变化率与导数（2013高考数学真题分类）

变化率与导数、导数的计算

一、选择题

1.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ9）若函数f(x)?x2?ax?1在(1,??)x2是增函数，则a的取值范围是（ ）

A.?-1，0? B.?-1，?? C.?0，3? D.?3，+?? 【解题指南】先求出f(x)的导函数f?(x)，利用x?(,??)时f?(x)?0确定a的取值范围.

11，因为在x?(,??)上为增函数，f(x)2x2111即当x?(,??)时，f?(x)?0.即2x?a?2?0，则a?2?2x，令

2xx11而g(x)在x?(,??)上为减函数，所以g(x)max?3，故a?3. g(x)?2?2x，

2x12【解析】选D.f?(x)?2x?a?二、填空题

2.（2013·江西高考理科·Ｔ13）设函数f(x)在（0，+∞）内可导，且f(ex)=x+ex，则f?(1)=__________.

【解题指南】先求出函数f（x）的解析式，进而可求f?(1). 【解析】设t?ex，则x?ntl【答案】2

3.（2013·江西高考文科·Ｔ11）若曲线y?x??1（α∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则α=

【解题指南】根据导数的几何意义求出切线方程，再把原点代入. 【解析】因为y???x??1，所以令x=1得切线的斜率为?，故切线方程为y?2??(x?1)，代入（0,0）得??2. 【答案】2

，故)t(fntlt?1所以f?(1)?1?1?2. ?，f?(t)??1，t4. （2013·广东高考理科·Ｔ10）若曲线y?kx?lnx在点(1,k)处的切线平行于x轴，则k= .

【解题指南】本题考查导数的几何意义、直线的斜率、直线平行等知识，可先求导.

【解析】对y?kx?lnx求导得y??k?，而x轴的斜率为0，所以在点(1,k)处切线的斜率为y?x?1?k?1?0，解得k??1. 【答案】-1. 三、解答题

5.（2013·北京高考理科·Ｔ18）设l为曲线C：y?处的切线. (I)求l的方程.

(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方.

【解题指南】（1）先求出切点处的导数，再代入点斜式方程求切线方程.

（2）转化为x?1?题.

1?lnx，于是y'|x?1?1，因此l的方程为y?x?1. x2lnx（2）只需要证明?x?0且x?1时，x?1?.

x1(2x?1)(x?1)设f(x)?x(x?1)?lnx,x?0，则f'(x)?2x?1??，

xxlnx，再转化为求f(x)?x(x?1)?lnx(x?0)的极小值问x1xlnx在点(1，0)x【解析】（1）y'?当x?(0,1)时，f'(x)?0；当x?(1,??)时，f'(x)?0. 所以f(x)在（0，1）上单调递减，在(1,??)上单调递增. 所以f(x)在x?1处取得极小值，也是最小值.

所以f(x)?f(1)?0(x?1).

因此，除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方.

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