5简明材料力学习题 答案 第五章

5.1. 图示结构中，设P、q、a均为已知，截面1-1、2-2、3-3无限接近于截面C或截面D。

试求截面1-1、2-2、3-3上的剪力和弯矩。 M=qa2 P=200N P=qa

q 2 1 1 2 3

A C 1 B 2 a a

(a)

2 q=10kN/m

1 A B C D 1 2 200 200 200 (c) 解：(a)

(1) 截开1-1截面，取右段，加内力

Q1

M1 C

求内力

A 200 1 C 200 (b)

D 2 3 B

200 q A 1 M=qa2 P=qa

C 2 2 D B a 1 a (d)

a q P=qa

B a Q1?P?qa?2qaa32

M1??P?a?qa???qa22

(2) 截开2截面，取右段，加内力

M=qa2 Q2 M2 C a q P=qa

B 求内力

Q2?P?qa?2qaa12

M2??P?a?qa??M??qa22(b)

(1)求约束反力

P=200N

1 2 3 A 1 C 200 D 2 3 B

RA 200 200 RD

?M

求内力

D?0 RA?400?P?200?0RA?100N

(2) 截开1-1截面，取左段，加内力

Q1 A C M1

RA Q1??RA??100NM1??RA?0.2??20Nm(3) 截开2-2截面，取左段，加内力

求内力

Q2 A D

M2

RA Q2??RA??100NM2??RA?0.4??40Nm(4) 截开3-3截面，取右段，加内力

求内力

Q3 M3 D

P=200N

B Q3?P?200NM2??P?0.2??40Nm(c)

(1) 求约束反力

2 1

q=10kN/m

D 200 B A 1 C 200 2 RA 200 RB

?M?MBA?0 RB?0.6??q?0.4??0.4?0RB?2667 N

?0 ?RA?0.6??q?0.4??0.2?0RA?1333 N(2) 截开1-1截面，取左段，加内力

A

上海理工大学 力学教研室 Q1 C M1

RA 1 求内力

Q1?RA?1333 NM1?RA?0.2?266.6 N.m(3) 截开2-2截面，取右段，加内力

Q2 q=10kN/m

M2 B D

RB

Q2??RB?q?0.2??0.667 NM2?RB?0.2??q?0.2??0.1?333.4 N.m(d)

(1) 求约束反力

q A 1 M=qa2 P=qa

C 2 2 D B a 1 a a RC RD ?MD?0 RC?a?q?a?1.5a?M?P?a?01RC?qa2

(2) 截开1-1截面，取左段，加内力

求内力

A q Q1 M1

C 11Q1??qa M1??qa?a??qa2

22(3) 截开2-2截面，取左段，加内力

q

求内力

A C D Q2 M2

RC 3Q2??qa?RC??qa2

M2??RC?a??q?a??1.5a??2qa25.3. 设图示各梁的载荷P、q、m和尺寸a皆为已知。(1)列出梁的剪力方程和弯矩方程(a、

b)；(2)作剪力图和弯矩图；(3)判定?Q?max和?M?max。

上海理工大学 力学教研室 2

2P M0=Pa

B A C

a a

(a)

P 2P

B A C D

a a a

(c)

q

A B C

a/2 a/2 (e)

q

B A C

a a/2 (g)

q

C B A q a a (i)

解：(a)

(1) 求约束反力

MA

A

x

RA

q

A a (b) a B M0 A a C 2M0 B a (d)

6P C a a (f)

D a B P A q=30kN/m A C 1m P=20kN D 1m (h) 1m q=30kN/m

E 1m B qa A a a 2qa qa C B

q a (j)

a 2P C M0=Pa B ?Y?0 R?M(2) 列剪力方程和弯矩方程

AA?2P?0

RA?2P?0 MA?2Pa?M0?0MA?Pa??RA?2P x?(0,a)Q(x)???RA?2P?0 x?(a,2a]上海理工大学 力学教研室 3

??RA?x?MA?2Px?Pa x?(0,a]M(x)?

??RA?x?MA?2P?(x?a)?Pa x?[0,a)(3) 画Q图和M图

Q

2P

(+)

M (-) Pa

(4) 最大剪力和最大弯矩值

x

Pa (+) x

Qmax?2P Mmax?Pa

(b)

(1) 求约束反力

A x a q

a BB MB

RB

?Y?0 R?M(2) 列剪力方程和弯矩方程

B?qa?0RB?qa?0 ?MB?qa?1.5a?0

3MB?qa22???qx x?[0,a]Q(x)?

??qa x?[a,2a)?12??? qx x?[0,a]??2M(x)? ???qa?(x?a) x?[a,2a)?2?(3) 画Q图和M图

上海理工大学 力学教研室 Q (-) qa x

4

M x

qa/2 2(-) 3qa/2 2(4) 最大剪力和最大弯矩值

3Qmax?qa Mmax?qa2

2(c)

(1) 求约束反力

P A a C a 2P D a B RA

RB ?MB?0 ?RA?3a?P?2a?2P?a?0RA?

4P3?Y?0 RA?RB?P?2P?0RB?(2) 直接画Q图和M图

Q 4P/3 (+) P/3 x

(-) 5P/3 5P3M 5Pa/3 4Pa/3 (+) x

(3) 最大剪力和最大弯矩值

55Qmax?P Mmax?Pa

33(d)

(1) 求约束反力

上海理工大学 力学教研室 A a m C 2m B a RA 5

RB

?MB?0 ?RA?2a?m?2m?03m2a?Y?0 RA?RB?0RA?RB?3m2a

(2) 直接画Q图和M图

Q 3m/2a (+) x

M

(+) (-) m m/2 x

(-) 3m/2 (3) 最大剪力和最大弯矩值

Qmax?(e)

(1) 求约束反力

q A a/2 3m3 Mmax?m 2a2C B a/2 RA RB

a?3?M?0 ?R?a?q??BA???a?02??43qaRA?8

qaY?0 R?R??0?AB2qaRB?8(2) 直接画Q图和M图

Q 3qa/8

(+)

上海理工大学 力学教研室 (-) qa/8 x

6

M

(3) 最大剪力和最大弯矩值

9qa/128 (+) 2qa/16 2x

39Qmax?qa Mmax?qa2

8128(f)

(1) 求约束反力

P A C a a 6P D a B RC RB

?MB?0 P?3a?RC?2a?6P?a?0RC?

9P2?Y?0 RC?RB?P?6P?0RB?(2) 直接画Q图和M图

Q

M

(3) 最大剪力和最大弯矩值

7P/2 (+) (-) P x

(-) 5P/2 5Pa/2 (+) (-) Pa x

5P2Qmax?(g)

(1) 求约束反力

上海理工大学 力学教研室 75P Mmax?Pa 22q

A C a/2 B RC 7

a RB

3?3?M?0 ?R?a?q?a??a?0?BC?2??49RC?qa8

3Y?0 R?R?q?a?0?CB23RB?qa8(2) 直接画Q图和M图

Q

M

(3) 最大剪力和最大弯矩值

5qa/8 (+) (-) qa/2 2(-) 3qa/8 x

9qa/128 (+) (-) qa/8 2x

51Qmax?qa Mmax?qa2

88(h)

(1) 求约束反力

q=30kN/m A C 1m P=20kN D q=30kN/m

E B 1m RC 1m 1m RE ?ME?0 ?RC?2??q?1??2.5?P?1??q?1??0.5?0RC?40 kN?Y?0 R(2) 直接画Q图和M图

Q

上海理工大学 力学教研室 C?RE?q?1?P?q?1?0RE?40 kN30kN

10kN (+) (-) 30kN (-) 10kN (+) x

8

M

(-) (-)

5kNm

15kNm 15kNm

（3）最大剪力和最大弯矩值

x Qmax?30kN Mmax?15kNm

(i)

(1) 求约束反力

q

A a C B MB

q a RB

31M?0 qa?a?qa?a?MB?0?B22MB?qa2

?Y?0 RB?qa?qa?0RB?0(2) 直接画Q图和M图

Q

M

(3) 最大剪力和最大弯矩值

x

(-) qa x

qa/2 qa 22(-) Qmax?qa Mmax?qa2

(j)

(1) 直接画Q图和M图

Q

上海理工大学 力学教研室 qa (+) qa (+) (-) qa (-) qa x

9

M 2 qa/2

(2) 最大剪力和最大弯矩值

qa (+) 2qa/2 x

2Qmax?qa Mmax?qa2

5.10. 在桥式起重机大梁上行走的小车(见图)其每个轮子对大梁的压力均为P，试问小车在什

么位置时梁内弯矩为最大值？并求出这一最大弯矩。

d x

A C D B P P RB

Q (+) (-) x

l RA 解：(1) 分析最大弯矩发生的截面：两种情况 Q

(+) x

(-)

M Mmax (+) x

M Mmax (+) x

最大弯矩发生在集中力作用的截面上； (2) 求约束反力

?MB?0 ?RA?l?P??l?x??P??l?x?d??0RA?2P?d?l??x??l?2?

(3) 求C截面上的弯矩

MC?RA?x?2P?d?l??x?x?l?2?dMC2P?d??l??2x???0dxl?2?ldx??242

MmaxC2P?dld??ld?2P?ld??l????????????l?224??24?l?24?(4) 求D截面上的弯矩

上海理工大学 力学教研室 10

MD?RA??x?d??Pd?2P?d?l??x???x?d??Pdl?2?dMD2P?d??l??2x?d??0?dxl?2?l3dx??242

MmaxD2P?dl3d??l3d2P?ld???l?????d?Pd????????l?224??24l??24?5.11. 作图示刚架的剪力图和弯矩图。

8kN q 1m 2m B B C C

a a

3m

2a 4m 1kN/m

D 1kN A A (b) a) 解：(a)

(1) 求约束反力

8kN

1m 2m B C

3m 4m 1kN/m

1kN

RD A RAH

RAV

qa/4

D ?MA?0 ?1?4?2?8?1?1?1?RD?3?0MB?5 kN?X?0 1?4?R?Y?0 R(2) 分析AB、BC和CD的受力

上海理工大学 力学教研室 AVAH?1?0RAH?3 kN?8?RD?0RAV?3 kN

11

NB B MB QB M’B Q’B B 8kN

M’C QC C N’C Q’C

MC NC

C 1kN/m

N’B RAH A D 1kN RD RAV AB杆

?X?0 1?4?R?Y?0 R?MBAVAH?QB?0QB?1 kN?NB?0NB?3 kN?0 1?4?2?RAH?4?MB?0MB?4 kN.mBC杆

N'B?QB? 1kN Q'B?NB? 3kN M'B?MB?4kNm

?X?0 N'?Y?0 Q'?MCD杆

CBB?NC?0

NC?1 kN?8?QC?0QC? kN?0 ?M'B?Q'B?3?8?2?MC?0MC?3 kN.mN'C?QC? 5kN Q'C?NC? 1kN M'C?MC?3kNm

（3）直接画Q图和M图

3kN

1kN 5kN

3kN Q图

(b)

(1) 求约束反力

上海理工大学 力学教研室 7kNm

4kNm 4kNm 1kN

4.5kNm

3kNm

3kNm

M图

12

q C a B a 2a qa/4

D A MA RA ?Y?0 RA?qa?RA?qa?045qa4

aqa?MA?0 qa?2?4?a?MA?01MA?qa24(2) 分析AB的受力

NC

MC A MA

RA ?Y?0 RA?NC?05qa4

?MA?0 MC?MA?0NC?RA?MC?MA?(3) 分析CD的受力

12qa4qa/4

q C B D M’C N’C 51NC?N'C?qa MC?M'C?qa2

44(4) 直接画Q图和M图

上海理工大学 力学教研室 13

qa/4

2qa/4

qa

qa/4

2

qa/2

2

Q图

M图

5.12. 写出图示各曲杆的轴力、剪力和弯矩方程式，并作弯矩图。曲杆的轴线皆为圆形。 P C

π/4 B A O

a a

解：(1) 求约束反力

P

B π/4 A O RBH

RBV NA

2PBH2?2?MB?0 Psin4?a?NA?2a?0 NA?4P

?2?Y?0 NA?RBV?Psin4?0 RBV?4P?X?0 Pcos4?R??0 RBH?(2) 写内力方程

AC弧段

N(θ) Q(θ) A θ O M(θ)

NA N(?)??NAcos???Q(?)?NAsin??2Pcos?4

2Psin?42Pa(1?cos?)4M(?)?NA?a(1?cos?)?BC弧段

上海理工大学 力学教研室 14

P Q(θ) C A θ O N(θ) M(θ)

NA 2?Pcos??Psin(??)444?2?Q(?)?NAsin??Pcos(??)?Psin??Pcos(??)

444?2?M(?)?NA?a(1?cos?)?Pasin(??)?Pa(1?cos?)?Pasin(??)444N(?)??NAcos??Psin(??)??(3) 画弯矩图

AC弧段内，弯矩单调递增；

??22M()?Pa(1?)?0.104Pa

442CB弧段内：令

M(?)?0: 求极值

2?Pa(1?cos?)?Pasin(??)?0 ???53.2o 44dM(?)?0 ??116.6o M(?)??0.437PR d?画弯矩图

0.104Pa -0.437Pa 上海理工大学 力学教研室 15

P Q(θ) C A θ O N(θ) M(θ)

NA 2?Pcos??Psin(??)444?2?Q(?)?NAsin??Pcos(??)?Psin??Pcos(??)

444?2?M(?)?NA?a(1?cos?)?Pasin(??)?Pa(1?cos?)?Pasin(??)444N(?)??NAcos??Psin(??)??(3) 画弯矩图

AC弧段内，弯矩单调递增；

??22M()?Pa(1?)?0.104Pa

442CB弧段内：令

M(?)?0: 求极值

2?Pa(1?cos?)?Pasin(??)?0 ???53.2o 44dM(?)?0 ??116.6o M(?)??0.437PR d?画弯矩图

0.104Pa -0.437Pa 上海理工大学 力学教研室 15

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