09-10学年高数（一）期终考试试题答案及评分标准(A)

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2009~2010学年 第 一 学期期末考试

《高等数学（一）》试卷（A） 使用班级 09级本科 答题时间_120分钟

（本试卷理工、财经各专业通用，共三页24道题）

阅卷 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 教师 得分 一、 阅卷教师 选择题（本大题共 5小题，每题3分，共 15 分。）

得 分

1、设??cosx?cos2x??x2，则当x?0时，?与?是 B

A. ?~?　 B. ?与?是同阶无穷小，但不是等价无穷小 C. ?是比?高阶的无穷小 D. α是比β低阶的无穷小

2、过点M0(1,2)，试作曲线y?2?3x?1的切线，则该切线 B A. 不存在 B. 方程为x?1 C. 方程为y?2 D. 方程为y?2?32(x?1)

3、设I??a?xI= B

x2?a2dx，则 A. ln(x?x2?a2)?x2?a2?c B. aln(x?x2?a2)?x2?a2?c

C. ln(x?x2?a2)?12x2?a2?c D. aln(x?x2?a2)?122x?a2?c

4、设y?f(x)在[a,b]上有f/(x)?0,f//(x)?0，则其在该区间上为 A A. 单调增，凸 B. 单调减，凸 C.单调增，凹 D. 单调减，凹 5．下列反常积分中收敛的是 B

1

A、???xx11?x2dx B、???1edx C、

???11 D、xdx?1dx?1x(x?1)

二、 阅卷教师 分 填空题（本大题共 5小题，每题3分，共15 分。）

得 6、nlim(n?1?1)sin(n?1)???n 0 ；

7、设y?(ex?e?x)2，则y//

=4(e2x?e?2x)；

8、已知f(x)的一个原函数是xax，则?xf?(x)dx?axax?1(lnx?1)?xax?c；

9、微分方程dx?ex?ydy的通解是e?x?e?y?c；

10、用待定系数法求解二阶非齐次线性常微分方程y//?2y/?2y?excosx的特解时，所设特解的形式为y??xex(acosx?bsinx)。 三、

阅卷教师 得 分 求下列各极限（本大题共2 小题，每题5分，共10 分。）

2 11、　lim4?x?2x2x?01?cos2x?lim? x?02x2(4?x2?2) ?lim?1

x?02(4?x2?2) ??18 12、limex2 ?x2?1x?0??x

0t(sint?t)dt ?lim2xex2 ?2x2(ex2?1)?

x?0x(sinx?x)?limx?0?sinx?x x2 ?lim4xe

x?0?cosx?1 = 0

四、

e阅卷教师 得 分 xy(y?xy)?e/2xy(2y?xy)?y/////?0

求下列各导数（本大题共3小题，每题5 分，共15 分。）

或 y//(0)??2

13、设　y(x)?ln(x?x?a（)a是常数），求22

??。 y(x),y(x)五、/阅卷教师 计算下列不定积分（本大题共3小题，每题5分，共15分）

解：y/?1

x2 ?a2 y//??x

(x223 ?a)2t2214、设??x?sin确定了函数y?y(x),求dydyddx,dx2,ydx2t??

?y?2tcos2t?sin2t4dx?2sintcost?sin2t,解：dtdy

dt?2cos2t?4tsin2t?2cos2t??4tsin2t dydx??4t

d2

ydx2?ddt(dydx)dtdx?(?4)1?4sin2t?sin2t

2

dy?4dx2sin2t??4

t???4t??415、若函数y?y(x)由方程exy?x?y?1确定，求dyd2dx及ydx2

x?0解：令x?0,可得y?0

方程两端对x求导数有：exy(y?xy/)?1?y/?0

y/?1?yexy 解得/xexy?1 （y(0)?1）

方程两端对x求二阶导数，并将x?0时，y?0,y/(0)?1代入，则有：

2

得 分 16、?1x(1?x4)dx

3解：原式=?(1?xx1?x4)dx

?lnx?1ln1?x44?c

17、?1sin4xdx.

22解：原式=?sinx?cosxsin4xdx（或?csc4dx）

??(1?co2tx)csc2xdx ??cotx?133cotx?c

18、?arctanxdx

解：原式=xarctanx??x1?x2dx

?xarctanx?1ln(1?x22)?c

六、 阅卷教师 计算下列定积分（本大题共3小题，每题5分，共15分） 得 分 19、

?1x?1xedx??0xx?1?xedx??10xedx ??xex0?1??0xx1?x?1edx?xe0?10edx

??e?1?ex0?1?e?ex1?10?2(1?e)

?20、?23 0sinx?sinxdx

? ??2

0sinxcosxdx 3? ?2(sinx)2230?23

21、??e2xx?2x0sinxdx??e2cosx?0?2?0ecosxdx

?1?e2??2e2xsinx?0?4??2x0esinxdx

?1?e2??4??2x0esinxdx

移项可求得：??2xsinxdx?1?0e5(1?e2)

七、阅卷教师 （本大题共2小题，每题5分，共10分）

得 分 22、求微分方程yy//?(y/)2?0的通解。 解：设

dydx?p，则y//?dpdy?dydx?dpdyp

于是，方程化为ypdpdy?p2?0

或ydpdy?p

分离变量积分得：p?cdy1y，或dx?c1y

在分离变量积分得：y?cc1x2e

23、求微分方程2y//?y/?y?3ex满足初始条件y(0)?2,y/(0)?1的特解。 解：齐次微分方程的特征方程：2?2???1?0有根?1??1,?12?2

1 所以，齐次微分方程的通解可表示为：y?c1e?x?c2x2e

并可设非齐次微分方程的特解为：y*?aex 将y*

代入非齐次微分方程、约去指数因子得：a?32

1于是，非齐次微分方程的通解是：y?ce?x?cx?312e22ex

另由初始条件有：y(0)?c1?c2?3?2，y/2(0)??c131?2c2?2?1

解得：c2?0,c1?12

最后得满足初始条件的非齐次微分方程的特解是：

y~?12e?x?33ex 八、 阅卷教师 ）

得 分 （本大题共1小题，共5 分。24、求曲线y?x2,x?y2所围成的平面图形绕X轴旋转一周所生成的旋转体的体积。解： 曲线 y?x2,x?y2交与点O(0, 0)和点M(1, 1)如图所示。 它们所围得平面图形绕X轴旋转一周所生成的旋转体的体积为：

V???1[(x)2?(x2)2]dx???1(x?x4)dx

00 ??[122x?15x5]130?10? 3

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