第一讲 函数的基本性质(4h)

函数复习

一、函数的概念与表示 1、映射

（1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。 注意点：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射 例1、已知映射f:A→B，在f的作用下，下列说法中不正确的是( )

A、A中每个元素必有象，但B中元素不一定有原象 B、B中元素可以有两个原象 C、A中的某个元素在B中可以没有象 D、A与B必须是非空的数集 例2、设X=｛x|0≤x≤2｝，Y=｛y|0≤y≤1｝，则从X到Y可建立映射的对应法则是 （A）y?21x （B）y?(x?2)2 （C）y?x2 （D）y?x?1 34例3、已知集合A＝{a，b}，B＝{1,2}，则下列对应不是从A到B的映射的是( )

2、函数

构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域 两个函数是同一个函数的条件：定义域和对应法则相同

例1、下列各对函数中，相同的是（ ） A、f(x)?lgx2,g(x)?2lgx B、f(x)?lgx?1,g(x)?lg(x?1)?lg(x?1) x?1C、 f(u)?1?u1?v D、f（x）=x，f(x)?,g(v)?1?u1?vx2

变式：设x取实数，则f(x)与g(x)表示同一个函数的是 （ ）

(x)2xA、f(x)?x，g(x)?x B、f(x)?，g(x)? 2x(x)2x2?9C、f(x)?1，g(x)?(x?1) D、f(x)?，g(x)?x?3

x?30例2、M?{x|0?x?2},N?{y|0?y?3}给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ ）

A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个

y 2 1 O y 2 1 1 2 x O y 3 2 1 2 1 1 2 x

O y 1 2 x O 1 2 x

1

二、函数的解析式与定义域 1、求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零；

（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零；

（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1； 例.函数y?log0.5(4x2?3x)的定义域为________________________

x?1的定义域为（ ） x?2变式1：函数f(x)?A．[1，2)∪(2，+∞） B．(1，+∞） C．[1，2) D．[1，+∞) 变式2：函数y?log(2x?1)3x?2的定义域是（ ） A、??2??1??2??1?,1???1,??? B、?,1???1,??? C、?,??? D、?,??? ?3??2??3??2?(x?1)0x?x的定义域为_____________________

变式3：函数f(x)?2、求函数定义域的两个难点问题

例3：

（1） 已知f(x)的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。

（2） 已知f(2x－1)的定义域是[-1,3],求f(x)的定义域。

变式：（1）已知函数y?f(x)的定义域为(0,1)，则y?f(x2)的定义域 ; （2）已知函数y?f(2x?1)的定义域为(0,1)，则y?f(x)的定义域 ； （3）已知函数y?f(x?1)的定义域为[?2,3]，则y?f(2x2?2)的定义域 ； 例4：设f(x)?lg

变式练习：f(2?x)?

2

2?xx2，则f()?f()的定义域为__________ 2?x2x4?x2，求f(x)的定义域。

三、函数的值域

1、基本函数的值域问题：

名称 一次函数 解析式 值域 y?kx?b R 二次函数 y?ax2?bx?c 4ac?b2a?0时，[,??) 4a4ac?b2a?0时，(??,] 4a反比例函数 指数函数 对数函数 y?k x{y|y?R，且y?0} {y|y?0} R y?ax y?logax y?sinx 三角函数 {y|?1?y?1} R y?cosx y?tanx

2、求函数值域的方法

①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数； ②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；

③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且x∈R的分式； ④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）； ⑤单调性法：利用函数的单调性求值域； ⑥图象法：二次函数必画草图求其值域；

⑦几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数 例：

1．（直接法）y?

3．（换元法）y??x?2x?1 4. （Δ法） y?

5. (分离常数法) ①y?

1 2．f(x)?2?24?2x?x2 2x?2x?33x

x2?4x3x?1(?2?x?4) ②y?x?12x?1 3

6. (单调性)y?x?

3(x?[?1,3]) 2x7．(图象法)y?3?2x?x2(?1?x?2)

8. (几何意义)y?x?2?x?1 变式练习

1、求下列函数的值域

（1）y?x?1 （2）y?

2、求下列函数的值域

（1）y?

（3）y?x?1?2x

4、 求下列函数的值域

（1）y?12 （3）y??x?2x?3x

1 （2）y??x2?2x?3 2?x?2x?32x?12x?1 （2）y?（x?0） x?1x?1

四．函数的奇偶性

1．定义: 设y=f(x)，x∈A，如果对于任意x∈A，都有f(?x)?f(x)，则称y=f(x)为偶函数。

如果对于任意x∈A，都有f(?x)??f(x)，则称y=f(x)为奇函数。

2.性质：

①y=f(x)是偶函数?y=f(x)的图象关于y轴对称, y=f(x)是奇函数?y=f(x)的图象关于原点对称, ②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0

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③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D1 ，D2，D1∩D2要关于原点对称] 3．奇偶性的判断

①看定义域是否关于原点对称 ②看f(x)与f(-x)的关系

4．．已知f(x)、g(x)分别是定义在区间M、N(M?N??)上的奇（偶）函数，分别根据条件判断下列函

数的奇偶性．

f(x) g(x) ?f(x) 奇 奇 偶 偶 奇 奇 偶 奇 偶 偶

例1、判断下列函数的单调性

1 f(x)?g(x) f(x)?g(x) f(x)?g(x) f(x)奇 偶 偶 偶

奇 奇 奇 偶 2???x?x(x?0),（1）f(x)?x?x?1?1； （2）f(x)??2??x?x(x?0).

2

例2、 已知函数f(x)是定义在(??,??)上的偶函数. 当x?(??,0)时，f(x)?x?x4，则当x?(0,??)时，f(x)? .

变式：已知f(x)是R上的奇函数，且当x?(0,??)时，f(x)?x(1?3x)， 则f(x)的解析式为 ．

?2x?b例3、 已知定义域为R的函数f(x)?x?1是奇函数。

2?a（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）若对任意的t?R，不等式f(t?2t)?f(2t?k)?0恒成立，求k的取值范围；

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例4 、已知f(x)在（－1，1）上有定义，且满足x,y?(?1,1)有f(x)?f(y)?f(x?y), 1?xy证明：f(x)在（－1，1）上为奇函数；

例5 、若奇函数f(x)(x?R)满足f(2)?1，f(x?2)?f(x)?f(2)，则f(5)?_______

【练习】

1、如果奇函数f(x)在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间??7,?3?上是（ ） A．增函数且最小值是?5 B．增函数且最大值是?5 C．减函数且最大值是?5 D．减函数且最小值是?5

2、若偶函数f(x)在???,?1?上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）

3233C f(2)?f(?1)?f(?) D f(2)?f(?)?f(?1)

22A f(?)?f(?1)?f(2) B f(?1)?f(?)?f(2)

323、若函数式xff(x)在(??,0)?(0,??)上为奇函数,且在(0,??)上是单调增函数, f(?2)?0,则不等

(x)?0的解集为______

4、已知函数f(x)的定义域为??7,7?，且同时满足下列条件：

（1）f(x)是奇函数；（2）f(x)在定义域上单调递减；（3）f(1?a)?f(2a?5)?0, 求a的取值范围.

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?2x?b5、已知定义域为R的函数f(x)?x?1是奇函数.

2?a（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）若对任意的t?R，不等式f(t2?2t)?f(2t2?k)?0恒成立，求k的取值范围；

五、函数的单调性 1、函数单调性的定义

定义：一般的，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于此区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1?x2时满足：

⑴ f(x1)?f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是增函数；?若??f?x1??f?x2???0，则为增函数?

x1?x2??f?x1??f?x2?? ⑵ f(x1)?f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是减函数．?若?0，则为减函数?

x?x12??2、判断函数单调性的常用方法：

1．定义法：

⑴ 取值； ⑵ 作差、变形； ⑶ 判断： ⑷ 定论：

3、设y?f?g?x??是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则y?f?g?x??在M上是减函数；若

f(x)与g(x)的单调性相同，则y?f?g?x??在M上是增函数。 例1、判断函数f(x)??x(x?R)的单调性。

例2、函数f(x)对任意的m,n?R，都有f(m?n)?f(m)?f(n)?1，并且当x?0时，f(x)?1， ⑴求证：f(x)在R上是增函数； ⑵若f(3)?4，解不等式f(a?a?5)?2

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例3、函数y?log0.1(6?x?2x2)的单调增区间是________ 例4、已知f(x)???(3a?1)x?4a,x?1是(??,??)上的减函数，那么a的取值范围是 （ ）

logx,x?1a?131173（D）[,1)

（A）(0,1) （B）(0,) （C）[,)

17变式：若函数f(x)?x2?2(a?1)x?2在区间(??,4)上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）

(A)a??3

(B)a??3 (C)a?5 (D)a?3

例5、函数f(x)??x2?2(a?1)x?2在区间(??,4)上是增函数，求a的范围

【练习】

1．已知偶函数f(x)在区间[0,??)上单调增加，则f(2x?1)?f(13)的x取值范围是

A．(1,2) Ｂ．[1,2) Ｃ．(1,2) Ｄ．[1,2 33332323)

2、已知函数f(x)???3x?1,x?0,x?0.若f?x0??3，则x0的取值范围是高考资源网

?log2x,A.x0?8. B.x0?0或x0?8. C.0?x0?8. D.x0?0或0?x0?8.

3、定义在R上的偶函数f(x)满足f(x?1)??f(x)，且在[-1，0]上单调递增，设a?f(3)，c?f(2)，则a,b,c大小关系是

A．a?b?c B．a?c?b C．b?c?a D．c?b?a

4、函数f(x)?log21(6?x?x)的单调递增区间是

3A.［-

12，+∞) B.［-12，2) C.(-∞，-112) D.(-3，-2) 5、已知函数f(x)?log22(x?ax?3a)在区间[2，+?]上是增函数，则a的取值范围是 A.（??,4] B.（??,2] C.（?4,4] D.（?4,2]

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b?f(2)，

6.若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数，且对一切x＞0满足f()=f(x)-f(y),且f(6)=1, 解不等式

xyf(x+3)-f(

1)＜2. x

六、单调性奇偶性综合

1．f(x)为奇函数，当x?0时，f(x)?x(1?x)则x?0时，f(x)?

2．f(x)?x5?px3?qx?8满足f(?2)?10，求f(2)

3． 函数f(x)在(??,??)上满足（1）f(x?y)?f(x)?f(y)（2）f(x)在定义域上单调递减（3）

f(1?a)?f(1?a2)?0

求：（1）f(x)为奇函数（2）a的取值范围

4．已知f(x)是定义在（-1，1）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，若f(a?2)?f(4?a2)?0，试确定a的取值范围

25、已知奇函数f(x)在R上的减函数，对任意的实数x，恒有f(kx)?f(?x?x?2)?0成立，求k的取

值范围。

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6、函数f(x)?ax?b12f()?是定义在上的奇函数，且 (?1,1)2251?x（1）确定f(x)的解析式；（2）用定义证明f(x)在(?1,1)上是增函数；（3）解不等式f(t?1)?f(t)?0

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