等腰三角形讲义1

更新时间:2023-06-01 00:31:01 阅读量: 实用文档 文档下载

说明:文章内容仅供预览,部分内容可能不全。下载后的文档,内容与下面显示的完全一致。下载之前请确认下面内容是否您想要的,是否完整无缺。

讲义

等腰三角形

撰稿:徐长明 审稿:张扬 责编:孙景艳

一、 目标认知 学习目标:

通过观察发现等腰三角形的性质;掌握等腰三角形的识别方法,会用等腰三角形的性质进行简单的计算和证明;理解等腰三角形与等边三角形的相互关系;能够利用等腰三角形的识别方法判断等腰三角形;掌握等边三角形的特征和识别方法;掌握一般文字命题的解题方法

重点:

等腰三角形的性质与判定。

难点:

比较复杂图形、题目的推理证明

二、 知识要点梳理

知识点一:等腰三角形、腰、底边

有两边相等的三角形叫等腰三角形,其中相等的两条边叫腰,第三条边叫底边,两腰的夹角叫顶角,底边和腰的夹角叫底角

如图所示,在△ABC中,AB=AC,则它叫等腰三角形,其中AB、AC为腰,BC为底边,∠A是顶角,∠B、∠C是底角.

知识点二:等腰三角形的性质

1、性质1:等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).

性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合(简称“三线合一”).

2、这两个性质证明如下:

在△ABC中,AB=AC,如图所示.

讲义

作底边BC的高AD,则有

∴ Rt△ABD≌Rt△ACD.

∴ ∠B=∠C,∠1=∠2.BD=CD. 于是性质1、性质2均得证. 3、说明:

(1)①等腰三角形的性质1用符号表示为:∵AB=AC,∴∠B=∠C;

②性质1是等腰三角形的一条重要(主要)性质,也是今后我们证明角相等的又一个重要依据.

(2)①性质2实质包含三条性质,符号表示为:∵ AB=AC,AD⊥BC,∠1=∠2,∴ BD=CD;

或∵ AB=AC,BD=CD,∠l=∠2,∴ AD⊥BC.

②性质2的用途更为广泛,可以用来证明线段相等,角相等,垂直关系等. (3)等腰三角形是轴对称图形,底边上高(顶角平分线或底边中线)所在直线是它的对称轴,通常情

况只有一条对称轴.

知识点三:等腰三角形的判定定理

1、定理内容及证明

如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”),如图所示.

证明:在△ABC中,∠B=∠C,作AD⊥BC于D.则

所以△ABD≌△ACD(AAS). 所以,AB=AC. 2、 注意:

①本定理的符号表示为:在△ABC中,∵∠B=∠C,∴AB=AC. ②本定理可以判定一个三角形是等腰三角形,同时也是今后证明两条线段相等的重要依据.

另外,等腰三角形的性质和判定条件和结论正好相反,要注意区分,不要混淆.

知识点四:等边三角形

1、等边三角形定义:三边都相等的三角形叫等边三角形

讲义

如图所示.

2、注意:

①由定义可知,等边三角形是一种特殊的等腰三角形.也就是说等腰三角形包括等边三角形.

②等边三角形具有等腰三角形的一切性质.

知识点五:等边三角形的性质

1、等边三角形的性质:等边三角形三个内角都相等,并且每一个内角都等于60° 2、理由如下:如上图所示,由AB=AC可得∠B=∠C,同样可得∠A=∠C,所以∠A=∠B=∠C.

而∠A+∠B+∠C=180°.则有∠A=∠B=∠C=60°. 注意:这条性质只有等边三角形具有.

知识点六:等边三角形的判定

1、等边三角形的判定:

(1)三个角都相等的三角形是等边三角形;

(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 2、证明如下: (1)如下图所示,若∠A=∠B=∠C,可由∠A=∠B得,AC=BC;由∠A=∠C得,AB=BC.所以AB=AC=BC.

于是判定(1)成立.

(2)如上图所示,在△ABC中,AB=AC,若∠A=60°,则有∠B=∠C=60°,于是∠A=∠B=∠C.

由判定(1)得△ABC是等边三角形;

若∠B=60°,则∠B=∠C=60°,于是∠A=60°,∠A=∠B=∠C. 由判定(1)得△ABC是等边三角形。 所以判定(2)成立.

知识点七:直角三角形性质定理

1、定理内容:在直角三角形中,如果有一个锐角是30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半

2、证明:如图所示,∠ACB=90°,∠A=30°.延长BC至

使

,则有AC

讲义

垂直平分,

故.又可得∠B=60

°.于是△

是等边三角形,故

,所以.即定理成立.

三、 规律方法指导

1.等腰(边)三角形是一个特殊的三角形,具有较多的特殊性质,有时几何图形中不存在等腰(边)三角形,可根据已知条件和图形特征,适当添加辅助线,使之构成等腰(边)三角形,然后利用其定义和有关性质,快捷地证出结论。

2.常用的辅助线有:(1)作顶角的平分线、底边上的高线、中线。(2)在三角形的中线问题上,我们常将中线延长一倍,这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。

经典例题透析

类型一:探究型题目

1.如图1,在直角△ABC

中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,请你设计三种不同的分法,把△ABC分割成两个三角形,且要求其中有一个是等腰三角形。(在等腰三角形的两个底角处标明度数)

思路点拨: 在三角形中,“等边对等角”与“等角对等边”,本题应从角度入手进行考虑。下面提供四种分割方法供大家参考。 解析:

讲义

总结升华:对图形进行分割是近年来新出现的一类新题型,主要考查对基础知识的掌握情况以及动手实践能力,本类题目的答案有时不唯一。 举一反三:

【变式1】如图3,D是△ABC中BC边上的一点,E是AD上的一点,EB=EC,∠1=∠2,求证:AD⊥BC。

请你先阅读下面的证明过程。 证明:在△AEB和△AEC中,

所以△ABE≌△AEC(第一步), 所以AB=AC,∠3=∠4(第二步),

所以AD⊥BC(等腰三角形的“三线合一”)。

上面的证明过程是否正确?如果正确,请写出每一步的推理依据;如果不正确,请指出关键错在哪一步,写出你认为正确的证明过程。

【答案】第一步错误。因为在△ABE和△AEC中有两边和其中一边的对角对应相等,不能判定它们全等。

正确的证明过程是: 因为EB=EC,

讲义

所以∠EBD=∠ECD,

所以∠EBD+∠1=∠ECD+∠2, 即:∠ABC=∠ACB, 所以AB=AC。

在△AEB和△AEC中,

所以△ABE≌△AEC, 所以∠3=∠4,

所以AD⊥BC(等腰三角形的“三线合一”)。

【变式2】已知△ABC为等边三角形,在图4中,点M是线段BC上任意一点,点N是线段CA上任意一点,且BM=CN,直线BN与AM相交于Q点。

(1)请猜一猜:图4中∠BQM等于多少度?

(2)若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上,其它条件下不变,如图5所示,(1)中的结论是否仍

然成立?如果成立,请加以证明;如果不成立,请说明理由。

【答案】(1)题通常猜想、测量或证明等方法不难发现∠BQM=60°,而且这一结论在图形发生变化后仍然成立。(2)题的证明过程如下: 因为△ABC为等边三角形,

所以AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°, 所以∠ACM=∠BAN。

讲义

在△ACM和△BAN中,

所以ΔACM≌ΔBAN, 所以∠M=∠N,

所以∠BQM=∠N+∠QAN=∠M+∠CAM=∠ACB=60°。

类型二:与度数有关的计算

2.如图,在△ABC中,D在BC上,且AB=AC=BD,∠1=30°,求∠2的度数。 思路点拨: 解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系,显然∠2=∠1+∠C,只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了,而∠C=∠B,所以把问题转化为欲找出∠2与∠B之间有什么关系,变成△ABD的角之间的关系,问题就容易的多了。 解析:∵AB=AC ∴∠B =∠C ∵AB=BD ∴∠2=∠3

∵∠2=∠1+∠C ∴ ∠2=∠1+∠B

∵∠2+∠3+∠B=180° ∴∠B=180°-2∠2 ∴∠2=∠1+180°-2∠2 ∴3∠2=∠1+180° ∵∠1=30° ∴∠2=70°

总结升华:关于角度问题可以通过建立方程进行解决。 举一反三:

【变式1】如图,D、E在△ABC的边BC上,且BE=BA,CD=CA,若∠BAC=122°,求∠DAE的度数。 【答案】∵BE=BA ∴∠2=∠BAE ∵CD=CA ∴∠1=∠CAD

∵∠1+∠CAD+∠C=180°

∴∠1=

∵∠2+∠BAE+∠B=180°

∴∠2=

讲义

∴∠1+∠2=

∵∠B+∠C=180°-∠BAC

∴∠1+∠2=

∵∠DAE=180°-(∠1+∠2)

∴∠DAE=90°-=90°-61°=29°。

【变式2】在△ABC中,AB=AC,D在BC上,E在AC上,且AD=AE,∠BAD=30°,求∠EDC的度数。

【答案】∵ AB=AC,AD=AE

∴∠B=∠C,∠ADE=∠AED

∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=∠B+∠BAD ∴∠AED+∠EDC=∠C+∠BAD ∵∠AED=∠C+∠EDC

∴∠C+2∠EDC=∠C+∠BAD

∴∠EDC=∠BAD=15°。

类型三:等腰三角形中的分类讨论

3.当腰长或底边长不能确定时,必须进行分类讨论

(1)已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm,求周长。 (2)等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm,求周长。

思路点拨: 由等腰三角形的性质可知我们在解此题前,必须明确所给的边的定义,在这里哪条边是“腰”,哪条边是“底”不明确,而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提,因此必须进行分类讨论。 解析:(1)因为8+8>10,10+10>8,则在这两种情况下都能构成三角形; 当腰长为8时,周长为8+8+10=26; 当腰长为10时,周长为10+10+8=28; 故这个三角形的周长为26cm或28cm。

(2)当腰长为3时,因为3+3<7,所以此时不能构成三角形;

当腰长为7时,因为7+7>3,所以此时能构成三角形,因此三角形的周长为:7+7+3=17;故这个三角形的周长为17cm。 总结升华:对于此类题目在进行分类讨论时,必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形

举一反三:

【变式1】当顶角或底角不能确定时,必须进行分类讨论

等腰三角形的一个角是另一个角的4倍,求它的各个内角的度数

讲义

【答案】(1)当底角是顶角的4倍时,设顶角为x,则底角为4x, ∴ 4x+4x+x=180°, ∴ x=20°, ∴ 4x=80°,

于是三角形的各个内角的度数为:20°,80°,80°。 (2)当顶角是底角的4倍时,设底角为x,则顶角为4x, ∴ x+x+4x=180°, ∴ x=30°, ∴ 4x=120°,

于是三角形的各个内角的度数为:30°,30°,120°。 故三角形各个内角的度数为20°,80°,80°或30°,30°,120°。

【变式2】当高的位置关系不确定时,必须分类讨论

等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°,求这个三角形的各个内角的度数。

【答案】设AB=AC,BD⊥AC;

(1)高与底边的夹角为25°时,高一定在△ABC的内部, 如右图,∵∠DBC=25°,∴∠C=90°-∠DBC=90°-25°=65°,

∴ ∠ABC=∠C=65°,∠A=180°-2×65°=50°。

图1

(2)当高与另一腰的夹角为250时, ①如图2,高在△ABC内部时, 当∠ABD=25°时,∠A=90°-∠ABD=65°,

∴ ∠C=∠ABC=(180°-∠A)÷2=57.5°;

②如图3,高在△ABC外部时,∠ABD=25°, 图2

∴ ∠BAD=90°-∠ABD=90°-25°=65°,∴ ∠BAC=180°-65°=115°, ∴∠ABC=∠C=(180°-115°)÷2=32.5° 故三角形各内角为:65°,65°,50°或

65°,57.5°,57.5°或115°,32.5°,32.5°。

图3

【变式3】由腰的垂直平分线所引起的分类讨论

在三角形ABC中,AB=AC,AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°,求底角B的度数。

分析:题目中AB边上的垂直平分线与直线AC 相交有两种情形; 解:(1)如图,AB边的垂直平分线与AC边交于点D, ∠ADE=40°,

则∠A=900-∠ADE=50°,

∵AB=AC, ∴∠B=(180°-50°)÷2=65°。 (2)如图,AB边的垂直平分线与直线AC的反向 延长线交于点D,∠ADE=40°,则∠DAE=50°

∴∠BAC=130°,∵AB=AC,∴∠B=(180°-130°)÷2=25°, 故∠B的大小为65°或25°。

讲义

等腰三角形底边长为5cm,一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm,求腰长。 【答案】如图, ∵BD为AC边上的中线,∴AD=CD,

(1)当(AB+AD)-(BC+CD)=3时,则AB-BC=3, ∵BC=5 ∴AB=BC+3=8;

(2)当(BC+CD)-(AB+AD)=3时,则BC-AB=3, ∵BC=5 ∴AB=BC-3=2;

但是当AB=2时,三边长为2,2,5; 而2+2<5,不合题意,舍去; 故腰长为8。 类型四:证明题

4.已知:如图,∠ABC,∠ACB的平分线交于F,过F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E。

求证:BD+EC=DE。

思路点拨: 因为DE=DF+FE,即结论为BD+EC=DF+FE,分别证明BD=DF,CE=FE即可,于是运用“在同一三角形中,等角对等边”易证结论成立。 解析:∵DE∥BC,

∴∠3=∠2(两直线平行,内错角相等) 又∵BF平分∠ABC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠3

∴DB=DF(等角对等边) 同理:EF=CE, ∴BD+EC=DF+EF 即BD+EC=DE。

总结升华:在三角形中,利用“等角对等边”证明线段相等,是一种常用的方法。 举一反三:

【变式1】如图,C是线段AB上的一点,△ACD和△BCE是等边三角形,AE交CD于M,BD交CE于N,交AE于O。

求证:(1)∠AOB=120°; (2)CM=CN;

讲义

【答案】(1)∵∠ACE=∠ACD+∠DCE ∠BCD=∠BCE+∠DCE 且∠ACD=∠BCE=60° ∴∠ACE=∠BCD 在△ACE和△BCD中

∴△ACE≌△DCB(SAS) ∴∠3=∠2

∵∠1+∠3=60°,∴∠1+∠2=60°

∴∠AOB=∠1+∠ADC+∠2=60°+60°=120° (2)∵∠ACD=∠BCE=60° ∴∠MCN=60°

在△CMA和△CND中

∴△CMA≌△CND(ASA) ∴CM=CN

(3)∵CM=CN且∠MCN=60° ∴△CMN是等边三角形 ∴∠NMC=60° 又∵∠DCA=60° ∴∠NMC=∠DCA ∴MN∥AB

【变式2】已知,在△ABC中,∠ACB=90°,CD,CE三等分∠ACB,CD⊥AB(如图所示)。

求证:(1)AB=2BC;

(2)CE=AE=EB。 【答案】(1)∵CE、CD三等分∠ACB ∴∠1=∠2=∠3=30°

又∵CD⊥AB,∴∠B=60°,∠A=30° 在Rt△ABC中,∠A=30°,∴AB=2BC (2)∵∠A=∠1=30° ∴CE=EA

讲义

又∵∠B=∠BCE=60°

∴△BCE是等边三角形,∴EC=EB ∴CE=EA=EB

学习成果测评 基础达标:

一、填空:

1、等腰三角形的的两边长为2cm和5cm,则该等腰三角形的周长为______cm。 2、等腰三角形的的两边长为3cm和5cm,则该等腰三角形的周长为______cm。 3、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则顶角为_____。

4、在△ABC中,AC=BC,且∠B=∠C,则△ABC是____________三角形。

5、若直角三角形斜边上的中线垂直于斜边,则它的两个锐角的度数是____________。 6、等腰三角形的一个角是80°,则其他两个角的度数是____________。

二、选择题

1. 若一个三角形的三个外角度数比为2:3:3,则这个三角形是( ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

2. 将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成如图1所示形状,两条长直角边在同一条直线上,则

图中等腰三角形的个数是( )

图1 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

3. 在以①30°,120°;②25°,75°;③38°,52°;④55°,70°;⑤42°,96°;⑥28°,

62°;⑦56°,68°;⑧45°,45°;⑨60°,60°为两内角可以构成的三角形中,有等腰三角 形( )

A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个

4. 具有下列条件的两个等腰三角形,不能判断它们全等的是( ) A. 顶角、一腰对应相等 B. 底边、一腰对应相等 C. 两腰对应相等

D. 一底角、底边对应相等

三、解答题

1、等腰三角形的周长为12,且其各边长均为整数,求各边长。 2、(1)等腰三角形的一个角为50°,求另外两个角的度数。

讲义

(2)等腰三角形的一个外角为100°,求该等腰三角形的顶角。

3、等腰三角形一腰上的中线将等腰三角形的周长分成8cm和10cm的两部分,求该等腰三角形的各边长。

4、 如图2所示,△ABC和△BDE都是等边三角形。

图2 求证:AE=CD。

5、 如图3所示,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别是点E、F,且BF=CE。判断△ABC的形状并证明。

图3

6、“有两边相等的两个直角三角形全等”这个命题对与否,甲、乙、丙三位同学给出了如下论断:

甲:正确。因为若两边都是直角边,则用(SAS)全等识别法就可以证它们全等。 乙:正确。因为若其中一边是直角边,另一边是斜边,则可用(HL)定理证全等。 丙:不正确。若一个三角形较长的直角边与另一三角形斜边相等,较短的直角边与另一三角形较长的直角边相等,则显而易见两个三角形不全等。 请你就这三个同学的见解发表自己的意见。

7、如图所示,是城市部分街道示意图,AB=BC=AC,CD=CE=DE,A、B、C、D、E、F、G为“公共汽车”停靠点,“甲公共汽车”从A站出发,按照A、H、G、D、E、C、F的顺序到达F站,“乙公共汽车”从B站出发,沿B、F、H、E、D、C、G的顺序到达G站。如果甲、乙分别同时从A、B站出发,在各站耽误的时间相同,两车速度也一样,试问哪一辆公共汽车先到达指定站?为什么?

答案与解析:

讲义

一、 填空题

1。12 (2cm不能为腰长,只能为底边长(2+2<5),所以周长为2+5+5=12(cm)。) 2。13或11 (3cm既能为腰长,又能为底边长(5+5>3、3+3>5), ∴周长为3+5+5=13(cm)或3+3+5=11(cm)。)

3。50°或130°(等腰三角形一腰上的高可能是在三角形内,也可能在三角形外,因此要分类讨论。) 4。等边

5。45°;45°

点拨:等腰三角形三线合一。 6。80°,20°或50°,50°

点拨:80°是锐角,即可以是顶角,也可以是底角。

二、选择题 1. D

点拨:三个外角度数分别为

360°×

=90°,360°×=135°,135°,

∴三角形为等腰直角三角形。 2. B 3. D

点拨:根据三角形内角和定理及等腰三角形性质定理,排除②③⑥。 4. C

点拨:本题综合考查三角形全等识别法和等腰三角形性质定理。 A(SAS),B(SSS),D(ASA)。

三、解答题

1、设其腰长为x,则底边长为(12-2x),由题意得:

解得3<x<6 ∵x为整数 ∴x=4或5

∴该等腰三角形的三边长分别为:4、4、4或5、5、2。

2、(1)分两种情况:

①若已知的角为顶角,则另外两个角均为底角,设其度数为x,则2x+50=180, 解得:x=65;

②若已知的角为底角,可设顶角为y,则50×2+y=180, 解得:y=80 综上所述:另两个角分别为65°、65°或50°、80°。

注意该题的变式:题中有可能把问题变成要求顶角的度数,也要注意分类讨论。 (2)分两种情况:

①若已知的角为顶角的外角,则顶角=180°-100°=80°;

讲义

②若已知的角为底角的外角,则底角=180°-100°=80°, 所以顶角=180°-80°×2=20°。

综上所述:该等腰三角形的顶角=80°或20°。 3、解:设腰长为xcm,底边长为ycm,则:

或解得或

∵,

∴以上两解均合乎题意。

∴该等腰三角形的各边长分别为cm、cm、cm或cm、cm、

cm。

4. 证明:∵△ABC是等边三角形 ∴AB=BC,∠ABC=60° ∵△BDE是等边三角形 ∴BE=BD,∠DBC=60°

由(SAS)全等识别法可知△ABE≌△CBD, ∴AE=CD(全等三角形对应边相等)

讲义

5.解:△ABC是等腰三角形

证明:∵DF⊥AB,DE⊥AC ∴∠BFD=∠CED=90°

∵D是BC边上的中点,∴BD=CD 又∵BF=CE,

由(HL)全等识别法可知△BFD≌△CED。 ∴∠B=∠C,即△ABC是等腰三角形。

6. 解:甲、乙两同学的回答都是片面的。他们都想当然地理解成两边是对应的。 恰恰原命题中丢掉了“对应”二字,丙同学的论断是正确的。 所以我们一定要重视全等三角形中的“对应”二字。

点拨:本题恰又是一个易错题,甲、乙两同学的错误常出现在日常学习中,需引起注意。

7. 答:同时到达。理由如下:

∵AB=BC=AC,CD=CE=DE ∴△ABC和△ECD都是正三角形 ∴∠ACB=∠ECD=60°

∴∠ACE=60°

∴∠BCE=∠ACD=120°

∴△BCE≌△ACD(SAS)

∴BE=AD。∠CBE=∠CAD

在△BCF与△ACG中,∠CBF=∠CAG BC=AC,∠BCA=∠ACE=60° ∴△BCF≌△ACG(ASA) ∴CF=CG

又甲公共汽车的路程和为AD+DE+EC+CF 乙公共汽车的路程和为BE+ED+DC+CG, ∴两车同时到达指定站。

能力提升:

1.已知C、D两点在线段AB的中垂线上,且∠ACB=50°,∠ADB=80°,求∠CAD的度数。

2. 如图,已知△ABC中,BC>AB>AC,∠ACB=40°,如果D、E是直线 AB上的两点,且AD=AC,BE=BC, 求∠DCE的度数。

3. 已知等边△ABC和点P,设点P到△ABC三边AB,AC,BC

的距离分别为

,△ABC的高为h。 “若点P在一边BC上(如图(1)),此时

,可得

讲义

结论:”。

(1)请直接应用上述信息解决下列问题:

当点P在△ABC内(如图(2))、点P在△ABC外(如图(3))这两种情况时,上述结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,请写出你的猜想,不需证明。

与h之间又有怎样的关系?

(2)若不用上述信息,你能用其他方法证明猜想结论吗?

答案与解析: 1.(1)如图,当C、D两点在线段AB的同侧时, ∵C、D两点在线段AB的垂直平分线上,

∴CA=CB,△CAB是等腰三角形,又CE⊥AB, ∴CE是∠ACB的角平分线,∴∠ACE=∠BCE, 而∠ACB=50°,∴∠ACE=25°,同理可得∠ADE=40°,

∴∠CAD=∠ADE-∠ACE=40°-25°=15°。 (2)如图,当C、D两点在线段AB的两侧时,

同(1)的方法可得∠ACE=25°,∠ADE=40°, 于是∠CAD=180°-(∠ADE+∠ACE)

=180°-(40°+25°)=180°-65°=115°。 故∠CAD的度数为15°或115°。

2. (1)当点D、E在点A的同侧,且都在BA的延长线上时,如图1,

讲义

图1 图2 ∵BE=BC, ∴∠BEC=(180°-∠ABC)÷2,

∵AD=AC, ∴∠ADC=(180°-∠DAC)÷2=∠BAC÷2, ∵∠DCE=∠BEC-∠ADC,

∴∠DCE=(180°-∠ABC)÷2-∠BAC÷2=(180°-∠ABC-∠BAC)÷2 =∠ACB÷2=40°÷2=20°。

(2)当点D、E在点A的同侧,且点D在D’的位置,E在E’的位置时,如图2,

=∠ACB÷2=20°。

与(1)类似地也可以求得

(3)当点D、E在点A的两侧,且E点在E’的位置时,如图3,

图3 图4 ∵BE’=BC,∴

∵AD=AC, ∴∠ADC=(180°-∠DAC)÷2=∠BAC÷2, 又∵ ∴

=180°-(180°-∠ACB)÷2

=90°+∠ACB÷2=90°+40°÷2=110°。

(4)当点D、E在点A的两侧,且点D在D’的位置时,如图4, ∵AD’=AC,∴

∵BE=BC,∴∠BEC=(180°-∠ABC)÷2, ∴

=180°-〔(180°-∠ABC)÷2+(180°-∠BAC)÷2〕 =(∠BAC+∠ABC)÷2=(180°-∠ACB)÷2 =(180°-40°)÷2=70°,

讲义

故∠DCE的度数为20°或110°或70°。

3.

(1)如图(2),当P在△ABC内时,结论

仍成立,

过P作NQ∥BC分别交AB、AC、AM于N、Q、K。 依题意,有 ∴

当P在△ABC外时,结论 (2)如图(3),连接PA、PB、PC

,易知KM=PF=

不成立,它们的关系是

又,由AB=BC=AC得,

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/5vy1.html

Top