2010年高考试题——数学理(浙江卷)-复兰高考名师在线精编解析版

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绝密★考试结束前

2010年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学（理科）

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至5页。满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔讲所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共50分）

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

参考公式：

如果事件A 、B 互斥，那么 柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V Sh =

如果事件A 、B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P A B P A P B = 锥体的体积公式

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如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ， 3

V S h = 那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高

k 次的概率

()(1)

(0,1,2,)k k n k n n P k C p

p k n -=-=… 球的表面积公式 台体的体积公式 2

4S R π= ()

1213

V h S S = 球的体积公式 其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积， 343V R π= h 表示台体的高 其中R 表示球的半径

一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求

的。

（1）设P=｛x ︱x <4｝,Q=｛x ︱2x <4｝，则

（A ）p Q ? （B ）Q P ?

（C ）R p Q C ? （D ）R

Q P C ? （2）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内位

（A ） k ＞4? （B ）k ＞5?

（C ） k ＞6? （D ）k ＞7?

（3）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则

52S S = （A ）11 （B ）5 （C ）8- （D ）11-

（4）设02x π

＜＜，则“2

sin 1x x ＜”是“sin 1x x ＜”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件

（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （5）对任意复数()i ,R z x y x y =+∈，i 为虚数单位，则下列结论正确的是

（A ）2z z y -=

（B ）222z x y =+

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（C ）2z z x -≥ （D ）z x y ≤+

（6）设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是

（A ）若l m ⊥，m α?，则l α⊥ （B ）若l α⊥，l m //，则m α⊥

（C ）若l α//，m α?，则l m // （D ）若l α//，m α//，则l m //

（7）若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥??--≤??-+≥?

且x y +的最大值为9，则实数m =

（A ）2- （B ）1- （C ）1 （D ）2

（8）设1F 、2F 分别为双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=＞＞的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF FF =，且2F 到直线1PF

的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 （A ）340x y ±= （B ）350x y ±= （C ）430x y ±= （D ）540x y ±=

（9）设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不．

存在零点的是 （A ）[]4,2-- （B ）[]2,0- （C ）[]0,2 （D ）[]2,4

（10）设函数的集合

211()log (),0,,1;1,0,122P f x x a b a b ??==++=-=-????

， 平面上点的集合

11(,),0,,1;1,0,122Q x y x y ??==-=-????

， 则在同一直角坐标系中，P 中函数()f x 的图象恰好．．

经过Q 中两个点的函数的个数是 （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）10

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2010年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（理科）

非选择题部分（共100分）

注意事项：

1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

（11）函数2()sin(2)4f x x x π

=--的最小

正周期是__________________ .

（12）若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，

则此几何体的体积是___________3

cm .

（13）设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点 (0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上，

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则B 到该抛物线准线的距离为_____________。

（14）设1

1

2,,(2)(3)23n n

n n N x x ≥∈+-+ 2012n n a a x a x a x =+++???+，

将(0)k a k n ≤≤的最小值记为n T ，则

2345335511110,,0,,,,2323

n T T T T T ==-==-?????? 其中n T =__________________ .

（15）设1,a d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足56150S S +=，

则d 的取值范围是__________________ .

（16）已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足1β=，且α与βα-的夹角为120°

， 则α的取值范围是__________________ .

（17）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、

“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复. 若上午不测“握 力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的安排方式共 有______________种（用数字作答）.

三、解答题：本大题共5小题．共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（18）(本题满分l4分)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，已知1cos 24

C =- (I)求sinC 的值；

(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC 时，求b 及c 的长．

(19) (本题满分l4分)如图，一个小球从M 处投入，通过管道自

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上而下落A 或B 或C 。已知小球从每个叉口落入左右两个

管道的可能性是相等的．

某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落

到A ，B ，C ，则分别设为l ，2，3等奖．

（I ）已知获得l ，2，3等奖的折扣率分别为50％，70％，

90％．记随变量ξ为获得k (k =1,2,3)等奖的折扣

率，求随机变量ξ的分布列及期望ξE ；

(II)若有3人次(投入l 球为l 人次)参加促销活动，记随机

变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求)2(=ηP ．

（20）（本题满分15分）如图， 在矩形ABCD 中，点,E F 分别

在线段,AB AD 上，243

AE EB AF FD ====.沿直线EF 将 AEF V 翻折成'A EF V ，使平面'A EF BEF ⊥平面.

（Ⅰ）求二面角'

A FD C --的余弦值；

（Ⅱ）点,M N 分别在线段,FD BC 上，若沿直线MN 将四

边形MNCD 向上翻折，使C 与'A 重合，求线段FM

的长。

(21) （本题满分15分）已知m ＞1，直线2

:02

m l x my --=， 椭圆2

22:1x C y m

+=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点. （Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；

（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F V ，

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12BF F V 的重心分别为,G H .若原点O 在以线段

GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.

(22)(本题满分14分)已知a 是给定的实常数，设函数22()()()f x x a x b e =-+，b R ∈， x a =是()f x 的一个极大值点．

(Ⅰ)求b 的取值范围；

(Ⅱ)设123,,x x x 是()f x 的3个极值点，问是否存在实数b ，可找到4x R ∈，使得1234,,,x x x x

的某种排列1234,,,i i i i x x x x (其中{}1234,,,i i i i ={}1,2,3,4)依次成等差数列?若存在，求所有的b 及相应的4x ；若不存在，说明理由．

数学（理科）试题参考答案

一、 选择题 本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。

（1）B （2）A （3）D （4）B （5）D

（6）B （7）C （8）C （9）A （10）B

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。

0 当n 为偶数时

（11）π （12）144 （13 （14） （15）d ≤-或d ≥ （16）（0,

] （17）264 三、解答题：本大题共5小题，共72分。 n n 11

-23 当n 为奇数时

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（18）本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。满分14分。 （Ⅰ）解：因为cos2C=1-2sin 2C=14

-，及0＜C ＜π 所以（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC 时，由正弦定理

a c sin A sin C =，得 c=4

由cos2C=2cos 2C-1=14

-，J 及0＜C ＜π得 cosC=由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC ，得

b 2解得 所以 b= c=4 或 c=4

（19）本题主要考察随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。满分14分。

则Εξ=16×50％+8×70％+16

90％=4. （Ⅱ）解：由(Ⅰ)可知，获得1等奖或2等奖的概率为316+38=916

. 由题意得η～（3，

916

） 则P （η=2）=23C (916)2(1-916)=17014096. （20）本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。

（Ⅰ）解：取线段EF 的中点H ，连结'A H ，因为'A E ='

A F 及H 是

EF 的中点，所以'A H EF ⊥,

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又因为平面'A EF ⊥平面BEF .

如图建立空间直角坐标系A-xyz

则'

A （2，2，，C （10，8，0），

F （4，0，0），D （

10，0，0）.

故'FA →=（-2，2，，FD →

=（6，0，0

）.

设n →=（x,y,z ）为平面'A FD 的一个法向量，

所以

6x=0.

取z =(0,n =-。

又平面BEF 的一个法向量(0,0,1)m =，

故3cos ,3

n m n m n m ??==。 所以二面角的余弦值为

3 （Ⅱ）解：设,FM x =则(4,0,0)M x +，

因为翻折后，C 与A 重合，所以'CM A M =，

故， 222222(6)80=22x x -++--++（）（，得214

x =， 经检验，此时点N 在线段BC 上，

所以214

FM =

。 方法二：

（Ⅰ）解：取线段EF 的中点H ,AF 的中点G ,连结',',A G A H G H 。

因为'A E ='A F 及H 是EF 的中点，

所以'A H EF ⊥

又因为平面'A EF ⊥平面BEF ，

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所以'A H ⊥平面BEF ,

又AF ?平面BEF ,

故'A H ⊥AF ，

又因为G 、H 是AF 、EF 的中点，

易知GH ∥AB ，

所以GH ⊥AF ，

于是AF ⊥面'A GH ，

所以'A GH

∠为二面角'A DH C --的平面角，

在'Rt A

GH 中，'A H

=GH =2，'A G =

所以cos '3

A GH ∠=. 故二面角'A DF C --的余弦值为

3。 （Ⅱ）解：设FM x =,

因为翻折后，C 与'A 重合，

所以'CM A M =，

而22222

8(6)CM DC DM x =+=+-， 22

2222'''A M A H MH A H MG GH =+=++ 2=

得214

x =， 经检验，此时点N 在线段BC 上，

所以214

FM =。 （21）本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分

15分。

（Ⅰ）解：因为直线:l 2

02

m

x my --=经过2F ，

2

2m =,得22m =，

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又因为1m

>，

所以m =

故直线l 的方程为02x -=。 （Ⅱ）解：设1122(,),(,)A x y B x y 。

由2

222

21m x my x y m ?=+????+=??，消去x 得 2

2

2104m y my ++-= 则由2

228(1)804m m m ?=--=-+>，知28m <， 且有212121,282

m m y y y y +=-=-。 由于12(,0),(,0),F c F c -， 故O 为12F F 的中点，

由2,2AG GO BH HO ==， 可知1121(

,),(,),3333x y x y G h 22

21212()()99

x x y y GH --=+ 设M 是GH 的中点，则1212(,)66

x x y y M ++， 由题意可知2,MO GH < 即22

2212121212()()4[()()]6699

x x y y x x y y ++--+<+ 即12120x x y y +<

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而22

12121212()()22

m m x x y y my my y y +=+++ 22

1(1()82m m =+-） 所以21082

m -< 即2

4m <

又因为1m >且0?>

所以12m <<。

所以m 的取值范围是(1,2)。

（22）本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识。满分14分。

（Ⅰ）解：f ’(x)=e x (x-a) 2(3)2,x a b x b ab a ??+-++--?? 令222()(3)2,

=(3-a+b)4(2)(1)80,g x x a b x b ab a b ab a a b =+-++--?---=+-+>则

于是，假设1212,()0.x x g x x x =<是的两个实根，且

（1） 当x 1=a 或x 2=a 时，则x=a 不是f(x)的极值点，此时不合题意。

（2） 当x 1≠a 且x 2≠a 时，由于x=a 是f(x)的极大值点，故x 1<a<x 2.

即()0

g

x <

即2

(3)20a a b a b ab a +-

++--<

此时4223x x a a b =-=--+

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或4223x

x a a b =-=--

（

2）当

21x a a x -=-时，则

于是1a b +-=

此时42(3)3(3)324a x a a b a b x b a

++---++===--= 综上所述，存在b 满足题意，

当b=-a-3时，

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