参与教学过程（概念发生的过程，认识知识、运用知识的过程），让学生“躬行”。作为教师新手，应该不断积累经验，提高这些方面的认识，将教学观念由“备好课，讲清楚，让学生理解透彻”进一步提升为“注重学生经历、体验、体会、感受、感悟”。

（2）新概念的关键点在哪里——到哪里去

新概念的关键是任意角三角函数与锐角三角函数的差别，一个是线段长度的比值，一个是坐标。认识它们之间的差别十分重要。学习过任意角三角函数的定义后，学生的知识结构发生改变，需要实现新的平衡，需要让学生多体验概念的关键点，加深对新概念的理解，把握其内涵。

（3）概念教学中蕴涵了哪些数学思想方法

合情类比迁移：任意角三角函数的概念可以与锐角三角函数的定义相类比。

解析化思想：把原先锐角三角形中的问题放置在直角坐标系中来研究，用坐标法（代数方法）来研究几何问题。建立坐标系，用坐标来表示任意角的三角函数。

对应的思想：角与实数的对应，函数与自变量的对应。 数形结合：运动，变化，等。 4．一点思考

（1）适度使用学具。计算cosπ，学生使用了计算器，一个方面反映了计算器的普遍使用，另一个方面是否过于依赖，这是否会导致学生数学思维的懒惰？数学教学忽视方法的明确揭示和提炼和概念的细致分析，学生可能难以对概念“算法化”，难以运用和深刻理解。

（2）尊重学生的认知过程，注意预设和生成的关系。要想尊重学生的认知过程，应该沿着学生的思维路线进行，而可能不是教师的预设路线。只有尊重学生的认知过程，才能让学生的思维火花迸发。尊重学生的认知过程有两个方面的含义，一是备课备学生，根据学生认知的特点想象到预设到学生可能出现的各种情况，做好应对的准备，一是课堂上顺着学生的思维路线走，充分暴露学生的思维过程。如果沿着学生的思维路线走向了成功，学生就会有成功感，能有效地激发学习的热情。

（3）提问问题要明确。有效教学中，提问有效性的一个重要标识是问题明确性，如果问题不明，学生思维就没有目标。目前我们的课堂显现的还是提问、思考、表达、交流，以教师为主导的提问和对话，这也许是学校教育中对话教学的主流形式，这要求提问问题明确。

（4）对学生基础的了解很重要。初中阶段锐角三角函数内容课程安排虽然是在学习函数概念之后，但是，对锐角三角函数的“函数”特征分析却很淡，对学生来说，还不能真正从函数的本质特征来认识三角函数。如果教师教学设计是建立在学生已经认识锐角三角函数的函数特征基础上，预设就会出问题。目前，义务教育阶段的数学教科书有多个版本，教师对初中教学内容、教学要求了解不够、对教材研究不足、对学生认知能力估计过高，将直接影响个人的教学设计和教学实施。高中教师应该通读义务教育阶段数学课程标准和至少其中一套教科书，使自己清楚学生在高中前已学习过什么、学习到什么程度，以便有的放矢地进行教学设计。

（5）数学教师专业知识发展需要提高相关的认识水平，这些认识包括对数学内容的本质的认识、对数学学习的本质的认识及对数学教学的本质的认识。陶老师他自己在这些方面认识是非常深刻的。如他认为，学习是一种体验，多让学生去体验（概念的内涵，数学思想、方法），建立起自己对数学的理解。让结论来源于学生自我体验后的概括，决不能把结论“塞”给学生。同时，数学学习是一种思维活动，要启发思维，关注结论背后的思维活动，多问“为什么？”“你凭什么这么说？”“你是怎么想的？”“还有别的方法吗？”等等，与学生共同研究、共同探讨。数学教学不仅关注结果，更关注结果发生的过程，光提出问题、解决问题还不够，增加一个“关注解决问题背后的思维过程”，你的课可能就有点“味道”了。数学教学是学生在学习数学！必须引导学生参与教学过程（概念发生的过程，认识知识、运用知识的过程），让学生“躬行”。作为教师新手，应该不断积累经验，提高这些方面的认识，将教学观念由“备好课，讲清楚，让学生理解透彻”进一步提升为“注重学生经历、体验、体会、感受、感悟”。

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