直线与圆锥曲线的位置关系1教案

直线与圆锥曲线的位置关系1

一、教学目标

1、熟练的掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法，会求直线与圆锥曲线相交时的弦长、定值、范围等问题。

2、体会方程的数学思想、转化的数学思想及点差法、判别式法等数学思想方法应用。 二、知识要点分析 1、直线与圆锥曲线的位置关系的判断，（直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离） 设直线L的方程是：Ax?By?C?0，圆锥曲线的方程是f(x,y)?0，则由

?Ax?By?C?02消去x,(或消去y）得：ax?bx?c?0(a?0)…………（*） ??f(x,y)?0设方程（*）的判别式??b?4ac 交点个数问题

①当a＝0或a≠0，?＝0时，曲线和直线只有一个交点； ②当a≠0，?＞0时，曲线和直线有两个交点； ③当a≠0，?＜0时，曲线和直线没有交点。 2、直线L与圆锥曲线相交时的弦长。

设直线L与圆锥曲线交于P(x1,y1),Q(x2,y2)，直线L的斜率为k，

222则|PQ|?1?k|x1?x2|?1?k?(x1?x2)?4x1x2=1?21|y1?y2| k2=1?12?(y?y)?4y1y2 122kx2y2??1上不同的两点，且x1a2b23、设A（x1,y1），B（x2，y2）是椭圆?x2，x1?x2?0，

M（x0，y0）为AB的中点，则

y1?y2y1?y2b2???2两式相减可得

x1?x2x1?x2a

，

kAB?kOMb2??2。这种方法叫点差法，最后需要检验直线与曲线是否相交。

a2【典型例题】

例1、已知抛物线的方程为y?4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y?4x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

2 【尝试解答】 直线l的方程为y－1＝k(x＋2)，即y＝kx＋2k＋1，

??y＝kx＋2k＋1，由?得k2x2＋(4k2＋2k－4)x＋(2k＋1)2＝0，(*)

2??y＝4x，

1

当k＝0时，方程(*)为－4x＋1＝0，即x＝4，此时直线l和抛物线只有一个交点，

当k≠0时，Δ＝(4k2＋2k－4)2－4k2(2k＋1)2＝－32k2－16k＋16，

由Δ＝0，即－32k2－16k＋16＝0，得 2k2＋k－1＝0，

1

解得k＝－1或k＝2，

1

∴当k＝－1或k＝2时，方程(*)有两个相等的实根，

1

当－1＜k＜2且k≠0时，方程(*)有两个不等的实根，

1

当k＜－1或k＞2时，方程(*)没有实根．

1

综上知 ，当k＝0或k＝－1，或k＝2时，直线与抛物线只有一个公共点，

1

当－1＜k＜2且k≠0时，直线与抛物线有两个公共点，

1

当k＜－1或k＞时，直线与抛物线没有公共点．, 2

例2、过椭圆2x?y?2的一个焦点的直线交椭圆于A、B两点，求△AOB的面积的最大值(O为原点)．

22解：不妨设AB过焦点(0,1)， 当AB斜率不存在时显然不合题意．

设AB的方程为y－1＝kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

?y＝kx＋1，则由?2

?2x＋y2＝2

得(2＋k)x＋2kx－1＝0，

2

2

所以x1＋x2＝，x1x2＝， 22

2＋k2＋k所以|AB|＝＝22?1＋k2?2＋k

2

－2k－1

1＋k2·?x1＋x2?2－4x1x2 .

11＋k

2

又设点O到直线AB的距离为d，则d＝，

1

所以S△AOB＝2|AB|·d 2·1＋k2＝ 2

2＋k2·1＋k2＝ 2

?1＋k?＋1＝21＋k＋2

11＋k2

2. 2

2

2≤2，

所以S△AOB的最大值为

2

例3. 已知双曲线方程2x－y＝2.

(1) 求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程； (2) 过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1、Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由． 解：(1)即设A(2,1)的中点弦两端点为P1(x1,y1),P2(x2,y2)，则有关系x1?x2?4,y1?y2?2．又据对称性知x1?x2，所以

y1?y2是中点弦P1、P2在双曲线上，则有关1P2所在直线的斜率，由Px1?x22222?y1?2,2x2?y2?2．两式相减是： 系2x12(x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)?0

∴2?4(x1?x2)?2(y1?y2)?0 ∴

y1?y2?4 x1?x2所求中点弦所在直线为y?1?4(x?2)，即4x?y?7?0．

(2)可假定直线l存在，而求出l的方程为y?1?2(x?1)，即2x?y?1?0 方法同(1)，联立方程???2x2?y2?2，消去y,得2x2?4x?3?0

??2x?y?1?0然而方程的判别式??(?4)2?4?2?3??8?0，无实根，因此直线l与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线l不存在．

四．课堂巩固

1．直线y?x?b与抛物线y?2x，当b? 时，有且只有一个公共点；当b? 时，有两个不同的公共点；当b? 时，无公共点．

2x2y2??1恒有公共点，则实数m的取值范围?1和椭圆2．若直线y?kx25m为 ．

3．抛物线y?ax与直线y?kx?b(k?0)交于A,B两点，且此两点的横坐标分别为x1，

2x2，直线与x轴的交点的横坐标是x3，则恒有

（ ）

(A)x3?x1?x2 (B)x1x2?x1x3?x2x3 (C)x3?x1?x20? (D)x1x2?x1x3?x2x3?0

4．椭圆mx2?ny2?1与直线x?y?1交于M,N两点，MN的中点为P，且OP的斜率

2m，则的值为 （ ） 2n2292232 (B) (A)(C)(D)23227y22?1 ，过点P(1,1)作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则5．已知双曲线C:x?4满足上述条件的直线l共有 （ ）

(A)1 条 (B)2条 (C)3条 (D)4条

为

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