高二导数数列教案龙华高二寒假
更新时间:2023-12-19 03:30:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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高二导数@数列寒假教案
邦德教育龙华高中部
高二是孤身奋斗的阶段,是一个与寂寞为伍的阶段,是一个耐力、意志、自控力比拚的阶段。但它同时是一个厚实庄重的阶段。这个时期形成的优势最具有实力。亲,为了梦想而战斗吧!
Mr:亮
哥 第一讲 导数的概念与切线问题
【知识要点】
1.导数的概念及其几何意义 2.你熟悉常用的导数公式吗? 3.导数的运算法则:
(1)两个函数四则运算的导数 (2)复合函数的导数:y'x?y'u·u'x
4.你会利用导数求曲线在某点处的切线方程吗?
【典型例题】
例1.导数的概念题
1.在曲线y?x2?1的图象上取一点?1,2?及邻近一点?1??x,2??y?,则
?y为( ) ?xA. ?x?1?x?2 B. ?x?1?x?2 C. ?x?2 D. ?x?1?x?2
2.一质点的运动方程为S?5?3t2,则在一段时间?1,1??t?内相应的平均速度为( A. 3?t?6 B. ?3?t?6 C. 3?t?6 D. ?3?t?6
3.已知f??2??3,则 (1)f?2??x??f?2??limx?0?x?
(2)limf?2?x??f?2?x?0x?
(3)limf?2?x??f?2?x?0x? (4)limf?2?2x??f?2?x?0x?
(5)limf?2?2x??f?2?x?x?0x? 4.求导公式的应用
(1)f(x)?x3?x?lnx?3,则f?(x)=
(2)f(x)?x3?2x2?x?5,若f?(x0)?0,则x0=
(3)f(x)?(3x2?x?1)(2x?3),则f?(x)= ,f?(?1)=
)2x?sinx(4)f(x)?,则f?(x)=
x
10(5)f(x)?(2x?3),则f?(x)=
5.已知f?x??f??1?x?x?4x,则f?x?=
32
例2.切线问题
1.曲线y?4x?x上两点A(4,0),B(2,4),若曲线上一点P处的切线恰好平行于弦AB,则点P的坐标为( ) A.(1,3) B.(3,3)
2.(11全国Ⅰ新卷理3)曲线y? C.(6,?12) D.(2,4)
2x在点(?1,?1)处的切线方程为( ) x?2A.y?2x?1 B.y?2x?1 C.y?2x?3 D.y?2x?2
3.(11全国Ⅱ卷文7)若曲线y?x?ax?b在点(0,b)处的切线方程是x?y?1?0,则
2a? ,b? .
,?3)处的切线方程是 4.曲线y?x?2x?4x?2在点(1
32,处的切线与x轴、直线x?2所围成的三角形的面积为____ __ 5.曲线y?x在点(11)3
6.曲线y?x3?3x2?6x?4的所有切线中, 斜率最小的切线的方程是
例4.曲线C:y?ax?bx?cx?d在(0,1)点处的切线为l1:y?x?1 在(3,4)点处的切
32线为l2:y??2x?10,求曲线C的方程.
例5.已知两曲线y?x?ax和y?x?bx?c都经过点P?1,2?,且在点P处有公切线,
32试求a,b,c的值.
例6.切线问题的综合应用
1.(山东卷文10)观察(x)?2x,(x)?4x,(cosx)??sinx,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(?x)?f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(?x)= ( ) A.f(x) B.?f(x) C. g(x) D.?g(x)
22.(2009江西卷理)设函数f(x)?g(x)?x,曲线y?g(x)在点(1,g(1))处的切线方程
2'4'3'为y?2x?1,则曲线y?f(x)在点(1,f(1))处切线的方程为
23.(2009安徽卷理)已知函数f(x)在R上满足f(x)?2f(2?x)?x?8x?8,则曲线
y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是( )
A.y?2x?1 B.y?x C.y?3x?2 D.y??2x?3
4.(2009全国卷Ⅰ理) 已知直线y?x?1与曲线y?ln(x?a)相切,则a的值为( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2
5.(2009福建卷理)若曲线f(x)?ax?lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a取值范围
3是_____________
6.曲线y?lnx上的点到直线y?x?3的最短距离为
7.(11辽宁卷理10文12)已知点p在曲线y?斜角,则?的取值范围是( ) A. [0,
4上,?为曲线在点p处的切线的倾xe?1????3?3?] D.[,?) ) B.[,) C.(,422444
【经典练习】
?1.(11江西理)若f(x)?x??x??lnx,则f'(x)??的解集为( )
(-?,?)(,U?+?)A.(?,??) B.
C.(?,??) D.(-?,?)
422.(11江西卷文4)若f(x)?ax?bx?c满足f?(1)?2,则f?(?1)?( )
A.?4 B.?2 C.2
D.4
23.设曲线y?ax在点??,a?处的切线与直线2x?y?6?0平行,则a?( )
A.1 B.
11 C.? D.?1 221x24.已知曲线y?的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( )
24A.1
5.曲线y?
B.2
C.3
D.4
13?4?x?x在点?1,?处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) 3?3? B.
A.
1 92 9 C.
1 3 D.
2 36.曲线y?
12和y?x在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是 x
27.过点P(?1,2)且与曲线y?3x?4x?2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是
8.已知f?2??3,f??2??4,则limx?0f?2?2x??f?2?4x??6?
x
9.已知直线y?2x?2为曲线f?x??x?ax的一条切线,则a=
3
第二讲 导数的应用(一)
【知识要点】
1.求曲线的切线方程 2.求单调区间
3.求函数的极值(或函数最值)
【典型例题】
1.已知曲线S:y?2x?x3
(1)求曲线S在点A(1,1)处的切线方程; (2)求过点B(2,0)并与曲线S相切的直线方程.
2.设函数f(x)?13x?x2?3x?1 3(1)讨论f(x)的单调性;
,5?的值域. (2)求f(x)在区间??5
3.设函数f(x)?ln(2x?3)?x (1)讨论f(x)的单调性;
(2)求f(x)在区间??,?的最大值和最小值.
44
4.已知f?x??lnx,g?x??切于点?1,0?
,
(1)求直线l的方程及g(x)的解析式;
(2)若h?x??f?x??g'?x?(其中g'?x?是g?x?的导函数),求函数h?x?的值域.
2?31???1312x?x?mx?n,直线l与函数f?x?,g?x?的图象都相325.设函数f(x)?2x?3ax?3bx?8c在x?1及x?2时取得极值.
32(1)求a,b的值;
3],都有f(x)?c成立,求c的取值范围 (2)若对于任意的x?[0,2
6.设定函数f(x)?a3x?bx2?cx?d(a?0),且方程f'(x)?9x?0的两个根分别为1,4. 3(1)当a?3且曲线y?f(x)过原点时,求f(x)的解析式; (2)若f(x)在(??,??)无极值点,求a的取值范围.
7.设t?0, 点P(t, 0)是函数f(x)?x3?ax与g(x)?bx2?c的图象的一个公共点, 两函数的图象在点P处有相同的切线. (1) 用t表示a,b,c;
(2) 若函数y?f(x)?g(x)在(?1, 3)上单调递减,求t的取值范围.
【经典练习】
1.如果函数y?f(x)的图象如右图,那么导函数
y?f??x?的图象可能是( )
2.在下列结论中,正确的结论有( )
①单调增函数的导函数也是单调增函数; ②单调减函数的导函数也是单调减函数; ③单调函数的导函数也是单调函数; ④导函数是单调的,则原函数也是单调的. A.0个 B.2个 C.3个 D.4个
3.函数y?x?8x?2在??1,3?上的最大值为( )
42A.11 B.2 C.12 D.10
4.曲线y?e在点(2,e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
x292A.e 4
B.2e
2 C.e
2e2 D.
2325.(全国卷Ⅰ)函数f(x)?x?ax?3x?9,已知f(x)在x??3时取得极值,
则a=( ) A.2 B.3
C.4 D.5
6.设函数f(x)?3x?4x则下列结论中,正确的是( )
A.f(x)有一个极大值点和一个极小值点 B.f(x)只有一个极大值点 C.f(x)只有一个极小值点
7.函数f(x)?xlnx(x?0)的单调递增区间是
8.已知函数y?3x?2x?1在区间(m, 0)上为减函数, 则m的取值范围是
9.曲线f(x)?x3?x?1过点P(1,1)的切线方程为
10.已知f?x??
3243
D.f(x)有二个极小值点
x2?1?ax在?1,???上为减函数,则a的取值范围为
第三讲 导数的应用(二)
【典型例题】
1.恒成立问题 2.单调性问题
【典型例题】
题型一:恒成立问题?最值问题?导数
1.设函数f(x)?tx?2tx?t?1(x?R,t?0). (1)求f(x)的最小值h(t);
222)恒成立,求实数m的取值范围. (2)若h(t)??2t?m对t?(0,
442.已知函数f(x)?axlnx?bx?c?x?0?在x?1处取得极值?3?c,其中a,b,c为常
数.
(1)试确定a,b的值;
(2)讨论函数f(x)的单调区间;
(3)若对任意x?0,不等式f(x)??2c恒成立,求c的取值范围.
2
题型二:单调性问题
3.(2009安徽卷理)已知函数f(x)?x?
2?a(2?lnx),(a?0),讨论f(x)的单调性. x4.(2009北京理)设函数f(x)?xe(k?0) (1)求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求函数f(x)的单调区间;
(3)若函数f(x)在区间(?1,1)内单调递增,求k的取值范围.
5.(全国一19)已知函数f(x)?x?ax?x?1,a?R.
32kx(1)讨论函数f(x)的单调区间;
??内是减函数,求a的取值范围. (2)设函数f(x)在区间??,
?2?31?3?6.(11北京理18)已知函数f(x)?(x?k)e。 (1)求f(x)的单调区间;
2xk(2)若对于任意的x?(0,??),都有f(x)≤
1,求k的取值范围. e【经典练习】
1.(辽宁卷6)设P为曲线C:y?x2?2x?3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为?0,?,则点P横坐标的取值范围为( )
????4??,?? A.??12
??1?, B.??10? , C.?01?
1? D.?,?1??2?2.(2009年广东卷文)函数f(x)?(x?3)ex的单调递增区间是( )
,4? D.(2,??) A.(??,2) B.?0,3? C. ?1
???,当x1?x2时,3.(2009福建卷理)下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2??0,都有f?x1??f?x2?的是( ) A.f(x)=
4.若函数y??A.b?0
5.(2009全国卷Ⅰ理)已知直线y?x?1与曲线y?ln(x?a)相切,则a的值为( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2
236.(2009江西卷文)若存在过点(1,0)的直线与曲线y?x和y?ax?1x B.f(x)=(x?1)2 C.f(x)=e D.f(x)?ln(x?1) x43x?bx有三个单调区间,则b的取值范围是( ) 3 B.b?0
C.b?0
D.b?0
15x?9都相切,4则a等于( ) A.?1或-
7.函数f(x)?x3?ax2?bx?1,当x?1时,有极值1,则函数g(x)?x3?ax2?bx的单调减区间为 .
8.已知曲线y?25217257 B.?1或 C.?或- D.?或7
4464464138x上一点P(2,),则点P处的切线方程是 ;过点P的切线33方程是 .
第四讲 导数的应用(三)
【典型例题】 1.恒成立问题 2.单调性问题 【典型例题】
题型一:恒成立问题(及不等式证明问题)
1.(安徽卷20)设函数f(x)?1(x?0且x?1) xlnx(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)已知2?x对任意x?(0,1)成立,求实数a的取值范围.
a1x
2.(湖北理 20)已知定义在正实数集上的函数f(x)?12x?2ax,g(x)?3a2lnx?b,2其中a?0.设两曲线y?f(x),y?g(x)有公共点,且在该点处的切线相同. (1)用a表示b,并求b的最大值; (2)求证:f(x)?g(x)(x?0).
题型二:单调性问题
3.(10江西卷文17)设函数f(x)?6x?3(a?2)x?2ax. (1)若f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1x2?1,求实数a的值;
(2)是否存在实数a,使得f(x)是(??,??)上的单调函数?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
24.已知函数f(x)?ax?32x?lnx e(1)任取两个不等的正数x1、x2,
f(x1)?f(x2)?0恒成立,求:a的取值范围;
x1?x2(2)当a?0时,求证:f(x)?0没有实数解.
3225.(全国卷I)设a为实数,函数f?x??x?ax?a?1x在???,0?和?1,???都是增
??函数,求a的取值范围.
6.(10全国Ⅰ卷文21)已知函数f(x)?3ax?2(3a?1)x?4x (1)当a?
421
时,求f(x)的极值; 6
(2)若f(x)在??1,1?上是增函数,求a的取值范围.
7.(2009浙江文)已知函数f(x)?x3?(1?a)x2?a(a?2)x?b (a,b?R). (1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是?3,求a,b的值; (2)若函数f(x)在区间(?1,1)上不单调...,求a的取值范围.
【经典练习】
1.已知对任意实数x,有f(?x)??f(x),g(?x)?g(x),且x?0时, f?(x)?0,g?(x)?0,则x?0时( ) A.f?(x)?0,g?(x)?0
B.f?(x)?0,g?(x)?0
C.f?(x)?0,g?(x)?0
D.f?(x)?0,g?(x)?0
2.已知f(x),g(x)是定义在?a,b?上的函数,且f??x??g??x?,则当a?x?b时,有(A.f?x??g?x? B.f?x?+g?a??g?x??f?a? C.f?x??g?x? D.f?x?+g?a??g?x??f?a?
) 3.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,g(x)?0,,当x?0时
f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,且
f(?3)?0,则不等式f(x)/g(x)?0的解集是( )
A.(?3,0)?(3,??) B.(?3,0)?(0,3) C.(??,?3)?(3,??) D.(??,?3)?(0,3)
5434.方程6x?15x?10x?1?0的实数解的集合是( )
A.至少有2个元素 B. 至少有3个元素 C.恰有1个元素 D. 恰好有5个元素
5.(2009天津卷理)设函数f(x)?1x?lnx(x?0),则y?f(x)( ) 31eA.在区间(,1),(1,e)内均有零点 B.在区间(,1),(1,e)内均无零点 C.在区间(,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点 D.在区间(,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点
36.设函数f(x)?ax?3x?1,若对于任意的x???1,1?都有f(x)?0成立,则实数a的
1e1e1e值为
.
第五讲 导数的应用(四)
【典型例题】
1.极值的存在性问题 2.图像的交点问题
【典型例题】
题型一:极值的存在性问题
1.已知函数的f?x??x3?x2?x?3,则极值点的个数为 . 2.已知函数的f?x??x3,则极值点的个数为 . 3. 已知函数的f?x??
13x?ax2?x?1, a?R,讨论极值点的个数. 34.已知a?R,讨论函数f(x)?ex(x2?ax?a?1)的极值点的个数.
325.已知函数f(x)?4x?3xcos??1πx?R?0???,其中,为参数,且
322(1)当cos??0时,判断函数f(x)是否有极值;
(2)要使函数f(x)的极小值大于零,求参数?的取值范围;
,a)内都是增(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数?,函数f(x)在区间(2a?1函数,求实数a的取值范围.
6.设函数f(x)?ln(x?a)?x
(1)若当x??1时,f(x)取得极值,求a的值,并讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)存在极值,求a的取值范围,并证明所有极值之和大于ln
2e. 2题型二:图像的交点问题
7.已知方程x?3x?1?m=0. (1)若有一个解,求m的范围; (2)若有两个解,求m的范围; (3)若有三个解,求m的范围.
38.已知函数数.
f(x)?x3+3ax?1,g(x)?f?(x)?ax?5,其中f?(x)是f?x?的的导函
(1)对满足?1?a?1的一切a的值, 都有g(x)?0,求实数x的取值范围;
(2)设a??m(m?0),当实数m在什么范围内变化时,函数y?f(x)的图像与直线y=3只有一个公共点。
213x?x2?ax,g(x)?2x?b,当x?1?2时,f(x)取得极值. 3(1)求a的值,并判断f(1?2)是函数f(x)的极大值还是极小值;
(2)当x?[?3,4]时,函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点,求b的取值范围.
9.设函数f(x)?
【经典练习】
1.(广东卷7)设a?R,若函数y?eax?3x,x?R有大于零的极值点,则( ) A.a??3
2.设f?(x)是函数f(x)的导函数,将y?f(x)和y?f?(x)的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )
3.(天津卷)函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f?(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( )
A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个
4.曲线y?x(x?1)(x?2)...(x?50)在原点外的切线方程为( )
A.y?1275x B.y?502x C.y?100x D.y?50!x
5.直线y?
6.(湖北卷7)若f(x)??
b a B.a??3 C.a??1 3
D.a??1 3y y?f?(x)O x 1x?b是曲线y?lnx?x?0?的一条切线,则实数b= 212x?bln(x?2)在(-1,+?)上是减函数,则b的取值范围是 2
第六讲 导数的综合应用
【典型例题】
1.(2009山东卷文)已知函数f(x)?13ax?bx2?x?3,其中a?0 3(1)当a,b满足什么条件时,f(x)存在极值?
(2)已知a?0,且f(x)在区间(0,1]上单调递增,试用a表示出b的取值范围.
2.(2009全国卷Ⅱ理)设函数f?x??x?aIn?1?x?有两个极值点x1、x2,且x1?x2
2(1)求a的取值范围,并讨论f?x?的单调性; (2)证明:f?x2??1?2In2 4 .
3.(04年天津卷文21)已知函数f(x)?ax3?cx?d(a?0)是R上的奇函数,当x?1时
f(x)取得极值-2.
(1)求f(x)的单调区间和极大值;
(2)证明对任意x1,x2?(?1,1),不等式|f(x1)?f(x2)|?4恒成立.
4x2?7,4.( 全国卷II)已知函数f?x??,x??01?
2?x(1)求f?x?的单调区间和值域;
,,(2)设a?1,函数g?x??x?3ax?2a,x??01?,若对于任意x1??01?,总存在
22x0??01,?,使得g?x0??f?x1?成立,求a的取值范围.
5.(2006年湖北卷)设x?3是函数f?x??x2?ax?be3?x?x?R?的一个极值点. (1)求a与b的关系式(用a表示b),并求f?x?的单调区间;
2(2)设a?0,g?x???a?????25?x若存在?1,?2??0,4?使得f??1??g??2??1 成立,?e,
4?求a的取值范围.
qp?2lnx,且f?e??qe??2(e为自然对数的底数) xe(1)求p与q的关系;
6.设f?x??px?(2)若f?x?在定义域内为单调函数,求p的取值范围; (3)设g?x??取值范围.
2e,若在?1,e?上至少存在一点x0,使得f?x0??g?x0?成立,求实数p的x7.(10山东卷理22)已知函数f(x)?lnx?ax?1?a?1(a?R) x(1)当a?1时,讨论f?x?的单调性; 21时,若对任意x1??0,2?,存在x2??1,2?,使42(2)设g?x??x?2bx?4.当a?f(x1)?g(x2),求实数b的取值范围.
第七讲 数列综合应用
例1、.已知数列{an}的前n项和Sn?(1)求{an}的通项公式;
(2)若对于任意的n?N,有k?an?4n?1成立,求实数k的取值范围.
n?1例2、已知数列?an?的前n项和Sn??an?()?2(n为正整数).
*3(an?1). 212(1)令bn?2an,求证:数列?bn?是等差数列,并求数列?an?的通项公式;
n(2)令cn?
n?1an,Tn?c1?c2?n?cn,比较Tn与
5n的大小,并证明.
2n?1?a?n(n?N*)例3、已知数列{an}满足:a1?1,a. n?1n?1(1)求数列{an}的通项公式; (2)证明:
例4、设数列?an?的前n项和为Sn.已知a1?a,an?1?Sn?3,n?N.
n*12n21?an?1. n?12(1)设bn?Sn?3,求数列?bn?的通项公式;
n(2)若an?1≥an,n?N,求a的取值范围.
*
例5、等比数列?an?的前
n项和为Sn,已知对任意的n?N*,点(n,Sn)均在函数
y?bx?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图像上.
(1)求r的值;
*(2)当b?2时,记bn?2?log2an?1?,证明:对任意的n?N,不等式
b?1b1?1b2?1·······n?n?1成立. b1b2bn
例6、已知函数f(x)?log3(ax?b)的图像经过点A(2,1)和B(5,2),记an?3(1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn?f(n),n?N*.
an,Tn?b1?b2???bn,若Tn?m(m?Z),求m的最小值; 2n(3)求使不等式(1?111)(1?)?(1?)?p2n?1对一切n?N?均成立的最大实数p.
a1a2an例7、已知函数F?x??3x?2?1?,?x??. 2x?1?2??2008??F??;
2009??(1)求F??1??2??F????20092009????(2)已知数列?an?满足a1?2,an?1?F?an?,求数列?an?的通项公式; (3)求证:a1?a2?a3?an?2n?1.
*2n例8、已知数列?an?的相邻两项an、an?1是关于x的方程x?2x?bn?0n?N的两
??根,且a1?1. (1) 求证: 数列?an???1n??2?是等比数列; 3?*(2) 设Sn是数列?an?的前n项和, 问是否存在常数?,使得bn??Sn?0对任意n?N都成立,若存在, 求出?的取值范围;若不存在, 请说明理由.
*2n例8、已知数列?an?的相邻两项an、an?1是关于x的方程x?2x?bn?0n?N的两
??根,且a1?1. (1) 求证: 数列?an???1n??2?是等比数列; 3?*(2) 设Sn是数列?an?的前n项和, 问是否存在常数?,使得bn??Sn?0对任意n?N都成立,若存在, 求出?的取值范围;若不存在, 请说明理由.
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