线性代数第五版答案(全)

第一章 行列式

1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:

(1)3

81141102---;=2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1)

=-24+8+16-4=-4.

(2)b

a c a c

b

c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2

22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2=(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y

x y x x y x y y x y x +++=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3=-2(x 3+y 3).

2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数

(1)1 2 3 4; 解 逆序数为0

(2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32.

(3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.

(4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3.

(5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n );

解 逆序数为2

)1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个)

7 2, 7 4, 7 6(3个) ? ? ? ? ? ?

(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ? ? ?, (2n -1)(2n -2) (n -1个)

(6)1 3 ? ? ? (2n -1) (2n ) (2n -2) ? ? ? 2.

解 逆序数为n (n -1) :

3 2(1个) 5 2, 5

4 (2个)

? ? ? ? ? ?

(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ? ? ?, (2n -1)(2n -2) (n -1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个)

? ? ? ? ? ?

(2n )2, (2n )4, (2n )6, ? ? ?, (2n )(2n -2) (n -1个)

3. 写出四阶行列式中含有因子a 11a 23的项.

解 含因子a 11a 23的项的一般形式为(-1)t a 11a 23a 3r a 4s ,

其中rs 是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42. 所以含因子a 11a 23的项分别是

(-1)t a 11a 23a 32a 44=(-1)1a 11a 23a 32a 44=-a 11a 23a 32a 44, (-1)t a 11a 23a 34a 42=(-1)2a 11a 23a 34a 42=a 11a 23a 34a 42. 4. 计算下列各行列式:

(1)711002510202142140

10014231020211021473234-----======c c c c 34)1(143102211014+-?---= 143102211014--=01417172001099323211=-++======c c c c .

(2)26052321121

314

1

2-2605032122130412

24--=====c c 0

41203212

2

130

41224--

=====r r

00

00003212

2130

41214=--=====r r .

(3)ef cf bf de cd bd ae

ac

ab

---e c b e c b e

c

b

adf ---=abcdef adfbce 41111111

11=---=.

(4)d c b a 1001100110

01---d

c b

a

ab ar r 10011001101021---

++===== (5) d c a ab 101101)1)(1(12--+--=+01011123-+-++=====cd c ad

a a

b d

c c

cd ad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 5. 证明:

(1)111222

2

b b a a b ab a +=(a -b )3

;证明 1112222b b a a b ab a +0

0122222221213a b a b a a b a ab a c c c c ------=====

a b a b a b a ab 22)1(2

2

2

13-----=+21))((a b a a b a b +--==(a -b )3 .

(2)y

x z x z y z y x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;证明 bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++ bz ay by ax x by ax bx az z bx az bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++= bz ay y x by ax x z bx az z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22 z

y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+= y x z x z y z y x b y x z x z y z y x a 33+= y

x z x z y z y x b a )(33+=. (3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222

222222222222

=++++++++++++d d d d c c c c

b b b b a a a a ;证明 2

222222222222222

)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c

b b b b a a a a (

c 4-c 3, c 3-c 2, c 2-c 1得) 5232125232125232125232122

2

22

++++++++++++=d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2得)022122212221222122222=++++=d d c c b b a a . (4)44442222

1111d c b a d c b a d c b a =(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d );

证明 44442222

1111d c b a d c b a d c b a )

()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b a d a c a b ---------= )

()()(111))()((222a d d a c c a b b d c b a d a c a b +++---= )

)(())((00111))()((a b d b d d a b c b c c b d b c a d a c a b ++-++------= )()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++-----=

=(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ).

(5)1

221 1 000 00 1000 01a x a a a a x x x n n n +???-?????????????????????-???--- =x n +a 1x n -1+ ? ? ? +a n -1x +a n . 证明 用数学归纳法证明.

当n =2时, 2121

221a x a x a x a x D ++=+-=, 命题成立. 假设对于(n -1)阶行列式命题成立, 即 D n -1=x n -1+a 1 x n -2+ ? ? ? +a n -2x +a n -1,

则D n 按第一列展开, 有

1 11 00 100 01

)1(11-?????????????????????-???--+=+-x x a xD D n n n n =xD n -1+a n =x n +a 1x n -1+ ? ? ? +a n -1x +a n . 因此, 对于n 阶行列式命题成立.

6. 设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90?、或依副对角线翻转, 依次得

n

nn n a a a a D 11111 ???????????????=, 11112 n nn n a a a a D ???????????????= , 11113 a a a a D n n nn ???????????????=, 证明D D D n n 2)

1(21)1(--==, D 3=D .

证明 因为D =det(a ij ), 所以 n nn n n n n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111 )1( ?

?????????????????-=???????????????=-???=?????????????????????--=-- )1()1(331122111121n nn n n n n n a a a a a a a a D D n n n n 2)

1()1()2( 21)1()1(--+-+???++-=-=.

同理可证 nn

n n n n a a a a D ???????????????-=- )1(11112)

1(2D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-=. D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)

1(3)1()1()

1()1(. 7. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式): (1)a a D n 1 1

???=

, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0;

解a

a a a a D n 0 0010 000 00 0000 00

10 00?????????????????????????????????=(按第n 行展开) )

1()1(10 0

00 00 0000 0010 000)1(-?-+??????????????????????????????-=n n n a a a )1()1(2 )1(-?-????-+n n n a a a n n n n n a a a +???-?-=--+)

2)(2(1 )1()1(=a n -a n -2=a n -2(a 2-1).

(2)x

a a a x a a a x

D n ?????????????????????= ;解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得a x x a a x x a a x x a a a a x D n --??????????????????--???--???=00

0 0 00 0 , 再将各列都加到第一列上, 得

a x a x a x a a a a n x D n -??????????????????-???-???-+=0000 0 000 00 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1.

(3)1

11 1

)( )1()( )1(11

11???-?????????-??????-???--???-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n n n

n n 解 根据第6题结果, 有 n n

n n n n n n n n a a a n a a a n a a a D )( )1()

( )1( 11 11)1(1112)1(1-???--?????????-??????-???-???-=---++ 此行列式为范德蒙德行列式. ∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()

1(j i n n n n j a i a D ∏≥>≥++---=112)1()]([)1(j i n n n j i ∏≥>≥++???+-++-?-?-=1121 )1(2)1()()1()

1(j i n n n n n j i ∏≥>≥+-=11)(j i n j i .

(4)n n n n n d c d c b a b a D ??????

????

??= 11112; 解 n n n n n d c d c b a b a D ??????????

??= 11112(按第1行展开)

n

n n n n n

d d c d c b a b a a 000

011

111111

----?

?????

??????=

0)

1(111

1111

1

1

2c d c d c b a b a b n

n n n n n

n ----+?

?????

??????-+. 再按最后一行展开得递推公式

D 2n =a n d n D 2n -2-b n c n D 2n -2, 即D 2n =(a n d n -b n c n )D 2n -2. 于是 ∏=-=n

i i i i i n D c b d a D 222)(. 而 1

111111

12c b d a d c b a D -==

, 所以 ∏=-=n i i i i i n c b d a D 1

2)(.

(5) D =det(a ij ), 其中a ij =|i -j |; 解 a ij =|i -j |, 0

4

321

4 0123

3 10122 2101

1 3210)det(???----??????????????????-???-???-???-???==n n n n n n n n a D ij n 0 4321 1 11111 11111 1111

1 1111 2132???----????????????????

?????----???---???--???--???-=====n n n n r r r r 1

5

242321

0 22210 02210

0021

0 0001 1213-?

??----????????????????

?????----???---???--???-+???+=====n n n n n c c c c =(-1)n -1(n -1)2n -2.

(6)n

n a a a D +??????????????????+???+=1 1

1 1

111

1

12

1, 其中a 1a 2 ? ? ? a n ≠0.

解 n n a a a D +??????????????????+???+=1 11

1 11

1 1121

n

n n n a a a a a a a a a c c c c +-???-??????????????????????

?????-???-???-???-=====--10

0001 000 100 0100 0100 00

113322

1

2

132 1

1

1

1

3

1

2

1

121110

000

11 000 00 110

00 011

00 001 ------+-???-????

???????????????????????-???-??????=n

n n a a a a a a a a

∑=------+?????????????????????????

??????????????=n i i n n a a a a a a a a 1

1

11

131******** 0001

0 000 00 100

00 01000 001 )11)((121∑=+=n

i i

n a a a a .

8. 用克莱姆法则解下列方程组: (1)?????=+++-=----=+-+=+++0112325322

4254

321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ; 解 因为

14211

2135132

41211

111-=----=D ,

14211210513241221

1151-=------=D ,

284112035122

41211

1512-=-----=D ,

42611

1

3

5232

42211

5113-=----=D ,

1420

2

1

3

2132

21215

1114=-----=D , 所以111==D D x ,222==D D x ,333==D D x , 14

4-==D

D x .

(2)??

????

?=+=++=++=++=+15065065065165545434323

212

1x x x x x x x x x x x x x .解 因为 6655

1000

6510006510

065100065==D ,

1507510016510006510

0650000611==D ,

11455

10106510006500

0601000152-==D ,

703511

6500006010

0051001653==D ,

39551

6010000510

00651010654-==D , 2121

1

0005100065100

06511006

55==D , 所以

66515071=x , 66511452-=x , 6657033=x , 6653954-=x , 665

2124=x . 9. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组?????=++=++=++0

200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 系数行列式为

μλμμμλ-==1

211111D . 令D =0, 得μ=0或λ=1. 于是, 当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.

10. 问λ取何值时, 齐次线性方程组?????=-++=+-+=+--0

)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？解 系数行列式为

λ

λλλλλλ--+--=----=101112431111132421D =(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ)=(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3.

令D =0, 得λ=0, λ=2或λ=3.

于是, 当λ=0, λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解.

第二章 矩阵及其运算

1. 已知线性变换:

?????++=++=++=3

213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.

解 由已知:

???? ?????? ?

?=???? ??221321323513122y y y x x x 故???? ?????? ??=???? ??-3211221323513122x x x y y y ???? ?????? ??----=321423736947y y y , ?????-+=-+=+--=3

21332123211423736947x x x y x x x y x x x y . 2. 已知两个线性变换

?????++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ?????+-=+=+-=3

23312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解 由已知 ???? ?????? ?

?-=???? ??221321514232102y y y x x x ???? ?????? ??--???? ??-=321310102013514232102z z z ???? ?????? ??----=321161109412316z z z , 所以有?????+--=+-=++-=3

213321232111610941236z z z x z z z x z z z x . 3. 设???? ??--=111111111A , ???

? ??--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B . 解 ???

? ??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB ???? ??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503,

???

? ??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T . 4. 计算下列乘积:

(1)???? ?????? ??-127075321134???? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374???

? ??=49635. (2)???

? ??123)321(=(1?3+2?2+3?1)=(10). (3))21(312-???? ?????? ???-??-??-?=23)1(321)1(122)1(2???

? ??---=632142. (4)????

? ??---??? ??-20413121013143110412??? ??---=6520876. (5)???

? ?????? ??321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x =(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)???

? ??321x x x 322331132112233322

222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=. 5. 设??? ??=3121A , ??

? ??=2101B , 问: (1)AB =BA 吗?解 AB ≠BA . 因为??? ??=6443AB , ??? ??=8321BA , 所以AB ≠BA .

(2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗?解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2.

因为??? ??=+5222B A ,??? ????? ??=+52225222)(2B A ??

? ??=2914148, 但??? ??+??? ??+??? ??=++43011288611483222B AB A ??

? ??=27151610, 所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2.

(3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗?

解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.因为??? ?

?=+5222B A , ??? ??=-1020B A , ??

? ??=??? ????? ??=-+906010205222))((B A B A , 而 ??? ?

?=??? ??-??? ??=-718243011148322B A , 故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.

6. 举反列说明下列命题是错误的:

(1)若A 2=0, 则A =0;

解 取??

? ??=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;

解 取??

? ??=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .

解 取

??? ??=0001A , ??? ??-=1111X , ??? ??=1011Y ,

则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .

7. 设???

??=101λA , 求A 2, A 3

, ? ? ?, A k .

解 ???

??=???

????? ??=12011011012λλλA ,

???

??=???

????? ??==1301101120123λλλA A A ,

? ? ? ? ? ?,

???

??=101λk A k .

8. 设???

?

??=λλλ001001A , 求A k .

解 首先观察

???? ?????? ??=λλλλλλ

0010010010012A ???

?

??=222002012λλλλλ,

??

?? ??=?=323

23230030

33λλλλλλA A A , ???

?

??=?=43423434004064λλλλλλA A A ,

???? ??=?=545345450050105λλλλλλA A A , ? ? ? ? ? ?,

??=k A k

k k k k k k k k k λλλλ

λλ0002)1(1

21----????? . 用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，

???? ?

??????

? ??-=?=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A

?????

? ??+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知: ?????? ??-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. 9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵.

证明 因为A T =A , 所以(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB , 从而B T AB 是对称矩阵.

10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .

证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以

(AB )T =(BA )T =A T B T =AB , 即AB 是对称矩阵. 必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB )T =AB , 所以AB =(AB )T =B T A T =BA . 11. 求下列矩阵的逆矩阵:

(1)??? ??5221;

解 ??

? ??=5221A . |A |=1, 故A -1存在. 因为 ??? ?

?--=??? ??=1225*22122111A A A A A , 故 *||11A A A =-??? ??--=1225. (2)??

? ??-θθθθcos sin sin cos ; 解 ??

? ??-=θθθθc o s s i n s i n c o s A . |A |=1≠0, 故A -1存在. 因为 ??? ?

?-=??? ??=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A 所以*||11A A A =-??? ??-=θθθθcos sin sin cos . (3)???? ??---145243121; 解 ???

? ??---=145243121A . |A |=2≠0, 故A -1存在. 因为 ???? ??-----=???? ??=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A 所以*||11A A A =-????

? ??-----=1716213213012. (4)????? ??n a a a 0021(a 1a 2? ? ?a n ≠0) . 解????

? ??=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知???????

? ??=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:

(1)??? ??-=??? ??12643152X ;

解 ??? ??-??? ??=-126431521X ??? ??-??? ??--=12642153??

? ??-=80232. (2)??? ??-=???

? ??--234311*********X ; 解1111012112234311-???? ??--??? ??-=X ???

? ??---??? ??-=03323210123431131???? ??---=32538122. (3)??

? ??-=??? ??-??? ??-101311022141X ; 解 11110210132141--??? ??-??? ??-??? ??-=X ??? ????? ??-??? ??-=210110131142121 ??? ????? ??=21010366121???

? ??=04111. (4)???

? ??---=???? ?????? ??021102341010100001100001010X . 解 1

1010100001021102341100001010--???? ?????? ??---???? ??=X ???? ?????? ??---???? ??=010100001021102341100001010???

? ??---=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:

(1)?????=++=++=++3

532522132321321321x x x x x x x x x ; 解 方程组可表示为

???

? ??=???? ?????? ??321153522321321x x x , 故 ???? ??=???? ?????? ?

?=???? ??-0013211535223211321x x x , 从而有 ?????===0

01321x x x . (2)?????=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x . 解 方程组可表示为

???

? ??=???? ?????? ??-----012523312111321x x x , 故 ???? ??=???? ?????? ??-----=???? ??-3050125233121111321x x x , 故有 ?????===3

05321x x x . 14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A )-1=E +A +A 2+? ? ?+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为

E -A k =(E -A )(E +A +A 2+? ? ?+A k -1),

所以 (E -A )(E +A +A 2+? ? ?+A k -1)=E ,

由定理2推论知(E -A )可逆, 且

(E -A )-1=E +A +A 2+? ? ?+A k -1.

证明 一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ).

另一方面, 由A k =O , 有

E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-? ? ?-A k -1+(A k -1-A k )

=(E +A +A 2+? ? ?+A k -1)(E -A ),

故 (E -A )-1(E -A )=(E +A +A 2+? ? ?+A k -1)(E -A ),

两端同时右乘(E -A )-1, 就有

(E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+? ? ?+A k -1.

15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E )-1.

证明 由A 2-A -2E =O 得

A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E ,

或 E E A A =-?)(2

1, 由定理2推论知A 可逆, 且)(2

11E A A -=-. 由A 2-A -2E =O 得

A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E ,

或 E A E E A =-?+)3(4

1)2( 由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(4

1)2(1A E E A -=+-. 证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A |=2, 即 |A ||A -E |=2, 故 |A |≠0, 所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2≠0, 故A +2E 也可逆. 由A 2-A -2E =O ?A (A -E )=2E ?A -1A (A -E )=2A -1E ?)(211E A A -=-, 又由A 2-A -2E =O ?(A +2E )A -3(A +2E )=-4E

? (A +2E )(A -3E )=-4 E ,

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