高中数列通项公式的十种求法
更新时间:2024-03-12 00:10:01 阅读量: 综合文库 文档下载
数列通项公式的十种求法
一、公式法
例1 已知数列{an}满足an?1?2an?3?2,a1?2,求数列{an}的通项公式。
nan?1an3an?1an3an,则,故数列????{}是
2n?12n22n?12n22nan3a23以1为首项,以为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得,?1?(n?1)??1n12222231所以数列{an}的通项公式为an?(n?)2n。
22解:an?1?2an?3?2两边除以2n?1,得
n评注:本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?2转化为
an?1an3??,说明数列2n?12n2ana3是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出,进而求出数列{n}?1?(n?1)nn222n{an}的通项公式。
二、累加法
,a1?1,求数列{an}的通项公式。 例2 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1解:由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1则
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]???(2?2?1)?(2?1?1)?1?2[(n?1)?(n?2)???2?1]?(n?1)?1(n?1)n?2?(n?1)?12?(n?1)(n?1)?1?n2所以数列{an}的通项公式为an?n。
评注:本题解题的关键是把递推关系式an?1?an?2n?1转化为an?1?an?2n?1,进而求出(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1,即得数列{an}的通项公式。
2
,a1?3,求数列{an}的通项公式。 例3 已知数列{an}满足an?1?an?2?3?1n 1
解:由
an?1?an?2?n?3得
1an?1?an?2?3n?1则
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?(2?3n?1?1)?(2?3n?2?1)???(2?32?1)?(2?31?1)?3?2(3n?1?3n?2???32?31)?(n?1)?33(1?3n?1)?2?(n?1)?31?3?3n?3?n?1?3?3n?n?1所以an?3?n?1.
评注:本题解题的关键是把递推关系式an?1?an?2?3?1转化为an?1?an?2?3?1,进而求出an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1,即得数列{an}的通项公式。
nnn
,a1?3,求数列{an}的通项公式。 例4 已知数列{an}满足an?1?3an?2?3?1n?1解:an?1?3an?2?3?1两边除以3,得
nnan?1an21?n??n?1, n?13333则
an?1an21?n??n?1,故 n?13333ananan?1an?1an?2an?2an?3a2a1a1?(?)?(?)?(?)???(?)?3n3nan?1an?13n?23n?23n?332313212121213?(?n)?(?n?1)?(?n?2)???(?2)?3333333332(n?1)11111??(n?n?n?1?n?2???2)?1333333
1(1?3n?1)nan2(n?1)32n11因此n, ???1???n331?3322?3则an?211?n?3n??3n?. 322n评注:本题解题的关键是把递推关系式an?1?3an?2?3?1转化为
an?1an21,???3n?13n33n?1 2
进而求出(anan?1an?1an?2an?2an?3a2a1a1?an?,即得数列?)?(?)?(?)???(?)??n?3n3n?13n?13n?23n?23n?332313?3?的通项公式,最后再求数列{an}的通项公式。 三、累乘法
例5 已知数列{an}满足an?1?2(n?1)5?an,a1?3,求数列{an}的通项公式。
n解:因为an?1?2(n?1)5?an,a1?3,所以an?0,则
nan?1?2(n?1)5n,故anan?anan?1aa????3?2?a1an?1an?2a2a1?[2(n?1?1)5n?1][2(n?2?1)5n?2]???[2(2?1)?52][2(1?1)?51]?3 ?2n?1[n(n?1)???3?2]?5(n?1)?(n?2)???2?1?3?3?2n?1?5n(n?1)2?n!n?1所以数列{an}的通项公式为an?3?2?5n(n?1)2?n!.
n评注:本题解题的关键是把递推关系an?1?2(n?1)5?an转化为
an?1?2(n?1)5n,进而求an出
anan?1aa????3?2?a1,即得数列{an}的通项公式。 an?1an?2a2a1例6 (2004年全国I第15题,原题是填空题)已知数列{an}满足
a1?1,an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2),求{an}的通项公式。
解:因为an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2) 所以an?1?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1?nan 用②式-①式得an?1?an?nan. 则an?1?(n?1)an(n?2)
②
①
3
故
an?1?n?1(n?2) ananan?1an!????3?a2?[n(n?1)???4?3]a2?a2. an?1an?2a22所以an? ③
由an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2),取n?2得a2?a1?2a2,则a2?a1,又知
a1?1,则a2?1,代入③得an?1?3?4?5???n?所以,{an}的通项公式为an?n!。 2n!. 2an?1?n?1(n?2),an评注:本题解题的关键是把递推关系式an?1?(n?1)an(n?2)转化为
进而求出
anan?1a????3?a2,从而可得当n?2时,an的表达式,最后再求出数列{an}的an?1an?2a2通项公式。 四、待定系数法
例7 已知数列{an}满足an?1?2an?3?5,a1?6,求数列?an?的通项公式。
n解:设an?1?x?5n?1?2(an?x?5n)
④
nn?1n?2an?2x?5,等式两边消去
将an?1?2an?3?5代入④式,得2an?3?5?x?5nnn2an,得3?5n?x?5n?1?2,x??1,,两边除以5,得3?5x?2x则代入④式得x?5an?1?5n?1?2(an?5n)
⑤
an?1?5n?1n?2{a?5}是以由a1?5?6?5?1?0及⑤式得an?5?0,则,则数列nnan?51na1?51?1为首项,以2为公比的等比数列,则an?5n?2n?1,故an?2n?1?5n。
评注:本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?5转化为an?1?5nnnn?1?2(an?5n),
从而可知数列{an?5}是等比数列,进而求出数列{an?5}的通项公式,最后再求出数列
4
{an}的通项公式。
例8 已知数列{an}满足an?1?3an?5?2?4,a1?1,求数列{an}的通项公式。 解:设an?1?x?2n?1n?y?3(an?x?2n?y)
⑥
将an?1?3an?5?2?4代入⑥式,得
n3an?5?2n?4?x?2n?1?y?3(an?x?2n?y)
整理得(5?2x)?2?4?y?3x?2?3y。
nn
令??5?2x?3x?x?5,则?,代入⑥式得
?4?y?3y?y?2
⑦
an?1?5?2n?1?2?3(an?5?2n?2)
1由a1?5?2?2?1?12?13?0及⑦式,
an?1?5?2n?1?2?3, 得an?5?2?2?0,则
an?5?2n?2n故数列{an?5?2?2}是以a1?5?2?2?1?12?13为首项,以3为公比的等比数列,因此an?5?2?2?13?3nn?1n1,则an?13?3n?1?5?2n?2。
n评注:本题解题的关键是把递推关系式an?1?3an?5?2?4转化为
an?1?5?2n?1?2?3(an?5?2n?2),从而可知数列{an?5?2n?2}是等比数列,进而求
出数列{an?5?2?2}的通项公式,最后再求数列{an}的通项公式。
例9 已知数列{an}满足an?1?2an?3n?4n?5,a1?1,求数列{an}的通项公式。 解:设an?1?x(n?1)?y(n?1)?z?2(an?xn?yn?z) ⑧ 将an?1?2an?3n?4n?5代入⑧式,得
5
2222n
2an?3n2?4n?5?x(n?1)2?y(n?1)?z?2(an?xn2?yn?z),则 2an?(3?x)n2?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2an?2xn2?2yn?2z
等式两边消去2an,得(3?x)n?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2xn?2yn?2z,
22?3?x?2x?x?3??解方程组?2x?y?4?2y,则?y?10,代入⑧式,得
?x?y?z?5?2z?z?18??an?1?3(n?1)2?10(n?1)?18?2(an?3n2?10n?18) ⑨
由a1?3?1?10?1?18?1?31?32?0及⑨式,得an?3n?10n?18?0
22an?1?3(n?1)2?10(n?1)?18?2,故数列{an?3n2?10n?18}为以则2an?3n?10n?18a1?3?12?10?1?18?1?31?32为首项,以2为公比的等比数列,因此an?3n2?10n?18?32?2n?1,则an?2n?4?3n2?10n?18。
评注:本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3n?4n?5转化为
2an?1?3(n?1)2?10(n?1)?18?2(an?3n2?10n?18),从而可知数列
2{an?3n2?10n?18}是等比数列,进而求出数列{an?3n?10n?18}的通项公式,最后再
求出数列{an}的通项公式。 五、对数变换法
例10 已知数列{an}满足an?1?2?3?an,a1?7,求数列{an}的通项公式。
解:因为an?1?2?3?an,a1?7,所以an?0,an?1?0。在an?1?2?3?an式两边取常用对数得lgan?1?5lgan?nlg3?lg2 设lgan?1?x(n?1)?y?5(lgan?xn?y)
⑩ 11 ○
n5n5n5 6
?lg?2xn(?将⑩式代入○11式,得5lgan?nlg3?1)y?5(lgan?xn?y,两边消去
5lgan并整理,得(lg3?x)n?x?y?lg2?5xn?5y,则
lg3?x???lg3?x?5x?4,故? ?x?y?lg2?5ylg3lg2??y???164?代入○11式,得lgan?1?由lga1?得lgan?lg3lg3lg2lg3lg3lg212 (n?1)???5(lgan?n??) ○
41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg212式, ?1???lg7??1???0及○
41644164lg3lg3lg2n???0, 4164lgan?1?则
lg3lg3lg2(n?1)??4164?5, lg3lg3lg2lgan?n??4164lg3lg3lg2lg3lg3lg2为首项,以5为公比的等n??}是以lg7???41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2n?1比数列,则lgan?n???(lg7???)5,因此
41644164所以数列{lgan?lgan?(lg7?lg3lg3lg2n?1lg3lg3lg2??)5?n??4164464141614n?1n4?(lg7?lg3?lg3?lg2)5?[lg(7?3?3?2)]514116141411614n?1?lg3?lg3?lg211614n411614?lg(3?3?2)n411614
?lg(7?3?3?2)5n?1?lg(3?3?2)?lg(75n?1?3?lg(75n?1?3n?15n?1?n4?35n?1?116?2)5n?1?14)5n?4n?116?25n?1?14则an?75?35n?4n?116?25n?1?14。
n5评注:本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an?1?2?3?an转化为
7
lg3lg3lg2lg3lg3lg2(n?1)???5(lgan?n??),从而可知数列41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2{lgan?n??}是等比数列,进而求出数列{lgan?n??}的通项
41644164lgan?1?公式,最后再求出数列{an}的通项公式。 六、迭代法
例11 已知数列{an}满足an?1?an解:因为an?1?an3(n?1)?n?2?an?223(n?1)2n,a1?5,求数列{an}的通项公式。
3(n?1)?23n?2?[an] ?2n?2n?13(n?1)2n,所以an?an?13n?2n?1(n?2)?(n?1)3(n?2)?2?[an]3?33n?32(n?1)?n?2(n?2)?(n?1)(n?3)?(n?2)?(n?1)3(n?2)(n?1)n?2?an?3???a13?an?1
?2?3??(n?2)?(n?1)?n?21?2????(n?3)?(n?2)?(n?1)n(n?1)23n?1?n!?21又a1?5,所以数列{an}的通项公式为an?53n?1n(n?1)?n!?22。
3(n?1)2n评注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式an?1?an两边取常用对数得lgan?1?3(n?1)?2?lgan,即
nlgan?1?3(n?1)2n,再由累乘法可推知lgann(n?1)2n?1lganlgan?1lga3lga2lgan???????lga1?lg53?n!?2lgan?1lgan?2lga2lga1,从而an?53n?1?n!?2n(n?1)2。
七、数学归纳法
例12 已知数列{an}满足an?1?an?8(n?1)8,a?,求数列{an}的通项公式。 1(2n?1)2(2n?3)29解:由an?1?an?8(n?1)8及,得 a?122(2n?1)(2n?3)9 8
8(1?1)88?224???(2?1?1)2(2?1?3)299?25258(2?1)248?348a3?a2????
(2?2?1)2(2?2?3)22525?49498(3?1)488?480a4?a3????(2?3?1)2(2?3?3)24949?8181a2?a1?(2n?1)2?1由此可猜测an?,往下用数学归纳法证明这个结论。 2(2n?1)(2?1?1)2?18?,所以等式成立。 (1)当n?1时,a1?(2?1?1)29(2k?1)2?1(2)假设当n?k时等式成立,即ak?,则当n?k?1时, 2(2k?1)ak?1?ak?8(k?1) 22(2k?1)(2k?3)(2k?1)2?18(k?1)??(2k?1)2(2k?1)2(2k?3)2[(2k?1)2?1](2k?3)2?8(k?1)?(2k?1)2(2k?3)2(2k?1)2(2k?3)2?(2k?3)2?8(k?1)?(2k?1)2(2k?3)2?(2k?1)(2k?3)?(2k?1)(2k?1)2(2k?3)2222
(2k?3)2?1?(2k?3)2[2(k?1)?1]2?1?[2(k?1)?1]2由此可知,当n?k?1时等式也成立。
根据(1),(2)可知,等式对任何n?N都成立。
评注:本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项,进而猜出数列的通项公式,最后再用数学归纳法加以证明。 八、换元法
* 9
例13 已知数列{an}满足an?1?1求数列{an}的通项公式。 (1?4an?1?24an),a1?1,
1612(bn?1) 24解:令bn?1?24an,则an?故an?1?121(bn?1?1),代入an?1?(1?4an?1?24an)得 241612112(bn?1?1)?[1?4(bn?1)?bn] 241624即4bn?1?(bn?3)
因为bn?1?24an?0,故bn?1?1?24an?1?0 则2bn?1?bn?3,即bn?1?可化为bn?1?3?2213bn?, 221(bn?3), 21为公比的等比数2所以{bn?3}是以b1?3?1?24a1?3?1?24?1?3?2为首项,以列,因此bn?3?2()12n?1111?()n?2,则bn?()n?2?3,即1?24an?()n?2?3,得 2222111an?()n?()n?。
3423评注:本题解题的关键是通过将1?24an的换元为bn,使得所给递推关系式转化
13从而可知数列{bn?3}为等比数列,进而求出数列{bn?3}的通项公式,bn?1?bn?形式,
22最后再求出数列{an}的通项公式。 九、不动点法
例14 已知数列{an}满足an?1?21an?24,a1?4,求数列{an}的通项公式。
4an?1解:令x?21x?2421x?242,得4x?20x?的24?0,则x1?2,x2?3是函数f(x)?4x?14x?1两个不动点。因为
10
21an?24?2an?1?24an?121an?24?2(4an?1)13an?2613an?2。所以数列????21a?24an?1?39an?3n?321an?24?3(4an?1)9an?274an?1?an?2?a?2a1?24?21313??2为首项,以为公比的等比数列,故n?2()n?1,??是以
9a1?34?3an?39?an?3?则an?1132()n?1?19?3。
评注:本题解题的关键是先求出函数f(x)?个根x1?2,x2?3,进而可推出
21x?2421x?24的不动点,即方程x?的两
4x?14x?1?a?2?an?1?213an?2??,从而可知数列?n?为等比数
an?1?39an?3?an?3?列,再求出数列??an?2??的通项公式,最后求出数列{an}的通项公式。 a?3?n?例15 已知数列{an}满足an?1?7an?2,a1?2,求数列{an}的通项公式。
2an?3解:令x?7x?23x?12,得2x?4x?2?0,则x?1是函数f(x)?的不动点。 2x?34x?77an?25a?5?1?n,所以
2an?32an?3因为an?1?1?2111an?()n?()n?。
3423评注:本题解题的关键是通过将1?24an的换元为bn,使得所给递推关系式转化
13从而可知数列{bn?3}为等比数列,进而求出数列{bn?3}的通项公式,bn?1?bn?形式,
22最后再求出数列{an}的通项公式。 九、不动点法
例14 已知数列{an}满足an?1?21an?24,a1?4,求数列{an}的通项公式。
4an?1 11
解:令x?21x?2421x?242,得4x?20x?的24?0,则x1?2,x2?3是函数f(x)?4x?14x?1两个不动点。因为
21an?24?2an?1?24an?121an?24?2(4an?1)13an?2613an?2。所以数列????an?1?321an?24?321an?24?3(4an?1)9an?279an?34an?1?an?2?an?2a1?24?213n?113是以为首项,以为公比的等比数列,故??2?2(),??9a1?34?3an?39?an?3?则an?1132()n?1?19?3。
评注:本题解题的关键是先求出函数f(x)?个根x1?2,x2?3,进而可推出
21x?2421x?24的不动点,即方程x?的两
4x?14x?1?a?2?an?1?213an?2??,从而可知数列?n?为等比数
a?3an?1?39an?3?n?列,再求出数列??an?2??的通项公式,最后求出数列{an}的通项公式。
?an?3?例15 已知数列{an}满足an?1?7an?2,a1?2,求数列{an}的通项公式。
2an?3解:令x?7x?23x?12,得2x?4x?2?0,则x?1是函数f(x)?的不动点。 2x?34x?77an?25a?5?1?n,所以
2an?32an?3因为an?1?1?
12
正在阅读:
高中数列通项公式的十种求法03-12
被批准为中共预备党员时的主要优缺点04-22
精心设计,激发学生学习兴趣05-09
中铁 中建 中交 中铁建工作的好坏06-12
《地下建筑与结构》试题12-31
看电影作文200字07-10
粉末冶金压机送粉盒03-19
一个名人的故事02-20
山东省妇联关于表彰‘三八’红旗手`‘三八’红旗集体的决定200902-28
保护环境从我做起作文500字07-16
- 多层物业服务方案
- (审判实务)习惯法与少数民族地区民间纠纷解决问题(孙 潋)
- 人教版新课标六年级下册语文全册教案
- 词语打卡
- photoshop实习报告
- 钢结构设计原理综合测试2
- 2014年期末练习题
- 高中数学中的逆向思维解题方法探讨
- 名师原创 全国通用2014-2015学年高二寒假作业 政治(一)Word版
- 北航《建筑结构检测鉴定与加固》在线作业三
- XX县卫生监督所工程建设项目可行性研究报告
- 小学四年级观察作文经典评语
- 浅谈110KV变电站电气一次设计-程泉焱(1)
- 安全员考试题库
- 国家电网公司变电运维管理规定(试行)
- 义务教育课程标准稿征求意见提纲
- 教学秘书面试技巧
- 钢结构工程施工组织设计
- 水利工程概论论文
- 09届九年级数学第四次模拟试卷
- 求法
- 数列
- 公式
- 高中
- 2017年9月计算机二级考试VB上机操作题及答案(2)
- 哈姆雷特练习题
- 县电信分公司满意服务纪事 - 0
- 华东师大版数学七年级下册第9章 单元综合复习《多边形》单元测试
- 干货销售方案
- 辽宁省广播电视有线网络整合方案
- 电子政务考试试题及答案
- 国华电厂简介
- 2018年二级建造师《建设工程法规及相关知识》模拟试题B卷(附解
- 长春版小学语文六下《8.1蛇肚子里的象》word教案(1)
- 珍爱生命注意安全演讲稿1000字
- 班主任经典评语五十篇
- 综合实践 滚筒打保龄球 - 图文
- 估算公司特有风险超额收益率
- 增加液氯温度说明书TD200
- 精神病学简答题
- 女士首饰礼仪
- 影像心电图超声下右室起搏电极的特点精品资料
- 水粉初学基础知识
- 购买板式家具以及推拉门者必读