第三章模糊控制题

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模糊控制算法推荐度：
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第2章模糊控制

3.1 模糊控制的基本思想

研究和考虑人的控制行为特点，对于无法构造数学模型的对象让计算机模拟人的思维方式，进行控制决策。

将人的控制行为，总结成一系列条件语句，运用微机的程序来实现这些控制规则。在描述控制规则的条件语句中的一些词，如“较大”、“稍小”、“偏高”等都具有一定的模糊性，因此用模糊集合来描述这些模糊条件语句，即组成了所谓的模糊控制器。 3.2 模糊集合的定义

模糊集合的定义：给定论域U，U到[0,1]闭区间的任一映射μA

μA:U?[0,1]

都确定U的一个模糊集合A, μA称为模糊集合且的隶属函数。

μA(x)的取值范围为闭区间[0,1]，μA(x)接近1，表示x属于A的程度高；μA(x)接近0，表示x

属于A的程度低。

3.3 常用的3种模糊集合的表示方法， (1)Zadeh表示法

用论域中的元素xi与其隶属度μA(xi)按下式表示A，则

在Zadeh表示法中，隶属度为零的项可不写入。

(2)序偶表示法

用论域中的元素xi与其隶属度μA(xi)的构成序偶来表示且，则

在序偶表示法中，隶属度为零的项可省略。 (3)向量表示法

用论域中元素xi的隶属度μA(xi)构成向量来表示，则

在向量表示法中，隶属度为零的项不能省略。

3.4凸模糊集的定义

若A是以实数R为论域的模糊集合，其隶属函数为μA(x)，如果对任意实数a有

则称A为凸模糊集。

凸模糊集实质上就是其隶属函数具有单峰值特性。

?x?b，都

第2章模糊控制

3．5 常见的4种隶属函数 (1)正态型

正态型是最主要也是最常见的一种分布，表示为

其分布曲线如图2-4所示。

图2-4 正态型分布曲线

(2)三角型

?1?b?a(x?a),a?x?b??1?(x)??(x?c),b?x?c?b?c?0,其它??

(3) 降半梯形

?1，x?a??b?x?(x)??,a?x?bb?a???0,b?x

（4）升半梯形

第2章模糊控制

?0，0?x?a??x?a?(x)??,a?x?b?b?a??1,b?x

3.6 己知两个模糊向量分别如下所示，试求它们的笛卡儿乘积

x=[0.9 0.5 0.2]，y=[0.2 0.3 0.6 1] 解：由定义，有

?0.9???Tx?y?x?y=0.5ο?0.2 0.3 0.6 1.0?

????0.2???0.9?0.2 0.9?0.3 0.9?0.6 0.9?1.0???= 0.5?0.2 0.5?0.3 0.5?0.6 0.5?1.0

????0.2?0.2 0.2?0.3 0.2?0.6 0.2?1.0???0.2 0.3 0.6 0.9???= 0.2 0.3 0.5 0.5

????0.2 0.2 0.2 0.2??3．7 模糊向量的内积与外积

设有1×n维模糊向量x和1×n维模糊向量y，则定义

为模糊向量x和y的内积。与内积的对偶运算称为外积。

第2章模糊控制

3.7 模糊逻辑推理

1．简单模糊条件语句

对于上面介绍的广义肯定式推理，结论B?是根据模糊集合A?和模糊蕴含关系A→B的合成推出来的，因此可得如下的模糊推理关系

B??A??(A?B)?A??R

式中，R为模糊蕴含关系，“?”是合成运算符。它们可采用以上所列举的任何一种运算方法。

例2-7 若人工调节炉温，有如下的经验规则：“如果炉温低，则应施加高电压”，当炉温为“非常低”时，应施加怎样的电压。

解：设x和y分别表示模糊语言变量“炉温”和“电压”，并设x和y的论域为

X=Y={1,2,3,4,5} A表示炉温低的模糊集合

B表示高电压的模糊集合

从而模糊规则可表述为：“如果x是A，则y是B”。设A?为非常A，则上述问题变为 “如果x是A?，则B?应是什么”。为了便于计算，将模糊集合A和B与成向量形式

A=[1 0.8 0.6 0.4 0.2]，B=[0.2 0.4 0.6 0.8 1]

由于该例中x和y的论域均是离散的，因而模糊蕴含关系Kc可用如下模糊矩阵来表示

当A? =“炉温非常低”= A2 = [1 0.64 0.36 0.16 0.04]时

第2章模糊控制

其中B?中的每项元素是根据模糊关系矩阵的合成规则求出的，如第1行第1列的元素为

这时，推论结果B?仍为“高电压”。

2．多重模糊条件语句

1)使用“and”连接的模糊条件语句在模糊逻辑控制中，常常使用如下的广义肯定式推理结构

模糊推理关系

B??A??(A?B)?A??R

与前面不同的是，这里的模糊条件的输入和前提部分是将模糊命题用“and”连接起来的。一般情况下可以有多个“and”将多个模糊命题连接在一起。模糊前提“x是A，则y是B”可以看成是直积空间X×Y上的模糊集合．并记为A×B，其隶属函数为

或者时的模糊蕴含关系可记为A×B→C，其具体运算方法一般采用以下关系

结论z是C?，可根据如下的模糊推理关系得到

式中， R为模糊蕴含关系；“?”是合成运算符。它们可采用以上列举的任何一种运算方法。

2)使用“also”连接的模糊条件语句

在模糊逻辑控制中，也常常给出如下一系列的模糊控制规则

这些规则之间无先后次序之分。连接这些子规则的连接词用“also”表示。这就要求对于“also”的运算具有能够任意交换和任意结合的性质。而求并和求交运算均能满足这样的要求。根据Mizumoto的研究结果，当模糊蕴含运算采用Rc或Rp，“also”采用求并运算时，可得最好的控制结果。

假设第i条规则“如果x是Ai and y是Bi，则z是Ci”的模糊蕴含关系Ri定义为

第2章模糊控制

(2—3—26)

其中,函数fi(x,y)是fi：X×Y→Z的函数，为简单起见，一般常取为一次函数 (2—3—27)

最终的推理结论z0类同于简化推理法，即为

其中hi的定义同(2—3—23)式。 (5)加权函数型推理法

作为模糊加权型推理法的一般形式，将上述的函数推理法中的函数fi(x,y)附加以权函数ωi(x,y)，则变为如下形式的加权函数型推理法：

(2—3—27)

推理结论z0可由下式计算

(2—3—28)

(2—3—29)

一般情况，权重函数ωi(x,y)是ωi：X×Y→[0,∞)的非负函数，当ωi(x,y)?1时就还原为函数型推理法。

(6)选择最大隶属度法

选取模糊子集中隶属度最大的元素作为控制量，例如模糊子集为C，所选择的隶属度最大的元素u?应满足 I

? 若u?仅为一个，则选择该值作为控制量。若u?有多个，且u1?≤u2?≤?≤up，则取它们的平均值u?，或取[u1?，up]的中点(u1?+up)/2作为控制量。

第2章模糊控制

（7）取中位数法

选取求出模糊子集的隶属函数曲线和横坐标所围成区域的面积平分为两部分的数，作为非模糊化的结果。

6．模糊控制查询表及算法流程图

图2-23 模糊控制算法流程图

7．试由香农(Shannon)采样定理推导采样周期的上限为

T??ωmax

第2章模糊控制

并说明ωmax的含义。

①

Fuzzy条件推理

在Fuzzy自动控制中，应用较多的是Fuzzy条件推理

Fuzzy条件语句的一般表达形式为：“若??，则??，否则??”

?~~~~~~?~~其逻辑结构为：A?B,A?C或(A?B)?(A?C)

这种逻辑结构可用图来表示，其中A是论域x的Fuzzy子集，B、C是论域Y

~~~的Fuzzy子集。

yCBA~A~x?~

~图中的阴影部分表示(A?B)?(A?C) 这也是一种Fuzzy关系R，它是X?Y的子集

~?R?(A?B)?(A?C)

~~~~~即标R为Fuzzy关系矩阵。矩阵中各元素可按下式求得：

(x,y)??A(x)??B(y)??(1??A(x))??C(y)???~~(A?B)?(A?C)~??~~`?~?? ??R?x,y?

~这样，当输入为A1时，就可求出输出B1为

~~?B1=A1?R=A1?[(A?B)?(A?C]

e.g.1已知Fuzzy条件语句为“若x[轻]，则y[重]，否则y[不很重]”

~~~~~~~~第2章模糊控制

如今x[很轻]，试问y将如何？

其中论域 X=[a1,a2,a3,a4,a5]， Y=[b1,b2,b3,b4,b5]

A[轻]?~1a10.2b1?0.8a20.4b2?0.6a30.6b3?0.4a40.8b4?0.2a51b5

B[重]?~????

C[不很重]?~0.96b11a1?0.84b20.64a2?0.64b30.36a3?0.36b40.16a4??0b5

A1?A[很轻]?~~????0.04a5?A[轻]

~2解：①先求Fuzzy矩阵R=(A?B)?(A?C)

~~~~~?R~0.81? ? 0 .2 0.40.6?(1???(x))??(y)?(x,y)?0?.2?0(x)??(y)?.40.60.80.8 ABAC???~~~????R??0.40.40.60.60.6? ~??????R(a1,?b)??(a)??(b)?(1??(a))??(b) 0.6轻00.41?0.4??1.611重轻不很重??01.6?~~~??~?? ? 0 .8=[100.2]0[(1-1) ?.8??0.96]=0.2?0=0.2 .640.360.02????

?R(a5,b5)???轻(a5)??重(b5)???(1??轻(a5))??不很重(b5)?

???~~~???~??=[0.2?1]?[(1-0.2) ?0]=0.2?0=0.2

②根据Fuzzy关系的合成，求输出B1

~~~B1=A1?R=[1 0.64 0.36 0.16 0.04 ]

~?0.2?0.2???0.4??0.6??0.80.40.40.40.60.80.60.60.60.60.640.80.80.60.40.361??0.8?0.6? ?0.4?0.2?? =[0.36 0.4 0.6 0.8 1]

第2章模糊控制

这表示B1=

~0.36b1?0.4b2?0.6b3?0.8b4?1b5

用Fuzzy语言表示时，即是“y近似于[重]”。作业3

e.g.2 Fuzzy条件语句为“若x轻，则y重，否则y不很重”。试问：①若x是[重]时，y如何？ ②若x是[很很重]时，y又如何？解：与上例同理，利用上例所得的Fuzzy关系矩阵R可以推出：

~1）若x是重时，即 A'[重]?~0.2a1?0.4a2?0.6a3?0.8a4?1a5时

则 B1=A'~~?R=[0.8 0.8 0.64 0.6 0.6]