数学必修五第一章测试卷

人教B版·数学

单元综合测试

第一章综合测试

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)

1．下列命题中正确命题的个数为( ) ①平面是矩形或平行四边形；

②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚； ③有一个平面的长是50 m，宽是20 m；

④平面是绝对平的、无厚度、可以无限延展的、抽象的数学概念． A．1 B．2 C．3 D．4 [答案] A

[解析] 由平面的概念知，它是平滑、无厚度、可延展的，可判断④正确；其余都不是平面的概念，①②③都不对，故应选A.

2．(2010·湖北文，4)用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c; ②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c； ③若a∥γ，b∥γ，则a∥b; ④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b. 其中真命题的序号是( ) A．①② B．②③ C．①④ D．③④ [答案] C

[解析] ①平行关系的传递性．

②举反例：a⊥b，b⊥c，则a∥c.

③举反例：a∥γ，b∥γ，则a与b相交． ④垂直于同一平面的两直线互相平行． 故①，④正确．

3．如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形，则下列说法正确的是( ) A．内心的平行投影还是内心 B．重心的平行投影还是重心 C．垂心的平行投影还是垂心 D．外心的平行投影还是外心 [答案] B

[解析] 由平行投影的性质5可知，三角形各边的中点的投影还是投影后三角形各边的中点，故三中线的交点的平行投影不变，还是重心．

4．长方体ABCD－A1B1C1D1的各顶点都在半径为1的球面上，其中AB：AD：AA1＝2：

1：3，则A，B两点的球面距离为( )

ππA. B. 43π2πC. D. 23[答案] C

[解析] 本小题主要考查球的内接长方体和球面距离，重点是空间想象能力，球的内接长方体中，长方体的体对角线等于球的直径，球心O为对角线的中点．

设AB＝2x，AD＝x，AA1＝3x

2222

则有2＝?2x?＋x＋?3x?，解得x＝.

2

2

∴AB＝×2＝2

2

π222

在△OAB中，AB＝OA＋OB，∴∠AOB＝ 2

ππ

∴A，B两点球面距离为×1＝. 22

5．将边长为a的正方形沿对角线AC折起，使得BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为( ) 3

3

aaA. B. 6123323C.a D.a 1212[答案] D

[解析] 取AC的中点O，连OB，OD，则AC⊥平面BOD，

11122∴V＝×S△BOD×AC＝××(a)2×2a＝a3.

3322126．(2010·广东理，6)如图，△ABC为正三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC

3

且3AA′＝BB′＝CC′＝AB，则多面体ABC－A′B′C′的正视图(也称主视图)是( )

2

[答案] D

[解析] 由三视图的概念与视图规则知，D正确． 7．(2009·山东模拟)在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，则棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比是( )

A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：7 [答案] B

[解析] 设长方体底面ADD′A′的面积为S，高为h，则它的体积V＝Sh，而棱锥C

111

－A′DD′的底面面积为S，高为h，因此，棱锥C－A′DD′的体积VC－A′DD′＝×Sh232

115

＝Sh，余下的体积是：Sh－Sh＝Sh，所以体积比为1：5. 666

8．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )

A．BC∥面PDF B．DF⊥面PAE

C．面PDE⊥面ABC D．面PAE⊥面ABC

[答案] C

[解析] 如图，∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF.∴A正确． 由图象知BC⊥PE，BC⊥AE，

∴BC⊥平面PAE.∴DF⊥平面PAE.∴B正确．

∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE) .∴D正确．

9．若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )

A．若m?β，α⊥β，则m⊥α

B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ [答案] C

[解析] 如图符合A中的条件，但不满足m⊥α，故A错误，观察正棱柱的三个面，可排除B，观察教室的相对两墙壁与地面，可排除D.

10．一个画家有14个边长为1m的正方体，他在地面上把它摆成如图所示的形式，然后，他把露出的表面都染上颜色，那么被染上颜色的面积为( )

A．21m B．24m

22

C．33m D．37m [答案] C

[解析] 上表面面积为3×3＝9(m2) 侧面面积为3×4＋2×4＋1×4＝24(m2) 故被染上颜色的面积为33 m2

22

11．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于( )

A．1 B.2 C.3 D．2 [答案] C

[解析] 本小题主要考查球的知识及空间想像能力．

如图所示，O为球心，O1为截面圆的圆心，O2为与截面圆O1垂直的截面圆的圆心，M是AB的中点，圆O1和圆O2交于AB.

易知OO1MO2是矩形，∴O1O2＝OM，而△OAB是等边三角形，∴O1O2＝3. 12．(2008·北京，文，8)如图，动点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M、N.设BP＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是( )

[答案] B

[解析] 考查函数的图像与性质及空间想象能力． 取AA1、CC1的中点E、F，EF交BD1于O，

则EF∥AC，∵AC⊥BD，AC⊥BB1，

∴AC⊥平面BDD1B1，∴EF⊥平面BDD1B1， ∴平面BED1F⊥平面BDD1B1，

过点P作MN∥EF，则MN⊥平面BDD1B1，

BPMNEF

MN交BE、BF于M、N，则＝，∴MN＝·BP，

BOEFBO

不难看出当P在BO上时，y是x的一次增函数， 当P在OD1上时，y是x的一次减函数，故选B.

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)

2S

13．在平面内，三角形的面积为S，周长为c，则它的内切圆的半径r＝，在空间中，c

三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比方法，可得三棱锥的内切球的半径R＝______________.

3V

[答案]

S

3V1

[解析] 由已知V＝SR，∴R＝. S3

3

14．圆台的体积是2343πcm，侧面展开图是半圆环，它的两底面半径之比是1：3，则这个圆台的两底面半径分别是__________．

[答案] 3 cm,9 cm

[解析] 设上底半径为r，下底半径为3r，由侧面展开图是半圆环知母线长为4r，所以圆台高为23r，

1

∴V＝(πr2＋9πr2＋πr2·9πr2)·23r＝2343π，

3∴r＝3.

∴上、下底半径分别为3 cm,9 cm.

15．如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝3，则球O的体积等于____________．

9π

[答案]

2

[解析] 关键是找出球心，从而确定球的半径．

由题意，三角形DAC，三角形DBC都是直角三角形，且有公共斜边．所以DC边的中点就是球心(到D、A、C、B四点距离相等)，所以球的半径就是线段DC长度的一半．

16．(2009·安徽，文15)对于四面体ABCD，下列命题正确的是____________．(写出所有正确命题的编号)．

①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；

②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；

③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合； ④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；

⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．

[答案] ①④⑤

[解析] 本题考查空间几何体的线线关系，以及空间想象能力． 如图所示，四面体ABCD中，AB与CD是异面直线，故①正确；

当四面体ABCD中，对棱AB与CD不垂直时，由顶点A作四面体的高，其垂足不是△BCD三条高线的交点，故②不正确；

若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足不一定重合，故③不正确；

如图，过顶点A作AO⊥面BCD，O为垂足，连结OB、OC、OD， 则S△ABC>S△BOC，S△ACD>S△COD，S△ABD>S△BOD，

∴S△ABC＋S△ACD＋S△ABD>S△BOC＋S△COD＋S△BOD＝S△BCD， 故④正确．

如图四面体ABCD中

取AB、CD、AD、BC的中点分别为E、F、M、N，连线EF、MN，则EF、MN分别为?EMFN的对角线，∴EF、MN相交于点O，且O为EF、MN的中点，取AC、BD的中点分别为R、H，则ERFH为平行四边形，即点O也是RH的中点，故⑤正确；由两边之和大于第三边可知④正确．

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分10分)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点．

求证：平面MNP∥平面A1BD. [答案] 连接B1D1，

∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，

∴PN∥B1D1.又∵B1D1∥BD， ∴PN∥BD，又∵PN?面A1BD， ∴PN∥平面A1BD， 同理MN∥平面A1BD， 又PN∩MN＝N，

∴平面PMN∥平面A1BD.

18．(本小题满分12分)一圆台的母线为20 cm，母线与轴的夹角为30°，上底面的半径为15 cm，求圆台的高和下底面的面积．

[答案] 如图所示，过A作AH⊥A1O1，垂足为H，

在△AA1H中，AH＝AA1cos30°＝103(cm)， A1H＝AA1sin30°＝10(cm)．

设下底面半径为r，则r＝A1O1＝10＋15＝25(cm)， 所以S底＝πr2＝625π(cm2)．

故圆台的高为103cm，下底面的面积为625π cm2.

19．(本小题满分12分)如图，三棱锥P－ABC中，已知PA⊥BC，PA＝BC＝l，PA⊥ED于E，BC⊥ED于D，ED＝h，求三棱锥P－ABC的体积．

[答案] ∵BC⊥PA，BC⊥DE，PA∩DE＝E，∴BC⊥平面PAD， ∵BC?平面ABC，∴平面PAD⊥平面ABC

连接AD、PD，过P点PO⊥AD于O，则PO⊥平面ABC，PO为三棱锥P－ABC的高．∵Rt△PAO∽Rt△DAE，

PAPO

∴＝ 即PO·DA＝PA·DE DADE

111

∴VP－ABC＝S△ABC·PO＝×(BC×AD)×PO

332

11＝PA×DE×BC＝l2h 66

20．(本小题满分12分)(潍坊高一检测)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1.

求证：AB⊥BC.

[答案] 本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力．

证明：如下图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，

则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1＝A1B，得AD⊥平面A1BC. 又BC?平面A1BC，所以AD⊥BC.

因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱， 则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC， 又AA1∩AD＝A，从而BC⊥侧面A1ABB1. 又AB?侧面A1ABB1，故AB⊥BC. 21．(本小题满分12分)(2010·山东文，20)在如图所示的几何体中，四边形 ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.

(1)求证：平面EFG⊥平面PDC；

(2)求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．

[答案] 本小题主要考查空间中的线面关系和面面关系．考查线面垂直、面面垂直的判定及几何体体积的计算，考查识图能力、空间想象能力和逻辑思维能力，体现了转化与化归的数学思想．

(1)证明：∵MA⊥平面ABCD，PD∥MA， 所以PD⊥平面ABCD，

又BC?平面ABCD， ∴PD⊥BC，

因为ABCD为正方形， 所以BC⊥DC. 又PD∩DC＝D， 因此BC⊥平面PDC.

在△PBC中，因为G、F为中点， 所以GF∥BC，

因此GF⊥平面PDC. 又GF?平面EFG，

所以平面EFG⊥平面PDC.

(2)因为PD⊥面ABCD，ABCD为正方形，不妨设MA＝1， 则PD＝AD＝2，

18

所以VP－ABCD＝S正方形ABCD·PD＝.

33

由于DA⊥面MAB，且PD∥MA，

所以DA即为点P到平面MAB的距离，

112

三棱锥VP－MAB＝××1×2×2＝. 323

所以VP－MAB：VP－ABCD＝1：4. 22．(本小题满分12分)(2010·株洲高一检测)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、M分别是棱B1C1、B1B、C1D1的中点．

(1)求证：CF⊥平面EAB；

(2)是否存在过E、M点且与平面A1FC平行的平面？若存在，请指出并证明之；若不存在，请说明理由．

[答案] (1)在正方形B1BCC1中， ∵E、F分别为B1C1、B1B的中点． ∴△B1BE≌△BCF， ∴∠B1BE＝∠BCF， ∴∠BCF＋∠EBC＝90°， ∴CF⊥BE.

又AB⊥平面B1BCC1，CF?平面B1BCC1， ∴AB⊥CF.

又AB∩BE＝B， ∴CF⊥平面EAB.

1

(2)设N是棱C1C上的一点，且C1N＝C1C，则平面EMN为符合要求的平面．

4

证明如下：

设H为棱C1C的中点，

1

∵C1N＝C1C，

4

1

∴C1N＝C1H.又E为B1C1的中点，

2

∴EN∥B1H，又CF∥B1H， ∴EN∥CF，∴EN∥平面A1FC. 同理，MN∥D1H，D1H∥A1F， ∴MN∥A1F，

∴MN∥平面A1FC，又∵EN∩MN＝N， ∴平面EMN∥平面A1FC.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5w8t.html