数列常考点及易错点-学生版

新高三暑期衔接课

数列常考点及易错点

考点 等差数列的判定或证明

1an??Sn例题、已知数列的前n项和为且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝.

2

?1???S?a?(1)求证：?n?是等差数列； (2)求n的通项公式．

[审题视点] (1)化简所给式子，然后利用定义证明． (2)根据Sn与an之间关系求an.

等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式法和前n项和公

式法主要适合在选择题中简单判断．

【训练】 已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数，且a1＝－2，a2＝2，S3＝6. (1)求Sn；

(2)证明：数列{an}是等差数列．

1

新高三暑期衔接课

考点 等比数列的判定或证明

例题、(2012·长沙模拟)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列； (2)求{an}的通项公式．

[审题视点] 第(1)问把bn＝an＋1－an中an＋1换为

证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题

中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．

n?1n?11C2d2＋…＋(n－1)ndndn](n∈N*)．【训练】(2011四川)设d为非零实数an＝[C1＋nCn nd＋2Cnan＋an＋1

2

，n∈N*.

an－1＋an2

整理可证；第(2)问可用叠加法求an.

n(1)写出a1，a2，a3并判断{an}是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由； (2)设bn＝ndan(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.

2

新高三暑期衔接课

考点 数列中最值问题的求解

从近几年新课标高考可以看出，对求数列中的最大项是高考的热点，一般难度较大．解决这类问题时，要利用函数的单调性研究数列的最值，但要注意数列的单调性与函数的单调性有所不同，其自变量的取值是不连续的，只能取正整数，所以在求数列中的最大(小)项时，应注意数列中的项可以是相同的，故不应漏掉等号．

例题、 (2010·辽宁)已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________．

ann

n????2???n?n?4?????3????中的最大项是第k项，则k＝________. 例题、示例 (2011·浙江)若数列?

?10?an??n?1????11?(n∈N＋)，试问该数列{an}有没有最大项？若有，【训练】已知数列{an}的通项

求最大项的项数；若没有，说明理由． [审题视点] 作差：an＋1－an，再分情况讨论．

n

3

新高三暑期衔接课

数列与不等式的综合应用

例题、(2011·惠州模拟)在等比数列{an}中，an＞0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和Sn； (3)是否存在

k∈N*，使得

S1S2

1＋2

＋…＋

Snn＜k对任意n∈N*恒成立，若存在，求出k的最小值，

若不存在，请说明理由．

[审题视点] 第(1)问由等比数列的性质转化为a3＋a5与a3a5的关系求a3与a5；进而求an；第(2)问先判断数列{bn}，再由求和公式求Sn；第(3)问由最大值，从而确定k的最小值．

解决此类问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密

切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理．

【训练】 (2012·岳阳模拟)已知单调递增的等比数列{an}满足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是

Snn确定正负项，进而求

S1S2

1＋2

＋…＋Snn的

a2，a4的等差中项．

(1)求数列{an}的通项公式；

1

(2)若bn＝anlogan，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn＋n·2n＋1＞50成立的正整数n的最小值．

2

4

新高三暑期衔接课

考点 数列与解析几何、三角的交汇问题

从近几年新课标高考试题可以看出，不同省市的高考对该内容要求的不尽相同，考生复习时注意把握．数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题，关键是充分利用解析几何的有关性质、公式，建立数列的递推关系式，然后借助数列的知识加以解决． 一、数列与解析几何交汇 例题、(2011·陕西)如图，

从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y＝ex于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；

Pn，Qn.记Pk点的坐标为(xk,0)(k＝1,2，…，n)．

(1)试求xk与xk－1的关系(2≤k≤n)； (2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|.

5

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5w6f.html