等腰三角形讲义1

讲义

等腰三角形

撰稿：徐长明 审稿：张扬 责编：孙景艳

一、 目标认知 学习目标：

通过观察发现等腰三角形的性质；掌握等腰三角形的识别方法，会用等腰三角形的性质进行简单的计算和证明；理解等腰三角形与等边三角形的相互关系；能够利用等腰三角形的识别方法判断等腰三角形；掌握等边三角形的特征和识别方法；掌握一般文字命题的解题方法

重点：

等腰三角形的性质与判定。

难点：

比较复杂图形、题目的推理证明

二、 知识要点梳理

知识点一：等腰三角形、腰、底边

有两边相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角

如图所示，在△ABC中，AB=AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

知识点二：等腰三角形的性质

1、性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．

2、这两个性质证明如下：

在△ABC中，AB=AC，如图所示．

讲义

作底边BC的高AD，则有

∴ Rt△ABD≌Rt△ACD．

∴ ∠B=∠C，∠1=∠2．BD=CD． 于是性质1、性质2均得证． 3、说明：

（1）①等腰三角形的性质1用符号表示为：∵AB=AC，∴∠B=∠C；

②性质1是等腰三角形的一条重要（主要）性质，也是今后我们证明角相等的又一个重要依据．

（2）①性质2实质包含三条性质，符号表示为：∵ AB=AC，AD⊥BC，∠1=∠2，∴ BD=CD；

或∵ AB=AC，BD=CD，∠l=∠2，∴ AD⊥BC．

②性质2的用途更为广泛，可以用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． （3）等腰三角形是轴对称图形，底边上高（顶角平分线或底边中线）所在直线是它的对称轴，通常情

况只有一条对称轴．

知识点三：等腰三角形的判定定理

1、定理内容及证明

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”），如图所示．

证明：在△ABC中，∠B=∠C，作AD⊥BC于D．则

所以△ABD≌△ACD（AAS）． 所以，AB=AC． 2、 注意：

①本定理的符号表示为：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC． ②本定理可以判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据．

另外，等腰三角形的性质和判定条件和结论正好相反，要注意区分，不要混淆．

知识点四：等边三角形

1、等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形

讲义

如图所示．

2、注意：

①由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．

②等边三角形具有等腰三角形的一切性质．

知识点五：等边三角形的性质

1、等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60° 2、理由如下：如上图所示，由AB=AC可得∠B=∠C，同样可得∠A=∠C，所以∠A=∠B=∠C．

而∠A+∠B+∠C=180°．则有∠A=∠B=∠C=60°． 注意：这条性质只有等边三角形具有．

知识点六：等边三角形的判定

1、等边三角形的判定：

（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 2、证明如下： (1)如下图所示，若∠A=∠B=∠C，可由∠A=∠B得，AC=BC；由∠A=∠C得，AB=BC．所以AB=AC=BC．

于是判定（1）成立．

(2)如上图所示，在△ABC中，AB=AC，若∠A=60°，则有∠B=∠C=60°，于是∠A=∠B=∠C．

由判定（1）得△ABC是等边三角形；

若∠B=60°，则∠B=∠C=60°，于是∠A=60°，∠A=∠B=∠C． 由判定（1）得△ABC是等边三角形。 所以判定（2）成立．

知识点七：直角三角形性质定理

1、定理内容：在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

2、证明：如图所示，∠ACB=90°，∠A=30°．延长BC至

使

，则有AC

讲义

垂直平分，

故．又可得∠B=60

°．于是△

是等边三角形，故

，所以．即定理成立．

三、 规律方法指导

1．等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。

2．常用的辅助线有：（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。（2）在三角形的中线问题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。

经典例题透析

类型一：探究型题目

1．如图1，在直角△ABC

中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，请你设计三种不同的分法，把△ABC分割成两个三角形，且要求其中有一个是等腰三角形。（在等腰三角形的两个底角处标明度数）

思路点拨: 在三角形中，“等边对等角”与“等角对等边”，本题应从角度入手进行考虑。下面提供四种分割方法供大家参考。 解析：

讲义

总结升华：对图形进行分割是近年来新出现的一类新题型，主要考查对基础知识的掌握情况以及动手实践能力，本类题目的答案有时不唯一。 举一反三：

【变式1】如图3，D是△ABC中BC边上的一点，E是AD上的一点，EB=EC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC。

请你先阅读下面的证明过程。 证明：在△AEB和△AEC中，

所以△ABE≌△AEC（第一步）， 所以AB=AC，∠3=∠4（第二步），

所以AD⊥BC（等腰三角形的“三线合一”）。

上面的证明过程是否正确？如果正确，请写出每一步的推理依据；如果不正确，请指出关键错在哪一步，写出你认为正确的证明过程。

【答案】第一步错误。因为在△ABE和△AEC中有两边和其中一边的对角对应相等，不能判定它们全等。

正确的证明过程是： 因为EB=EC，

讲义

所以∠EBD=∠ECD，

所以∠EBD＋∠1=∠ECD＋∠2， 即：∠ABC=∠ACB， 所以AB=AC。

在△AEB和△AEC中，

所以△ABE≌△AEC， 所以∠3=∠4，

所以AD⊥BC（等腰三角形的“三线合一”）。

【变式2】已知△ABC为等边三角形，在图4中，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点。

（1）请猜一猜：图4中∠BQM等于多少度？

（2）若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其它条件下不变，如图5所示，（1）中的结论是否仍

然成立？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由。

【答案】（1）题通常猜想、测量或证明等方法不难发现∠BQM=60°，而且这一结论在图形发生变化后仍然成立。（2）题的证明过程如下： 因为△ABC为等边三角形，

所以AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°， 所以∠ACM=∠BAN。

讲义

在△ACM和△BAN中，

所以ΔACM≌ΔBAN， 所以∠M=∠N，

所以∠BQM=∠N＋∠QAN=∠M＋∠CAM=∠ACB=60°。

类型二：与度数有关的计算

2．如图，在△ABC中，D在BC上，且AB=AC=BD，∠1=30°，求∠2的度数。 思路点拨: 解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系，显然∠2=∠1+∠C，只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了，而∠C=∠B，所以把问题转化为欲找出∠2与∠B之间有什么关系，变成△ABD的角之间的关系，问题就容易的多了。 解析：∵AB=AC ∴∠B =∠C ∵AB=BD ∴∠2=∠3

∵∠2=∠1+∠C ∴ ∠2=∠1+∠B

∵∠2+∠3+∠B=180° ∴∠B=180°－2∠2 ∴∠2=∠1+180°－2∠2 ∴3∠2=∠1+180° ∵∠1=30° ∴∠2=70°

总结升华：关于角度问题可以通过建立方程进行解决。 举一反三：

【变式1】如图，D、E在△ABC的边BC上，且BE=BA，CD=CA，若∠BAC=122°，求∠DAE的度数。 【答案】∵BE=BA ∴∠2=∠BAE ∵CD=CA ∴∠1=∠CAD

∵∠1+∠CAD+∠C=180°

∴∠1=

∵∠2+∠BAE+∠B=180°

∴∠2=

讲义

∴∠1+∠2=

∵∠B+∠C=180°－∠BAC

∴∠1+∠2=

∵∠DAE=180°－（∠1+∠2）

∴∠DAE=90°－=90°－61°=29°。

【变式2】在△ABC中，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且AD=AE，∠BAD=30°，求∠EDC的度数。

【答案】∵ AB=AC，AD=AE

∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED

∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=∠B+∠BAD ∴∠AED+∠EDC=∠C+∠BAD ∵∠AED=∠C+∠EDC

∴∠C+2∠EDC=∠C+∠BAD

∴∠EDC=∠BAD=15°。

类型三：等腰三角形中的分类讨论

3．当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论

（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，求周长。 （2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，求周长。

思路点拨: 由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“腰”，哪条边是“底”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提，因此必须进行分类讨论。 解析：（1）因为8+8＞10，10+10＞8，则在这两种情况下都能构成三角形； 当腰长为8时，周长为8+8+10=26； 当腰长为10时，周长为10+10+8=28； 故这个三角形的周长为26cm或28cm。

（2）当腰长为3时，因为3+3＜7，所以此时不能构成三角形；

当腰长为7时，因为7+7＞3，所以此时能构成三角形，因此三角形的周长为：7+7+3=17；故这个三角形的周长为17cm。 总结升华：对于此类题目在进行分类讨论时，必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形

举一反三：

【变式1】当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论

等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数

讲义

【答案】（1）当底角是顶角的4倍时，设顶角为x，则底角为4x， ∴ 4x+4x+x=180°， ∴ x=20°， ∴ 4x=80°，

于是三角形的各个内角的度数为：20°，80°，80°。 （2）当顶角是底角的4倍时，设底角为x，则顶角为4x， ∴ x+x+4x=180°， ∴ x=30°， ∴ 4x=120°，

于是三角形的各个内角的度数为：30°，30°，120°。 故三角形各个内角的度数为20°，80°，80°或30°，30°，120°。

【变式2】当高的位置关系不确定时，必须分类讨论

等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数。

【答案】设AB=AC，BD⊥AC；

（1）高与底边的夹角为25°时，高一定在△ABC的内部， 如右图，∵∠DBC=25°，∴∠C=90°-∠DBC=90°-25°=65°，

∴ ∠ABC=∠C=65°，∠A=180°-2×65°=50°。

图1

（2）当高与另一腰的夹角为250时， ①如图2，高在△ABC内部时， 当∠ABD=25°时，∠A=90°-∠ABD=65°，

∴ ∠C=∠ABC=（180°-∠A）÷2=57.5°；

②如图3，高在△ABC外部时，∠ABD=25°， 图2

∴ ∠BAD=90°-∠ABD=90°-25°=65°，∴ ∠BAC=180°-65°=115°， ∴∠ABC=∠C=（180°-115°）÷2=32.5° 故三角形各内角为：65°，65°，50°或

65°，57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°。

图3

【变式3】由腰的垂直平分线所引起的分类讨论

在三角形ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求底角B的度数。

分析：题目中AB边上的垂直平分线与直线AC 相交有两种情形； 解：（1）如图，AB边的垂直平分线与AC边交于点D， ∠ADE=40°，

则∠A=900-∠ADE=50°，

∵AB=AC， ∴∠B=（180°-50°）÷2=65°。 （2）如图，AB边的垂直平分线与直线AC的反向 延长线交于点D，∠ADE=40°，则∠DAE=50°

∴∠BAC=130°，∵AB=AC，∴∠B=（180°-130°）÷2=25°， 故∠B的大小为65°或25°。

讲义

等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，求腰长。 【答案】如图， ∵BD为AC边上的中线，∴AD=CD，

（1）当（AB+AD）-（BC+CD）=3时，则AB-BC=3， ∵BC=5 ∴AB=BC+3=8；

（2）当（BC+CD）-（AB+AD）=3时，则BC-AB=3， ∵BC=5 ∴AB=BC-3=2；

但是当AB=2时，三边长为2，2，5； 而2+2＜5，不合题意，舍去； 故腰长为8。 类型四：证明题

4．已知：如图，∠ABC，∠ACB的平分线交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E。

求证：BD＋EC＝DE。

思路点拨: 因为DE＝DF＋FE，即结论为BD＋EC＝DF＋FE，分别证明BD＝DF，CE＝FE即可，于是运用“在同一三角形中，等角对等边”易证结论成立。 解析：∵DE∥BC，

∴∠3＝∠2（两直线平行，内错角相等） 又∵BF平分∠ABC ∴∠1＝∠2 ∴∠1＝∠3

∴DB＝DF（等角对等边） 同理：EF＝CE， ∴BD＋EC＝DF＋EF 即BD＋EC＝DE。

总结升华：在三角形中，利用“等角对等边”证明线段相等，是一种常用的方法。 举一反三：

【变式1】如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O。

求证：（1）∠AOB＝120°； （2）CM＝CN；

讲义

【答案】（1）∵∠ACE＝∠ACD＋∠DCE ∠BCD＝∠BCE＋∠DCE 且∠ACD＝∠BCE＝60° ∴∠ACE＝∠BCD 在△ACE和△BCD中

∴△ACE≌△DCB（SAS） ∴∠3＝∠2

∵∠1＋∠3＝60°，∴∠1＋∠2＝60°

∴∠AOB＝∠1＋∠ADC＋∠2＝60°＋60°＝120° （2）∵∠ACD＝∠BCE＝60° ∴∠MCN＝60°

在△CMA和△CND中

∴△CMA≌△CND（ASA） ∴CM＝CN

（3）∵CM＝CN且∠MCN＝60° ∴△CMN是等边三角形 ∴∠NMC＝60° 又∵∠DCA＝60° ∴∠NMC＝∠DCA ∴MN∥AB

【变式2】已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，CD⊥AB（如图所示）。

求证：（1）AB＝2BC；

（2）CE＝AE＝EB。 【答案】（1）∵CE、CD三等分∠ACB ∴∠1＝∠2＝∠3＝30°

又∵CD⊥AB，∴∠B＝60°，∠A＝30° 在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AB＝2BC （2）∵∠A＝∠1＝30° ∴CE＝EA

讲义

又∵∠B＝∠BCE＝60°

∴△BCE是等边三角形，∴EC＝EB ∴CE＝EA＝EB

学习成果测评 基础达标：

一、填空：

1、等腰三角形的的两边长为2cm和5cm，则该等腰三角形的周长为______cm。 2、等腰三角形的的两边长为3cm和5cm，则该等腰三角形的周长为______cm。 3、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角为_____。

4、在△ABC中，AC＝BC，且∠B＝∠C，则△ABC是____________三角形。

5、若直角三角形斜边上的中线垂直于斜边，则它的两个锐角的度数是____________。 6、等腰三角形的一个角是80°，则其他两个角的度数是____________。

二、选择题

1. 若一个三角形的三个外角度数比为2：3：3，则这个三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

2. 将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成如图1所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则

图中等腰三角形的个数是（ ）

图1 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

3. 在以①30°，120°；②25°，75°；③38°，52°；④55°，70°；⑤42°，96°；⑥28°，

62°；⑦56°，68°；⑧45°，45°；⑨60°，60°为两内角可以构成的三角形中，有等腰三角 形（ ）

A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个

4. 具有下列条件的两个等腰三角形，不能判断它们全等的是（ ） A. 顶角、一腰对应相等 B. 底边、一腰对应相等 C. 两腰对应相等

D. 一底角、底边对应相等

三、解答题

1、等腰三角形的周长为12，且其各边长均为整数，求各边长。 2、（1）等腰三角形的一个角为50°，求另外两个角的度数。

讲义

（2）等腰三角形的一个外角为100°，求该等腰三角形的顶角。

3、等腰三角形一腰上的中线将等腰三角形的周长分成8cm和10cm的两部分，求该等腰三角形的各边长。

4、 如图2所示，△ABC和△BDE都是等边三角形。

图2 求证：AE＝CD。

5、 如图3所示，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点E、F，且BF＝CE。判断△ABC的形状并证明。

图3

6、“有两边相等的两个直角三角形全等”这个命题对与否，甲、乙、丙三位同学给出了如下论断：

甲：正确。因为若两边都是直角边，则用（SAS）全等识别法就可以证它们全等。 乙：正确。因为若其中一边是直角边，另一边是斜边，则可用（HL）定理证全等。 丙：不正确。若一个三角形较长的直角边与另一三角形斜边相等，较短的直角边与另一三角形较长的直角边相等，则显而易见两个三角形不全等。 请你就这三个同学的见解发表自己的意见。

7、如图所示，是城市部分街道示意图，AB＝BC＝AC，CD＝CE＝DE，A、B、C、D、E、F、G为“公共汽车”停靠点，“甲公共汽车”从A站出发，按照A、H、G、D、E、C、F的顺序到达F站，“乙公共汽车”从B站出发，沿B、F、H、E、D、C、G的顺序到达G站。如果甲、乙分别同时从A、B站出发，在各站耽误的时间相同，两车速度也一样，试问哪一辆公共汽车先到达指定站？为什么？

答案与解析：

讲义

一、 填空题

1。12 （2cm不能为腰长，只能为底边长（2+2＜5），所以周长为2+5+5=12（cm）。） 2。13或11 （3cm既能为腰长，又能为底边长(5+5＞3、3+3＞5)， ∴周长为3+5+5=13（cm）或3+3+5=11（cm）。）

3。50°或130°（等腰三角形一腰上的高可能是在三角形内，也可能在三角形外，因此要分类讨论。） 4。等边

5。45°；45°

点拨：等腰三角形三线合一。 6。80°，20°或50°，50°

点拨：80°是锐角，即可以是顶角，也可以是底角。

二、选择题 1. D

点拨：三个外角度数分别为

360°×

＝90°，360°×＝135°，135°，

∴三角形为等腰直角三角形。 2. B 3. D

点拨：根据三角形内角和定理及等腰三角形性质定理，排除②③⑥。 4. C

点拨：本题综合考查三角形全等识别法和等腰三角形性质定理。 A（SAS），B（SSS），D（ASA）。

三、解答题

1、设其腰长为x，则底边长为（12－2x），由题意得：

解得3＜x＜6 ∵x为整数 ∴x=4或5

∴该等腰三角形的三边长分别为：4、4、4或5、5、2。

2、(1)分两种情况：

①若已知的角为顶角，则另外两个角均为底角，设其度数为x,则2x+50=180, 解得：x=65；

②若已知的角为底角，可设顶角为y，则50×2+y=180, 解得：y=80 综上所述：另两个角分别为65°、65°或50°、80°。

注意该题的变式：题中有可能把问题变成要求顶角的度数，也要注意分类讨论。 (2)分两种情况：

①若已知的角为顶角的外角，则顶角=180°－100°=80°；

讲义

②若已知的角为底角的外角，则底角=180°－100°=80°， 所以顶角=180°－80°×2=20°。

综上所述：该等腰三角形的顶角=80°或20°。 3、解：设腰长为xcm，底边长为ycm,则：

或解得或

∵，

∴以上两解均合乎题意。

∴该等腰三角形的各边长分别为cm、cm、cm或cm、cm、

cm。

4. 证明：∵△ABC是等边三角形 ∴AB＝BC，∠ABC＝60° ∵△BDE是等边三角形 ∴BE＝BD，∠DBC＝60°

由（SAS）全等识别法可知△ABE≌△CBD， ∴AE＝CD（全等三角形对应边相等）

讲义

5．解：△ABC是等腰三角形

证明：∵DF⊥AB，DE⊥AC ∴∠BFD＝∠CED＝90°

∵D是BC边上的中点，∴BD＝CD 又∵BF＝CE，

由（HL）全等识别法可知△BFD≌△CED。 ∴∠B＝∠C，即△ABC是等腰三角形。

6. 解：甲、乙两同学的回答都是片面的。他们都想当然地理解成两边是对应的。 恰恰原命题中丢掉了“对应”二字，丙同学的论断是正确的。 所以我们一定要重视全等三角形中的“对应”二字。

点拨：本题恰又是一个易错题，甲、乙两同学的错误常出现在日常学习中，需引起注意。

7. 答：同时到达。理由如下：

∵AB＝BC＝AC，CD＝CE＝DE ∴△ABC和△ECD都是正三角形 ∴∠ACB＝∠ECD＝60°

∴∠ACE＝60°

∴∠BCE＝∠ACD＝120°

∴△BCE≌△ACD（SAS）

∴BE＝AD。∠CBE＝∠CAD

在△BCF与△ACG中，∠CBF＝∠CAG BC＝AC，∠BCA＝∠ACE＝60° ∴△BCF≌△ACG（ASA） ∴CF＝CG

又甲公共汽车的路程和为AD＋DE＋EC＋CF 乙公共汽车的路程和为BE＋ED＋DC＋CG， ∴两车同时到达指定站。

能力提升：

1.已知C、D两点在线段AB的中垂线上，且∠ACB=50°，∠ADB=80°，求∠CAD的度数。

2. 如图，已知△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB=40°，如果D、E是直线 AB上的两点，且AD=AC，BE=BC， 求∠DCE的度数。

3. 已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC

的距离分别为

，△ABC的高为h。 “若点P在一边BC上（如图（1）），此时

，可得

讲义

结论：”。

（1）请直接应用上述信息解决下列问题：

当点P在△ABC内（如图（2））、点P在△ABC外（如图（3））这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明。

与h之间又有怎样的关系？

（2）若不用上述信息，你能用其他方法证明猜想结论吗？

答案与解析： 1．（1）如图，当C、D两点在线段AB的同侧时， ∵C、D两点在线段AB的垂直平分线上，

∴CA=CB，△CAB是等腰三角形，又CE⊥AB， ∴CE是∠ACB的角平分线，∴∠ACE=∠BCE， 而∠ACB=50°，∴∠ACE=25°，同理可得∠ADE=40°，

∴∠CAD=∠ADE-∠ACE=40°-25°=15°。 （2）如图，当C、D两点在线段AB的两侧时，

同（1）的方法可得∠ACE=25°，∠ADE=40°， 于是∠CAD=180°-（∠ADE+∠ACE）

=180°-（40°+25°）=180°-65°=115°。 故∠CAD的度数为15°或115°。

2. （1）当点D、E在点A的同侧，且都在BA的延长线上时，如图1，

讲义

图1 图2 ∵BE=BC， ∴∠BEC=（180°-∠ABC）÷2，

∵AD=AC， ∴∠ADC=（180°-∠DAC）÷2=∠BAC÷2， ∵∠DCE=∠BEC-∠ADC，

∴∠DCE=（180°-∠ABC）÷2-∠BAC÷2=（180°-∠ABC-∠BAC）÷2 =∠ACB÷2=40°÷2=20°。

（2）当点D、E在点A的同侧，且点D在D’的位置，E在E’的位置时，如图2，

＝∠ACB÷2=20°。

与（1）类似地也可以求得

（3）当点D、E在点A的两侧，且E点在E’的位置时，如图3，

图3 图4 ∵BE’=BC，∴

∵AD=AC， ∴∠ADC=（180°-∠DAC）÷2=∠BAC÷2， 又∵ ∴

，

=180°-（180°-∠ACB）÷2

，

=90°+∠ACB÷2=90°+40°÷2=110°。

（4）当点D、E在点A的两侧，且点D在D’的位置时，如图4， ∵AD’=AC，∴

∵BE=BC，∴∠BEC=（180°-∠ABC）÷2， ∴

=180°-〔（180°-∠ABC）÷2+（180°-∠BAC）÷2〕 =（∠BAC+∠ABC）÷2=（180°-∠ACB）÷2 =（180°-40°）÷2=70°，

，

讲义

故∠DCE的度数为20°或110°或70°。

3.

（1）如图（2），当P在△ABC内时，结论

仍成立，

过P作NQ∥BC分别交AB、AC、AM于N、Q、K。 依题意，有 ∴

当P在△ABC外时，结论 （2）如图（3），连接PA、PB、PC

，易知KM＝PF＝

不成立，它们的关系是

又，由AB＝BC＝AC得，

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