高一7-1向量概念、加减运算知识梳理、经典例题、课后练习带答案

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环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义

讲义编号： ______________ 副校长/组长签字： 签字日期： 学 员 编 号 ： 年 级 ：高一 课 时 数 ：3 学 员 姓 名 ： 辅 导 科 目 ：数学 学 科 教 师 ： 课 题 授课日期及时段 教 学 目 的 重 难 点 【考纲说明】

1、理解平面向量的概念和几何表示，掌握向量的加、减、数乘运算及其几何意义，会用坐标表示. 2、了解平面向量的基本定理，掌握平面向量的坐标运算. 3、本部分在高考中占5分.

【趣味链接】

1、向量最初被应用于物理学，被称之为矢量。很多物理量，如力、速度、位移、电场强度、磁场强度等都是向量. 2、大约公元前350年，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示为向量，向量一词来自力学、解析几何中的有向线段.

3、大陆与台湾在2008年12月25日开通了直航，在此之前乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这里发生了两次位移.

【知识梳理】

一、 向量的基本概念与线性运算 1、向量的概念

????????（1）向量：既有大小又有方向的量，记作AB；向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|，向量不能比较大小，但

向量的模可以比较大小．

??（2）零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行.

（3）单位向量：模为1个单位长度的向量，常用e表示．

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??（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，记作a∥b，平行向量也称为共线向量

??（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，相等向量经过平移后总可以重合，记为a?b，大小相等，方向相同

(x1,y1)?(x2,y2)???x1?x2.

?y1?y2（6）相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量.记作?a,零向量的相反向量仍是零向量.

????????????若a、b是互为相反向量，则a=?b,b=?a,a+b=0.

2、向量的线性运算

（1）向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”.

????（2）向量的减法 ：求向量a加上b的相反向量的运算叫做a与b的差．

??????向量的减法有三角形法则，a?b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）.

（3）向量的数乘运算：求实数λ与向量a的积的运算，记作λa．

????①?a???a；

??????②当??0时，λa的方向与a的方向相同；当??0时，λa的方向与a的方向相反； 当??0时，?a?0，方向是

任意的.

③数乘向量满足交换律、结合律与分配律. 二、平面向量的基本定理与坐标表示 1、平面向量的基本定理

如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数?1,?2使：

????????a??1e1??2e2，其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

2、平面向量的坐标表示

??（1）在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底. 由平面向量的基本定理知，该平

??????面内的任一向量a可表示成a?xi?yj，由于a与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作????),1(，i?0a=(x,y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标.显然0=（0,0）

?，j?(0,1)．

??????????????（2）设OA?xi?yj.则向量OA的坐标(x,y)就是终点A的坐标，即若OA=(x,y)，则A点的坐标为(x,y)，反之亦成立

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（O是坐标原点）． 3、平面向量的坐标运算

????（1）若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2?．

????????AB?x?x,y?y（2）若A?x1,y1?,B?x2,y2?，则?2121?，AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2．

（3）若a=(x,y)，则?a=(?x, ?y)．

??????（4）若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a//b?x1y2?x2y1?0． ????（5）若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a?b?x1?x2?y1?y2．

【经典例题】

【例1】（2010全国）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若CB?a，CA?b，a?1,b?2，则CD=

（ ） A.a?132213443b B.a?b C.a?b D.a?b 3335555【例2】（2009湖南）如图，D，E，F分别是?ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )

??????????????????????????A．AD?BE?CF?0 B．BD?CF?DF?0 ??????????????????????????C．AD?CE?CF?0 D．BD?BE?FC?0

AFDBEC【例3】（2009全国）设非零向量a、b、c满足|a|?|b|?|c|,a?b?c，则?a,b?? （ ）

A．150° B.120° C.60° D.30°

【例4】（2012辽宁）已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a?b|,则下面结论正确的是（ ） A．a∥b B．a⊥b C．{0,1,3} D．a+b=a?b

（－x,x）（x,1）【例5】(2009广东)已知平面向量a=，b=，则向量a?b ( )

A. 平行于x轴 C. 平行于y轴

B. 平行于第一、三象限的角平分线 D. 平行于第二、四象限的角平分线

2【例6】（2012浙江）设a,b是两个非零向量，以下说法正确的是（ ） A．若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b

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B．若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|

C．若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得a=λb D．若存在实数λ,使得a=λb,则|a+b|=|a|-|b|

???????【例7】若向量a,b 满足a?2,b?2,(a?b)?a，则向量a与b的夹角等于 .

????????????????2????2????????????????【例8】已知平面上的向量PA、PB满足PA?PB?4,AB?2，设向量PC?2PA?PB，则PC的最小值

是 .

??【例9】（2009湖南）已知向量a?(sin?,cos??2sin?),b?(1,2).

????（1）若a//b，求tan?的值；（2）若|a|?|b|,0????,求?的值。

【例10】已知A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角，向量m?(sinA,sinB)，n?(cosB,cosA)，

且m?n?sin2C.

（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且CA?(AB?AC)?18，求边c的长.

【课堂练习】

??1、（2012重庆）设x,y?R,向量a??x,1?,b??1,y?,c??2,?4?,且a?c,b//c,则a?b?

A．5 B．10 C．25 D．10

（ ）

2、（2009浙江）已知向量a?(1,2)，b?(2,?3)．若向量c满足(c?a)//b，c?(a?b)，则c?（ ） A．(,) B．(?,?) C．(,) D．(?,?) 3、（2009全国）已知向量a??2,1?,a?b?10,|a?b|?52，则|b|?( ) A.

77937379773979735 B. 10 C. 5 D. 25

????????????????????????4、（2008湖南）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且DC?2BD,CE?2EA,AF?2FB,则

????????????????AD?BE?CF与BC ( )

A. 反向平行

B. 同向平行

C. 互相垂直

D. 既不平行也不垂直

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5、 在?ABC中,已知向量AB?(cos18?,cos72?),BC?(2cos63?,2cos27?),则?ABC的面积等于（ ）

A．

2 2B．

2 4C．

3 2D．2

6、（2007海南）已知平面向量a?(11)，，b?(1，?1)，则向量A．(?2，?1)

B．(?2，1)

C．(?1，0)

13a?b?（ ） 22

D．(1，2)

【课后作业】

1、（2008广东）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE

的延长线与CD交于

????????????点F．若AC?a，BD?b，则AF?（ ）

211112 D．a?b a?b C．a?b

332433????????3?2、（2012安徽）在平面直角坐标系中,O(0,0),P(6,8),将向量OP按逆时针旋转后,得向量OQ则点Q的坐标是（ ）

4A．

B．

A．(?72,?2)

B．(?72,2)

C．(?46,?2)

D．(?46,2)

11a?b 4203、（2009辽宁）平面向量a与b的夹角为60，a?(2,0)，b?1 则a?2b?( )

A.

3 B. 23 C. 4 D. 2

????4、 已知平面向量a?(3,1),b?(x,?3),a//b,则x等于（ ）

A．9

B．1

C．－1 D．－9

??5、（2012湖北）已知向量a?(1,0),b?(1,1),则

??(Ⅰ)与2a?b同向的单位向量的坐标表示为____________; ???(Ⅱ)向量b?3a与向量a夹角的余弦值为____________.

???????6、（2012安徽）设向量a?(1,2m),b?(m?1,1),c?(2,m),若(a?c)⊥b,则a?_____.

????????7、 已知向量a?(cos15,sin15)，b?(?sin15,?cos15)，则?a?b?的值为 .

????8、已知向量a?(sin?,cos?),b?(6sin??cos?,7sin??2cos?)，设函数f(?)?a?b.

(Ⅰ)求函数f(?)的最大值；

b?c?2?32,(Ⅱ)在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，f(A)?6， 且?ABC的面积为3，

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求a的值.

【课后反馈】

本次______________同学课堂状态：_________________________________________________________________ 本次课后作业：___________________________________________________________________________________ 需要家长协助：____________________________________________________________________________________ 家长意见：________________________________________________________________________________________

【参考答案】

【经典例题】 1-6、BABBCC 7、【课堂练习】 1-6、BDCAAD 【课后作业】

??? 8、2 9、C?.?c?6. 10、（Ⅰ）C?.（Ⅱ）c=6 4 33cos???1-4、BABB 5、 (Ⅰ)??10,10??(Ⅱ)b?3aa? ??31010??b?3a??a??2,1???1,0???25?155

?13?2，或tan??.????. 6、 7、1 8、

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求a的值.

【课后反馈】

本次______________同学课堂状态：_________________________________________________________________ 本次课后作业：___________________________________________________________________________________ 需要家长协助：____________________________________________________________________________________ 家长意见：________________________________________________________________________________________

【参考答案】

【经典例题】 1-6、BABBCC 7、【课堂练习】 1-6、BDCAAD 【课后作业】

??? 8、2 9、C?.?c?6. 10、（Ⅰ）C?.（Ⅱ）c=6 4 33cos???1-4、BABB 5、 (Ⅰ)??10,10??(Ⅱ)b?3aa? ??31010??b?3a??a??2,1???1,0???25?155

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5vz3.html