新东方五年考题

2010年普通高等学校招生全国新课标卷

数学（理科）

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≤4，x∈Z}，则

A∩B＝( )

A．(0,2) B．[0,2] C．{0,2} D．{0,1,2}

2．已知复数z＝( )

11

A. B. C．1 D．2 423．曲线y＝

3＋i

1－3i

2

，z是z的共轭复数，则z·z＝

xx＋2

在点(－1，－1)处的切线方程为( )

A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2

4．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(2，－2)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间

t的函数图象大致为( )

5．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R为增函数．

p2：函数y＝2x＋2－x在R为减函数．

则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈

p2)中，真命题是( )

A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4

6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )

A．100 B．200 C．300 D．400 7．如果执行如图的框图，输入N＝5，则输出的数等于( )

5465A. B. C. D. 45568．设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝( )

A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4} C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2}

4

9．若cosα＝－，α是第三象限的角，则

5

1＋tan1－tan

α22

α＝( )

11

A．－ B. C．2 D．－2

2210．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )

7

A．πa2 B.πa2

3 D．5πa2

|lgx|，0

－x＋6，x>10.??2

C.

11

3

πa2

11．已知函数

若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是( )

A．(1,10) B．(5,6) C．(10,12) D．(20,24)

12．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )

A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 364563 D.－＝1 54

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

x2y2x2y2x2y2

x2y2

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二（填空题：本大题共4小题，每小题5分）

13．设y＝f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分?0f(x)dx.先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i＝1,2，…，N)．再数出其中满足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得积分?0f(x)dx的近似值为________．

14．正视图为一个三角形的几何体可以是________．(写出三种) 15．过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为________________．

1

16．在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝CD，∠ADB＝120°，

2

11AD＝2.若△ADC的面积为3－3，则∠BAC＝________.

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分12分)设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1

.

(1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.

18．(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点．

(1)证明：PE⊥BC；(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．

19．(本小题满分12分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

性别 是否需要志愿者 需要 不需要 男 40 女 30 160 270 (1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； (2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．

附：

P(K≥k) 20.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828

K K2＝

a＋bnad－bc2c＋da＋cb＋dx2y2

20．(本小题满分12分)设F1，F2分别是椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)

ab的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，

|AB|，|BF2|成等差数列．

(1)求E的离心率； (2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程．

21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ex－1－x－ax2.

(1)若a＝0，求f(x)的单调区间； (2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分．

22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：

(1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE×CD.

23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

??x＝1＋tcosα，

已知直线C1：?

??y＝tsinα，??x＝cosθ???y＝sinθ，

(t为参数)，圆C2：

(θ为参数)．

(1)当α＝

π

时，求C1与C2的交点坐标； 3

(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

设函数f(x)＝|2x－4|＋1. (1)画出函数y＝f(x)的图象；

(2)若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围．

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数

2?i的共轭复数是 1?2i35（A）?i （B）i （C）?i （D）i 2．下列函数中，既是偶函数哦、又在（0，）单调递增的函数是 （A）y?x2 (B) y?x?1 （C）y??x2?1 (D) y?2?x 3．执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是 （A）120 （B）720 （C）1440 （D）5040

4．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组

35的概率为 （A）

34112 （B） （C） 323（D）

5．已知角?的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y?2x上，则cos2?= （A）?45433 （B）? （C） 555（D）

6．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，

则相应的侧视图可以为

7．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于 A,B两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 （A）2 （B）3 （C）2 （D）3

a??1?8．?x?2x?????的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数xx????5项为

（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40 9．由曲线y?x，直线y?x?2及y轴所围成的图形的面积为 （A）

1016 （B）4 （C） （D）6 3310．已知a与b均为单位向量，其夹角为?，有下列四个命题

?2?P:a?b?1???0,1??3??2?? P:a?b?1???,?? 2????3???????P3:a?b?1????0,? P4:a?b?1????,??

?3??3?其中的真命题是

（A）P1,P3 （C）P1,P4 （B）P2,P3 （D）P2,P4 11．设函数f(x)?sin(?x??)?cos(?x??)(??0,??)的最小正周期为?，

2?且f(?x)?f(x)，则

????3??（A）f(x)在?单调递减 （B）在f(x)0,???,?单调递

?2??44?减

??（C）f(x)在?0,??单调递增

?2?（D）f(x)在??,?4?3???单调递增 4?12．函数y?1的图像与函数y?2sin?x(?2?x?4)的图像所有焦点的x?1横坐标之和等于

（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。 13．若变量x,y满足约束条件?为 。

14．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1,F2在

x轴上，离心率为2。过l的直线 交于A,B两点，且?ABF2的周长为2?3?2x?y?9,则z?x?2y的最小值

?6?x?y?9,16，那么C的方程为 。

15．已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且

AB?6,BC?23,则棱锥O?ABCD的体积为 。

16．在?ABC中，B?60,AC?3，则AB?2BC的最大值为 。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）

等比数列?an?的各项均为正数，且2a1?3a2?1,a32?9a2a6. 求数列?an?的通项公式.

设 bn?log3a1?log3a2?......?log3an,求数列??的前项和. 18．(本小题满分12分)

如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD；

(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。 19．（本小题满分12分）

某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

A配方的频数分布表

指标值分[90，94） [94，98） [98，102） [102，组 频数 8 20 42 106） 22 8 [106，110] ?1??bn?B配方的频数分布表

指标值分[90，94） [94，98） [98，102） [102，[106，110]

组 频数 4 12 42 106） 32 10 （Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率； （Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为

??2,t?94?y??2,94?t?102 ?4,t?102?从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率） 20．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA， MA?AB = MB?BA，M点的轨迹为曲线C。 （Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。

21．（本小题满分12分） 已知函数f(x)?x?2y?3?0。

alnxb?，曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x?1x（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）如果当x?0，且x?1时，f(x)?lnxk?，求k的取值范围。 x?1x请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的

第一题记分。做答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，D，E分别为?ABC的边AB，AC上的点，且不与?ABC的顶点重合。已知AE的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2?14x?mn?0的两个根。

（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；

（Ⅱ）若?A?90?，且m?4,n?6，求C，B，D，E所在圆的半径。 23． (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为

?x?2cos?（?为参数） ?y?2?2sin??M是C1上的动点，P点满足OP?2OM,P点的轨迹为曲线C2 (Ⅰ)求C2的方程

(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线???3与

C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB. 24．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)?x?a?3x,其中a?0。

（Ⅰ）当a?1时，求不等式f(x)?3x?2的解集

（Ⅱ）若不等式f(x)?0的解集为?x|x??1? ，求a的值。

2012年新课标全国卷理科数学试卷详解 （适用地区：豫 晋 疆 宁 吉 黑 蒙 冀 滇）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题有且只有一个选项是符合题目要求的．

1．已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x?A，y?A，x?y?A}，

则B中包含元素的个数为（ ） A．3 B．6

D．10

C．8

【解析】由集合B可知，x?y，因此B={（2，1），（3，2），（4，3），（5，4），（3，1），（4，2），

（5，3），（4，1），（5，2），（5，1）}，B的元素10个，所以选择D。

【点评】本题主要考察复数的运算，属简单题。

2．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参

加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）

A．12种 B．10种 C．9种 D．8种

12【解析】先安排甲组，共有C2?C4?12种，再安排乙组，将剩余的1

名教师和2名学生安排到乙组即可，共有1种，根据乘法原理得不同的安排方案共有12种，故选择A。

【点评】本题主要考集合的基础知识，子集的含意。 3．下面是关于复数z?2的四个命题： ?1?ip1：|z|?2；p2：z2?2i；p3：z的共轭复数为1?i；p4：z的虚部

为?1。

其中的真命题为（ ） A．p2，p3

D．p3，p4

22(?1?i)???1?i，所以|z|?2，?1?i(?1?i)(?1?i)B．p1，p2 C．p2，p4

【解析】因为z?z2?(?1?i)2?2i，

z的共轭复数为?1?i，z的虚部为?1，所以p2，p4为真命题，

故选择C。

【点评】本题主要考察椭圆的简单几何性质，标准方程的求解。

x2y23a4．设F1、F2是椭圆E：2?2（a?b?0）的左、右焦点，P为直线x?2ab上一点，

?F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）

123C．

4A． B．

D．

4523

【解析】如图所示，?F2PF1是等腰三角形，

?F2F1P??F2PF1?30?，|F2P|?|F1F2|?2c， ?PF2Q?60?，?F2PQ?30?，|F2Q|?c，又|F2Q|?3a?c， 2所以

33ac3?c?c，解得c?a，因此e??，故选择C。

42a4【点评】本题主要考察空间点到面的距离，及解三角形的知识。 5．已知{an}为等比数列，a4?a7?2，a5a6??8，则a1?a10?（ ） A．7

B．5

C．－5

D．－

7

【解析】因为{an}为等比数列，

?a4?a7?2所以由已知得?，

aa?aa??856?47开始 输入N，a1，a2，…，aN 解得??a4??2?a4?4或?，

?a7?4?a7??2k?1，A?a1，B?a1 ?a1??8?a1?1所以?3或??31，

q???q??2??2x?akx?A?否 是 k?k?1因此a1?a10?a1(1?q9)??7，，故选择D。 是 【点评】本题主要考察等差数列的通项公式及裂项法求和。 x）和?B? 6．如果执行右边和程序框图，输入正整数N（N?2A?x实数a1，a2，…，aN，输出A，B，则（ B ?）x A．A?B为a1，a2，…，aN的和 否 A?BB．为a1，a2，…，aN的算术平均数 2k?N?否 是 输出A，B C．A和B分别是a1，a2，…，aN中最大的数和最小的数 D．A和B分别是a1，a2，…，aN中最小的数和最大的数 结束 【解析】由程序框图可知，A表示a1，a2，…，aN中最大的数，

B表示a1，a2，…，aN中最小的数，故选择C。 【点评】本题主要考察程序框图的应用。

7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） A．6

B．9

C．12

AD．15

【解析】由三视图可知，该几何体为 三棱锥A-BCD， 底面△BCD为 BCOD

底边为6，高为3的等腰三角形，

侧面ABD⊥底面BCD， AO⊥底面BCD， 因此此几何体的体积为

11V??(?6?3)?3?9，故选择B。

32【点评】本题主要考察空间几何体的三视图。 8．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2?16x的准线交于A，B两点，

|AB|?43，则C的实轴长为（ ）

A．2 B．22 C．4 D．8

x2y2【解析】设等轴双曲线C的方程为2?2?1，

aa即x2?y2?a2（a?0），

抛物线y2?16x的准线方程为x??4，

?x2?y2?a2联立方程?，解得y2?16?a2，

?x??4因为|AB|?43，

所以|AB|2?(2|y|)2?4y2?48，从而y2?12， 所以16?a2?12，a2?4，a?2， 因此C的实轴长为2a?4，故选择C。

【点评】本题主要考察双曲线和抛物线的几何性质。

9．已知??0，函数f(x)?sin(?x?)在（，?）上单调递减，则?的

4??2取值范围是（ ） A．[，]

D．（0，2]

1254B．[，]

1234C．（0，

12]

【解析】因为??0，?x??，所以???22???4??x??4??????4，

因为函数f(x)?sin(?x?)在（，?）上单调递减，

4??2?????????15?242所以?，解得???，故选择A。

24???????3???42【点评】本题主要考察三角函数的图象和性质。 10．已知函数f(x)? y 1，则y?f(x)的图像大致为（ ）

ln(x?1)?xy y y 1 1 O 1 1 x

1 O 1 x O 1 x

A． B． C． 【解析】y?f(x)的定义域为{x|x??1且x?0}，排除D；

1?1)xx?1?因为f'(x)?，

[ln(x?1)?x]2(x?1)[ln(x?1)?x]2?(O 1 x D．

所以当x?(?1,0)时，f'(x)?0，y?f(x)在（－1，0）上是减函数； 当x?(0,??)时，f'(x)?0，y?f(x)在(0,??)上是增函数。排除A、C，故选择B。

【点评】本题主要考察函数的图象与性质，用流氓做法，排除即可。 11．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是

边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ） A． D．2 62 2 B．3 6 C．

2 3【解析】如图所示，根据球的性质，

SO知OO1?平面ABC，则OO1?O1C。

3在直角?OO1C中，OC?1，O1C?，

3所以OO1?OC2?O1C2?1?(因此三棱锥S－ABC的体积 V?2VO?ABC?2??13326。 )?33362，故选择A。 ??436【点评】本题主要考察锥体和球的性质。

12．设点P在曲线y?ex上，点Q在曲线y?ln(2x)上，则|PQ|的最小

值为（ ） A．1?ln2

D．2(1?ln2)

1212 B．2(1?ln2) C．1?ln2

【解析】函数y?ex与函数y?ln(2x)互为反函数，图象关于直线y?x对称。

问题转化为求曲线y?ex上点P到直线y?x的距离的最小值d，则

12（用切线法）：

设直线y?x?b与曲线y?ex相切于点P(t,et)， 因为y'?ex，所以根据导数的几何意义， 得et?1，t?ln2，

所以切点P(ln2,1)，从而b?1?ln2， 所以y?x?1?ln2

因此曲线y?ex上点P到直线y?x 的距离的最小值d为直线

y?x?1?ln2与直线y?x的距离，

1212121212从而d?1?ln2，所以|PQ|min?2d?2(1?ln2)，故选择B。 2【点评】本题主要考察导数的几何意义，函数的对称性，求函数最小值的方法。

第Ⅱ卷（共90分）

本试卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

b夹角为45°，13．已知向量a，且|a|?1，则|b|?_________。 |2a?b|?10，【答案】32。

【解析】由已知a?b?|a|?|b|?cos45??

2|b|。 2因为|2a?b|?10，所以4|a|2?4a?b?|b|2?10， 即|b|2?22|b|?6?0， 解得|b|?32。

【点评】本小题主要考察平面向量的数量积的知识。

?x?y??1?x?y?314．设x，y满足约束条件?， ??x?0??y?03x-y=-12x+y=3B则z?x?2y的取值范围为___________。 【答案】[－3，3]。 【解析】 可行域如右图所示。 将目标函数z?x?2y C1O2A41化为y?x?z。 1212 显然当z?x?2y过点B（1，2）时， zmin?1?4??3； 2 当z?x?2y过点A（3，0）时， zmax?3?0?3。 因此z?x?2y的取值范围为[－3，3]。 【点评】本小题主要考察线性规划的知识。 315．某一部件由三个电子元件按下图方式连接 4元件1元件3元件2而成，元件1或元件2正常工作，且元 件3正常工作，则部件正常工作。设三个 电子元件的使用寿命（单位：小时）均服 从正态分布N（1000，502），且各个元件

能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_________。 【答案】。

【解析】由已知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率均为

1。 238因此该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P?(1?)??。 【点评】本小题主要考察概率与正态分布的知识。

16．数列{an}满足an?1?(?1)nan?2n?1，则{an}的前60项和为

141238

____________。

【答案】1830。

【解析】因为an?1?(?1)nan?2n?1，

所以a2?a1?1，a3?a2?3，a4?a3?5，a5?a4?7，a6?a5?9，a7?a6?11，

……，a58?a57?113，a59?a58?115，a60?a59?117。 由a2?a1?1，a3?a2?3可得a1?a3?2； 由a6?a5?9，a7?a6?11可得a5?a7?2； ……

由a58?a57?113，a59?a58?115可得a57?a59?2； 从而

a1?a3?a5?a7??a57?a59?(a1?a3)?(a5?a7)??(a57?a59)?2?15?30。

又a2?a1?1，…， a4?a3?5，a6?a5?9，a58?a57?113，a60?a59?117，所以(a2?a4?a6??a60)?(a1?a3?a5??a59)

?(a2?a1)?(a4?a3)?(a6?a5)??(a60?a59)?1?5?9??117

?30?118?1770。 2从而a2?a4?a6??a60?a1?a3?a5??a59?1770?30?1770?1800。 因

?(a1?a3?此

?a59)?(a2?a4??a60)

S60?a1?a2?a3?a4??a59?a60 ?30?1800?1830。

【点评】本小题主要考察递推数列的知识。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，

acosC?3asinC?b?c?0。

（1）求A；

（2）若a?2，△ABC的面积为3，求b，c。

【解析】（1）根据正弦定理

abc???2R， sinAsinBsinC得a?2RsinA，b?2RsinB，c?2RsinC， 因为acosC?3asinC?b?c?0，

所以(2RsinA)cosC?3(2RsinA)sinC?2RsinB?2RsinC?0， 即sinAcosC?3sinAsinC?sinB?sinC?0，（1） 由三角形内角和定理，得sinB?sin(A?C)?sinAcosC?cosAsinC， 代入（1）式得

sinAcosC?3sinAsinC?sinAcosC?cosAsinC?sinC?0， 化简得3sinAsinC?cosAsinC?sinC， 因为sinC?0，所以3sinA?cosA?1，即sin(A?)?，

6?12而0?A??，??6?A??6??5???，从而A??，解得A?。

3666?3（2）若a?2，△ABC的面积为3，又由（1）得A???1bcsin?3??bc?4?23则?，化简得?22，

?b?c?8?b2?c2?2bccos??a2?4?3?从而解得b?2，c?2。

，

【点评】本小题主要考察正弦定理、余弦定理及三角变换的知识。

18．（本小题满分12分）

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。 （1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n?N）的函数解析式； （2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求14 15 16 17 18 19 20 量n 频数 10 20 16 16 15 13 10 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。 ①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元）， 求X的分布列、数学期望及方差；

②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。

【解析】（1）当n?16时，y?16?(10?5)?80； 当n?15时，y?5n?5(16?n)?10n?80。 得：y???10n?80(n?15)(n?N)。

80(n?16)? （2）①X可取60，70，80。

P(X?60)?0.1，P(X?70)?0.2，P(X?80)?0.7。 X的分布列为

X 60 0.1 70 0.2 80 0.7 P EX?60?0.1?70?0.2?80?0.7?76，

DX?162?0.1?62?0.2?42?0.7?44。 ②答案一：

花店一天应购进16枝玫瑰花。理由如下：

Y表示当天的利润若花店一天购进17枝玫瑰花，（单位：元），

那么Y的分布列为 X 55 65 75 85 P Y0.1 0.2 0.16 0.54 的数学期望为EY?55?0.1?65?0.2?75?0.16?85?0.54?76.4， Y的方差为

DY?(55?76.4)2?0.1?(65?76.4)2?0.2?(75?76.4)2?0.16?(85?76.4)2?0.54

?112.04，

由以上的计算结果可以看出，DX?DY，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小。

另外，虽然EX?EY，但两者相差不大。故花店一天应购进16枝玫瑰花。 答案二：

花店一天应购进17枝玫瑰花。理由如下：

Y表示当天的利润若花店一天购进17枝玫瑰花，（单位：元），

那么Y的分布列为 X 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54 P Y的数学期望为EY?55?0.1?65?0.2?75?0.16?85?0.54?76.4， 由以上的计算结果可以看出，EX?EY，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝玫瑰花时的平均利润。故花店一天应购进17枝玫瑰花。

【点评】本小题主要考察统计、随机变量的分布列、期望、方差。 19．（本小题满分12分） 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD。

C1A1B112（1）证明：DC1⊥BC；

（2）求二面角A1－BD－C1的大小。

D【解析】（1）在Rt?DAC中，AD?AC，

C 得：?ADC?45?，

B?? 同理：?A1DC1?45??CDC1?90， A 得：DC1?DC。

又DC1⊥BD，DCBD?D， 所以DC1?平面BCD。

而BC?平面BCD，所以DC1?BC。 （2）解法一：（几何法）

由DC1?BC,CC1?BC?BC?面ACC1A1 ?BC?AC。

取A1B1的中点O，连接C1O，OD。 因为AC11?B1C1，所以C1O?A1B1，

因为面A1B1C1?面A1BD，所以C1O?面A1BD，从而C1O?BD， 又DC1⊥BD，所以BD?面DC1O，因为OD?平面DC1O，所以BD?OD。

由BD?OD，BD⊥DC1，所以?C1DO为二面角A1－BD－C1的平面角。

设AA1?2a，AC?BC?a，则C1O?

122a，C1D?2a， 2在直角△C1OD，C1O?OD，C1O?C1D，

所以?C1DO?30?。 因此二面角A1?BD?C1的大小为30?。

解法二：（向量法）

由DC1?BC,CC1?BC?BC?面ACC1A1 ?BC?AC。又C1C?平面ABC， 所以C1C?AC，C1C?BC，

以C点为原点，CA、CB、CC1所在直线分别为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系C?xyz。 不妨设AA1=2，则AC=BC=AA1=1， 从而A1（1，0，2），D（1，0，1）， B（0，1，0），C1（0，0，2）， 所以DA1?(0,0,1)，DB?(?1,1,?1)，

DC1?(?1,0,1)。

12设平面A1BD的法向量为n1?(x1,y1,z1)， 则n1?DA1，n1?DB， 所以??z1?0?z?0，即?1，令y1?1，则n1?(1,1,0)。

??x1?y1?z1?0?x1?y1设平面C1BD的法向量为n2?(x2,y2,z2)?，则n2?DC1，n2?DB，

??x2?z2?0?x2?z2所以?，即?，令z2?1，则n2?(1,2,1)。

?x?y?z?0y?2z?222?22所以cos?n1,n2??

n1?n233??，解得?n1,n2??30?。

2|n1|?|n2|2?6因为二面角A1?BD?C1为锐角，因此二面角A1?BD?C1的大小

为30?。

【点评】本小题主要考察空间线面垂直，线线垂直的判定与性质及二面角的求法。

20．（本小题满分12分）

设抛物线C：x2?2py（p?0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点。

（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；

（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C

只有一个公共点，

求坐标原点到m，n距离的比值。 【解析】

（1）若∠BFD=90°，则△BFD为等腰直角三角形， 且|BD|=2p，圆F的半径r?|FA|?2p，

又根据抛物线的定义可得点A到准线l的距离 d?|FA|?2p。

因为△ABD的面积为42， 所以?|BD|?d?42，即?2p?2p?42， 所以p2?4，由p?0，解得p?2。 从而抛物线C的方程为x2?4y， 圆F的圆心F（0，1），半径r?|FA|?22， 因此圆F的方程为x2?(y?1)2?8。

（2）若A，B，F三点在同一直线m上， 则AB为圆F的直径，∠ADB=90°， 根据抛物线的定义，得|AD|?|FA|?|AB|， 所以?ABD?30?， 从而直线m的斜率为当直线m的斜率为

33或?。 3312121233p时，直线m的方程为y?x?， 332原点O到直线m的距离d1?p21?(32)3。

依题意设直线n的方程为y?3x?b， 3?3x?b23?y?联立?，得x2?px?2pb?0， 33?x2?2py?4p2?8pb?0，从而因为直线n与C只有一个公共点，所以??3b??p。 6所以直线n的方程为y?p61?(32)33px?，原点O到直线n的距离36d2?。

pd因此坐标原点到m，n距离的比值为1?2?3。

d2p6当直线m的斜率为?n距离的比值也为3。

3时，由图形的对称性可知，坐标原点到m，321．（本小题满分12分）

已知函数f(x)满足f(x)?f'(1)ex?1?f(0)x?x2。 （1）求f(x)的解析式及单调区间；

（2）若f(x)?x2?ax?b，求(a?1)b的最大值。 【解析】（1）因为f(x)?f'(1)ex?1?f(0)x?x2，

所以f'(x)?f'(1)ex?1?f(0)?x，

1?f(0)?f'(1)?所以?，解得f(0)?1，f'(1)?e。 e???f'(1)?f'(1)?f(0)?1121212所以f(x)的解析式为f(x)?ex?x?x2。 由此得f'(x)?ex?1?x。

而f'(x)?ex?1?x是R上的增函数，且f'(0)?0，

因此，当x?(0,??)时，f'(x)?f'(0)?0，f(x)在(0,??)上是增函数；

当x?(??,0)时，f'(x)?f'(0)?0，f(x)在(??,0)上是减函数。 综上所述，函数f(x)的增区间为(0,??)，减区间为(??,0)。 （2）由已知条件得ex?(a?1)x?b。 ①

（i）若a?1?0，则对任意常数b，当x?0，且x?可得ex?(a?1)x?b，因此①式不成立。 （ii）若a?1?0，则(a?1)b?0。

（iii）若a?1?0，设g(x)?ex?(a?1)x，则g'(x)?ex?(a?1)。

当x?(??,ln(a?1))，g'(x)?0；当x?(ln(a?1),??)，g'(x)?0 从而g(x)在(??,ln(a?1))单调递减，在(ln(a?1),??)单调递增。

所以f(x)?x2?ax?b等价于b?a?1?(a?1)ln(a?1)。 ②

因此(a?1)b?(a?1)2?(a?1)2ln(a?1)。

设h(a)?(a?1)2?(a?1)2ln(a?1)，则h'(a)?(a?1)(1?2ln(a?1))。 所以h(a)在(?1,e?1)单调递增，在(e?1,??)单调递减， 故h(a)在a?e?1在处取得最大值，从而h(a)?，即

(a?1)b?e。 212121?b， a?1121212e2e1时，②式成立，故f(x)?x2?ax?b。

22e综合得，(a?1)b的最大值为。

2当a?e?1，b?1212

请考生在第22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的A题号涂黑。

G 22． (本小题满分10分) 选修4—1：几何证明选讲DEF如图，D，E分别为?ABC边AB，AC的中点，直线DE 交?ABC的外接圆于F，G两点。若CF∥AB，证明： （1)CD?BC； （2）?BCD∽?GBD。

【解析】（1）因为D，E分别为?ABC边AB，AC的中点， 所以DE∥BC。

又已知CF∥AB，所以四边形BCFD是平行四边形， 所以CF=BD=AD。 而CF∥AD，连结AF，

所以ADCF是平行四边形，故CD=AF。 因为CF∥AB，所以BC=AF，故CD=BC。

（2）因为FG∥BC，故GB=CF。

由（1）可知BD=CF，所以GB=BD。 所以?DGB??GDB。

BC因为FG∥BC，所以?GDB??DBC， 从而?DBC??DGB， ①

由（1）CD?BC，所以?DBC??BDC， 从而?BDC??GDB，② 故?BCD∽?GBD。

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线C1的参数方程为??x?2cos?（?为参数），以坐标原

?y?3sin?

点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是??2。正方形ABCD的顶点都在C2上，

且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）。 （1)求点A，B，C，D的直角坐标；

（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2?|PB|2?|PC|2?|PD|2的取值

范围。

【解析】（1）曲线C1的参数方程??x?2cos?化为

?y?3sin??3x2y2直角坐标方程为??1，

49曲线C2的极坐标方程??2化为 直角坐标方程为x2?y2?4， 因为点A的极坐标为（2，）， 所以点B的极坐标为（2，

6?35?），

4?）， 311?点D的极坐标为（2，），

6点C的极坐标为（2，

因此点A的直角坐标为（1，3），点B的直角坐标为（?3，1），

点C的直角坐标为（－1，－3），点D的直角坐标为（3，－1）。

（2）设P（2cos?，3sin?），则|PA|2?|PB|2?|PC|2?|PD|2 ?(2cos??1)2?(3sin??3)2?(2cos??3)2?(3sin??1)2

?(2cos??1)2?(3sin??3)2?(2cos??3)2?(3sin??1)2

?(2cos??1)2?(3sin??3)2?(2cos??3)2?(3sin??1)2

?(2cos??1)2?(3sin??3)2?(2cos??3)2?(3sin??1)2 ?20sin2??32?[32,52]。

因此|PA|2?|PB|2?|PC|2?|PD|2的取值范围为[32，52]。

【点评】本小题主要考察参数方程、极坐标的相关知识。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数f(x)?|x?a|?|x?2|。

（1)当a??3时，求不等式f(x)?3的解集；

（2）若f(x)?|x?4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围。

?5?2x(x?2)?(2?x?3)。 【解析】（1）当a??3时，f(x)?|x?3|?|x?2|??1?2x?5(x?3)? 所以不等式f(x)?3可化为

?x?2?2?x?3?x?3，或，或。 ???5?2x?31?32x?5?3???解得x?1，或x?4。

因此不等式f(x)?3的解集为?x|x?1或x?4}。 （2）由已知f(x)?|x?4|即为|x?a|?|x?2|?|x?4|，

也即|x?a|?|x?4|?|x?2|。

若f(x)?|x?4|的解集包含[1，2]，则?x?[1,2]，

|x?a|?|x?4|?|x?2|，

也就是?x?[1,2]，|x?a|?2， 所以?x?[1,2]，??x?a??2?1?a??2，从而?，

?x?a?2?2?a?2解得?3?a?0。因此a的取值范围为a?[?3,0]。

【点评】本小题主要考察含两个绝对值的不等式的解法，函数恒成立

问题。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理

工农医类

(全国新课标卷II)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝( )．

A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2} C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝( )．

A．－1＋i B．－1－I C．1＋i D．1－i 3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )．

1111??A．3 B．3 C．9 D．9

4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则( )．

A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l

5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )．

A．－4 B．－3 C．－2 D．－1

6．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝( )．

111+??A．23?110 110!

B．

1+11??2!3!??111+??C．231+11??2!3!111 ?111!

D．

7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．

8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )．

A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c

?x?1,9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a＞0，x，y满足约束条件??x?y?3,?y?a?x?3?.?

若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )．

11A．4 B．2 C．1 D．2

10．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．

A．?x0∈R，f(x0)＝0

B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形

C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减

D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0

11．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．

A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x

12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．

??21?21????1?2,3??1?2,2??? ? C．?A．(0,1) B．??11?,??D．?32?

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．(2013课标全国Ⅱ，理13)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE?BD＝__________.

14．(2013课标全国Ⅱ，理14)从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为__________.

π?115．(2013课标全国Ⅱ，理15)设θ为第二象限角，若tan??????，

?4?21，则14n＝

则sin θ＋cos θ＝__________.

16．(2013课标全国Ⅱ，理16)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为__________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(2013课标全国Ⅱ，理17)(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B. (1)求B；

(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．

18．(2013课标全国Ⅱ，理18)(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝2AB. 2(1)证明：BC1∥平面A1CD；

(2)求二面角D－A1C－E的正弦值． 19．(2013课标全国Ⅱ，理19)(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．

(1)将T表示为X的函数；

(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；

(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的数学期望．

20．(2013课标全国Ⅱ，理20)(本小题满分12分)平面直角坐标系

x2y2xOy中，过椭圆M：2?2=1(a＞b＞0)右焦点的直线x?y?3?0交Mab1于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.

2(1)求M的方程； (2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．

21．(2013课标全国Ⅱ，理21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．

(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)＞0.

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．

22．(2013课标全国Ⅱ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．

(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；

(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．

23．(2013课标全国Ⅱ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

已知动点P，Q都在曲线C：??x?2cost,(t为参数)上，对应参数分别

?y?2sint为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点． (1)求M的轨迹的参数方程；

(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．

24．(2013课标全国Ⅱ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明： (1)ab＋bc＋ac≤；

a2b2c2(2)???1.

bca132013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类

(全国新课标卷II)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：A 解析：解不等式(x－1)2＜4，得－1＜x＜3，即M＝{x|－1＜x＜3}．而N＝{－1,0,1,2,3}，所以M∩N＝{0,1,2}，故选A. 2． 答案：A 解析：z=2i2i?1?i??2?2i＝＝－1＋i. ?21?i?1?i??1?i?3．

答案：C

解析：设数列{an}的公比为q，若q＝1，则由a5＝9，得a1＝9，此时S3＝27，而a2＋10a1＝99，不满足题意，因此q≠1.

a1(1?q3)∵q≠1时，S3＝＝a1·q＋10a1，

1?q1?q3∴＝q＋10，整理得q2＝9. 1?q1∵a5＝a1·q4＝9，即81a1＝9，∴a1＝.

94． 答案：D

解析：因为m⊥α，l⊥m，lα，所以l∥α.同理可得l∥β. 又因为m，n为异面直线，所以α与β相交，且l平行于它们的交线．故选D. 5． 答案：D

rr解析：因为(1＋x)5的二项展开式的通项为C5x(0≤r≤5，r∈Z)，则

222含x2的项为C5＝(10＋5a)x，所以10＋5a＝5，a＝－1. x＋ax·C1x56．

答案：B

解析：由程序框图知，当k＝1，S＝0，T＝1时，T＝1，S＝1； 当k＝2时，T?，S=1+；

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